具體描述
內容簡介
本書是根據作者在北京大學數學學院多年教學實踐的基礎上編寫而成的，第一版於1991年齣版。作者在第二版準備的過程中，在力求保持原有風格、特色的同時，對部分內容作瞭適當調整和精簡，在敘述上也作瞭很多改進。全書仍為十一章，各章內容為：基本概念；初等積分法；存在和**性定理；奇解；高階微分方程；綫性微分方程組；冪級數解法；定性理論與分支理論初步；邊值問題；首次積分；一階偏微分方程。 本書可作為數學專業常微分方程課的教材，也可供有關專業人員參考。用戶評價
我特彆贊賞《常微分方程教程（第二版）》在教學方法上的獨到之處。它不像某些數學書籍那樣，上來就是一套冰冷的公式和證明，而是更注重與讀者的“對話”。作者的語言風格非常親切，並且善於利用各種類比和比喻來解釋復雜的概念。比如，在介紹高階綫性方程的疊加原理時，作者會用“就像不同顔色的光疊加會産生新的顔色一樣”來類比，這樣的比喻雖然簡單，但卻能極大地幫助初學者建立直觀的理解。而且，書中經常會穿插一些“思考題”和“小練習”，這些都不是強製性的，但卻是非常有啓發性的。它們不是用來測試你是否記住瞭某個公式，而是引導你去思考概念背後的邏輯，或者嘗試自己去推導一些結果。我常常會被這些問題吸引，並且花很多時間去思考，在這個過程中，我感覺自己對知識的掌握更加深入和牢固。我特彆喜歡書中的曆史背景和數學傢小故事的穿插。在介紹某些重要的定理或者方法時，作者會簡單介紹一下提齣該理論的數學傢以及當時的時代背景，這不僅讓學習過程變得更有趣，也讓我瞭解到這些偉大的數學成就背後所付齣的努力和智慧，從而更加敬畏數學。例如，在講到拉格朗日方程和哈密頓方程時，書中簡單提到瞭這些方程在經典力學中的應用，以及它們背後深刻的物理意義，這讓我感到數學與物理的緊密聯係。另外，本書的排版設計也非常人性化，關鍵的公式和定義都有醒目的標記，重要的定理和推論也有清晰的區分，這使得在復習和查找資料時非常方便。總的來說，這本書的教學方法非常有效，它不僅僅教授知識，更重要的是培養學生獨立思考和解決問題的能力。
評分初識《常微分方程教程（第二版）》，便被它嚴謹而又不失溫度的敘述風格深深吸引。作為一名數學係的本科生，在接觸到微分方程這門課程時，內心總是懷揣著一絲敬畏與好奇。課程本身所承載的物理世界和社會現象的深刻洞察力，以及其背後所蘊含的抽象數學美，都讓我著迷。這本書不僅僅是一本教科書，更像是一位循循善誘的導師，它沒有上來就拋齣艱澀的定義和復雜的定理，而是通過一係列精心設計的例子，引導我們逐步理解常微分方程的本質。從最基礎的一階綫性方程的幾何解釋，到高階方程的解的存在性與唯一性定理的鋪墊，每一個概念的引入都恰到好處，仿佛在為你搭建一座通往更深層次數學理解的大橋。書中的插圖和圖示也尤為精彩，它們將抽象的數學概念形象化，幫助我更好地把握方程的幾何意義和動力學行為。例如，在講解相平麵分析時，那些精美的嚮量場圖，讓我仿佛置身於一個動態的數學宇宙，能夠直觀地觀察到不同初值條件下解的軌跡變化，這種“看得見”的數學，極大地降低瞭學習的門檻，也增加瞭學習的樂趣。我尤其欣賞作者在介紹不同解法時，所展現齣的數學傢的嚴謹與創造力。無論是分離變量法、通解法，還是積分因子法，每一種方法都被講解得透徹而細緻，不僅給齣瞭通用的推導過程，還結閤瞭大量的例題進行鞏固。對於一些特殊的方程類型，比如伯努利方程、歐拉方程等，書裏也有專門的章節進行講解，並且給齣瞭它們各自的特點和解題技巧，這對於我們這些初學者來說，無疑是寶貴的財富。而且，作者在講解的過程中，並沒有迴避一些“灰色地帶”，比如方程的可解性問題，以及數值解的局限性，這些討論讓我看到瞭數學研究的深度和廣度，也激發瞭我進一步探索的欲望。總而言之，這本書為我打開瞭常微分方程世界的大門，讓我對這個領域充滿瞭信心和興趣。
評分《常微分方程教程（第二版）》給我最大的啓發在於它所展現齣的數學思維的嚴謹性和深刻性。這本書不僅僅是關於如何解方程，更是關於如何用數學的語言去思考和描述世界。作者在講解每一個概念時，都非常注重其定義和前提條件，這讓我意識到，在數學的世界裏，精確性是多麼的重要。例如，當講解解的存在性與唯一性定理時，作者會反復強調積分和導數的連續性等條件，並解釋為什麼這些條件是必不可少的，這讓我對數學的嚴謹性有瞭更深的認識。我尤其欣賞書中關於“相空間”和“動力係統”的介紹。通過這些概念，我開始理解微分方程不僅僅是孤立的方程，而是一個描述係統隨時間演化的整體。書中的圖示和例子，如捕食者-獵物模型、洛特卡-沃爾泰拉方程等，都非常形象地展示瞭動力係統的復雜性和多樣性。這讓我看到瞭數學工具在分析復雜係統方麵的巨大潛力。我還發現，這本書在講解過程中，會時不時地引導讀者去思考“為什麼”和“如果……會怎樣”。比如，在討論綫性方程組的解法時，作者會引導你去思考特徵值的幾何意義，以及不同特徵值情況下的係統行為。這種開放式的提問方式，極大地激發瞭我的學習主動性，也讓我學會瞭如何從更深的層次去理解數學問題。此外，書中還涉及瞭一些關於穩定性理論和分岔理論的初步介紹，雖然內容不深，但足以讓我窺見數學在前沿研究中的應用，這讓我對未來的學習充滿瞭期待。總而言之，這本書不僅傳授瞭具體的常微分方程知識，更重要的是培養瞭我一種嚴謹、深刻的數學思維方式。
評分《常微分方程教程（第二版）》這本書為我打開瞭探索數學世界的一個重要窗口。它讓我看到瞭常微分方程這門學科的強大生命力，以及它在各個領域中的廣泛應用。我尤其被書中關於“穩定性理論”的講解所吸引。在學習瞭基本的解法之後，能夠進一步瞭解一個係統的長期行為是否穩定，這對理解很多實際問題至關重要。書中所介紹的李雅普諾夫穩定性判據，以及對不同類型平衡點穩定性的分析，都讓我印象深刻。例如，在講解關於係統解的“趨近”和“遠離”的行為時，作者會用生動的比喻來闡釋，比如一個放在山坡上的小球，放在最高點是極不穩定的，放在山榖底部則是穩定的，這讓我對抽象的穩定性概念有瞭清晰的認識。而且，書中不僅僅停留在理論層麵，還會結閤一些實際的例子，比如在控製理論、電路分析、生態係統模型中的穩定性問題，這讓我看到瞭數學理論的實踐價值。我還對書中關於“數值解法”的介紹感到受益匪淺。理論解法雖然優美，但在很多情況下卻難以求解，而數值方法則為我們提供瞭近似求解的有效途徑。書中對歐拉法、改進歐拉法、龍格-庫塔法等經典方法的介紹，以及對其精度和收斂性的分析，讓我能夠根據不同的問題選擇閤適的數值方法。我曾嘗試用書中的方法編寫簡單的數值計算程序，通過編程實踐，我對數值解的原理有瞭更深刻的理解，也體會到瞭計算機在解決數學問題中的重要作用。總而言之，這本書讓我看到瞭常微分方程的廣闊應用前景，並激發瞭我進一步深入學習和研究的興趣。
評分《常微分方程教程（第二版）》給我最深刻的印象是它在“數學建模”方麵的引導作用。這本書讓我明白，數學不僅僅是靜態的知識，更是一種動態的思維方式，尤其是在將現實世界的問題轉化為數學語言的過程中。作者在介紹每個模型時，都會非常詳細地分析其背後的邏輯，比如如何從實際現象中抽象齣關鍵變量，如何選擇閤適的數學關係來描述這些變量之間的相互作用。我記得在學習“傳染病傳播模型”（如SIR模型）時，書中不僅給齣瞭模型的微分方程形式，還對每個方程中的參數（如感染率、恢復率）進行瞭深入的解釋，並分析瞭不同參數取值下疫情傳播趨勢的變化。這種“從現象到模型”的講解方式，讓我能夠更好地理解數學模型是如何反映現實世界的，也培養瞭我獨立建立數學模型的能力。我還對書中關於“模型的驗證與修正”的討論非常感興趣。作者強調，任何數學模型都隻是對現實的一種近似，因此需要通過與實際數據的對比來驗證模型的有效性，並在必要時對模型進行修正。書中給齣瞭幾種常見的模型驗證方法，並指導讀者如何根據模型擬閤的結果來調整模型參數或修改模型結構。這種“迭代優化”的思想，對於任何科學研究都至關重要。我曾經嘗試用書中介紹的方法，對一個簡單的生態係統模型進行修正，通過對比仿真結果與觀測數據，我成功地提高瞭一個關鍵參數的精度，這讓我非常有成就感。總而言之，這本書不僅教授瞭常微分方程的求解技巧，更重要的是教會瞭我如何運用數學的思維去觀察、分析和解決現實世界中的復雜問題。
評分《常微分方程教程（第二版）》給我最深刻的印象是它在抽象概念和具體應用之間的平衡處理得非常齣色。作為一名對數學應用比較感興趣的學生，我一直希望能夠看到數學理論如何在現實世界中發揮作用。這本書在這方麵做得相當到位。在講解每一個理論概念的時候，作者都會穿插一些生動具體的例子，將抽象的數學模型與實際問題聯係起來。例如，在介紹指數增長和衰減模型時，作者不僅僅給齣瞭微分方程的形式，還會舉例說明其在人口增長、放射性衰變、藥物動力學等領域的應用，並對模型中的參數進行瞭解釋，讓我能夠理解數學語言是如何描述這些自然現象的。這種“理論與實踐並重”的方式，不僅讓我更容易理解抽象的數學理論，也激發瞭我利用數學工具解決實際問題的興趣。我尤其喜歡書中關於係統動力學和穩定性分析的部分。當學習到二階綫性自治係統時，書裏通過對相平麵的分析，生動地描繪瞭不同平衡點的性質，如穩定節點、不穩定節點、鞍點、中心等，並且結閤瞭阻尼振子、無阻尼振子等經典物理模型，讓我直觀地感受到微分方程在描述物理係統動態演化過程中的強大威力。這種將數學模型與物理直覺相結閤的講解方式，是我在其他教材中很少見到的。此外，書中還探討瞭一些更具挑戰性的課題，比如奇點附近的解的行為，以及邊界值問題，這些內容雖然相對深入，但作者依然通過清晰的邏輯和恰當的例子，引導我們一步步深入理解。對於一些復雜的證明，書中也會提供一些提示和思路，而不是直接給齣完整的證明，這鼓勵我去獨立思考和探索。總之，這本書讓我看到瞭常微分方程作為一門學科的生命力，它不僅僅是抽象的數學符號，更是理解和改造世界的強大工具。
評分《常微分方程教程（第二版）》讓我深刻體會到瞭數學的“美學”和“藝術性”。它不僅僅是一堆枯燥的符號和公式，而是在嚴謹的邏輯推導中展現齣一種內在的和諧與優雅。作者在敘述過程中，總能不經意間流露齣對數學的熱愛，這種熱愛也深深地感染瞭我。我尤其喜歡書中對某些特殊方程解的幾何解釋。例如，對於二階自治係統的相平麵分析，作者通過繪製各種嚮量場和相軌綫，將抽象的微分方程轉化為一幅幅生動的“動態畫捲”，讓我能夠直觀地感受到係統演化的方嚮和趨勢。這種幾何化的視角，不僅降低瞭理解難度，更讓我體會到數學的直觀性和形象性。我記得在學習“穩定極限環”的概念時，書中通過一個非常精美的圖示，展示瞭各種初始條件下的解都逐漸趨近於一個封閉的麯綫，這種“有規律地吸引”的動態，充滿瞭數學的詩意。書中的一些證明過程也寫得非常巧妙，仿佛是一種精密的“數學舞蹈”。作者在推導過程中，會適時地給齣一些“提示”，或者對某些關鍵步驟進行強調，這使得整個證明過程流暢而富有邏輯美感。我也很欣賞書中對於一些“例外情況”的討論，比如奇點附近的解的行為，或者在特定條件下齣現的“分岔”現象。這些“不規則”的“意外”，恰恰展現瞭數學世界的豐富性和復雜性，也讓我看到瞭數學研究的魅力所在。我曾花瞭很多時間去琢磨書中關於“吸引子”和“吸引域”的討論，這些概念讓我對係統的長期行為有瞭全新的認識，也感受到瞭數學在描述復雜現象時的力量。總而言之，這本書讓我看到瞭常微分方程不僅僅是一門技術，更是一門充滿智慧和藝術的學科。
評分拿到《常微分方程教程（第二版）》這本書，我最直接的感受就是它非常“紮實”。這種紮實體現在內容編排的邏輯性和知識體係的完整性上。它不是簡單地羅列公式和定理，而是循序漸進地構建起一個完整的常微分方程知識框架。從最基本的概念，如方程的階數、解、初值問題，到更抽象的定理，如皮卡-林德洛夫定理（Picard-Lindelöf theorem）和皮亞諾定理（Peano theorem），每一個知識點都經過瞭精心組織和嚴謹推導。作者在解釋這些定理時，非常注重邏輯的嚴密性，而且會詳細說明定理成立的條件，以及定理的實際意義，這對於理解數學的“為什麼”至關重要。我看過不少數學書，有些書講定理講得過於晦澀，讓人望而生畏，但這本書在這方麵做得非常好。它在證明定理的過程中，會適時地加入一些直觀的解釋和類比，幫助讀者理解證明思路，而不是僅僅展示一連串的符號推演。另外，書中的例題設計也是我非常贊賞的一點。每一章的例題都緊密結閤該章的知識點，難度上也有梯度，從基礎的應用題到稍微復雜的分析題，覆蓋麵很廣。我常常會反復練習書中的例題，並嘗試自己去變通和拓展，這極大地鞏固瞭我對知識的理解。特彆是關於一些特殊方程的解法，比如綫性方程組的解法，書裏詳細講解瞭利用特徵方程、待定係數法、常數變易法等多種方法，並且給齣瞭每種方法的適用範圍和優缺點，這種對比分析非常有益於我們選擇最閤適的解題策略。我還注意到，這本書在講解數值解法時，也給齣瞭很清晰的介紹，比如歐拉法、改進歐拉法、龍格-庫塔法等，並且分析瞭它們的精度和收斂性，這讓我瞭解到理論解法之外的另一種重要求解途徑。整體而言，這本書讓我對常微分方程的學習過程充滿瞭信心，因為它提供瞭一個堅實可靠的知識基礎。
評分《常微分方程教程（第二版）》這本書給我最直接的感受是它的“實用性”和“可操作性”。它不僅僅是理論的堆砌，更是一本能夠指導實際操作的“工具書”。在學習過程中，我發現書中提供的例題都非常貼近實際應用，涵蓋瞭物理、工程、生物、經濟等多個領域。例如，在講解振動係統時，書中不僅給齣瞭描述單擺、彈簧振子運動的微分方程，還分析瞭阻尼、外力驅動等因素對係統行為的影響，並給齣瞭解的解析錶達式和數值模擬的建議。這讓我能夠將書中的知識直接應用於解決相關的實際問題。我尤其喜歡書中關於“邊值問題”的講解。邊值問題在很多工程和科學領域中都非常常見，比如傳熱、流體力學等。書中對邊值問題的不同求解方法，如打靶法、有限差分法等都進行瞭詳細的介紹，並給齣瞭具體的步驟和注意事項。我曾嘗試用書中介紹的打靶法來求解一些簡單的邊值問題，通過實際操作，我對求解過程的理解更加深入，也體會到瞭數值方法在解決復雜問題時的強大作用。此外，書中還對一些常用的軟件工具在求解微分方程中的應用進行瞭簡單的介紹，這讓我看到瞭數學理論與現代計算技術相結閤的巨大潛力。我曾經利用書中提到的方法，結閤一些開源的數學軟件，對一些實際工程問題進行瞭初步的建模和仿真，獲得瞭非常有價值的結果。總而言之，這本書讓我看到瞭常微分方程的實際價值，並且為我提供瞭解決實際問題的有力工具。
評分《常微分方程教程（第二版）》這本書給我最大的收獲是它培養瞭我一種“分析問題”的能力。在學習過程中，我發現這本書不僅僅是教你如何計算，更是教你如何“思考”。作者在講解每個概念時，都會引導你去理解其背後的邏輯和意義，而不是簡單地記憶公式。例如，在學習到“可積因子”的概念時，書中並沒有直接給齣公式，而是先講解瞭為什麼我們需要尋找這樣一個因子，以及它在何種意義下能夠簡化方程的求解。這種“追根溯源”的講解方式，讓我能夠更深入地理解數學工具的本質。我尤其欣賞書中關於“奇點”的分析。奇點是微分方程中一個非常重要且復雜的概念，書中通過對不同類型奇點（如退化奇點、非退化奇點）的詳細討論，以及對其周圍解的行為的分析，讓我能夠更全麵地理解微分方程的局部特性。我曾花瞭很多時間去研究書中關於“李雅普諾夫函數”的構造方法，這讓我看到瞭數學傢們如何巧妙地利用“能量”或“損耗”的概念來分析係統的穩定性，這種“構造性”的證明思路對我啓發很大。此外，書中還涉及瞭一些關於“弱解”和“粘性解”的概念，雖然內容相對深入，但它讓我瞭解到，在某些情況下，傳統的解的概念可能不足以描述係統的行為，這拓展瞭我對“解”的理解的邊界。我還注意到，書中在講解一些較難的定理時，會提供多種不同的證明思路，這讓我體會到，在數學研究中，往往存在多種解決問題的方法，而選擇閤適的方法需要深刻的理解和經驗。總而言之，這本書讓我學會瞭如何從不同的角度去分析和解決問題，培養瞭我一種嚴謹而富有創造力的數學思維。
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