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☆☆☆☆☆

[加] 夏普（Sharpe，R.W.） 著

图书标签:

• 微分几何
• 几何学
• 数学
• 高等数学
• 拓扑学
• 流形
• 曲线曲面
• 黎曼几何
• 张量分析
• 数学分析

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510037504

版次：1

商品编码：10914298

包装：平装

开本：24开

出版时间：2011-07-01

用纸：胶版纸

页数：421

内容简介

This book is a study of an aspect of Elie Cartan's contribution to thequestion "What is geometry?"
In the last century two great generalizations of Euclidean geometry ap-peared. The first was the discovery of the non-Euclidean geometries. Thesewere organized into a coherent whole by Felix Klein, who recognized themas various examples of coset spaces G/H of Lie groups. In this book we refer to these latter as Klein geometries. The second generalization was Georg Riemann's discovery of what we now call Riemannian geometry. These two theories seemed largely incompatible with one other.1
In the early 1920s Elie Cartan, one of the pioneers of the theory of Lie groups, found that it was possible to obtain a common generalization of these theories, which he called espaces generalizes and we call Cartan geometries (see diagram).

目录

前言/序言

探秘宇宙的几何构造：拓扑学与现代物理的交汇点 图书名称： 拓扑学基础与流形上的分析 内容简介： 本书旨在为读者构建一个坚实而直观的拓扑学基础，并将其无缝地连接到微分几何、分析学乃至现代理论物理学的核心概念之上。我们不求构建一个纯粹抽象的代数拓扑迷宫，而是致力于展示拓扑思维如何成为理解空间结构、连续形变以及内在不变量的强大工具。 全书内容围绕“空间”这一核心概念展开，但这里的空间并非欧几里得几何中的刚性框架，而是可以被拉伸、扭曲，但又不至于撕裂或粘合的、具有内在属性的集合。我们从最基础的拓扑空间定义出发，细致地探讨开集、闭集、邻域、连续性等基本概念，力求让读者对“拓扑等价”——即流形研究的本质——建立起深刻的直观认识。 第一部分：点集拓扑的基石 我们将从点集拓扑的公理化系统开始。首先，详细阐述拓扑空间（Topological Space）的定义及其与度量空间（Metric Space）的内在联系。我们不会将度量空间视为终点，而是将其视为理解拓扑结构的第一个可触摸的例子。连续函数在拓扑空间中的定义——原像下开集的保持性——将被置于核心地位，并辅以大量的例子，特别是那些看似简单却蕴含深刻几何意义的非欧几里得空间，如球面和环面。 紧接着，我们将深入研究拓扑空间的性质：连通性（Connectedness）和紧致性（Compactness）。连通性的概念，特别是路径连通性，是理解空间“整体性”的关键。我们将探讨“道路”如何将空间的各个部分连接起来，并证明诸如“连通集的连续像仍然是连通的”等基本定理。紧致性则被视为一种推广的“有限性”概念，它在分析学中具有不可替代的地位，例如 Heine-Borel 定理的拓扑版本。我们将展示，紧致性如何保证连续函数达到其最大值和最小值，这为后续分析打下了坚实的函数空间基础。 此外，分离公理（Separation Axioms），如 T1, T2（Hausdorff 空间）的引入，是构建更高级结构的前提。我们将清晰地区分局部性质和整体性质，强调分离公理如何确保我们可以在局部“像”欧几里得空间一样行事。 第二部分：构造与形变——商空间与积空间 拓扑学真正的力量体现在构造新的空间。本部分将集中讨论商拓扑（Quotient Topology）和积拓扑（Product Topology）。商拓扑是理解“粘合”和“模去”操作的数学语言。例如，如何从一个正方形通过边对边粘合构造出圆环（Torus）或射影平面（Projective Plane）。我们将详细分析商空间的构造过程，并讨论连续性在商空间上的判定标准。这种构造方法对于理解晶体结构、纤维丛（Fiber Bundles）的基空间至关重要。 积拓扑则处理如何将多个空间组合起来形成一个更高维度的“整体”。我们将通过著名的 Tychonoff 定理（拓扑学中的乘积定理）来展示紧致性在无限乘积空间中的推广，并讨论其在函数空间（如连续函数空间 C(X)）中的应用，为泛函分析的讨论埋下伏笔。 第三部分：从拓扑到结构——流形的概念引入 在扎实的点集拓扑基础上，本书开始过渡到微分几何和现代物理学的语言：流形（Manifolds）。我们不会直接跳跃到光滑性，而是先将流形定义为一个满足特定条件的拓扑空间——即拓扑流形。 我们将精确定义坐标卡（Chart）、图册（Atlas）和光滑性的概念。流形被定义为允许我们局部应用微积分工具的空间。我们将详细研究最基本的流形实例：曲线、曲面（如球面 $S^2$ 和环面 $T^2$），并逐步过渡到抽象的 $n$ 维流形。 本部分强调同胚（Homeomorphism）与微分同胚（Diffeomorphism）的区别。拓扑学只关心不变性下的形变（不撕裂），而微分同胚则要求形变是光滑且可逆的，这为在流形上进行微积分运算提供了合法性基础。 第四部分：流形上的分析工具 一旦我们建立了流形的概念，分析的工具就必须被提升到这个新的几何框架中。我们将介绍切空间（Tangent Space）的概念，这不是通过传统的极限定义，而是通过流形上的曲线族（或向量场）的“方向”来直观引入。切空间是局部线性化的工具，是理解曲线上切线和曲面上切平面的关键。 我们还将探讨向量场（Vector Fields）和微分 1-形式（Differential 1-Forms）。向量场是对流形上每一点赋予一个切空间中的“箭头”的函数，是描述物理量（如速度、电场）在弯曲空间中分布的自然方式。微分形式则代表了“对向量场进行积分”的结构，它们是构建积分几何和更高级张量分析的先导。 本书的最终目标是揭示拓扑结构作为底层骨架，如何承载并限定了流形上分析和几何结构的可能性。通过对这些基础概念的深入理解，读者将能够自信地进入现代几何物理（如广义相对论中的时空结构、规范场论中的纤维丛）的学习，领略空间本身所蕴含的深刻数学美。本书注重概念的清晰度、逻辑的严谨性以及几何直观的培养，避免了繁复的代数运算，专注于构建一个全面的、以空间形变为核心的理论框架。

评分☆☆☆☆☆

这是一本厚重的书，初次翻开时，那密密麻麻的公式和复杂的符号就给我一种迎头痛击的感觉。我不是数学系的科班出身，纯粹是出于对宇宙运行规律的好奇心，想一窥那些描绘空间弯曲和曲率变化的奥秘。坦白说，一开始的章节啃起来格外费劲，像是要穿过一片由希尔伯特空间和黎曼流形构筑的迷雾森林。我得反复查阅前面的定义和引理，很多概念的抽象程度已经超出了我日常经验的范畴，什么切丛、联络形式，听起来就像是外星语。作者似乎默认读者已经具备了扎实的拓扑学和线性代数基础，这对我们这些“自学者”来说，无疑是提高了入门的门槛。我不得不承认，我经常需要借助网络上的其他教学资源和可视化工具，才能勉强跟上作者的思路，否则光是靠文字描述，我很难想象那些高维空间中的“切线”是如何“扭曲”的。这本书的深度毋庸置疑，它无疑是为专业研究人员准备的精湛教材，但对于渴望领略这一领域风采的普通爱好者来说，它更像是一座高耸入云的山峰，需要极大的毅力和正确的攀登工具才能到达顶端，否则只能在山脚徘徊，为那壮丽的景象感到敬畏。

评分☆☆☆☆☆

阅读体验中，最让我感到困惑的是作者对某些核心概念的引入顺序。在我看来，某些本应作为工具先行铺垫的概念，却被安排在了更高级的章节中才进行详细阐述。这导致我在学习某个关键定理时，需要频繁地跳跃式阅读，一会儿去看附件里对某个张量密度的补充说明，一会儿又要回头对照第一章中对坐标变换的讨论。这种非线性的知识结构，虽然可能从数学体系的内在逻辑出发是最合理的，但对于习惯于线性知识渐进的读者来说，简直是一场灾难。我感觉自己像是在一个巨大的迷宫里寻找出口，每到一个十字路口，都需要反复确认自己是否遗漏了某个关键的指示牌。如果能有一个更清晰的“学习路径图”，或者在章节开头明确指出哪些背景知识是后续学习的必要前提，而不是散落在全书各处，我想读者的学习曲线会平滑得多。这本书像是为已经“开悟”的人写的，而不是为“入门者”准备的向导手册。

评分☆☆☆☆☆

我尝试从应用的角度来寻找这本书的切入点，毕竟现代物理学和工程学中处处都能看到相关理论的身影，比如广义相对论中的时空描述，或者现代机器人学中对复杂运动空间的建模。然而，这本书似乎将自己完全封闭在一个纯数学的象牙塔内，对任何现实世界的应用都鲜有提及，甚至连作为启发性的例子都极为罕见。这让我的阅读动力一度有些涣散。我期待的是，能否在讲解完基础的流形概念后，能有一小节“视野扩展”，告诉我这些抽象的工具在描述引力场或优化路径时是如何发挥作用的。但作者似乎完全不屑于这种“应用导向”的叙事方式，他只是专注于构建一个纯粹、自洽的理论体系。这本书的价值无疑在于它为理论的深层探索奠定了坚实的基础，但对于那些希望看到理论与实践桥梁的读者而言，这本书提供的更多是“原料”，而非“成品展示”，需要我们自己去搭建桥梁，这无疑增加了理解的难度和所需的知识广度。

评分☆☆☆☆☆

这本书的习题设置是其作为教材的又一个显著特征，它们并非简单的计算练习，而是对所学理论的深度检验。很多题目本身就是一个小型理论问题的探讨，需要读者运用书中介绍的工具进行创造性的组合和推导。我花费了大量时间在那些看起来简短却异常复杂的证明题上，常常卡在某一步，冥思苦想数小时，最后才恍然大悟。这套习题集无疑是检验和巩固知识的绝佳途径，它强迫你从被动的接受者转变为主动的思考者，真正将那些公式内化为自己的工具。然而，这本书的缺点也体现在这里：习题的解答和详尽的提示极其稀缺。对于自学者而言，没有反馈机制的学习效率会大打折扣。当你花费了大量精力得出一个看似正确的结论，却无法与标准答案进行比对确认时，那种挫败感是巨大的。这使得这本书更像是为拥有导师指导的课堂设计的，而不是为独立钻研者准备的自助餐，其价值的充分释放，需要外部的引导和验证。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和装帧非常精良，纸张的质感摸上去就让人感到舒适，这对于阅读这种需要长时间沉浸其中的学术著作来说，是一个巨大的加分项。插图虽然不算特别多，但每一个几何图形的绘制都极其准确和清晰，它们有效地辅助理解那些难以想象的空间结构。我特别欣赏作者在论证过程中表现出的那种严谨的逻辑链条，每一步推导都像是精密仪器上的齿轮咬合，毫不松懈。然而，正因为这份极致的严谨，使得全书的阅读体验变成了一种近乎苛刻的挑战。它要求你必须全神贯注，哪怕是漏掉一个脚注或者一个下标的小错误，都可能导致后面整个章节的推导走向迷失。我发现自己不得不时刻备着红笔和草稿纸，边读边演算，生怕错过任何一个看似微不足道的代数化简过程。这种深入骨髓的严谨性，无疑保证了内容的权威性，但也使得它的阅读过程充满了仪式感和紧张感，仿佛每一次翻页都是在进行一场严肃的学术审判，而不是一次轻松的知识获取。

评分☆☆☆☆☆

法国数学家E·嘉当在微分几何中强调联络的概念，建立了外微分的概念。这是整体微分几何的奠基性的工作。随后，中国数学家陈省身从外微分的观点出发，推广了曲面上的高斯-博内定理。从此微分几何成为现代数学不可缺少的领域。[

评分☆☆☆☆☆

1870年德国数学家克莱因（Felix Klein）在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了他的《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行了分类。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。在仿射微分几何方面，布拉施克（W. Blaschke）也做出了决定性的工作。

评分☆☆☆☆☆

书确实是好书

评分☆☆☆☆☆

还没看内容，不过挺经典的

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还没看内容，不过挺经典的

评分☆☆☆☆☆

1854年德国数学家黎曼（B. Riemann）在他的就职演讲（Habilitationsschrift）中将高斯的理论推广到n维空间，这就是黎曼几何的诞生。其后许多数学家，包括E. Beltrami， E. B. Christoffel，R. Lipschitz，L. Bianchi，T. Ricci开始沿着黎曼的思路进行研究。其中Bianchi是第一个将“微分几何”作为书名的作者。

评分☆☆☆☆☆

书非常不错

评分☆☆☆☆☆

还没看内容，不过挺经典的

评分☆☆☆☆☆

书确实是好书