于是我这样来安排这门课。在第一周,我描述分析中的一些众所周知的“悖论”,在这些悖论中,平常的算律(例如极限与求和的交换,或求和与积分的交换)以不严格的方式加以使用而导出像0=1那样的荒谬的结果。这就启发我们提出这样的要求:回到事物的开端,甚至回到自然数的真正的定义,并且要求从头检验全部的基础原理。例如,第一个习题就是(只使用Peano公理)验证自然数的加法是结合的(即(a+b)+c=a+(b+c)对于一切自然数a,b,c成立,见习题2.2.1)。那么,即使是在第一周,学生也必须使用数学归纳法来写出严格的证明。当推导出自然数的全部基本性质之后,我们就转向整数(其原始定义是自然数的形式差);一旦学生验证了整数的一切基本性质,我们就转向比例数①(其原义是整数的形式比);而后我们就(经由cauchy序列的形式极限)转到实数。与此同时,还要涉及集合论的基础,例如演示实数的不可数性。仅在此后f大约十讲之后)我们才开始进入人们通常认为的实分析的核心内容——极限、连续性、可微性,等等。
评分感觉内容少了点 但确实是速览 无聊时随便翻翻不错
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面对此种困境,我尝试用一种稍许不同的方式来处理这门课程。按照典型的方式,在实分析中一系列导引内容是预先假定了的,假定学生已经熟知实数,熟知数学归纳法,熟悉初等微积分,并且熟悉集合论的基础知识,然后一下子就进入课程的核心内容,例如极限概念。通常确实会给进入课程的学生轻描淡写地展示一下这些预备性的知识,但在绝大多数情况下,这些材料都不是认真地叙述的。例如,极少有学生能够真正地定义实数,甚或真正地定义整数,尽管他们可以直觉地想象这些数字并熟练地对它们进行代数运算。我觉得这好像是失去了一个良好的机会,在学生首次遇到的课程当中,实分析(与线性代数和抽象代数一样)是这样的一门课,人们确实必须全力抓住一个真正严格的数学证明的本质。正因如此,这门课程提供了一个极好的机会去回顾数学的基础,特别是提供了一个做出实数的真正精确的解释的机会。
评分面对此种困境,我尝试用一种稍许不同的方式来处理这门课程。按照典型的方式,在实分析中一系列导引内容是预先假定了的,假定学生已经熟知实数,熟知数学归纳法,熟悉初等微积分,并且熟悉集合论的基础知识,然后一下子就进入课程的核心内容,例如极限概念。通常确实会给进入课程的学生轻描淡写地展示一下这些预备性的知识,但在绝大多数情况下,这些材料都不是认真地叙述的。例如,极少有学生能够真正地定义实数,甚或真正地定义整数,尽管他们可以直觉地想象这些数字并熟练地对它们进行代数运算。我觉得这好像是失去了一个良好的机会,在学生首次遇到的课程当中,实分析(与线性代数和抽象代数一样)是这样的一门课,人们确实必须全力抓住一个真正严格的数学证明的本质。正因如此,这门课程提供了一个极好的机会去回顾数学的基础,特别是提供了一个做出实数的真正精确的解释的机会。
评分给单位图书室买的 挺好的
评分还可以,细分很多项:经典力学,热力学,电磁学等。一本物理概念书。
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