SOBOLEV空间与变分原理 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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张维弢 著

图书标签:

• 数学分析
• 泛函分析
• Sobolev空间
• 变分法
• 偏微分方程
• 函数空间
• 最优控制
• 非线性分析
• 数值分析
• 应用数学

出版社： 中国科学技术大学出版社

ISBN：9787312030048

版次：1

商品编码：11187651

包装：平装

出版时间：2013-01-01

用纸：胶版纸

正文语种：中文

内容简介

　　《SOBOLEV空间与变分原理》可作为高等院校数学系相关专业高年级学生和研究生的教材或学习参考书，也可供从事偏微、几何和相对论等学科的研究人员参考。

作者简介

　　张维弢，辽宁黑山人，1941年生，1965年毕业于中国科学技术大学应用数学系，1992年任中国科学院系统科学研究所研究员，中国科学院研究生院兼职教授。主要研究渐近分析、本征值估计、控制镇定性和变分方法的应用等，曾解决了J. L. Lions著作中的一个公开的问题，发表论文三十余篇。1986年在巴黎第六大学工作，1992年在意大利ICTP工作三个月。1999年获中国科学院华为奖教金，2008年获中国科学院研究生院“杰出贡献教师”称号。

目录

总序（ⅰ）
序（ⅲ）
第1章 Sobolev空间
1.1 Sobolev空间的引入
1.2 稠密定理
1.3 延拓定理
1.4 迹的启示与Hadamard例
1.5 常用等式与不等式
1.6 迹定理
1.7 嵌入定理及其新进展
1.8 紧性定理

第2章 本征值问题与Cheng-Li-Yau估计技巧
2.1 本征值问题的一般性质
2.2 Pólya猜想与本征值问题简史
2.3 Hormander引理及其改进
2.4 Li-Yau对于λ1估计的小改进
2.5 CLY技巧在间断系数的本征值问题中的应用
2.6 柔性结构控制产生的新型本征值问题
2.7 有关Fourier分析的注记
2.8 有关CLY估计技巧的注记与取材

第3章 变分形式与可解性
3.1 L-M引理与2m阶椭圆算子在Hm（Ω）中的可解性
3.2 二阶椭圆算子在H2（Ω）中的可解性
3.3 变分不等方程与可解性
3.4 单调算子理论
3.5 临界点、形变引理、山路定理和临界值的分类

第4章 变分形式中的渐近分析
4.1 “硬”问题在变分形式中的渐近展开
4.2 椭圆边界层问题的一般收敛定理
4.3 Tartar的边界层形态分析与Lions的公开问题
4.4 φ的改进与四阶方程的边界层形态分析
4.5 渐近分析的Poincaré定义与Lions定义
4.6 边界层形态的另一描述
4.7 突变点、渐变与突变

第5章 HUM、Haraux引理与镇定性
5.1 能量摄动方法简介
5.2 乘子引理与可控性
5.3 Haraux引理
5.4 波方程的镇定性
5.5 波方程第三边值问题的精确可控性及其近似
5.6 乘子方法在椭圆方程中的应用

第6章 几何与相对论中的变分问题
6.1 曲率变分实例
6.2 Riemann几何初步与Rik-12gikR=0（n=2）
6.3 测地线与质点运动的变分表述
6.4 数量曲率的变分δ∫ωRG12dU
6.5 场方程的建立、Einstein的物理直觉和Hilbert的变分论证
6.6 经典检验、奇点困惑和他山之石
6.7 本章小结
参考文献

前言/序言

数学分析与泛函几何的深度探索：现代分析中的拓扑与度量 本书导览： 本著作旨在为高等数学、泛函分析、拓扑学以及几何学领域的学生、研究人员和专业人士提供一本深入、严谨且富有启发性的教材与参考书。我们专注于现代数学分析的基石——拓扑空间、度量空间的构建与性质，并将其延伸至函数空间的结构分析，特别是与变分法、偏微分方程理论紧密相关的核心概念。本书的叙事逻辑清晰，从最基础的集合论概念出发，逐步构建起抽象空间的严密框架，并通过大量精心挑选的例题和习题，引导读者掌握这些高级工具的运用。 第一部分：基础拓扑的构建与完备性 本书的开篇，我们将全面梳理点集拓扑的精髓。这部分内容不仅仅是对拓扑空间定义的简单复述，而是着重于拓扑结构如何塑造空间的内在性质。 1. 集合论基础与构造性思维： 我们首先回顾必要的集合论基础，重点讨论选择公理在构建非构造性证明中的作用，以及良序定理在某些证明中的应用。随后，引入拓扑空间的严格定义：开集、闭集、邻域、基与紧致性。我们强调，拓扑的本质在于“接近性”的概念，而非依赖于任何预先设定的距离函数。 2. 连续性与拓扑保持映射： 深入分析连续函数的拓扑定义，并将其与传统的$epsilon-delta$定义进行对比，阐明拓扑视角下连续性的普适性。重点讨论商拓扑（Quotient Topology）的构造，这是理解流形和几何构造的关键工具。我们将详细分析如何通过商映射保持或改变空间的拓扑性质，例如如何由直线构造出圆周拓扑。 3. 分离公理与特殊拓扑空间： 本书用相当篇幅讨论分离公理（如Hausdorff性、正则性、正规性），这些公理是保障空间中点之间“可区分性”的前提。随后，我们将详细考察度量空间（Metric Spaces），它为拓扑结构赋予了量化的可能性。我们将探究：一个拓扑空间何时是可度量的？这引出了一致连续性与紧致性之间的深刻联系。 4. 完备性：分析的核心驱动力： 完备性是区分“好”空间与“坏”空间的关键性质。我们详细分析Cauchy序列的概念，并引入拓扑完备性和度量完备性。Baire纲定理将在这一部分作为核心工具出现，它揭示了完备度量空间（如函数空间）的拓扑性质，对于泛函分析中的存在性与唯一性证明至关重要。我们还将讨论完备化的过程（如构造实数集 $mathbb{R}$ 的过程的推广），以及完备正规空间的性质。 第二部分：函数空间与拓扑结构分析 在掌握了基础拓扑后，我们将视角转向无限维空间——函数空间。这部分内容直接衔接现代偏微分方程的求解理论和优化问题。 1. 范数空间的引入与拓扑依赖： 我们从有限维欧几里得空间出发，引入范数（Norm）的概念，并展示范数如何诱导出一种特定的拓扑结构。重点分析巴拿赫空间（Banach Spaces）的定义，即完备的赋范向量空间。我们将考察$L^p$空间，解析其在不同$p$值下的性质差异，特别是Minkowski不等式的应用。 2. 拓扑的弱化与等价性： 本节深入探讨在无限维空间中，强拓扑（如$L^p$的拓扑）与弱拓扑（Weak Topologies）之间的关系。我们将详细解析弱收敛的定义，并探讨其在泛函分析中的优势：弱收敛往往更容易保持（例如，有界序列存在弱极限），这使得它成为处理积分方程和泛函优化的强大工具。Hahn-Banach定理将在此背景下被引入，揭示了线性泛函的扩张性。 3. 紧致性在函数空间中的体现： 在有限维空间中，有界闭集即紧集（Heine-Borel定理）。但在无限维空间中，这一性质不再成立。我们深入研究紧算子（Compact Operators）的概念，以及Ascoli-Arzelà 定理。该定理是证明解的存在性（特别是利用Schäuder不动点定理）的关键桥梁，它为我们提供了在函数空间中识别紧集的有效拓扑准则。 第三部分：测度论与几何测度 本部分将拓扑结构与量化（测度）相结合，为深入理解变分法中的能量泛函奠定基础。 1. 从拓扑到测度： 我们将从可测空间的概念出发，定义外测度，并详细阐述Carathéodory外测度扩张定理，从而严格构造出Lebesgue测度。我们强调测度理论的必要性：它解决了传统黎曼积分在处理高度不连续函数时的局限性。 2. 积分理论的推广： 深入讲解Lebesgue积分的构造过程，特别是单调收敛定理和Fatou引理，以及最为重要的Lebesgue控制收敛定理。这些收敛定理是分析中交换极限与积分顺序的关键。 3. 泛函与对偶空间： 我们考察Sobolev空间（在此不详述其构造细节，而是侧重其作为函数空间的拓扑地位），并讨论Riesz表示定理在希尔伯特空间中的应用。我们将探讨函数空间如何形成其自身的对偶空间，以及这些对偶空间（如$L^q$空间之于$L^p$空间）在变分问题中的物理意义和数学结构。 结语：分析的统一性 本书结构紧密，通过从点集拓扑到度量、再到泛函空间的递进，构建了一个严密的现代分析框架。它清晰地展示了拓扑结构如何定义收敛性，而度量和范数如何提供定量分析的能力。读者在掌握这些基础后，将具备必要的数学工具，以便无缝衔接至更专业的领域，如微分几何中的流形理论、算子理论，以及对物理系统和优化问题的严格数学建模。本书注重概念的精确性与逻辑的完整性，力求使读者不仅“知道”这些定理，更能“理解”它们诞生的几何与分析背景。

评分☆☆☆☆☆

这本《SOBOLEV空间与变分原理》给我一种“高山仰止”的感觉。它并非那种能够轻松愉快地捧在手中，边喝咖啡边随意翻阅的书籍。我能预想到，它里面充斥着各种我需要反复咀嚼、细细品味的数学符号和定理。SOBOLEV空间，这个名字本身就意味着对函数的要求远超一般的连续性或可微性，它涉及到函数的“广义”导数，这在处理那些不那么“规矩”的函数时显得尤为重要。而变分原理，在我看来，是一种非常“哲学”的数学思想，它试图从一个全局最优的视角来刻画问题的本质，就像在寻找能量最低点一样，这是一种非常强大的解决问题的范式。我好奇书中会如何将这两种强大的工具结合起来，去解决那些现实世界中的数学难题。这本书的学习过程，大概率会伴随着无数次的“卡壳”和“顿悟”，需要我投入大量的时间和精力去消化吸收。我期待它能为我打开一扇通往更深层次数学世界的大门，让我能更自信地去探索那些未知的领域。

评分☆☆☆☆☆

当我看到《SOBOLEV空间与变分原理》这个书名时，我的脑海中立刻闪现出那些严谨的数学论证和抽象的几何图形。这不是一本我能轻松拿起，随便翻翻的书，它散发着一种“硬核”学术的气息。我想象着，书页之间一定充满了对函数空间的精妙定义，以及在这些空间中，函数导数的“泛化”概念是如何被建立起来的。SOBOLEV空间，在我看来，就是处理那些边界处不那么光滑，或者导数本身也存在奇异性的函数时的利器。而变分原理，则是一种从“能量”或者“代价”的角度去理解和求解问题的独特视角，它将微积分中的求导思想升华到了一个更高的维度。我非常好奇，作者是如何将这两个看似独立的数学领域巧妙地结合在一起，去解决那些在物理、工程等领域中出现的复杂问题。这本书的学习过程，一定充满了挑战，需要我投入极大的耐心和毅力去理解那些精妙的证明和深刻的理论。

评分☆☆☆☆☆

当目光掠过《SOBOLEV空间与变分原理》的书名，一种厚重而严谨的学术氛围便扑面而来。我能够想象，这并非一本轻松的读物，而是需要深厚的数学功底才能驾驭的著作。SOBOLEV空间，这个概念本身就充满了数学的魅力，它意味着对函数性质的更深层次的理解，涉及了函数的“广义”导数，这对于处理现实世界中许多不那么光滑的数学模型至关重要。而变分原理，则是一种强大的分析工具，它常常与物理学中的能量守恒、最小作用量等基本原理息息相关，通过寻找某个泛函的极值来刻画问题的解。我迫切地想知道，这本书是如何将SOBOLEV空间这一精密的工具与变分原理这一深刻的思想相结合，来解决那些棘手的数学问题。毫无疑问，阅读这本书将是一次极具挑战但又充满回报的学术探险，它要求学习者具备相当的耐心和毅力，去理解那些精妙的证明和抽象的概念。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名就透着一股学术的严谨和深度，让人一看就知道不是那种轻松的读物。我虽然还没有真正翻开它的扉页，但光是“SOBOLEV空间”和“变分原理”这两个词组，就已经在我脑海中勾勒出了一幅充满抽象数学符号和深刻理论的大图景。我想象着，它里面一定充满了对函数空间性质的细致探讨，对偏微分方程解的存在性、唯一性和光滑性进行分析的严密论证。SOBOLEV空间本身就是研究偏微分方程的基石，它的定义、嵌入定理、迹定理等等，必然是本书的重头戏。而变分原理，则是从能量最小化或者某种泛函极值的角度去寻找方程的解，这种思想在物理学、力学等众多领域都有着广泛的应用。我猜想，本书会将这两者融会贯通，展示如何运用变分方法来解决更复杂、更具挑战性的问题。这本书的学习曲线想必是相当陡峭的，需要扎实的泛函分析基础和一定的分析学功底。我期待它能带领我深入理解那些抽象概念背后的几何直观，不仅仅是公式的推导，更能体会其内在的数学美。

评分☆☆☆☆☆

《SOBOLEV空间与变分原理》——光是书名就给人一种庄重而深邃的感觉。它暗示着一场深入数学腹地的探索之旅，其中充满了严谨的逻辑和抽象的思考。我脑海中浮现的，是关于函数集合的精妙构造，以及在这个构造中，如何定义和理解那些“更广泛”意义上的导数。SOBOLEV空间，在我看来，就像是为研究那些不那么“乖巧”的函数而量身打造的精密工具，它允许我们讨论在更一般的意义下函数的行为。而变分原理，则像是从整体性质出发，寻找最优解的强大哲学，它将问题的本质提炼成一个泛函的最优值。我期待这本书能够揭示SOBOLEV空间如何赋能变分原理，从而解决那些在经典数学框架下难以逾越的难题。这无疑是一本需要投入大量心血去钻研的书籍，它的阅读过程将是一场智力的马拉松，而非轻松的散步，我为此做好了准备。

评分☆☆☆☆☆

书的质量不错，内容比较深，先学亚当斯的吧

评分☆☆☆☆☆

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