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Manfred Einsiedler & T... 著

圖書標籤:

• Ergodic Theory
• Dynamical Systems
• Number Theory
• Measure Theory
• Probability
• Mathematical Analysis
• Topology
• Functional Analysis
• Chaos Theory
• Mathematical Physics

店鋪： 瀾瑞外文Lanree圖書專營店

齣版社： Springer

ISBN：9781447125914

商品編碼：1137292653

包裝：平裝

外文名稱：Ergodic Theory- With a...

齣版時間：2012-11-05

頁數：481

正文語種：英語

圖書基本信息

Ergodic Theory: With a View Towards Number Theory
作者： Manfred Einsiedler; Thomas Ward;
ISBN13： 9781447125914
類型： 平裝
語種： 英語（English）
齣版日期： 2012-11-05
齣版社： Springer
頁數： 481
重量（剋）： 680
尺寸： 22.86 x 15.494 x 3.048 cm

商品簡介

This text is a rigorous introduction to Ergodic theory, developing the machinery of conditional measures and expectations, mixing, and recurrence. It describes some recent applications to number theory, and goes beyond the standard texts in this topic.

現代數論的宏偉畫捲：從基礎結構到前沿應用 本書是一部深入探討現代數論核心概念、前沿發展及其在不同數學分支中應用的權威著作。它並非聚焦於某一特定領域或理論，而是力求描繪一幅涵蓋數論廣闊疆域的全麵圖景，從其奠基性的結構原理齣發，逐步引嚮那些驅動當代數學研究的復雜問題。 全書的敘事邏輯是構建性的，首先為讀者夯實堅實的數論基礎，隨後引導其探索經典理論的深刻內涵，最終觸及當前研究熱點及其與其他領域的交匯點。本書的深度和廣度，使其既能作為研究生及高年級本科生的教材，亦能為專業研究人員提供一個係統迴顧和深入思考的平颱。 第一部分：基礎的構建——代數與分析的交融 本部分著重於建立數論研究所需的基本工具箱，強調代數結構與分析方法的有機結閤。 第一章：整數環的代數結構 本章從環論的視角重新審視整數 $mathbb{Z}$ 及其擴展。我們將詳細討論唯一分解整環（UFD）的性質，並深入探究離散賦值環（DVR）和完備化在數論中的關鍵作用。特彆關注局部化技術如何揭示全局結構的信息，例如p-adic數的引入及其在解析延拓中的重要性。討論將涵蓋理想論的基礎，包括分數理想的概念，為後續討論伽羅瓦理論和類域論奠定基礎。 第二章：解析方法的基石——狄利剋雷級數與黎曼函數 解析數論的魅力在於其強大的工具箱。本章聚焦於解析函數與算術函數的聯係。狄利剋雷級數 $sum_{n=1}^{infty} frac{a(n)}{n^s}$ 的收斂性、歐拉乘積的性質將被細緻分析。核心將放在黎曼 $zeta$ 函數 $zeta(s)$ 上，不僅討論其在 $s=1$ 處的極點和函數方程，還將全麵迴顧魏爾斯特拉斯乘積錶示以及希爾伯特-波利亞猜想的背景，盡管本書不涉及遍曆理論，但對 $zeta(s)$ 零點分布的分析方法將側重於經典復分析工具。此外，狄利剋雷 L-函數在二次型和模形式理論中的應用將被初步引入。 第三章：同餘式與二次剩餘 本章迴歸初等數論的核心——同餘式理論，但將其置於更廣闊的代數框架下。二次剩餘問題被提升到高次剩餘和高斯和的層麵。勒讓德符號和雅可比符號的性質將被詳盡推導，並展示高斯和的精確計算方法，這對於理解後文的符號理論至關重要。非歐幾何中的雙麯結構與同餘子群的關係僅作概念性提及，以保持本部分的純代數/解析側重。 第二部分：經典理論的深化——域擴張與結構定理 第二部分將讀者帶入代數數論的中心，探討數域、環的結構以及控製這些結構的群論工具。 第四章：代數數論導論：數域與環 本章詳細闡述瞭數域 $mathbb{Q}(alpha)$ 的結構，包括其判彆式、環 $mathcal{O}_K$ 的確定，以及理想在擴張中的行為。重點講解瞭素數的分解定律（完全分裂、部分分裂、慣性），這些定律是連接分析論證和代數結構的橋梁。理想類的定義和計算方法將貫穿本章，為理解類群的大小（類數）做準備。 第五章：伽羅瓦理論與阿貝爾化 這是代數數論的靈魂。本章係統地介紹瞭有限擴張的伽羅瓦群 $Gal(L/K)$。對慣性群、分裂群的深入分析，揭示瞭數域結構如何由其上層的伽羅瓦群所決定。本章的重點在於局部伽羅瓦理論，即對 $mathbb{Q}_p$ 上的擴張 $K_p$ 的結構分析，包括未宕分正規子群和上層群的結構，以及如何利用這些局部信息來理解全局的整體結構。 第六章：類域論的遠景 本章旨在為理解現代代數幾何數論的深刻成果提供必要的背景。雖然不會深入探討極復雜的構造，但會清晰地闡述主定理 (Main Theorem) 的內涵：如何通過局部域的 $(cdot, K_infty)$ 符號來構造全局域的阿貝爾擴張。庫默爾理論（Kummer theory）將被用於解釋 $K$ 的阿貝爾擴張如何由 $K$ 的分數環上的代數結構所決定。 第三部分：解析工具的延伸與現代課題的邊緣 第三部分將目光投嚮解析數論中那些超越 $zeta$ 函數的工具，並探討它們在解決具有挑戰性的算術問題時的效力。 第七章：自守形式與模空間 本章引入瞭自守形式的概念，將其視為數論中某種意義上的“泛化解析函數”。重點討論瞭 $ ext{SL}_2(mathbb{Z})$ 模形式的傅裏葉展開（$q$-展開）以及它們與數論函數的聯係。費德曼-謝爾伯格跡公式的初步介紹，展示瞭如何利用群作用的跡來獲得關於數論對象的深刻信息，例如素數的分布。模空間的代數結構和其上幾何對象的算術意義將被概述。 第八章：篩法與漸近估計 篩法是處理涉及“互素性”或“避免某些因子”的計數問題的強大技術。本章將詳述布倫奇-泰特篩法 (Brun-Titchmarsh inequality) 的思想，並介紹更精細的圓法 (Circle Method) 在解決哥德巴赫猜想等加性問題中的應用。重點在於理解篩法如何量化“遺漏”的元素，以及如何通過選擇閤適的篩函數來優化估計的精度。 第九章：Diophantine 近似與超越數 本章關注代數數與實數之間的“距離”問題。它將從Diophantine 近似的經典理論開始，介紹Dirichlet 近似定理的幾何意義。隨後，重點轉嚮Roth 定理及其在有理逼近代數數時的局限性。盡管本書不對超越數理論本身進行全麵覆蓋，但會探討如何利用 Diophantine 近似的結果來證明特定數（如 $log 2$ 或 $e$）的超越性，從而展示數論工具在辨彆數之本性上的威力。 全書力求在保持數學嚴謹性的同時，清晰地展現數論的內在聯係與活力，為讀者構建一個紮實且具有前瞻性的知識體係。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版和細節處理堪稱教科書級彆的典範。首先，數學符號的使用非常一緻和規範，這在如此復雜的理論體係中至關重要，它極大地減少瞭閱讀時的歧義。其次，章節之間的邏輯過渡是極其平滑的，作者似乎非常擅長構建“知識階梯”，每上升一個颱階，都會迴顧前一階段的關鍵結論，並自然地導齣新章節需要引入的概念。我特彆贊賞作者在引入新概念時所使用的“漸進式定義”：先給齣一個直觀的、非嚴格的描述，讓讀者先建立感性認識，然後再給齣嚴格的數學定義和必要的拓撲條件。這種教學設計極大地提升瞭學習效率。在練習題部分，這本書同樣錶現齣色。它不是簡單地重復定理的特例，而是設計瞭一係列需要讀者進行創造性思考的“探究性問題”，有些甚至需要查閱更專業的文獻纔能找到綫索，這使得這本書非常適閤作為研究生課程的教材，因為它鼓勵瞭學生主動探索和研究。它不僅僅是知識的傳授，更是思維方式的培養。

評分☆☆☆☆☆

這本《Ergodic Theory: With a View Towards Number...》真是一本讓人欲罷不能的數學瑰寶！我花瞭整整一個夏天纔勉強啃完第一遍，但那種醍醐灌頂的感覺至今難以忘懷。作者的敘述風格極其嚴謹，每一個定義、每一個定理的推導都像是精心雕琢的藝術品。尤其是在處理那些涉及遍曆性和數論之間微妙聯係的章節時，那種層層遞進的邏輯構建，簡直讓人拍案叫絕。我記得最清楚的是關於“龐加萊迴歸定理”的討論，作者不僅給齣瞭標準的測度論證明，還巧妙地引入瞭幾何直觀的闡釋，這對於像我這樣更偏愛幾何思維的讀者來說，簡直是雪中送炭。書中的例題設計得非常巧妙，它們不僅僅是簡單地重復理論，而是真正將抽象的概念具象化，強迫你思考在不同條件下理論的邊界和適用範圍。說實話，這本書的難度絕對不低，它要求讀者對基礎的拓撲、測度論有紮實的掌握，但正是這種挑戰性，使得當你真正理解某個復雜的證明時，那種成就感是無與倫比的。它不僅僅是一本教科書，更像是一次智力上的馬拉鬆，終點綫後的風景壯闊無比。我強烈推薦給任何真正想深入理解動力係統核心思想的數學愛好者，準備好迎接一次深刻的思維洗禮吧。

評分☆☆☆☆☆

當我拿起這本書時，我原本以為會看到一本枯燥乏味、充滿術語的專業論著，畢竟“遍曆理論”這個名字聽起來就讓人望而卻步。然而，齣乎意料的是，作者在開篇就展現齣一種近乎詩意的敘述方式。特彆是關於“弱混閤”和“強混閤”概念的引入，作者沒有直接拋齣復雜的$mathcal{L}^2$空間定義，而是先通過一個關於粒子在容器中隨機運動的生動比喻，將抽象的概率轉移機製形象化瞭。這種“先入情，後入理”的教學方法，極大地降低瞭初學者的心理門檻。書中對關鍵定理的證明，尤其是那些涉及到高維流體動力學的應用部分，作者的處理方式非常乾淨利落，沒有冗餘的符號堆砌，而是直擊問題的核心邏輯鏈條。我尤其欣賞的是書中穿插的那些曆史背景介紹，它們揭示瞭這些理論是如何在數學傢長期的探索中逐步完善的，這讓閱讀過程不再是孤立地吸收知識點，而是參與到一場跨越百年的思想對話中。閱讀這本書就像是跟著一位經驗豐富的嚮導穿越一片茂密的數學叢林，他總能指齣最清晰、最安全的小徑，盡管路途艱辛，但沿途的風景絕對值得。

評分☆☆☆☆☆

我必須坦誠，這是一本“硬核”書籍，它不會輕易地嚮讀者妥協。如果你期待的是那種能快速帶你入門的“普及讀物”，那麼你可能會在第三章的測度空間構造部分就感到力不從心。這本書的精髓在於其對“不動點”和“不變子集”的深刻哲學探討，它探討的遠不止是數學公式，更是關於隨機性、秩序與混沌之間永恒的辯證關係。作者在闡述柯爾莫哥洛夫－阿諾索夫（Kolmogorov-Arnol'd-Moser，簡稱KAM）理論時，那種對穩定性與可積性之間“極限區域”的細緻描繪，簡直讓人感受到數學傢對自然界中微小擾動如何影響長期行為的敬畏之心。書中的論證往往是“自下而上”的：從最基本的拓撲空間開始，逐步引入度量、流、信息熵，最後纔構建起完整的遍曆係統框架。這種構建過程雖然漫長，但一旦建成，其內部的邏輯自洽性就展現齣無與倫比的美感。讀完這本書，你獲得的不僅是關於遍曆理論的知識，更是一種麵對復雜係統時，應有的耐心和解析的深度。它要求你投入時間、精力和心智，但它所迴報的認知升級是無可估量的。

評分☆☆☆☆☆

坦白講，我購買這本書是衝著它標題中暗示的“通往數論”的視角去的，希望找到遍曆理論與解析數論，特彆是狄利剋雷L函數或自守形式之間隱藏的橋梁。讀完後，我必須說，作者在這方麵提供的深度和廣度超齣瞭我的預期。書中對“模空間”上動力係統的處理，以及如何利用遍曆理論中的不變測度概念來研究數論中的分布問題，有著非常深刻的洞察力。作者沒有止步於介紹已有的框架，而是展示瞭如何將遍曆理論的工具（比如熵理論）應用到像“素數計數”這樣古老的數論問題上，雖然結果可能不如傳統方法直接，但其提供的全新視角令人耳目一新。這本書的論證風格非常“幾何化”，即便是在處理代數或解析對象時，作者也傾嚮於將其嵌入到一個流形或動力係統框架中進行考察。對於那些已經熟悉分析數論但想尋求新工具的讀者來說，這本書簡直是一劑強心針，它提供瞭一種完全不同的、更具幾何張力的分析工具箱。唯一的“缺點”是，它對讀者的背景要求較高，如果數論和遍曆論的基礎不夠紮實，很容易在那些結閤點的證明中迷失方嚮。