現代微分幾何 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

孫和軍，趙培標 著

圖書標籤:

• 微分幾何
• 流形
• 拓撲
• 幾何
• 數學
• 高等教育
• 學術
• 理論
• 麯綫麯麵
• 黎曼幾何

齣版社： 電子工業齣版社

ISBN：9787121262722

版次：1

商品編碼：11753251

包裝：平裝

叢書名： 工業和信息化部“十二五”規劃教材

開本：16開

齣版時間：2015-08-01

用紙：膠版紙

頁數：214

字數：358000

正文語種：中文

內容簡介

　　《現代微分幾何》是“工業和信息化部‘十二五’規劃教材”。《現代微分幾何》針對理工科學生的特點和人纔培養的需要編寫，體現內容的完備性、易懂性、應用性、實踐性、文化性和前沿性。全書共6章，主要內容包括：麯綫與麯麵論，張量代數和外形式，微分流形，切嚮量場、單參數變換群與切叢，張量場、黎曼流形與列維-齊維塔聯絡，流形上的積分、微分算子和德拉姆上同調。《現代微分幾何》提供配套電子課件、MATLAB程序代碼等。

作者簡介

　　孫和軍，副教授，博士畢業於中國科學院數學與係統科學研究院，現任教於南京理工大學。美國數學會(AMS)會員，美國工業與應用數學會 (SIAM)會員；國際數學刊物美國《數學評論》(Mathematical Reviews)評論員；中國兵工學會會員。長期講授研究生基礎課現代微分幾何、黎曼幾何導論，本科生公共基礎課高等數學、綫性代數等。本課程被評為江蘇省2010年研究生精品課程“現代微分幾何”，“現代微分幾何”多媒體課件在教育部舉辦的第十屆全國多媒體課件大賽高教理科組中獲得三等奬。

內頁插圖

目錄

第1章 麯綫與麯麵論
1.1 度量空間與歐氏空間
1.1.1 度量空間
1.1.2 嚮量空間
1.1.3 仿射空間
1.1.4 歐氏空間
1.1.5 等距變換
1.2 三維歐氏空間中的嚮量代數和嚮量分析
1.2.1 三維歐氏空間中的嚮量及其運算
1.2.2 嚮量函數和嚮量分析
1.2 笛卡兒生平及學術貢獻
1.3 麯綫論概述
1.3.1 麯綫的錶示
1.3.2 空間麯綫的基本三棱形
1.3.3 麯綫的麯率、撓率和費雷內公式
1.3 歐拉生平及學術貢獻
1.4 麯麵論概述
1.4.1 麯麵的錶示
1.4.2 麯麵的定嚮
1.4.3 麯麵的第一基本形式
1.4.4 麯麵的第二基本形式
1.4.5 麯麵的麯率
1.4 高斯生平及學術貢獻
1.5 基於MATLAB的幾何圖形繪製和數值計算
1.5.1 MATLAB用戶環境介紹
1.5.2 基於MATLAB的平麵麯綫繪製
1.5.3 基於MATLAB的空間麯綫繪製
1.5.4 基於MATLAB的麯麵繪製
1.5.5 基於MATLAB的微分幾何數值計算
習題

第2章 張量代數和外形式
2.1 對偶空間與多重綫性函數
2.1.1 對偶空間
2.1.2 多重綫性函數
2.2 張量與張量代數
2.2.1 張量及其錶示
2.2.2 張量積和張量代數
2.2.3 張量的縮並運算
2.2.4 度量張量、指標的提升和下降
2.3 對稱張量和反對稱張量
2.3.1 對稱與反對稱張量
2.3.2 對稱化與反對稱化算子
2.4 外形式與外代數
2.4.1 外形式
2.4.2 外積
2.4.3 外形式空間和外代數
2.4.4 外形式的性質
2.4 嘉當生平及學術貢獻
習題

第3章 微分流形
3.1 拓撲學基本概念
3.1.1 拓撲空間
3.1.2 拓撲空間的子集
3.1.3 拓撲空間的映射
3.1.4 拓撲不變性
3.2 微分流形
3.2.1 拓撲流形
3.2.2 微分流形
3.2.3 微分流形的例子
3.2 黎曼生平及學術貢獻
3.3 光滑映射和微分同胚
3.3.1 流形間的光滑映射
3.3.2 微分同胚
3.3 惠特尼生平及學術貢獻
3.4 切嚮量與餘切嚮量
3.4.1 切嚮量與切空間
3.4.2 餘切嚮量和餘切空間
3.4.3 誘導切映射和誘導餘切映射
3.5 子流形和帶邊流形
3.5.1 浸入與嵌入
3.5.2 開子流形和閉子流形
3.5.3 嵌入定理
3.5.4 帶邊流形和閉流形
3.5 納什生平及學術貢獻
習題

第4章 切嚮量場、單參數變換群與切叢
4.1 切嚮量場和泊鬆括號積
4.1.1 切嚮量場
4.1.2 李代數與泊鬆括號積
4.1.3 微分流形上的對閤分布
4.1.4 誘導切映射與泊鬆括號積運算的可交換性
4.2 單參數變換群和李導數
4.2.1 單參數變換群
4.2.2 單參數變換群的誘導光滑切嚮量場
4.2.3 李導數
4.3 嚮量叢和切叢
4.3.1 嚮量叢
4.3.2 切叢和餘切叢
4.3 陳省身生平及學術貢獻
習題

第5章 張量場、黎曼流形與列維-齊維塔聯絡
5.1 光滑張量場
5.1.1 光滑張量場
5.1.2 張量場的李導數
5.2 單位分解定理、黎曼流形和僞黎曼流形
5.2.1 單位分解定理
5.2.2 黎曼流形
5.2.3 僞黎曼流形
5.2 愛因斯坦、廣義相對論與黎曼幾何
5.3 外微分式及外微分
5.3.1 外微分式
5.3.2 外微分
5.3.3 流形間光滑映射的誘導映射
5.4 仿射聯絡和列維-齊維塔聯絡
5.4.1 仿射聯絡和仿射聯絡空間
5.4.2 撓率張量和撓率形式
5.4.3 列維-齊維塔聯絡
5.4.4 協變微分
5.4 列維-齊維塔生平及學術貢獻
5.5 黎曼麯率和結構方程
5.5.1 平行移動和測地綫
5.5.2 仿射聯絡的麯率張量和麯率形式
5.5.3 黎曼麯率張量、截麯率和常麯率空間
5.5.4 黎曼流形的結構方程
5.5.5 裏奇麯率和數量麯率
5.5.6 愛因斯坦流形和卡拉比-丘流形
習題

第6章 流形上的積分、微分算子和德拉姆上同調
6.1 流形的定嚮、流形上的積分和斯托剋斯定理
6.1.1 流形的定嚮
6.1.2 光滑流形上的積分
6.1.3 黎曼流形上的積分
6.1.4 斯托剋斯定理
6.2 黎曼流形上的微分算子
6.2.1 霍奇星算子
6.2.2 散度算子和梯度算子
6.2.3 餘微分算子
6.3 霍奇-德拉姆算子、拉普拉斯-貝爾特拉米算子及其特徵值
6.3.1 霍奇-德拉姆算子和拉普拉斯-貝爾特拉米算子
6.3.2 拉普拉斯算子的特徵值
6.3 貝爾特拉米生平及學術貢獻
6.4 德拉姆上同調和霍奇分解定理
6.4.1 德拉姆上同調
6.4.2 霍奇分解定理及其應用
6.4.3 龐加萊對偶定理
6.4 德拉姆生平及學術貢獻
習題

名詞索引
人名索引
參考文獻

前言/序言

　　“微分幾何”在我國研究生數學教育課程體係中占據著重要地位，它承擔著嚮研究生普及現代數學知識、培養學生數學思維和創新能力的重要功能。隨著我國建設創新型步伐的加快，創新型人纔培養的客觀需要、學生知識背景和需求的變化都對研究生微分幾何課程的教學提齣瞭新的要求。在主持江蘇省高等教育學會“十二五”高等教育科學研究規劃課題、江蘇省研究生教育教學改革研究與實踐課題、南京理工大學研究生課程教學模式改革項目、南京理工大學高等教育教學改革研究課題的過程中，第一作者對“現代微分幾何”課程的教學內容和教學方法做瞭一係列的改革嘗試。本書是作者在多年講授的“現代微分幾何”課程的教案基礎上，結閤相關教學改革實踐編寫而成的。“工業和信息化部‘十二五’規劃教材”項目為本書的齣版提供瞭契機。本書可供理工科高等學校的數學、物理、計算機設計、圖形處理等專業的研究生和高年級本科生作為學習現代微分幾何、微分流形的課程教材使用，也可供數學工作者參考使用。針對理工科學生的特點和人纔培養的需要，本書注意體現內容的完備性、易懂性、應用性、實踐性、文化性和前沿性。
　　第一，為瞭增強教材內容的完備性、提高教材的適用性，本書整閤瞭麯綫論、麯麵論的主乾內容和拓撲學的基本概念。本書內容可以分為古典微分幾何和現代微分幾何兩部分：第一部分也就是本書的第1章，著重介紹古典微分幾何的麯綫和麯麵主乾理論，還包括公理化方法建立的歐氏空間的概念、嚮量代數和嚮量分析內容。第二部分是本書的第2~6章，介紹的是現代微分幾何的基本概念、思想和方法，主要內容包括張量、外形式、微分流形、子流形、切嚮量場、單參數變換群、切叢、張量場、黎曼流形、協變微分、外微分式、流形上的積分、斯托剋斯定理、流形上的微分算子、拉普拉斯算子的特徵值、德拉姆上同調和霍奇分解定理等。我們希望通過這樣的內容安排，能讓具有微積分知識基礎的讀者自然地由古典微分幾何進入現代微分幾何。考慮到近年來許多理工科數學專業的研究生並沒有古典微分幾何的知識基礎，以及服務於高年級本科生選修的需要，這樣的安排還是有所裨益的。事實上，古典微分幾何的麯綫和麯麵是現代微分幾何中流形的低維例子，其概念和性質是研究和理解流形有關概念和性質不可或缺的基礎。縱觀全書，我們也希望通過這樣的安排，可以為讀者呈現幾何學從歐氏幾何、空間解析幾何、古典微分幾何直到現代微分幾何的曆史發展脈絡和理論體係。
　　第二，為瞭加強教材內容的實踐性，本書在第1章中安排瞭基於MATLAB的幾何圖形繪製的內容。這既是為瞭發揮數學軟件在繪製幾何圖形方麵的優勢，幫助我們理解麯綫、麯麵和流形等微分幾何研究對象的概念和性質，也是為瞭順應數學軟件普及和使用增加的趨勢，提高理工科學生使用數學軟件的能力。

好的，這裏為您提供一份關於《現代微分幾何》的圖書簡介，這份簡介將詳細闡述該領域的核心內容、重要性以及它如何與代數、拓撲等數學分支交織融閤，同時避免提及您指定的書名或任何錶明是人工智能生成的痕跡。 --- 數學的前沿：流形、張量與拓撲的交匯 這是一部深入探索現代幾何學核心概念與應用的大部頭著作。本書旨在為讀者構建一個堅實而精妙的數學框架，用以理解空間、結構和運動的本質。它不僅僅是對傳統歐幾裏得幾何學的延伸，更是一場橫跨拓撲學、代數、分析學和物理學的深刻數學旅程。 第一部分：基礎構建——從拓撲到光滑 本書的開篇立足於現代數學中最基礎的結構概念：拓撲空間。我們將從直觀的集閤與映射齣發，逐步引入開集、閉集、緊緻性、連通性等核心概念。這些概念是理解任何“空間”——無論其是否具有度量——的先決條件。我們探討如何通過拓撲結構來區分不同的空間形態，比如判斷一個甜甜圈是否能被拓撲地等價於一個咖啡杯。 然而，拓撲學描述的“軟”結構往往不足以捕捉我們通常所關心的、具有局部平坦性質的幾何對象。因此，本書迅速過渡到“光滑結構”的引入。這裏，流形（Manifolds）的概念被隆重推齣。流形是現代幾何學的基石，它允許我們將局部視為歐幾裏得空間（即 $mathbb{R}^n$），從而在局部應用微積分工具，同時在整體上維持復雜的拓撲形態。 我們將詳細解析圖冊（Atlas）和坐標變換（Transition Maps）的嚴格定義。關鍵在於，這些變換必須是光滑的（可無限次求導），這使得我們可以將經典分析工具移植到彎麯的空間之上。從零維的離散空間到一維的麯綫，再到二維的麯麵，直至高維的抽象流形，我們係統地建立起微分流形的完整定義。 第二部分：切空間、嚮量場與微分形式 一旦確立瞭光滑流形的框架，下一步就是引入“運動”和“變化”的度量工具——切空間（Tangent Space）。切空間是流形上每一點“可能移動方嚮”的嚮量空間。它是將綫性代數工具錨定到彎麯幾何上的關鍵橋梁。本書將精確定義切嚮量，並展示如何利用導數的定義來構造切空間結構。 基於切空間，我們得以定義嚮量場（Vector Fields）。嚮量場描述瞭流形上每一點的局部速度或方嚮的分配，它是描述流體運動、電磁場或動力係統演化的語言。隨後，我們將探索張量（Tensors）的代數結構。張量是多重綫性映射的推廣，是連接不同切空間之間關係的強大工具。我們將深入剖析協變張量（如微分形式）和逆變張量（如切嚮量）的區分，以及它們在坐標變換下的行為法則。 微分形式（Differential Forms）是本書介紹的另一核心工具。它們是高階的反稱（楔積）綫性泛函，構成瞭外微分代數的基礎。我們詳細闡述瞭外微分算子 ($d$)，它是經典梯度、鏇度和散度的統一推廣。外微分的引入不僅為微積分提供瞭優雅的符號係統，更為後續的拓撲學應用（如德拉姆上同調）鋪平瞭道路。 第三部分：度量、聯絡與測地綫 幾何學不僅僅關注空間形態，更關注“距離”和“彎麯”的量化。本部分引入瞭黎曼幾何（Riemannian Geometry）的核心——黎曼度量（Riemannian Metric）。度量是一個定義在每一點切空間上的正定二次型張量，它允許我們在流形上定義長度、角度和體積。 在此基礎上，我們麵臨一個深刻的問題：如何定義流形上兩個點之間的“直綫”？因為空間本身是彎麯的，歐幾裏得幾何中的直綫概念不再適用。答案是通過聯絡（Connection），特彆是列維-奇維塔聯絡（Levi-Civita Connection）。聯絡定義瞭如何在相鄰切空間之間“平行地”移動嚮量，從而實現平行移動（Parallel Transport）的概念。 聯絡的引入直接導嚮瞭測地綫（Geodesics）——即局部上最短的麯綫，它們是彎麯空間中的“直綫”。我們將推導齣測地綫方程，並展示如何在度量結構下確定這些路徑。 最終，我們引入瞭衡量空間局部彎麯程度的關鍵量：黎曼麯率張量（Riemann Curvature Tensor）。我們將剖析麯率的幾何意義，例如，通過計算圍繞一小塊區域平行移動嚮量所産生的鏇轉角度來理解麯率。麯率張量是描述空間結構復雜性的終極代數描述符。 第四部分：拓撲與分析的融閤 現代幾何學的力量在於其與拓撲學的深刻聯係。本書將展示微分結構如何揭示深層次的拓撲不變量。 我們將介紹德拉姆上同調（de Rham Cohomology）。通過利用外微分算子 $d$ 的性質（特彆是 $d^2 = 0$），我們可以構造齣衡量流形“洞”的代數不變量。我們論證瞭閉微分形式模去恰當微分形式的空間，精確地捕捉瞭流形的拓撲結構。這完美地統一瞭分析工具（微分）與拓撲結果（上同調群）。 此外，本書還將涉及重要的拓撲-幾何定理，例如高斯-邦內定理（Gauss-Bonnet Theorem），它建立瞭麯麵上積分麯率（幾何量）與拓撲不變量（歐拉示性數）之間的驚人關係。 應用與展望 本書的討論貫穿始終地指嚮實際應用。從經典的經典力學（哈密頓係統與辛幾何）到現代物理學（廣義相對論中的時空幾何），再到場論和拓撲場論，微分幾何的語言是描述自然界基本規律的通用工具。讀者將掌握用張量和流形語言來精確錶述物理定律的能力，理解麯率如何決定物質的運動，以及拓撲結構如何約束瞭可能的物理模型。 這是一本需要深厚微積分和綫性代數基礎的著作，它要求讀者具備抽象思考的能力，並將之視為通往更高階數學和理論物理殿堂的鑰匙。它提供的不僅僅是工具，更是一種看待空間與結構本質的全新視角。

評分☆☆☆☆☆

不得不說，這本書的寫作風格非常獨特，與我之前接觸過的同類書籍截然不同。作者在文字的運用上，展現齣瞭極高的技巧和深厚的功底。它不像一些教科書那樣，上來就是冷冰冰的定義和冗長的定理，而是用一種非常“有人情味”的語言，娓娓道來。我特彆欣賞書中對一些核心概念的引入方式，不是直接拋齣數學公式，而是先從物理直覺或者更易理解的幾何場景齣發，層層遞進，引導讀者自己去發現和構建數學模型。這種“引導式”的學習過程，讓我感覺自己不是被動地接受知識，而是主動地參與到數學的創造過程中。例如，在講解張量場時，書中沒有立刻陷入張量代數的復雜運算，而是先從物理學中矢量場和力場的概念齣發，逐步引申齣更高階的張量概念，讓讀者能更自然地理解其物理意義和數學本質。書中對一些重要定理的證明，也處理得相當到位，既保留瞭嚴謹性，又避免瞭不必要的繁瑣，讓我能清晰地把握住證明的邏輯脈絡。讀這本書，就像在和一位睿智的長者進行一場深入的學術對話，每一次的閱讀，都能獲得新的啓發和感悟。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數學研究有一定興趣的讀者，我一直在尋找一本能夠真正幫助我建立起紮實現代微分幾何基礎的參考書。《現代微分幾何》在這方麵無疑給瞭我巨大的驚喜。它不僅僅是知識的羅列，更重要的是，它在構建完整的數學體係上下瞭很大的功夫。從基礎的拓撲空間、微分流形，到後續的切叢、餘切叢、聯絡，再到更高級的麯率、黎曼度量等，每一個概念的引入都顯得順理成章，前後呼應。作者非常注重概念之間的內在聯係，以及它們在不同數學分支（如代數拓撲、微分方程、物理學）中的應用。這一點對我來說尤為重要，因為它讓我看到瞭微分幾何不僅僅是一個獨立的數學領域，更是連接諸多學科的重要橋梁。書中在介紹新概念時，常常會迴顧之前學過的知識，或者提前鋪墊未來將要學習的內容，使得整個學習過程充滿瞭連貫性。另外，書中提供的習題也很有代錶性，它們不僅能幫助我鞏固所學知識，更能引導我思考更深層次的問題，激發我進一步探索的欲望。這本書就像一本詳盡的“地圖冊”，為我在廣闊的現代微分幾何領域指明瞭方嚮。

評分☆☆☆☆☆

這本書真是打開瞭我對數學世界的新視角！一直以來，我對“抽象”的概念總有點望而卻步，總覺得數學是冰冷而難以接近的。但《現代微分幾何》完全顛覆瞭我的認知。它用一種極其生動、甚至可以說是充滿詩意的方式，將那些原本隻存在於符號和公式中的概念具象化瞭。比如，書中對流形的描述，不再是枯燥的定義堆砌，而是像在描繪一張精美的地圖，讓我們能直觀地感受到空間是如何彎麯、如何“形變”的。當我讀到麯率的概念時，書中那種將切嚮量場在流形上“平行移動”的直觀比喻，瞬間就點亮瞭我大腦中的那個模糊的概念。作者仿佛一位經驗豐富的嚮導，帶著我在高維度的空間中漫步，每一次的轉摺，每一次的彎麯，都伴隨著精彩的講解和巧妙的類比。讀這本書，不僅僅是在學習知識，更像是在經曆一場思想的探索之旅，讓我對宇宙的本質、空間的奧秘有瞭更深層次的理解。我尤其喜歡其中關於黎曼幾何的部分，它不再是枯燥的公理證明，而是通過對測地綫、麯率張量的細緻刻畫，展現瞭空間內在的幾何結構，讓人不禁感嘆數學的強大與美麗。這本書不僅僅是給數學專業的學生看的，任何對理解世界有好奇心的人，都應該來領略一下它帶來的震撼。

評分☆☆☆☆☆

這本書的內容實在是太豐富、太有啓發性瞭！我從這本書中獲得的不僅僅是知識，更重要的是一種全新的數學思維方式。作者在講解過程中，非常注重培養讀者的“幾何直覺”，而不是簡單地堆砌公式。通過大量的幾何圖形、直觀的類比以及精心設計的例子，讓原本抽象的數學概念變得鮮活起來。我特彆喜歡書中關於“光滑映射”和“微分同胚”的討論，它不是停留在符號層麵，而是通過對函數的“局部綫性化”和“保持空間結構”的描述，讓我們能夠深刻理解這些概念的本質。書中對“張量分析”的引入也處理得非常精彩，它不是一開始就陷入復雜的張量運算，而是從嚮量和綫性映射的概念齣發，逐步引導讀者理解張量的多綫性結構，並最終將其應用於微分幾何的各個方麵。每一次閱讀，都能感受到作者在知識的組織和呈現上的用心良苦，每一個章節的安排都恰到好處，讓學習過程流暢而富有成效。這本書不僅讓我對現代微分幾何有瞭更深刻的認識，也極大地拓展瞭我對數學的理解和欣賞能力。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我之前對高等數學領域一直感到有些力不從心，尤其是那些涉及到復雜幾何結構的理論。然而，《現代微分幾何》這本書的齣現，徹底改變瞭我的看法。它以一種令人耳目一新的方式，將原本晦澀難懂的概念變得觸手可及。作者的筆觸非常細膩，對於每一個數學對象的幾何意義和直觀理解，都進行瞭深入淺齣的闡述。我尤其對書中關於“聯絡”的講解印象深刻，它不像我想象中的那樣是冰冷的代數工具，而是被描繪成一種“在流形上衡量嚮量方嚮如何變化”的“標尺”，這種形象的比喻極大地降低瞭我的理解門檻。此外，書中還巧妙地融入瞭一些物理學的視角，比如將微分幾何的工具應用於廣義相對論中，這讓我看到瞭數學的實用價值，也讓我更加堅定瞭繼續學習下去的決心。本書在邏輯結構的安排上也十分精妙，從基礎的代數結構齣發，逐步過渡到幾何概念，再到微積分和拓撲的應用，整個過程層層遞進，清晰明瞭。讀這本書，我感覺自己不僅僅是在學習數學，更是在培養一種解決問題的數學思維方式。

評分☆☆☆☆☆

與陳維桓編寫的微分幾何相比，後者在麯綫論，麯麵論方麵沒有前者論述詳盡！

評分☆☆☆☆☆

讓人傢裏哥哥發我郵箱裏

評分☆☆☆☆☆

書言簡意賅，難度適中，是本好書，值得推薦

評分☆☆☆☆☆

與陳維桓編寫的微分幾何相比，後者在麯綫論，麯麵論方麵沒有前者論述詳盡！

評分☆☆☆☆☆

內容編排的還不錯，就是有些錯誤。

評分☆☆☆☆☆

好好好

評分☆☆☆☆☆

發貨好快。讀起來，清晰易懂。包含的數學傢的生平故事和背景材料讓微分幾何理論變得有趣多瞭。從這本書可以看到從古典到現代幾何發展的一些曆史和重要的基本知識。

評分☆☆☆☆☆

發貨好快。讀起來，清晰易懂。包含的數學傢的生平故事和背景材料讓微分幾何理論變得有趣多瞭。從這本書可以看到從古典到現代幾何發展的一些曆史和重要的基本知識。

評分☆☆☆☆☆

與陳維桓編寫的微分幾何相比，後者在麯綫論，麯麵論方麵沒有前者論述詳盡！