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Alfio Quarteroni & Alb... 著

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出版社： Springer

ISBN：9783540852674

商品编码：1202231457

包装：平装

外文名称：Numerical Approximatio...

出版时间：2008-09-24

页数：543

正文语种：英语

图书基本信息

Numerical Approximation of Partial Differential Equations
作者： Alfio Quarteroni;Alberto Valli;
ISBN13： 9783540852674
类型： 平装(简装书)
语种： 英语（English）
出版日期： 2008-09-24
出版社： Springer
页数： 543
重量（克）： 839
尺寸： 23.622 x 15.494 x 3.048 cm

商品简介

Everything is more simple than one thinks but at the same time more complex than one can understand Johann Wolfgang von Goethe To reach the point that is unknown to you, you must take the road that is unknown to you St. John of the Cross This is a book on the numerical approximation ofpartial differential equations (PDEs). Its scope is to provide a thorough illustration of numerical methods (especially those stemming from the variational formulation of PDEs), carry out their stability and convergence analysis, derive error bounds, and discuss the algorithmic aspects relative to their implementation. A sound balancing of theoretical analysis, description of algorithms and discussion of applications is our primary concern. Many kinds of problems are addressed: linear and nonlinear, steady and time-dependent, having either smooth or non-smooth solutions. Besides model equations, we consider a number of (initial-) boundary value problems of interest in several fields of applications. Part I is devoted to the description and analysis of general numerical methods for the discretization of partial differential equations. A comprehensive theory of Galerkin methods and its variants (Petrov- Galerkin and generalized Galerkin), as wellas ofcollocationmethods, is devel- oped for the spatial discretization. This theory is then specified to two numer- ical subspace realizations of remarkable interest: the finite element method (conforming, non-conforming, mixed, hybrid) and the spectral method (Leg- endre and Chebyshev expansion).

沉浸于经典物理的宏大叙事：一部探索物质与能量交织的力作 本书带领读者深入探索经典物理学的核心领域，聚焦于电磁场理论与流体力学两大支柱。这不是一本晦涩的教科书，而是一次对自然界基本规律的深度探索，旨在揭示隐藏在日常现象背后的数学美感与物理逻辑。 第一部分：电磁学的精妙构建 我们将从麦克斯韦方程组的完美几何结构入手，系统性地梳理电场、磁场及其相互作用的统一框架。我们的目标不仅是记住这些方程，更是要理解它们如何从两个世纪前的实验观察中提炼、升华，最终描绘出光速的奥秘。 1. 静态场与势的根基 开篇聚焦于静电学与静磁学。库仑定律和安培定律是起点，但真正的深度在于引入标量势（Voltage）和矢量势（Vector Potential）的概念。我们将详细剖析泊松方程和拉普拉斯方程在求解复杂电荷分布问题中的威力。例如，在分析导体边界条件或介质内部场分布时，如何巧妙地利用这些势来简化微分方程的求解过程。特别关注唯一性定理，它保证了在给定边界条件下物理解的确定性，这是理论物理建模的基石。 2. 动态场的展开与电磁波的诞生 当电荷开始加速或电流发生变化时，电磁场便展现出其动态的本质。本部分将聚焦于法拉第电磁感应定律和变化的磁场产生电场这一革命性思想。通过详细推导，读者将清晰地看到，麦克斯韦的“位移电流”项是如何补全了安培定律的遗漏，从而导向了电磁波方程。 我们不会仅仅停留在方程的推导上。深入讨论将包括： 平面电磁波的性质：极化（线偏振、圆偏振、椭圆偏振）的几何描述，以及坡印廷矢量（Poynting Vector）如何精确量化能量的流动方向与密度。 波的传播与边界条件：当电磁波入射到不同介质的界面时，反射与折射的规律如何由菲涅耳方程精确控制。这部分内容将辅以大量实例，分析无线电波在地球大气层中的传播现象。 3. 辐射现象的解析 从振荡偶极子到更复杂的辐射源，理解电磁波如何被“发射”出去是理解现代通信和天文学的关键。我们将分析电偶极子辐射和磁偶极子辐射的远场近似，计算其辐射功率，并探讨其与振子运动的关系。这部分内容强调了时变电磁场理论在描述光与物质相互作用中的核心地位。 第二部分：流体力学的连续介质模型 第二部分将视角转向宏观物质的运动——流体力学。我们将放弃对单个分子运动的微观描述，转而采用连续介质假设，构建描述宏观流动现象的数学框架。 1. 运动学与守恒定律的基础 流体力学建立在三个核心守恒定律之上：质量守恒、动量守恒和能量守恒。 质量守恒（连续性方程）：我们将讨论拉格朗日和欧拉描述方法的区别，以及它们如何统一地导向流场的速度场方程。 动量守恒（纳维-斯托克斯方程的引入）：这是流体力学中最富挑战性但也最核心的方程。我们将详细解析其中各项的物理意义：惯性项、压力梯度项、粘性项以及外部体力项。对于无粘流，我们深入探讨欧拉方程的解，特别是伯努利原理在等熵流中的应用，这对于理解喷气推进和水动力学至关重要。 2. 粘性流体的行为与湍流的挑战 粘性是流体内部摩擦力的体现。我们将专门分析斯托克斯流动（低雷诺数）和剪切流的特性。 边界层理论：普朗特（Prandtl）的边界层概念是理解高雷诺数流动的关键突破。我们将探讨如何通过边界层近似，将纳维-斯托克斯方程简化为更易于求解的方程组，从而精确预测物体表面的阻力与分离点。 湍流的现象学描述：尽管湍流的精确解析解至今仍是未解之谜，但本书将介绍描述湍流统计特性的关键工具，如雷诺平均（Reynolds Averaging）和湍流模型（如 $k-epsilon$ 模型的基础概念），帮助读者理解湍流混合和能量耗散的物理机制。 3. 热力学耦合与特殊流体 流体的运动往往伴随着温度和密度的变化。 可压缩流：当流速接近音速或超音速时，密度变化不可忽略。我们将研究声速的定义，马赫数的意义，并分析激波（Shock Waves）的形成及其在气体动力学中的重要性，尤其是在设计超音速飞行器时。 理想气体模型：在许多工程应用中，我们将使用状态方程（如理想气体定律）来封闭能量方程，从而实现对流场温度、压力和密度的完整描述。 结论：统一的视角 全书的叙事主线是展示如何运用微分方程这一数学工具，将看似不相关的电磁现象和流体运动统一纳入到物理学的框架之中。从场论的优雅对称性到连续介质的复杂非线性，本书致力于培养读者将抽象的数学语言转化为对物质世界深刻洞察的能力。这不是关于“数值计算方法”的讨论，而是关于“如何用精确的物理定律来描述和理解世界”的经典构建。

评分☆☆☆☆☆

我通常对技术书籍的“实战性”要求很高，这本书在这方面做得尤为出色。它不仅仅停留在抽象的数学符号上，而是花了大量篇幅讨论了编程实现中常见的陷阱，比如浮点数精度问题、边界条件的正确施加、以及如何选择合适的步长以平衡精度和计算成本。其中关于处理不规则几何形状时，网格划分策略的讨论，我感觉就像是听了一场行业顶级专家的讲座。书中的附录部分还贴心地列出了一些开源库的接口规范和使用注意事项，这对于希望将理论快速投入实际项目中的工程师来说，节省了无数摸索的时间。总而言之，这本书提供了一个完整的闭环——从理论构建到数值实现，再到性能优化和实际应用，视野非常开阔，是工具箱里不可或缺的一件利器。

评分☆☆☆☆☆

我是在一个高强度的项目压力下接触到这本书的，坦白说，起初我对它抱有一丝怀疑，毕竟市面上关于数值方法的书籍汗牛充栋，真正能“落地”的却凤毛麟角。然而，这本书的特点在于其对稳定性和收敛性的讨论，远比我预期的要深刻和细致。作者没有停留在仅仅展示公式的层面，而是深入剖析了不同离散化方案背后的误差来源和控制策略。我特别欣赏其中关于刚性系统（Stiff Systems）处理的章节，书中对隐式方法的选择和参数调整给出了非常实用的建议，这对于处理涉及多时间尺度问题的工程师来说，简直是救命稻草。书中的图表绘制得极为精良，每张图都直观地展示了理论结果和数值模拟结果的吻合度，极大地增强了可信度。阅读过程中，我甚至发现了几处我先前理解有误的细微概念，经过对照书中的论述，立刻得到了修正，这极大地提升了我后续工作的精确性。

评分☆☆☆☆☆

说实话，这本书的排版和装帧本身就给人一种严谨、专业的印象，但真正吸引我的是它对算法效率的关注。在现代计算科学中，光有正确的答案是不够的，我们还需要快速地得到答案。这本书的后半部分，重点放在了高效求解器和并行化策略上，这对我这种需要处理超大规模数据集的研究人员来说至关重要。作者详细比较了迭代法与直接法的适用场景，并针对稀疏矩阵的存储和运算给出了非常前沿的优化技巧。我尝试将书中使用C++实现的某个矩阵分解算法的思路应用到我现有的Python框架中，结果发现计算时间缩短了近40%。这种理论指导实践，并带来可观性能提升的体验，是其他许多纯理论书籍无法给予的。它不仅仅是教你怎么算，更是在教你如何“聪明”地算。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是为我量身定做的！我一直对数学建模和工程计算抱有浓厚的兴趣，但总觉得那些理论性的书籍晦涩难懂，缺乏实践指导。这本书的出现，完全改变了我的看法。它的讲解深入浅出，即便是像我这样基础稍微薄弱的读者，也能很快跟上作者的思路。特别是关于如何将复杂的物理问题转化为可计算的数学模型这一部分，作者提供了非常清晰的步骤和详细的案例分析。我记得我尝试用书中的方法解决了一个困扰我很久的流体力学模拟问题，结果不仅成功了，而且效率比我之前用的其他软件工具还要高出不少。这本书不仅仅是一本教科书，更像是一位经验丰富的导师，手把手地教你如何驾驭数值计算这门强大的工具。从有限差分到有限元方法的原理介绍，再到具体的算法实现，逻辑链条衔接得非常自然流畅，让人读起来有种豁然开朗的感觉，强烈推荐给所有从事相关领域研究和开发的同仁。

评分☆☆☆☆☆

作为一名偏向应用数学的本科生，我发现这本书的难度曲线设置得非常巧妙。开篇部分循序渐进，将傅里叶分析、拉普拉斯变换等背景知识做了必要的复习，确保读者不会因为背景知识的缺失而感到挫败。但随着章节的深入，难度会陡然提升，例如在处理非线性问题的牛顿法及其变体时，对雅可比矩阵的计算和误差估计部分，需要读者投入大量精力进行推导和思考。这种“先易后难，层层递进”的结构，极大地锻炼了我的独立思考能力。它迫使我不能只满足于照搬书本上的代码示例，而是必须理解其背后的数学原理，才能进行有效的修改和扩展。对于希望从“使用者”成长为“设计者”的学生来说，这本书无疑是极佳的阶梯。