现代芬斯勒几何初步（英文版） [Introduction to Modern Finsler Geometry] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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沈一兵，沈忠民 著

图书标签:

• Finsler geometry
• Riemannian geometry
• Differential geometry
• Metric geometry
• Topology
• Mathematics
• Geometry
• Analysis
• Modern mathematics
• Curvature

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040444247

版次：1

商品编码：11876559

包装：精装

外文名称：Introduction to Modern Finsler Geometry

开本：16开

出版时间：2016-01-01

用纸：胶版纸

页数：393

字数：530000

正文语种：英文

内容简介

　　This comprehensive book is an introduction to the basics of Finsler geometry with recent developments in its area. It includes local geometry as well as global geometry of Finsler manifolds. In Part Ⅰ， the authors discuss differential manifolds， Finsler metrics， the Chern connection， Riemannian and non- Riemannian quantities. Part Ⅱ is written for readers who would like to further their studies in Finsler geometry. It covers projective transformations，comparison theorems， fundamental group， minimal immersions，harmonic maps， Einstein metrics， conformal transformations，amongst other related topics.The authors made great efforts to ensure that the contents are accessible to senior undergraduate students， graduate students， mathematicians and scientists.

目录

Preface
Foundations
1． Differentiable Manifolds
1．1 Differentiable manifolds
1．1．1 Differentiable manifolds
1．1．2 Examples of differentiable manifolds
1．2 Vector fields and tensor fields
1．2．1 Vector bundles
1．2．2 Tensor fields
1．3 Exterior forms and exterior differentials
1．3．1 Exterior differential operators
1．3．2 de Rham theorem
1．4 Vector bundles and connections
1．4．1 Connection of the vector bundle
1．4．2 Curvature of a connection
Exercises
2． Finsler Metrics
2．1 Finsler metrics
2．1．1 Finsler metrics
2．1．2 Examples of Finsler metrics
2．2 Cartan torsion
2．2．1 Cartan torsion
2．2．2 Deicke theorem
2．3 Hilbert form and sprays
2．3．1 Hilbert form
2．3．2 Sprays
2．4 Geodesics
2．4．1 Geodesics
2．4．2 Geodesic coefficients
2．4．3 Geodesic completeness
Exercises
3． Connections and Curvatures
3．1 Connections
3．1．1 Chern connection
3．1．2 Berwald metrics and Landsberg metrics
3．2 Curvatures
3．2．1 Curvature form of the Chern connection
3．2．2 Flag curvature and Ricci curvature
3．3 Bianchi identities
3．3．1 Covariant differentiation
3．3．2 Bianchi identities
3．3．3 Other formulas
3．4 Legendre transformation
3．4．1 The dual norm in the dual space
3．4．2 Legendre transformation
3．4．3 Example
Exercises
4． S-Curvature
4．1 Volume measures
4．1．1 Busemann-Hausdorff volume element
4．1．2 The volume element induced from SM
4．2 S-curvature
4．2．1 Distortion
4．2．2 S-curvature and E-curvature
4．3 Isotropic S-curvature
4．3．1 Isotropic S-curvature and isotropic E-curvature
4．3．2 Randers metrics of isotropic S-curvature
4．3．3 Geodesic flow
Exercises
5． Riemann Curvature
5．1 The second variation of arc length
5．1．1 The second variation of length
5．1．2 Elements of curvature and topology
5．2 Scalar flag curvature
5．2．1 Schur theorem
5．2．2 Constant flag curvature
5．3 Global rigidity results
5．3．1 Flag curvature with special conditions
5．3．2 Manifolds with non-positive flag curvature
5．4 Navigation
5．4．1 Navigation problem
5．4．2 Randers metrics and navigation
5．4．3 Ricci curvature and Einstein metrics
Exercises
Further Studies
6． Projective Changes
6．1 The projective equivalence
6．1．1 Projective equivalence
6．1．2 Projective invariants
6．2 Projectively flat metrics
6．2．1 Projectively flat metrics
6．2．2 Projectively fiat metrics with constant flag curvature
6．3 Projectively fiat metrics with almost isotropic S-curvature
6．3．1 Randers metrics with almost isotropic S-curvature
6．3．2 Projectively flat metrics with almost isotropic
S-curvature
6．4 Some special projectively equivalent Finsler metrics
6．4．1 Projectively equivalent Randers metrics
6．4．2 The projective equivalence of （α， β）-metrics
6．4．3 The projective equivalence of quadratic （α， β）
metrics
Exercises
7． Comparison Theorems
7．1 Volume comparison theorems for Finsler manifolds
7．1．1 The Jacobian of the exponential map
7．1．2 Distance function and comparison theorems
7．1．3 Volume comparison theorems
7．2 Berger-Kazdan comparison theorems
7．2．1 The Kazdan inequality
7．2．2 The rigidity of reversible Finsler manifolds
7．2．3 The Berger-Kazdan comparison theorem
Exercises
8． Fundamental Groups of Finsler Manifolds
8．1 Fundamental groups of Finsler manifolds
8．1．1 Fundamental groups and covering spaces
8．1．2 Algebraic norms and geometric norms
8．1．3 Growth of fundamental groups
8．2 Entropy and finiteness of fundamental group
8．2．1 Entropy of fundamental group
8．2．2 The first Betti number
8．2．3 Finiteness of fundamental group
8．3 Gromov pre-compactness theorems
8．3．1 General metric spaces
8．3．2 δ-Gromov-Hausdorff convergence
8．3．3 Pre-compactness of Finsler manifolds
8．3．4 On the Gauss-Bonnet-Chern theorem
Exercises
9． Minimal Immersions and Harmonic Maps
9．1 Isometric immersions
9．1．1 Finsler submanifolds
9．1．2 The variation of the volume
9．1．3 Non-existence of compact minimal submanifolds
9．2 Rigidity of minimal submanifolds
9．2．1 Minimal surfaces in Minkowski spaces
9．2．2 Minimal surfaces in （α， β）-spaces
9．2．3 Minimal surfaces in special Minkowskian （α， β）
spaces
9．3 Harmonic maps
9．3．1 A divergence formula
9．3．2 Harmonic maps
9．3．3 Composition maps
9．4 Second variation of harmonic maps
9．4．1 The second variation
9．4．2 Stress-energy tensor
9．5 Harmonic maps between complex Finsler manifolds
9．5．1 Complex Finsler manifolds
9．5．2 Harmonic maps between complex Finsler manifolds
9．5．3 Holomorphic maps
Exercises
10． Einstein Metrics
10．1 Projective rigidity and m-th root metrics
10．1．1 Projective rigidity of Einstein metrics
10．1．2 m-th root Einstein metrics
10．2 The Ricci rigidity and Douglas-Einstein metrics
10．2．1 The Ricci rigidity
10．2．2 Douglas （α， β）-metrics
10．3 Einstein （α， β）-metrics
10．3．1 Polynomial （α， β）-metrics
10．3．2 Kropina metrics
Exercises
11． Miscellaneous Topics
11．1 Conformal changes
11．1．1 Conformal changes
11．1．2 Conformally flat metrics
11．1．3 Conformally flat （α， β）-metrics
11．2 Conformal vector fields
11．2．1 Conformal vector fields
11．2．2 Conformal vector fields on a Randers manifold
11．3 A class of critical Finsler metrics
11．3．1 The Einstein-Hilbert functional
11．3．2 Some special g-critical metrics
11．4 The first eigenvalue of Finsler Laplacian and the generalized maximal principle
11．4．1 Finsler Laplacian and weighted Ricci curvature
11．4．2 Lichnerowicz-Obata estimates
11．4．3 Li-Yau-Zhong-Yang type estimates
11．4．4 Mckean type estimates
Exercises
Appendix A Maple Program
A．1 Spray coefficients of two-dimensional Finsler metrics
A．2 Gauss curvature
A．3 Spray coefficients of （α， β）-metrics
Bibliography
Index

现代芬斯勒几何初步（英文版） [Introduction to Modern Finsler Geometry] 导言与本书定位 《现代芬斯勒几何初步》旨在为数学研究生、高级本科生以及研究人员提供一个全面而严谨的芬斯勒几何学入门。本书的创作灵感源于经典微分几何向更广阔、更具应用潜力之领域的拓展需求。芬斯勒几何，作为黎曼几何的自然推广，用一个依赖于位置和方向的度量——芬斯勒函数——来取代黎曼几何中只依赖于位置的度量张量。这种推广极大地丰富了研究的层次和应用的可能性，尤其在物理学、工程学以及计算机科学的特定领域展现出强大的生命力。 本书的编写遵循“由浅入深、循序渐进”的原则，力求在保持数学严谨性的同时，提供清晰的几何直觉和计算工具。我们假设读者已具备扎实的微分几何基础，包括流形、切丛、张量分析以及基础的微分形式理论。然而，对于芬斯勒几何特有的核心概念，本书将进行详尽的阐述和推导。 第一部分：基础构建与核心概念 本书的第一部分致力于奠定坚实的代数和分析基础，这是理解后续复杂结构的关键。 第一章：预备知识回顾与流形上的张量分析 本章首先简要回顾了光滑流形、切空间、张量积、外微分和李导数的经典概念。重点在于将这些工具无缝地过渡到依赖于方向的框架中。我们详细讨论了切丛（Tangent Bundle $TM$）的结构，强调其作为 $2n$ 维流形的性质，并引入纤维丛（Fiber Bundle）的一般视角。 第二章：芬斯勒结构：定义与核心要素 本章是全书的基石。我们严格定义了芬斯勒流形 $(M, F)$，其中 $F: TM o mathbb{R}^+$ 是一个正规函数，满足关于速度 $y in T_xM$ 的二阶可微性和特定条件（即赫斯矩阵的正定性）。 1. 芬斯勒函数 $F$ 的性质: 详细分析 $F$ 的二次化特性、光滑性要求以及其与黎曼度量的区别。 2. 芬斯勒度量张量 $g_{ij}$: 定义沿 $y$ 的诱导度量 $g_{ij}(x, y) = frac{1}{2} frac{partial^2 F^2}{partial y^i partial y^j}$，并探讨其在不同切方向上的性质。 3. 垂直张量与水平张量: 介绍在切丛 $TM$ 上构造微分几何结构的关键工具。引入垂直张量（Vertical Tensor）$V_{ij}$ 和水平张量（Horizontal Tensor）$h_{ij}$ 的概念，它们是分解切丛上任意向量场的结构基础。 第三章：芬斯勒联络的构建 与黎曼几何中唯一的列维-奇维塔联络不同，芬斯勒几何中存在一个由芬斯勒函数诱导出的自然联络——芬斯勒联络（Finsler Connection）。 1. Hadamard 矩阵与自然性: 证明芬斯勒函数唯一诱导了所谓的张量系数联络（或称 $F$-联络）。我们详细推导了张量系数 $C_{jk}^i$、联系系数 $Gamma_{jk}^i$ 以及扭率系数 $N_{jk}^i$ 的显式表达式。 2. 平行移动与张量场: 探讨在芬斯勒联络下，沿曲线的平行移动如何依赖于速度，以及这如何影响协变导数的定义。 3. 联络的分类: 讨论一般芬斯勒联络的自由度，并重点介绍满足特定对称性（如竖直对称或水平对称）的特殊联络类型。 第二部分：测地线与曲率理论 在建立了基础结构后，本书转向芬斯勒几何中最富几何意义的部分：测地线和曲率。 第四章：芬斯勒测地线方程 本章的核心是将变分原理应用于芬斯勒结构。 1. 芬斯勒能量泛函: 定义沿曲线 $gamma(t)$ 的能量泛函 $E[gamma] = int F^2(gamma(t), dot{gamma}(t)) dt$。 2. 欧拉-拉格朗日方程: 推导作用于该泛函的变分原理，得到芬斯勒测地线方程。我们清晰地展示了在黎曼情形下，该方程如何退化为测地线方程。 3. 测地线的性质: 分析测地线的存在性、唯一性，以及它们在非对称度规下的非零最短路径性质。 第五章：芬斯勒曲率理论 曲率是衡量几何空间弯曲程度的度量。芬斯勒曲率比黎曼曲率复杂得多，它由多个相互独立的张量描述。 1. 黎曼曲率的推广: 引入芬斯勒几何中的主要曲率张量： 张量曲率 $R_{jkl}^i$: 衡量联络的非交换性。 偏曲率 $P_{jkl}^i$: 衡量水平方向上的“扭曲”。 张量曲率 $Q_{jkl}^i$: 衡量垂直方向上的“弯曲”。 2. 里奇曲率与斯卡拉曲率: 定义依赖于方向的里奇张量 $R_{jk}(x, y)$ 和斯卡拉曲率 $S(x, y)$。这些函数在研究特定应用的物理模型时至关重要。 3. 霍普夫拓扑不变量: 讨论与曲率相关的拓扑性质，例如芬斯勒流形的拓扑刚性。 第三部分：函数空间与应用前沿 本书的最后一部分将视角扩展到更高级的分析工具和潜在的应用领域。 第六章：拉格朗日空间与$(alpha, eta)$ 结构 现代芬斯勒几何经常在拉格朗日空间 $LM$ 上进行研究。本章探讨了芬斯勒结构在 $2n$ 维空间上的自然嵌入。 1. 辛结构: 在 $TM$ 上引入自然辛形式 $omega = dg_{ij} wedge dy^i wedge dx^j$（需要读者熟悉辛几何基础），并讨论芬斯勒函数与哈密顿-雅可比方程的关系。 2. $(alpha, eta)$ 结构: 介绍一类特殊的芬斯勒流形，它们由一个黎曼度量 $alpha$ 和一个 1-形式 $eta$ 定义。这类结构在相对论和 Finsler-Cartan 几何中有重要意义。 第七章：特殊类别与应用展望 本章旨在激励读者探索更专业的研究方向。 1. 准黎曼芬斯勒流形: 讨论当芬斯勒函数满足特定简化条件（如满足某些对称性）时的特殊情况。 2. 应用实例: 简要概述芬斯勒几何在以下领域的应用潜力： 广义相对论: 作为经典引力理论的非对称扩展。 运动学与控制理论: 描述具有方向依赖性的耗散系统。 信息几何: 作为信息度量的非对称拓扑结构。 结语 《现代芬斯勒几何初步》旨在提供一个坚实的研究起点。通过对切丛的深入剖析、对联络和曲率的精确定义，本书期望读者不仅掌握计算技巧，更能培养出在非对称几何空间中进行几何推理的能力。书中的所有概念和定理都经过细致的几何验证，为后续深入研究打下牢固的理论基础。

评分☆☆☆☆☆

从我个人的学习经验来看，一本优秀的书籍，其价值往往体现在它能否在读者心中播下思考的种子。对于《Introduction to Modern Finsler Geometry》这本书，我最看重的一点是它是否能够激发我的独立思考能力。我希望它不仅仅是知识的搬运工，更能成为我学习过程中的催化剂。我期望在阅读过程中，我能够不断地提出疑问，并能在书中找到启发性的解答，或者至少能引导我去寻找答案。我希望这本书能够鼓励我跳出课本的束缚，去思考那些更深层次的问题，去探索那些未被完全解答的数学难题。如果这本书能够在我读完之后，让我对芬斯勒几何产生更深入的兴趣，甚至激发我去进一步的研究和探索，那么它就成功了。我希望它所提供的不仅仅是知识，更是一种学习方法，一种面对未知领域的勇气和方法论。我希望这本书能够让我体会到数学的魅力，不仅仅在于它的答案，更在于它提出的问题以及解决问题的过程。

评分☆☆☆☆☆

我一直相信，好的教材能够让最复杂的概念变得易于理解。对于《Introduction to Modern Finsler Geometry》这本书，我的期待是它能够以一种恰到好处的方式，来介绍这个专业领域。我希望它不会过于浅薄，以至于无法深入地探讨其核心思想；但同时，它也不能过于晦涩，让初学者望而却步。我设想书中会包含大量图示和例子，它们能够直观地展示那些抽象的几何对象和概念，帮助我建立起直观的理解。我期待它在引入新的概念时，能够提供充分的背景信息，解释这些概念的起源和重要性，并且能够清晰地说明它们与其他已知概念之间的关系。我希望这本书能够提供一套完整的学习体系，从基础概念到进阶理论，层层递进，让我在掌握基本知识的同时，也能对整个领域的全貌有所了解。一本优秀的入门书籍，应该能够点燃读者的学习热情，并为他们未来的深入研究打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

我总觉得，一些高深的数学理论，就像是散落在宇宙中的璀璨星辰，它们彼此呼应，共同构成了一幅宏伟的宇宙图景。而《Introduction to Modern Finsler Geometry》这本书，在我看来，就是一张指向其中一颗闪耀星辰的星图。我无法想象这本书会如何具体地展开，但我可以想象它的逻辑是严密的，它的推理是清晰的，它的表述是精准的。我期待它能够用一种极具说服力的方式，来阐述芬斯勒几何的独特之处，以及它与其他几何理论之间的联系与区别。我希望这本书能够展现出数学研究的严谨性与创造性的统一，让读者在领略其理论深度的同时，也能感受到数学家们在探索未知时那种独特的思维方式。或许，书中会穿插一些历史性的介绍，讲述芬斯勒几何发展的关键节点，以及那些做出开创性贡献的数学家们的故事。这不仅能增加阅读的趣味性，更能让我对这个领域有一个更全面的认识。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计给我留下了深刻的第一印象，它没有那些花里胡哨的插图，而是以一种沉稳、专业的字体排版，配合柔和但富有质感的纸张，瞬间就营造出一种学术研究的氛围。我拿到这本书的时候，就被它厚重的手感所吸引，这不仅仅是纸张的堆砌，更是知识的沉淀，让我对接下来的阅读充满了期待。这本书的装帧也十分精良，无论是书脊的缝合还是封面的压纹，都透露出出版方对细节的严谨态度，这对于一本面向专业领域的书籍来说，是至关重要的。我甚至在翻阅时，细致地观察了每一个字体的印刷清晰度，以及章节之间的过渡页设计，这些微小的元素共同构成了我初次接触这本书时的整体感受。我尤其喜欢书页边缘的处理，没有毛糙感，摸起来十分顺滑，这让我可以在长时间的阅读中保持舒适。这本书给我的感觉，就像是一块精心打磨的宝石，初看可能朴实无华，但细品之下，便能感受到其中蕴含的深厚底蕴和精湛工艺。它不仅仅是一本介绍现代芬斯勒几何的书，更是数学领域匠人精神的体现。

评分☆☆☆☆☆

我一直以来都对数学的某个分支，尤其是在它变得越来越抽象和精深的那一部分，抱有极大的好奇心。当我看到《Introduction to Modern Finsler Geometry》这本书的时候，我的直觉告诉我，这可能是我一直在寻找的那个引路人。虽然我对芬斯勒几何的具体内容了解不多，但这本书的标题本身就带有一种探索未知的召唤感。我设想这本书会像一位经验丰富的向导，带领我在一个相对陌生的数学领域中穿梭，它会提供清晰的地图，解释复杂的路径，并在关键的十字路口给出明确的指示。我期待它能够循序渐进地介绍这个领域的基本概念和核心思想，从最基础的定义出发，逐步构建起整个理论的框架。我希望它能够用一种既严谨又不失生动的语言，来阐释那些听起来可能令人望而生畏的数学结构。或许，它还会通过一些精心挑选的例子，来帮助我理解抽象概念的实际应用，或者至少能让我对它在物理学、微分几何等领域可能的联系有所认识。总之，这本书在我心中，是一种承诺，承诺着一次深入的智力冒险。