离散数学（第2版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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屈婉玲，耿素云，张立昂 著

图书标签:

• 离散数学
• 数学
• 计算机科学
• 算法
• 逻辑
• 集合论
• 图论
• 组合数学
• 数学基础
• 高等教育

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040419085

版次：2

商品编码：11633329

包装：平装

丛书名： 普通高等教育“十一五”国家级规划教材

开本：16开

出版时间：2015-03-01

用纸：胶版纸

页数：402

字数：580000

正文语种：中文

编辑推荐

　　紧密围绕离散数学的基本概念、基本理论选材，体系严谨，内容丰富；面向计算机科学技术，介绍了很多离散数学在计算机科学技术中的应用。
　　强化描述与分析离散结构的基本方法与能力的训练，配有丰富的例题和习题；例题有针对性，分析讲解到位；习题易难结合，适合学生课后练习。
　　知识体系采用模块化结构，可以根据不同的教学要求进行调整；语言通俗易懂，深入浅出，突出重点、难点，提示易于出错的地方。
　　辅助教学资源丰富，配有用于习题课、包含上千道习题的教学辅助用书《离散数学学习指导与习题解析》第2版，电子教案，网络课程等。

内容简介

　　《离散数学（第2版）》在原有基础上进行了更新，增加了一些典型的应用实例，并对例题和习题进行了补充。《离散数学（第2版）》分为数理逻辑、集合论、代数结构、组合数学、图论、初等数论6个部分，既有严谨、系统的理论阐述，也有丰富的、面向计算机科学技术发展的应用实例，同时配有大量的典型例题与练习。各章内容按照模块化结构组织，可以适应不同的教学要求。《离散数学（第2版）》配套有电子教案和学习指导与习题解析。《离散数学（第2版）》可以作为普通高等学校计算机科学与技术、软件工程、信息与计算科学等专业本科生离散数学课程教材，也可以供其他专业学生和科技人员参考。

作者简介

　　耿素云，北京大学信息科学技术学院教授。一直从事数学教学工作，致力于离散数学教学20余年，出版教材、教学参考书20余本，其中包含多部国家级规划教材和北京市精品教材。被评为北京市教书育人、服务育人先进工作者，北京市优秀教师，北京大学“我爱我师一*受学生爱戴的老师”；曾获北京市教育教学成果（高等教育）一等奖，北京大学教学成果一等奖、大众电脑奖教金、桐山奖教金及教学优秀奖等。
　　
　　张立昂，北京大学信息科学技术学院教授、博士生导师。一直从事数学和理论计算机科学的教学与研究工作，主要研究方向是计算复杂性理论和算法设计与分析，发表论文20余篇，出版教材、教学参考书、译著20余本，其中包含多部国家级规划教材和北京市精品教材。曾获教育部科学技术进步二等奖，北京市教育教学成果（高等教育）一等奖，北京人学教学成果一等奖、正大奖教金及教学优秀奖等。

内页插图

目录

第1部分 数理逻辑
第1章 命题逻辑的基本概念
1.1 命题与联结词
1.2 命题公式及其赋值
习题1
第2章 命题逻辑等值演算
2.1 等值式
2.2 析取范式与合取范式
2.3 联结词的完备集
2.4 可满足性问题与消解法
习题2
第3章 命题逻辑的推理理论
3.1 推理的形式结构
3.2 自然推理系统P
3.3 消解证明法
习题3
第4章 一阶逻辑基本概念
4.1 一阶逻辑命题符号化
4.2 一阶逻辑公式及其解释
习题4
第5章 一阶逻辑等值演算与推理
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则
5.2 一阶逻辑前束范式
5.3 一阶逻辑的推理理论
习题5

第2部分 集合论
第6章 集合代数
6.1 集合的基本概念
6.2 集合的运算
6.3 有穷集的计数
6.4 集合恒等式
习题6
第7章 二元关系
7.1 有序对与笛卡儿积
7.2 二元关系
7.3 关系的运算
7.4 关系的性质
7.5 关系的闭包
7.6 等价关系与划分
7.7 偏序关系
习题7
第8章 函数
8.1 函数的定义与性质
8.2 函数的复合与反函数
8.3 双射函数与集合的基数
8.4 一个电话系统的描述实例
习题8

第3部分 代数结构
第9章 代数系统
9.1 二元运算及其性质
9.2 代数系统
9.3 代数系统的同态与同构
习题9
第10章 群与环
10.1 群的定义及性质
10.2 子群与群的陪集分解
10.3 循环群与置换群
10.4 环与域
习题10
第11章 格与布尔代数
11.1 格的定义与性质
11.2 分配格、有补格与布尔代数
习颢11

第4部分 组合数学
第12章 基本的组合计数公式
12.1 加法法则与乘法法则
12.2 排列与组合
12.3 二项式定理与组合恒等式
12.4 多项式定理
习题12
第13章 递推方程与生成函数.
13.1 递推方程的定义及实例
13.2 递推方程的公式解法
13.3 递推方程的其他解法.
13.4 生成函数及其应用
13.5 指数生成函数及其应用
13.6 cataIan数与stirling数
习题13

第5部分 图 论
第14章 图的基本概念
14.1 图
14.2 通路与回路
14.3 图的连通性
14.4 图的矩阵表示
14.5 图的运算
习题14
第15章 欧拉图与哈密顿图
15.1 欧拉图
15.2 哈密顿图
15.3 最短路问题、中国邮递员问题与货郎担问题
习题15
第16章 树
16.1 无向树及其性质
16.2 生成树
16.3 根树及其应用
习题16
第17章 平面图
17.1 平面图的基本概念
17.2 欧拉公式
17.3 平面图的判断
17.4 平面图的对偶图
习题17
第18章 支配集、覆盖集、独立集、匹配与着色
18.1 支配集、点覆盖集与点独立集
18.2 边覆盖集与匹配
18.3 二部图中的匹配
18.4 点着色
18.5 地图着色与平面图的点着色
18.6 边着色
习题18

第6部分 初等数论
第19章 初等数论
19.1 素数
19.2 最大公约数与最小公倍数
19.3 同余
19.4 一次同余方程
19.5 欧拉定理和费马小定理
19.6 初等数论在计算机科学技术中的几个应用
习题19

名词与术语索引
符号注释
参考文献

《抽象代数基础：群论与环论导论》 本书旨在为读者提供一个严谨而清晰的抽象代数基础，重点聚焦于群论和环论的核心概念与基本性质。本书适用于数学专业本科生，或任何希望深入理解代数结构本质的读者。 内容概述： 第一部分：群论 本书的群论部分将从最基本的定义出发，逐步构建起对群结构和其性质的深刻认识。 群的基本概念： 我们将从二元运算和封闭性开始，引入半群、幺半群，最终定义群。我们将详细阐述群的四个基本公理（封闭性、结合律、存在单位元、存在逆元），并通过大量的例子来加深理解，包括整数加法群、非零有理数乘法群、对称群、置换群以及矩阵群等。 子群与陪集： 紧接着，我们将探索群的内部结构，介绍子群的概念，并给出判断一个子集是否为子群的充要条件。随后，我们将引入陪集（左陪集和右陪集）的概念，这是理解子群与商群的关键。我们将分析陪集的性质，并证明拉格朗日定理，即有限群中子群的阶整除群的阶，这是群论中最重要的定理之一。 循环群与生成元： 循环群作为最简单的群结构，将得到详细的探讨。我们将定义循环群，介绍生成元的概念，并分析有限循环群和无限循环群的性质。我们将证明所有循环群都与整数加法群或其有限商群同构，从而揭示了循环群的分类。 同态与同构： 为了比较不同群之间的结构相似性，我们将引入群同态和群同构的概念。我们将定义同态映射，并探讨其核（Kernel）和像（Image）的性质，这些概念对于理解群的结构至关重要。接着，我们将定义群同构，并证明同构是群之间的等价关系，从而能够将具有相同结构的群视为同一类。 正规子群与商群： 在理解了陪集之后，我们将引入正规子群的概念，并给出其等价定义。正规子群的存在使得我们能够构造商群（也称为因子群）。我们将详细阐述商群的构造过程，并证明商群的运算规则，从而能够研究更复杂的群结构。 第一同构定理： 作为群论中的另一个核心定理，第一同构定理（也称为同态基本定理）将被详细阐述和证明。该定理建立了群同态、正规子群和商群之间的深刻联系，为研究群的结构提供了强大的工具。 置换群与凯莱定理： 置换群作为群论中的一个重要研究对象，我们将深入探讨其性质。我们将介绍对称群 $S_n$ 的结构，并研究置换的分解（循环分解）。凯莱定理将是本部分的亮点之一，它表明任何群都同构于某个置换群，这揭示了置换群的普遍性。 有限交换群的结构： 对于有限交换群（阿贝尔群），我们将引入其基本定理，即任何有限阿贝尔群都可以分解为若干个初等 p-群的直积。这将为理解有限阿贝尔群的结构提供一个完整的框架。 第二部分：环论 在掌握了群论的基础上，本书将进一步拓展到环论，研究具有两种运算（加法和乘法）的代数结构。 环的基本概念： 我们将从定义环开始，即一个集合配备了加法和乘法两种二元运算，并满足特定的公理。我们将区分交换环与非交换环，有单位环与无单位环。我们将通过整数环、多项式环、矩阵环、函数环等多种实例来巩固对环概念的理解。 子环与理想： 类似于群中的子群，我们将定义子环的概念，并给出判断子环的条件。随后，我们将引入环论中的核心概念——理想。我们将区分左理想、右理想和双边理想，并给出理想的定义和重要性质。我们将证明理想是构造商环的关键。 环同态与环同构： 类似于群同态，我们将定义环同态，并探讨其核和像的性质。环同构将用来比较环的结构。 商环： 在理解了理想之后，我们将构造商环，并给出商环的运算规则。商环的构造是环论研究的重要手段。 第一同构定理（环）： 类似于群的第一同构定理，我们将阐述和证明环的第一同构定理，它建立了环同态、理想和商环之间的联系。 整环与域： 我们将引入整环（Integral Domain）的概念，即一个带有单位元的交换环，且没有非零的零因子。我们将讨论整环的性质，并将其与域（Field）的概念联系起来。域是具有除法的整环，例如实数域、复数域等。我们将证明域上的多项式环具有一些特殊性质。 多项式环： 多项式环是环论中一个非常重要的研究对象。我们将研究多项式环的性质，包括多项式的加法和乘法，以及多项式的次数。我们将证明多项式环的性质，例如域上的多项式环具有主理想域的性质。 因式分解： 对于某些特殊的环，例如主理想整环（PID）和唯一因子分解整环（UFD），我们将介绍其因式分解的性质。唯一因子分解定理表明，在这些环中，非零非单位元素可以唯一地（在相伴元素意义下）分解为不可约元素的乘积。 本书特色： 循序渐进的教学方法： 本书从最基础的定义出发，层层递进，确保读者能够逐步掌握抽象代数的概念和技巧。 丰富的例题和习题： 每章都配有大量的例题，并设置了不同难度的习题，以帮助读者巩固所学知识，并培养解决问题的能力。 严谨的数学证明： 本书力求数学证明的严谨性，同时力求清晰易懂，避免冗余。 理论联系实际： 在介绍抽象概念的同时，本书也穿插了一些理论在其他数学分支或实际问题中的应用，以激发读者的学习兴趣。 通过学习本书，读者将能够建立起扎实的抽象代数基础，为进一步深入学习代数、数论、几何以及其他相关数学领域打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

当我深入阅读这本书的章节时，我发现作者在讲解概念时，并没有一味地堆砌复杂的数学公式，而是花了大量的篇幅去解释“为什么”。这种“为什么”的探究，对于像我这样的读者来说至关重要。很多时候，我们记住了公式，却不理解它背后的逻辑和应用场景，离散数学的学习就容易变得机械化。但这本书在这方面做得非常好，它会从实际问题的出发，循序渐进地引入相关的数学概念，让你在解决问题的过程中去理解和掌握这些概念。例如，在讲解集合论的部分，作者并没有直接给出各种集合运算的定义，而是先描述了一个实际的例子，比如如何对学生选修课程进行分类和统计，然后引出集合、子集、并集、交集等概念，这样一来，抽象的集合概念就变得生动形象，易于理解。又比如，在图论章节，作者会先介绍一些现实生活中的网络问题，比如城市之间的交通路线、社交网络中的好友关系，然后用图论的语言来描述这些问题，这极大地激发了我学习的兴趣，让我看到了离散数学的强大应用能力。这种“情境驱动”的学习方式，对于我这样背景相对薄弱的读者来说，简直是福音。我特别喜欢作者在每个小节后面设置的“思考题”和“练习题”，它们的设计非常巧妙，既有巩固基础的题目，也有拓展思维的难题，能够有效地检验我对知识的掌握程度，并且引导我去进一步思考。而且，题目后面的解答并不是直接给出最终答案，而是提供了解题思路和关键步骤，这让我有机会自己去尝试，去思考，而不是简单地复制粘贴。这种教学方法，比那种直接给出答案的题目要更有价值得多。

评分☆☆☆☆☆

初拿到这本书，我首先被它沉甸甸的质感所吸引，厚实精装的书页翻起来很有分量，这似乎预示着内容的扎实与深厚。封面设计简洁却不失专业感，暗蓝色调配合银色标题，透着一股严谨的气息，很符合我心中“离散数学”应有的样子。迫不及待地翻开第一页，首先映入眼帘的是目录，清晰的章节划分和条理分明的标题，让我对本书的整体框架有了初步的认知。我对离散数学这个领域一直抱有浓厚的兴趣，但总觉得它像是一门抽象的艺术，总是在脑海中留下模糊的轮廓，难以抓住其精髓。我期待这本书能够像一位经验丰富的向导，带领我穿梭于逻辑、集合、图论的迷宫，让我能够真正理解那些看似枯燥的符号背后所蕴含的深刻思想。在仔细浏览目录时，我注意到了一些我熟悉的概念，比如命题逻辑、谓词逻辑，它们如同我学习生涯中的老朋友，让我感到一丝亲切，但也暗藏着对我能否深入理解它们新层面的挑战。同时，一些陌生的术语也跃然纸上，比如“组合计数”、“生成函数”等等，这激起了我强烈的好奇心，渴望去探索这些新领域，去领略它们独特的魅力。这本书不仅仅是一本教材，更像是一扇通往全新思维方式的大门，我期待它能为我打开这扇门，让我看到更广阔的数学世界。从书的装订上看，采用的是线装，这使得整本书可以平铺在桌面上，非常方便阅读和做笔记，细节之处的处理可见出版方的用心。纸张的质量也相当不错，触感温润，墨迹清晰，长时间阅读也不会感到刺眼。整体而言，这本书给我的第一印象是专业、严谨且充满诚意，让我对即将开始的阅读之旅充满了期待。

评分☆☆☆☆☆

这本书在对基础知识的讲解上，可谓是“循序渐进，毫不马虎”。很多离散数学的入门书籍，可能会直接跳过一些基础性的概念，或者对其一带而过。但是，这本书似乎预料到了我可能会遇到的困难，它会从最基本、最原始的定义开始讲解，并且用非常通俗易懂的语言来解释。例如，在讲解“关系”的概念时，它会先从日常生活中的“亲子关系”、“师生关系”等例子入手，然后逐步引入集合论中的有序对和笛卡尔积，最终给出关系的正式定义。这种“联系生活，回归本质”的讲解方式，让我觉得学习过程非常自然，一点也不觉得生硬。而且，作者在讲解过程中，会反复强调一些关键的定义和性质，并给出一些反例，帮助我辨析容易混淆的概念。比如，在区分“排列”和“组合”时，作者会举出很多具体的例子，并仔细分析每一步的选择和顺序，让我清晰地认识到它们之间的本质区别。这种严谨细致的态度，让我对书中的每一个概念都充满了信心，知道它们是经过深思熟虑、准确无误的。对于我这样对数学基础不是特别牢固的读者来说，这样的教学方式简直是及时雨，让我能够打下坚实的基础，为后续更复杂的学习做好准备。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书在例子和应用方面的丰富程度感到非常满意。很多理论性的数学知识，如果脱离了实际应用，就会显得枯燥乏味，难以激发学习兴趣。但这本书不同，它在介绍每一个数学概念时，都会辅以大量精心挑选的例子，这些例子涵盖了计算机科学、信息论、工程学等多个领域，让我能够直观地感受到离散数学在现实世界中的重要作用。比如，在讲解逻辑推理时，作者会用计算机程序的判断语句和流程控制来举例；在介绍图论时，会用网络路由、社交网络分析来解释；在讲解组合数学时，会用编码理论、概率统计中的问题来演示。这些具体的应用案例，不仅加深了我对抽象概念的理解，更重要的是，它让我看到了学习离散数学的价值和意义。我不再觉得这仅仅是一门“数学课”，而是一门“解决问题”的工具课。我尤其喜欢书中关于“算法分析”的部分，作者通过清晰的图示和实例，解释了时间复杂度、空间复杂度的概念，并用离散数学的工具来分析不同算法的效率。这对于我这样一个对计算机算法感兴趣的读者来说，是非常实用的内容。通过这些例子，我能够更清晰地认识到，离散数学不仅仅是理论研究，更是实际工程设计和优化的基石。

评分☆☆☆☆☆

我必须提到这本书在数学证明方面的处理方式，这对我来说是一次非常宝贵的学习经历。离散数学的魅力很大一部分在于其严谨的证明过程，而这本书在这方面做得非常出色。作者不仅给出了证明的结论，更重要的是，他详细地阐述了证明的思路、关键步骤以及每一步推理的依据。很多时候，我读其他书籍时，会发现证明过程过于跳跃，难以理解，或者直接给出“显然”的结论，让我无所适从。但这本书不同，它会耐心引导读者一步步思考，甚至在证明过程中加入一些“提示”或者“反思”，让你明白为什么需要这样做，以及这样做能带来什么。例如，在证明一个图论定理时，作者会先分析定理的条件和结论，然后提出一个初步的证明想法，接着指出这个想法的不足之处，并在此基础上进行修正和完善，最终得到一个完整的证明。这种“过程导向”的证明讲解，让我不仅学会了如何去证明，更重要的是学会了如何去“思考”如何证明。这对我以后独立解决数学问题，甚至进行科研都将大有裨益。书中的证明并非都是冰冷的逻辑堆砌，作者有时也会穿插一些历史背景或者有趣的典故，让证明的过程变得更加生动有趣，也更容易让人产生共鸣。这种人文关怀和学术严谨性的完美结合，是这本书最吸引我的地方之一。

评分☆☆☆☆☆

令我印象深刻的是，作者在解释某些抽象概念时，常常会引用一些“类比”或者“故事”。这些类比和故事，虽然不是严格的数学证明，但却能极大地帮助我建立直观的理解。例如，在讲解“有限状态自动机”时，作者会将其比作一个简单的电器开关，根据当前的输入信号，转换到不同的状态。又比如，在讲解“递归”思想时，作者会讲述一个著名的“俄国套娃”的故事，让抽象的递归过程形象化。这种“寓教于乐”的教学方法，让我能够轻松地理解那些原本可能令人生畏的抽象概念。而且，这些类比和故事往往非常贴切，能够准确地捕捉到概念的核心内涵，而不是简单地进行牵强的比喻。这充分体现了作者在教学上的功底和智慧。我发现，通过这些故事和类比，我能够更快速地建立起对概念的“感觉”，从而更容易地去理解和记忆它们。这不仅仅是记忆的技巧，更是思维方式的启发，让我能够从不同的角度去审视和理解数学问题。这种教学方式，对于激发学习兴趣，培养数学思维，具有不可估量的价值。

评分☆☆☆☆☆

这本书在逻辑结构的安排上，也给我留下了深刻的印象。它并不是简单地按照知识点的罗列来组织内容，而是将相关的概念有机地串联起来，形成一个完整的知识体系。例如，在讲解组合计数的部分，作者会首先介绍排列和组合的基本原理，然后逐步引入鸽巢原理、容斥原理等更高级的计数技巧。这些原理之间并不是孤立的，而是相互关联，相互促进的。学习完排列组合之后，再学习鸽巢原理，你会发现它其实是建立在排列组合基础之上的一个更有力的工具。这种循序渐进、由浅入深的讲解方式，让我能够更好地理解知识点之间的内在联系，从而形成更系统、更牢固的知识结构。而且，作者在过渡章节的处理上也做得非常流畅。每一个章节的结尾，都会巧妙地引出下一章节的内容，让你对接下来的学习充满期待，而不是感到突兀。这种“承上启下”的处理方式，使得整本书的阅读体验非常连贯，不会让你觉得是在跳跃式地学习。我还注意到，作者在讲解过程中，会反复强调一些核心概念和思想，并在不同的章节中以不同的方式进行应用，这有助于加深我对这些核心概念的理解和记忆。例如，关于“数学归纳法”的思想，在很多章节都会以不同的形式出现，无论是证明算法的正确性，还是分析序列的性质，都离不开它的身影。通过这种反复的强调和应用，让我深刻体会到了数学归纳法的普适性和重要性。

评分☆☆☆☆☆

这本书在对证明过程的刻画上，非常有“层次感”。它不像有些教材那样，直接给出最终的证明，而是会展示“发现证明”的过程。这对于我来说，是一种非常宝贵的学习体验。作者会先提出一个待证明的命题，然后引导我思考“如何证明？”，在这个过程中，作者会提出一些可能的证明思路，并分析这些思路的优缺点，甚至会展示一些“失败的尝试”。通过这种方式，我能够看到数学家是如何一步步逼近真相的，而不是仅仅看到一个已经完成的、完美的证明。这种“探索式”的学习方式，让我能够更好地理解证明的内在逻辑，以及数学思想的演进过程。我甚至会自己尝试着去寻找其他的证明方法，去验证书中的结论。这种主动参与的体验，极大地提升了我的学习积极性和独立思考能力。这本书不仅仅是传授知识，更重要的是传授一种“解决问题”的方法论，让我能够从中获得长久的启发。

评分☆☆☆☆☆

这本书在排版和视觉设计上也下了不少功夫，这对于一本学术书籍来说，是非常难得的。清爽的版式设计，清晰的字体选择，以及恰到好处的留白，都使得整本书在阅读起来非常舒适。我尤其欣赏书中对数学符号和公式的处理。复杂的数学公式被清晰地排版在页面的中央，重要的定义和定理则用醒目的字体或边框标出，方便我快速定位和回顾。此外，书中还使用了不同颜色来区分不同的内容，比如定义、定理、例子、证明等，这极大地提高了阅读效率，也让整本书看起来不那么单调。图示也是这本书的一大亮点。很多抽象的概念，通过精美的图示变得一目了然。比如，在讲解图论时，那些清晰准确的图例，让我瞬间就能理解顶点、边、路径等概念。在讲解集合关系时，维恩图的使用也恰到好处。这些图示不仅仅是装饰，更是重要的辅助理解工具，它们将文字描述中的模糊性降到最低，用直观的视觉语言传递信息。而且，图示的风格统一，给人一种专业、和谐的感觉。对于我这种视觉型学习者来说，这样的排版设计简直是太友好了，让我能够轻松地沉浸在知识的世界里，而不会因为阅读的障碍而感到疲惫。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，这本书在某些章节的难度上，确实是不小的挑战。但正是这种“有难度的挑战”，让我感受到了知识的深度和广度。作者在讲解某些高级概念时，会引入一些更深入的理论或者更复杂的例子，这需要读者具备一定的数学基础和良好的逻辑思维能力。我承认，在阅读这些章节时，我需要花费更多的时间和精力去理解，甚至需要查阅一些辅助资料。但是，当我最终克服困难，理解了那些概念时，所获得的成就感是无与伦比的。这种“挑战与回报并存”的学习体验，让我对离散数学这门学科产生了更深的敬畏和热爱。这本书并没有为了讨好读者而降低难度，而是坚持了学术的严谨性，这让我觉得它是一本真正有价值的参考书。我从中获得的不仅仅是知识，更是一种不断挑战自我、追求卓越的精神。我期待通过不断地学习和钻研，能够逐渐掌握这本书中更深奥的知识，并将其应用到我的学习和工作中。

评分☆☆☆☆☆

书终于到手了，现在可以自学了。

评分☆☆☆☆☆

下学期的课程，提前买了

评分☆☆☆☆☆

感觉比学校自己的教材好些。。

评分☆☆☆☆☆

很好看东西 很快的物流 京东一如既往好

评分☆☆☆☆☆

好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好。

评分☆☆☆☆☆

好像不是计算机类的离散数学，不过好像也能用，还不错

评分☆☆☆☆☆

下学期的课程，提前买了

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

决定经典，一定准备好好学习