局部群表示论，θ对应和Langlands-Shahidi方法 [P-adic Representations,θ-Correspondence and the Langlands-Shahidi-Theory] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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叶扬波，田野 编

图书标签:

• 表示论
• 局部Langlands纲
• θ对应
• Langlands-Shahidi方法
• p-adic表示
• 自守形式
• 数论
• 调和分析
• 代数群
• 特殊函数

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030380326

版次：01

商品编码：11296986

包装：平装

外文名称：P-adic Representations,θ-Correspondence and the Langlands-Shahidi-Theory

开本：16开

用纸：胶版纸

页数：137

正文语种：英文

内容简介

　　This book is the first volume of the Lecture Series of Modern， Number Theory， which is devoted to publishing peer-reviewed workshop lecture notes and the proceedings of conferences on all branches of contemporary number theory research. The series intends to target number theory researchers and students， including both experts and non-experts of the covered subjects.

内页插图

目录

Preface
1 Arithmetic of Cuspidal Representations
1.1 Cuspidal representations by induction
1.1.1 Background and notation
1.1.2 Intertwining and Hecke algebras
1.1.3 Compact induction
1.1.4 An example
1.1.5 A broader context
1.2 Lattices, orders and strata
1.2.1 Lattices and orders
1.2.2 Lattice chains..
1.2.3 Multiplicative structures
1.2.4 Duality
1.2.5 Strata and intertwining
1.2.6 Field extensions
1.2.7 Minimal elements
1.3 Fundamental strata
1.3.1 Fundamental strata
1.3.2 Application to representations
1.3.3 The characteristic polynomial
1.3.4 Nonsplit fundamental strata
1.4 Prime dimension
1.4.1 A trivial case
1.4.2 The general case
1.4.3 The inducing representation
1.4.4 Uniqueness
1.4.5 Summary
1.5 Simple strata and simple characters
1.5.1 Adjoint map
1.5.2 Critical exponent
1.5.3 Construction
1.5.4 Intertwining.
1.5.5 Definitions
1.5.6 Interwining
1.5.7 Motility... ,
1.6 Structure of cuspidal representations
1.6.1 Trivial simple characters
1.6.2 Occurrence of a simple character
1.6.3 Heisenberg representations
1.6.4 A further restriction
1.6.5 End of the road
1.7 Endo-equivalence and lifting
1.7.1 Transfer of simple characters
1.7.2 Endo-equivalence
1.7.3 Invariants
1.7.4 Tame lifting
1.7.5 Tame induction map for endo-classes
1.8 Relation with the Langlands correspondence
1.8.1 The Weil group'
1.8.2 Representations
1.8.3 The Langlands correspondence
1.8.4 Relation with tame lifting
1.8.5 Ramification Theorem
References

2 Basic Representation Theory of Reductive p-adic Groups
2.1 Smooth representations of locally profinite groups
2.1.1 Locally profinite groups
2.1.2 Basic representation theory
2.1.3 Smooth representations
2.1.4 Induced representations
2.2 Admissible representations of locally profinite groups"
2.2.1 Admissible representations
2.2.2 Haar measure
2.2.3 Hecke algebra of a locally profinite group
2.2.4 Coinvariants
2.3 Schur's Lemma and Z-compact representations
2.3.1 Characters
2.3.2 Schur's Lemma and central character
2.3.3 Z-compact representations
2.3.4 An example
……
3 The Bernstein Decomposition for Smooth Complex Representationsof GLn,（F）
4 Lectures on the Local Theta Correspondence
5 An Overview of the Theory of Eisenstein Series

前言/序言

局部群表示论：深度解析与应用 导言 本书旨在提供对现代数学分支——局部群表示论（Representation Theory of Local Groups）的全面而深入的探讨。局部群，特别是局部域（如$mathbb{Q}_p$或非阿基米德局部域）上的线性群，在数论、算术几何和数学物理中扮演着核心角色。本书的核心目标是为读者构建一个坚实的基础，使其能够理解这些群的表示结构，并掌握其在不同数学领域中的应用。 本书的结构设计力求平衡理论的严谨性与概念的清晰性。我们假定读者具备扎实的抽象代数基础，包括群论、环论和基础的拓扑知识。 --- 第一部分：基础框架与非阿基米德表示论的奠基 第一章：预备知识与局部域背景 本章首先回顾必要的预备知识，包括拓扑群、紧致性、完备性以及稠密子群等概念。重点介绍非阿基米德局部域 $F$ 的结构：单位群 $F^ imes$ 的结构、离散赋范（Valuation）性质、完备化过程以及其最大开环 $mathcal{O}_F$ 的特性。 我们详细讨论 $p$ 进整数环 $mathcal{O}_F$ 上的拓扑结构，并引入 $p$ 进整数环上的拓扑向量空间（例如 $mathbb{Z}_p^n$）的概念。 第二章：广义线性群的构造与结构 本章聚焦于局部域 $F$ 上的经典线性群，特别是广义线性群 $mathrm{GL}_n(F)$ 及其子群结构。我们详细考察其拓扑性质，包括单位元邻域、连通性，以及关键的 开正规子群层次结构（例如 $mathrm{GL}_n(F)$ 的 $mathcal{O}_F$-模 $mathrm{GL}_n(mathcal{O}_F)$ 及其 $p$-进层级）。 更进一步，我们分析了 $mathrm{GL}_n(F)$ 的 Bruhat-Tits 结构。通过对 $mathrm{GL}_n(F)$ 作用于 $F^n$ 上的网格（Lattices）的分析，我们引入了 Bruhat-Tits 树（对于 $mathrm{GL}_2(F)$）或更一般的 Bruhat-Tits 建筑物 的概念。这为理解群的子群结构和配对提供了几何视角。 第三章：非阿基米德表示：莫德尔加分与基准备 本章是理解非阿基米德表示的基石。我们引入 光滑表示（Smooth Representations）的概念，这是在非阿基米德群表示论中至关重要的，因为它要求表示的核包含一个开单位元邻域。 我们详细研究 极大开子群 $mathrm{GL}_n(mathcal{O}_F)$ 在光滑表示中的作用。光滑表示完全由其在 $mathrm{GL}_n(mathcal{O}_F)$ 上的限制（即 拟表示，Quasi-representations）所决定。我们阐述 Schneider-Stummel 定理，确立了光滑表示与某些代数结构的等价性。 第四章：完备可约性与拟表示 本章探讨如何分解光滑表示。我们引入了 拟表示 的概念，它们是作用在 $mathcal{O}_F$-模上的表示，并且可以分解成有限个具有特定性质的子模的直和。 关键定理包括 完备可约性定理：一个光滑表示可以分解成有限个不可约光滑表示的直和，只要该表示在 $mathrm{GL}_n(mathcal{O}_F)$ 的作用下具有有限分解性。我们详细分析了 不可约光滑表示（Irreducible Smooth Representations, ISR）的结构，特别是对于 $mathrm{GL}_n(F)$。 --- 第二部分：构造方法与基约化 第五章：基约化与单位群的表示 本章专注于 $mathrm{GL}_n(F)$ 的 单位群 $F^ imes$ 的表示。由于 $F^ imes cong mathbb{Z} imes mathcal{O}_F^ imes$，且 $mathcal{O}_F^ imes$ 是一个紧致群，其表示理论相对成熟。 我们分析 $F^ imes$ 的光滑表示，并引入 准核同态（Quasi-Homomorphisms）的概念，连接了 $F^ imes$ 的表示与 $mathbb{Z}$ 上的表示。我们详细讨论了 $chi circ mathrm{Nrd}$ 形式的表示，其中 $chi$ 是一个连续的群同态（通常是 $mathbb{C}^ imes$ 到 $mathbb{C}^ imes$），$mathrm{Nrd}$ 是规范映射。 第六章：井上级与配对 本章引入了更高级的工具来分析 $mathrm{GL}_n(F)$ 的不可约光滑表示。我们讨论 配对（Pairing）的概念，这是将一个群表示与其对偶群的表示联系起来的桥梁。 我们将重点放在 $mathrm{GL}_n(F)$ 的 非平凡单位群的表示。对于一个不可约光滑表示 $pi$，我们研究其在 Borel 子群 $B$ 上的限制。由此，我们引入 基约化 的概念，即将 $pi$ 限制在 $B$ 上的分解，这通常涉及到 诱导表示 的分析。 第七章：井上 级与极小 表示 本章深入研究 井上（Bernstein/Mellie）级 的概念，这是衡量一个光滑表示在极大开子群 $K = mathrm{GL}_n(mathcal{O}_F)$ 上的“复杂性”的一种方式。 我们着重分析 极小表示（Minimal Representations），即那些在 $K$ 上的作用域具有最小维度的表示。这些表示在整个理论中具有特殊的重要性，因为它们是基本构建块。本章将结合 Hecke代数 的知识，解释如何通过 $mathrm{GL}_n(mathcal{O}_F)$ 上的 固定向量（Fixed Vectors）来识别和构造这些表示。 --- 第三部分：实群表示与调和分析 第八章：实群的结构与紧化 本部分将视角转向实群 $mathrm{GL}_n(mathbb{R})$ 和 $mathrm{GL}_n(mathbb{C})$。我们首先回顾 Cartan 分解 和 极分解，这些是分析实群表示的关键工具。 我们讨论 $mathrm{GL}_n(mathbb{R})$ 的 紧化 过程，即将 $mathrm{GL}_n(mathbb{R})$ 嵌入到更一般的拓扑空间中，这通常涉及到将紧致群与离散群结合起来。 第九章：非紧李群的表示基础 本章介绍对非紧李群表示论至关重要的工具：Harish-Chandra 理论 和 调和分析。我们引入 表示的完备性（Completude）概念，以及 特征标公式 的推广。 关键概念包括 主系列表示（Principal Series Representations）的构造。我们通过对 $mathrm{GL}_n(mathbb{R})$ 作用于旗流形（Flag Manifolds）的分析，构造出这些表示，并讨论它们的可约性问题。 第十章：单位表示与极限表示 本章聚焦于单位化（Unitary）表示的研究，这是最受关注的一类表示。我们讨论 极大紧子群 $K$ 的表示在单位表示分解中的作用。 我们引入 极限表示（Limiting Representations）的概念，这些表示在某种意义上是紧化过程中“出现”的，它们是研究非紧群的不可约表示的有效途径，特别是那些不具有主系列结构的表示。 第十一章：半单李群的表示与陪集空间 本章将理论推广到更一般的半单李群 $G$。我们讨论 Cartan 域 及其上的表示，以及 Harish-Chandra 极小化 的作用。 我们利用 陪集空间 $G/K$ 上的微分算子和特征函数的分析来构造表示。这部分内容将为理解如何从局部群的表示推广到全局函数域上的表示提供必要的背景。 --- 第四部分：函数上的分析与结构连接 第十二章：Hecke代数与自同态环 本章重新回到 $mathrm{GL}_n(F)$，侧重于 Hecke代数 $mathcal{H}(G, K)$ 的结构，其中 $K$ 是一个开正规子群（通常是 $mathrm{GL}_n(mathcal{O}_F)$）。 我们阐述 Schneider-Stummel 理论 的更精细版本，它将光滑表示的等价性与 $mathcal{H}(G, K)$ 上的模的性质联系起来。我们详细分析了 $mathrm{GL}_n(F)$ 的 对偶性，即如何通过 $L$-函数和 $epsilon$-因子来探测表示之间的关系。 第十三章：$L$-函数与表示的不变量 本章是连接表示论与数论的关键部分。我们讨论如何从一个局部群上的表示 $pi$ 构建 局部 $L$-函数 $L(s, pi)$ 和 局部 $epsilon$-因子 $epsilon(s, pi)$。 我们使用 Gelfand-Gelfand 构造 和 Whittaker 构造 来展示 $L$-函数的标准构造方法。重点分析了 $mathrm{GL}_n(F)$ 的 非交换对偶 结构，并阐述了 因子分解 在表示分解中的作用。 第十四章：Kirillov 同态与拓扑结构 本章讨论 Kirillov 同态（或更广义的 轨道方法）在局部群表示论中的地位。虽然 Kirillov 方法主要用于阿贝尔群和李群，但其思想在非阿基米德表示论中有着重要的类比。 我们探讨如何使用群的共轭类和陪集空间来提取表示的 特征（Characters）。最后，本章讨论了现代研究中如何使用 $p$-进调和分析 来处理高维情况下的特征函数和分布。 --- 结论 本书通过对非阿基米德和实群表示的并置分析，旨在揭示局部群表示论的内在统一性。读者将掌握从基本的代数结构到高级的 $L$-函数理论的完整工具集，为进一步探索 Langlands 纲领 的相关领域做好准备。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名本身就充满了吸引力，"局部群表示论，θ对应和Langlands-Shahidi方法"——光是这几个词汇组合，就足以让任何对现代数论和代数几何领域有所涉猎的读者心潮澎湃。我一直对Langlands纲领的宏伟蓝图及其在不同数学分支中的深刻联系着迷，而θ对应更是其中一个至关重要且充满挑战的研究方向。我非常期待这本书能为我揭示局部群表示论与θ对应之间那种微妙而深刻的联系，以及Langlands-Shahidi方法是如何在这个复杂的网络中扮演关键角色的。我希望它能提供清晰的数学推理，深入浅出地解释那些抽象的概念，例如p-adic表示的独特性质，以及在局部域上构造和理解θ对应的技术细节。Furthermore, I'm particularly interested in how the book might illuminate the interplay between representation theory and number theory, especially in the context of automorphic forms and their associated L-functions, which are central to the Langlands program. The sheer depth and breadth suggested by the title promise a substantial intellectual journey.

评分☆☆☆☆☆

刚拿到这本书，就被它扎实的理论深度和严谨的数学表述所震撼。书名里的“局部群表示论”暗示了它将深入探讨在p-adic域上的群表示，这本身就是一个庞大而精妙的课题。我特别关注书中对“θ对应”的论述，这个概念在我看来是连接不同数学结构的桥梁，理解它对于把握更宏大的Langlands纲领至关重要。我期望书中能够详尽地解析θ对应的构造过程，阐述其在不同群上的具体表现，以及它如何帮助我们理解表示的性质。同时，“Langlands-Shahidi方法”这个词组也勾起了我的极大兴趣，我希望这本书能详细介绍该方法的思想精髓，特别是它如何用于研究自守形式的L函数，并最终实现Langlands纲领的某些部分。对于那些希望在表示论和数论交叉领域进行深入研究的学者而言，这本书无疑提供了一个宝贵的知识宝库，它所涵盖的内容之深，足以让我在未来的研究中不断回味和汲取灵感。

评分☆☆☆☆☆

翻阅这本书，我立刻被其引人入胜的数学世界所吸引。书名中“局部群表示论”这几个字，就足以说明它所探讨的主题的深度和广度。我一直对p-adic域上的数学结构充满好奇，而这本书似乎为我打开了一扇通往这个神秘领域的大门。我特别希望能从中学习到关于θ对应如何在高维空间中运作的见解，以及它如何成为连接不同数学理论的纽带。Langlands-Shahidi方法，这个名字本身就带着一股数学前沿的锐气，我相信这本书会详细阐述它的技术细节和理论贡献，特别是它在解析L-函数和证明Langlands纲领某些猜想方面的作用。我想象着这本书会带领我穿越抽象的代数结构，去领略数论与表示论之间那令人惊叹的和谐与统一，而这正是吸引我投入数学研究的根本动力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名，"局部群表示论，θ对应和Langlands-Shahidi方法"，让我立刻联想到了一系列我一直想要深入理解的数学概念。我对p-adic表示论领域的研究一直充满热情，尤其是当它与更广泛的Langlands纲领联系起来时。我非常期待书中能够深入探讨θ对应在局部域上的具体构造和性质，以及它在分解和分类表示方面所起到的作用。Langlands-Shahidi方法，作为现代数论中一种强大的工具，我希望书中能够详细介绍其核心思想，包括如何通过L-函数和递约关系来理解自守表示。我预感这本书将会是一本非常有挑战性但同时也极具回报的读物，它能够为我提供理解现代数论和表示论交叉领域最新进展的坚实基础，并激发我进一步探索未知的数学疆域。

评分☆☆☆☆☆

仅仅是书名——“局部群表示论，θ对应和Langlands-Shahidi方法”——就足以激起我对这本书的无限遐想。我一直对p-adic表示论的精妙之处以及它在现代数论中的核心地位深感着迷。我希望这本书能为我揭示θ对应是如何在局部群的表示理论中扮演关键角色的，以及它如何能够帮助我们建立不同表示之间的桥梁。Langlands-Shahidi方法，对我来说，是通往理解自守形式和L-函数奥秘的一把钥匙。我热切期盼书中能够详细阐述该方法的技术细节，以及它在证明Langlands纲领中的重大进展。这本书在我看来，不仅仅是一本学术著作，更像是一次穿越数学前沿的探险，我期待着它能带领我领略那些关于数论与表示论之间深刻而美丽的联系。

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数学经典教材，先买了，慢慢学

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不错，当科普书看看长点知识。

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还可以。。。。。。。。。。

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东西是正版的

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