高等数学典型问题与应用案例剖析（下册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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张志海，范杰，刘晓辉，刘立民 等 编

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• 高等数学
• 数学分析
• 微积分
• 应用案例
• 问题求解
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• 教材
• 理工科
• 考研
• 大学教材

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030448279

版次：1

商品编码：11754102

包装：平装

丛书名： 普通高等教育”十二五“规划教材普通高等学校数学教学丛书

开本：32开

出版时间：2015-08-01

页数：240

正文语种：中文

内容简介

《高等数学典型问题与应用案例剖析.下册》按照教育部颁发的《数学课程教学基本要求》和《全国工学、经济学硕士研究生入学考试数学考试大纲》，认真总结多年来积累的教学和考研辅导经验，通过对教学内容的分析、总结，对题型和具体题目的认真筛选编写而成.
《高等数学典型问题与应用案例剖析.下册》分上、下两册,下册共11讲.每讲基本包括考纲要求、基本概念、常用性质及结论、常见问题和处理方法及技巧、解题应注意的问题,并通过案例对其如何用于求解具体问题进行体验和说明,以达到揭示解题规律，归纳、总结解题方法的目的.

目录

目录
前言
第六章不定积分1
习题课14不定积分的概念及计算1
第七章定积分16
习题课15定积分及其计算16
习题课16广义积分34
第八章定积分应用41
习题课17定积分应用41
第九章重积分46
习题课18二重积分及其计算46
习题课19三重积分计算及重积分应用61
第十章曲线积分与曲面积分74
习题课20曲线、曲面积分74
第十一章无穷级数96
习题课21常数项级数审敛法96
习题课22幂级数121
习题课23函数的傅里叶级数展开142
第十二章微分方程149
习题课24微分方程的类型及相应解法149
附录高等数学同步练习册（下）习题答案177

精彩书摘

第六章不定积分
《考纲》要求
原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分的换元法和分部积分法，有理函数，三角有理式和简单无理式的积分方法.
习题课14 不定积分的概念及计算
一、 基本概念及注释
原函数
定义 设函数f（x）是定义在某区间I上的函数，若存在F（x），使得�衳∈I，有F′（x）=f（x），则F（x）称为f（x）在区间I上的一个原函数.该定义提供了判别一个函数是否为f（x）的原函数的标准，但非构造性，即未给出求原函数的方法.
注1 f（x）的原函数与区间I有关，同一个函数f（x）在不同的区间上的原函数也不尽相同.例如，设函数f（x）=x+1，x>0，sinx，x≤0.
则函数在区间（0，+∞）上的一个原函数为（x+1）22，而在区间（-∞，0］上的一个原函数为-cosx.
注2 同一区间上，f（x）的原函数之间仅相差一常数.
注3 f（x）的原函数F（x）在区间I上连续、可导.
注4 f（x）的原函数全体所成的函数族F（x）+C称为函数f（x）在区间I上的不定积分，记为
其中，F（x）+C只是函数族F（x）+C的一种记法，此记法的优点是可以摆脱集合的繁杂运算，而将不定积分的运算在函数族的意义下归结为函数间的运算.
注5 区间I上的连续函数必存在原函数，其一可表为∫xaf（x）dx，a，x∈I.
由原函数和不定积分的概念，结合求导运算及结果，不难获得不定积分的运算性质和一些基本求积公式.
二、 求不定积分的方法
1. 分段函数不定积分的求法
2. 一般地，先根据各区间段上的函数表达式，求出相应区间段的不定积分，再根据函数在整个区间上的原函数是连续函数的性质，实现各区间段上的不定积分中常数的统一.
例1设函数
求函数的不定积分.
解当0≤x≤1时，且
由原函数的连续性可知，故所求不定积分为
例2设
解因为
所以，当x≤0时，
3. 求不定积分的直接法
利用初等数学手段，如加一项减一项、恒等转换、分解、组合等化简被积函数，使之能够直接利用基本求积公式及已得积分结果.
例3求下列函数的不定积分.
第一换元积分法 （凑微法）该法针对fg（x）dx直接积分困难，而被积函数
此时
凑微法作为一重要的积分方法，其应用的基础是熟记基本求积公式，熟悉以往的函数求导结果的表达式结构，善于总结已得积分结果的被积函数类型.常见的几种凑微分的形式如下.
.例4求下列不定积分.
凑微法的运行并不是孤立的，往往与其他方法结合起来使用.
例5求下列不定积分.
第二换元积分法该法运行的步骤是：寻求适当的变换进行如下换元对变换u=�迹▁）的要求是：u=（x）在相应的区间上单调、可导，且f（x）≠0，该法运行的难度是变换的适当选取.常用的变换有如下几种.
（1） 三角函数代换.
使用的对象是被积函数中有根式，目的是通过三角函数代换去掉根式.
例6求下列不定积分

前言/序言

探索物理世界的奥秘：经典力学与热力学前沿研究 一部深入浅出、面向研究人员与高年级本科生的理论力学与统计物理学著作 本书特色： 本书聚焦于理论力学和统计物理学的核心概念与前沿应用，旨在为读者构建坚实的理论框架，并引导其探索复杂物理系统的动态行为与热力学性质。全书内容组织严谨，从基础原理出发，逐步深入到更精妙的数学描述和更具挑战性的物理模型。我们避免了对基础微积分和初级代数的赘述，而是将重点放在如何运用高级数学工具（如张量分析、变分原理、李群理论的初步应用）来解决复杂的物理问题。 第一部分：高级理论力学——从牛顿到拉格朗日与哈密顿 本部分重构了经典力学的基本叙事，着眼于从不同的数学视角理解物体的运动规律。 第一章：欧拉-拉格朗日方程的严谨推导与应用 本章首先回顾了达朗贝尔原理在保守系统中的应用，随后详细阐述了最小作用量原理（Hamilton's Principle）的物理意义及其在构造拉格朗日量（Lagrangian）时的普适性。我们着重探讨了约束条件的引入与处理，特别是第二类拉格朗日力学中对拉格朗日乘子法的细致解析。 变分原理的数学基础： 深入探讨了泛函求极值的方法，包括欧拉-泊松方程的推导及其在经典场论中的初步体现。 守恒律的统一表述： 运用诺特定理（Noether's Theorem）的初级形式，清晰展示了时间平移不变性对应能量守恒，空间平移不变性对应动量守恒，以及空间旋转不变性对应角动量守恒的深刻联系。 应用案例分析（非刚体系统）： 详细解析了耦合振子系统的正常模态分析，特别是对于包含非线性项（如$lambda x^3$或$alpha x^4$）的系统，如何利用微扰理论求解近似解。 第二章：哈密顿力学——相空间的几何视角 哈密顿力学被视为经典力学的终极形式，是通往量子力学不可或缺的桥梁。本章致力于揭示相空间（Phase Space）的几何结构。 勒让德变换与哈密顿量构造： 详细讲解了从拉格朗日量到哈密顿量的数学转换，并强调了正则坐标与正则动量在相空间中的物理意义。 泊松括号（Poisson Brackets）及其代数结构： 深入探讨了泊松括号的定义、性质（反对称性、雅可比恒等式），并将其与李代数（Lie Algebra）的初步概念联系起来。我们展示了如何利用泊松括号来判断守恒量（$mathrm{d}A/mathrm{d}t = {A, H} + partial A/partial t$）。 正则变换与辛结构： 介绍了生成函数（Generating Functions）的概念，并着重阐述了正则变换保持泊松括号不变性的辛（Symplectic）几何性质。这部分内容为理解相空间的拓扑结构至关重要。 哈密顿-雅可比方程： 求解复杂约束系统（如高速旋转体）的有力工具。本章详细演示了如何利用分离变量法和特征函数法求解该偏微分方程。 第三部分：分析力学的高级拓展与应用 本部分将理论力学框架拓展至更广阔的物理领域，特别是涉及到连续介质和电动力学的耦合系统。 第三章：刚体动力学与欧拉方程的深入剖析 不同于初级教材仅限于求解欧拉角，本章侧重于刚体运动的内在对称性。 转动惯量张量： 详细讨论了惯量张量的二次型性质，主轴（Principal Axes）的确定，以及惯量张量在不同坐标系下的变换规律。 欧拉运动方程的向量形式与张量形式： 强调了$mathbf{L} = mathbf{I}oldsymbol{omega}$在非惯性系中的适用性及其局限。我们通过分析角动量守恒的条件，探讨了陀螺仪进动（Precession）的精确解。 陀螺运动的稳定性分析： 运用能量分析法，结合雅可比椭圆函数，分析了慢旋转、快旋转以及中间旋转（如哑铃问题）的稳定性判据。 第四章：连续介质中的场论基础——变分与波动 本章开始向场论过渡，以流体力学和弹性力学中的基本方程为例，展示拉格朗日形式在连续系统中的威力。 场变量与作用量密度： 将拉格朗日量推广为拉格朗日密度（Lagrangian Density），引入了场变量$phi(mathbf{r}, t)$。 连续介质的欧拉-拉格朗日方程： 推导出描述无粘性流体运动的欧拉方程，并展示其守恒律（质量、动量、能量）的结构。重点讨论了涡旋运动的特点及其在流场中的传播。 波动方程的变分原理： 从最小作用量原理出发，独立推导出经典的波动方程，并讨论了色散关系（Dispersion Relation）的物理含义。 第二部分：统计物理学导论——从微观到宏观的桥梁 本部分旨在提供一个清晰、现代的统计物理学基础，为理解凝聚态物理和非平衡态过程打下基础。 第五章：概率、涨落与信息论基础 统计物理的基石在于概率论和信息论。 系综理论的精确界定： 详尽区分了微正则系综（Microcanonical）、正则系综（Canonical）和巨正则系综（Grand Canonical）的适用场景。重点阐述了微正则系综中相空间体积的计算方法，特别是对于玻尔兹曼熵公式 $S = k_B ln Omega$ 的严格性讨论。 配分函数（Partition Function）的解析： 深入探讨了配分函数作为连接微观与宏观的“万能函数”。展示了如何利用其对温度的偏导数来获取内能、比热等热力学量。 涨落现象的量化： 利用正则系综，精确计算了能量的均方涨落 $langle (Delta E)^2 angle$。通过分析涨落与系统尺寸的关系，定量说明了宏观热力学极限的形成过程。 第六章：经典统计力学的高级应用 本章侧重于具有特定相互作用的经典系统的精确解。 理想气体与非理想气体： 除了回顾理想气体的特性，本章重点分析了范德华（Van der Waals）气体的有效相互作用。详细推导了其临界点的热力学判据，并讨论了临界指数的实验观测与理论预测。 玻尔兹曼分布在势场中的应用： 针对引力场或电场中的粒子分布，推导出泊松-玻尔兹曼方程（Poisson-Boltzmann equation）的简化形式，用于描述电解质溶液的结构。 蒙特卡洛方法与模拟（方法论介绍）： 简要介绍马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）和Metropolis算法的基本流程，说明它们如何用于评估那些解析解难以得到的积分（如配分函数）。 第七章：量子统计物理的初步探索 过渡到量子统计，理解费米子和玻色子的行为差异。 费米-狄拉克与玻色-爱因斯坦分布： 严格推导了这两种分布函数，并阐明了它们在化学势（Chemical Potential）控制下的物理图像。 电子系统的应用： 详细分析了费米气体在绝对零度下的性质，包括费米能级（Fermi Energy）、平均能量以及简并压力。这部分内容为理解金属的电学和磁学性质奠定基础。 玻色爱因斯坦凝聚（BEC）的阈值分析： 针对理想玻色气体，计算出发生凝聚的临界温度 $T_c$ 的精确公式，并讨论了凝聚态中零点能量（Zero-Point Energy）的影响。 总结与展望： 本书旨在为读者提供一套连贯且富有挑战性的分析工具。理论力学部分侧重于抽象的数学结构与对称性，而统计物理部分则强调如何通过概率与统计规律来连接微观粒子行为与宏观可测量性质。全书大量采用自洽的数学推导和具有启发性的物理实例，旨在培养读者独立分析复杂物理系统的能力。本书的读者应具备扎实的微积分基础、线性代数知识，并对常微分方程和偏微分方程有初步的接触。

评分☆☆☆☆☆

接触到这本《高等数学典型问题与应用案例剖析（下册）》之后，我对高等数学的学习热情可以说是被彻底点燃了。之前，我总觉得高等数学是个枯燥的学科，充满了各种抽象的符号和复杂的公式，学起来很吃力，也很容易产生畏难情绪。但是，这本书的“应用案例”部分，彻底颠覆了我的认知。它把那些抽象的数学理论，与现实生活中的各种现象巧妙地结合起来，比如在物理学中的一些力学问题、电磁学现象，或者经济学中的模型分析，甚至是一些工程技术领域的应用，都用到了高等数学的知识。最让我印象深刻的是，它通过一个具体的案例，比如如何用积分计算不规则图形的面积，或者如何用微分方程描述人口增长模型，来讲解相关的数学概念。这种“从应用到理论”的学习方式，让我更能体会到高等数学的强大力量和实用价值。它不再是孤立的知识点，而是解决实际问题的有力工具。读完这些案例，我不仅巩固了理论知识，更重要的是，我看到了学习高等数学的意义和目标，这让我非常有学习的动力。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本《高等数学典型问题与应用案例剖析（下册）》后，我最大的感受就是这本书真正地做到了“由浅入深，由易到难”。它在引入每一个新的数学概念时，都会先从最基础、最直观的例子开始，让我能够快速建立起对这个概念的初步认识。然后，它会逐步引入更复杂、更具挑战性的“典型问题”，并通过详细的步骤解析，一步步引导我掌握解决这类问题的关键技巧。这种循序渐进的学习方式，让我感觉学习过程非常顺畅，不会产生突兀感。而且，书中对于一些容易混淆的概念，比如定积分与不定积分的区别，级数的收敛与发散的判定，微分方程的求解方法等，都进行了非常清晰的梳理和对比，这极大地减少了我的困惑。我特别欣赏书中对“应用案例”的选取，这些案例都非常贴近实际，能够让我看到数学知识在不同领域的实际应用，这无疑增加了学习的趣味性和目的性。总的来说，这是一本非常扎实、非常实用的高等数学学习辅助书籍。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，学习高等数学最难的不是记住公式，而是理解公式背后的推导过程以及它们是如何应用的。很多时候，我们在课堂上学到的理论知识，一旦放到实际的习题中，就会发现应用起来非常困难。《高等数学典型问题与应用案例剖析（下册）》这本书在这方面做得非常到位。它把那些看似分散的知识点，通过“典型问题”串联起来，并且非常注重解题思路的展示。它不是简单地给出一个答案，而是会详细分析为什么选择这个方法，这个方法有什么优缺点，以及在遇到变种题目时如何灵活调整。尤其是一些涉及到多重积分、曲线积分、曲面积分这类比较抽象的概念，书中的案例分析能够帮助我直观地理解它们的几何意义和物理意义。我特别喜欢它对一些经典问题的不同解法进行比较，这样可以让我看到数学的灵活多样性，并且学习到如何选择最优的解题策略。这本书对于提升我的解题能力和数学思维非常有帮助。

评分☆☆☆☆☆

这次入手这本《高等数学典型问题与应用案例剖析（下册）》，真的是为我这段时间的学习帮了大忙。说实话，我之前在学高等数学的时候，常常会遇到一些“拦路虎”，尤其是到了下册，那些涉及积分、级数、微分方程的内容，理论性强，计算量大，有时候就算理论知识掌握了，拿到具体的题目来做，还是会觉得无从下手。这本书的“典型问题”部分，真的就像是为我量身定制的。它不只是简单地罗列题目，而是把那些最容易出错、最常考的点，通过细致的分析，把解题思路掰开揉碎了讲。特别是那些看起来很绕的变量代换、定积分的几何意义的应用，这本书都给出了清晰的步骤和背后的逻辑。我最喜欢的一点是，它在讲解一个典型问题时，会先点出问题的核心难点，然后逐步引导我们找到解题的关键。有时候，我们不是不知道公式，而是不知道什么时候用哪个公式，或者怎么巧妙地运用。这本书就恰恰解决了这个问题，让我感觉那些复杂的数学概念不再是遥不可及的理论，而是可以被一步步攻克的堡垒。而且，它的语言风格也很亲切，不会像有些教科书那样干巴巴的，读起来更容易理解。

评分☆☆☆☆☆

不得不说，这本《高等数学典型问题与应用案例剖析（下册）》在内容编排上做得非常出色，尤其是在细节的处理上。当我拿到这本书时，我首先被它清晰的目录和条理分明的章节结构所吸引。每一章都围绕着一个核心主题展开，而且每个主题下又细分出了若干个“典型问题”和“应用案例”。这种层层递进的结构，让我在学习的时候不容易迷失方向。更让我惊喜的是，在讲解每一个典型问题时，它不仅仅给出了解题步骤，还会对每个步骤背后的数学原理进行解释，甚至会探讨一些常用的解题技巧和易错点。这对于我这样需要深入理解数学逻辑的学生来说，是非常宝贵的。而且，书中还包含了一些不同难度级别的题目，能够满足不同层次的学习需求。我尝试了一些例题，发现它的解析非常详尽，能够帮助我理清思路，找到解题的关键。总的来说，这本书就像是一位经验丰富的老师，耐心地引导着我一步步克服学习中的困难，让我对高等数学有了更系统、更深入的认识。