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Miguel F Anjos & Jean ... 著

圖書標籤:

• Semidefinite programming
• Conic programming
• Polynomial optimization
• Convex optimization
• Mathematical programming
• Optimization theory
• Applied mathematics
• Computer science
• Engineering
• Operations research

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齣版社： Springer

ISBN：9781461407683

商品編碼：1142946946

包裝：精裝

外文名稱：Handbook on Semidefini...

齣版時間：2011-11-18

頁數：960

正文語種：英語

圖書基本信息

Handbook on Semidefinite, Conic and Polynomial Optimization
作者： Miguel F. Anjos;Jean B. Lasserre;
ISBN13： 9781461407683
類型： 精裝(精裝書)
語種： 英語（English）
齣版日期： 2011-11-18
齣版社： Springer
頁數： 960
重量（剋）： 1524
尺寸： 23.3934 x 15.5956 x 5.08 cm

商品簡介

Semidefinite and conic optimization is a major and thriving research area within the optimization community. Although semidefinite optimization has been studied (under different names) since at least the 1940s, its importance grew immensely during the 1990s after polynomial-time interior-point methods for linear optimization were extended to solve semidefinite optimization problems.

Since the beginning of the 21st century, not only has research into semidefinite and conic optimization continued unabated, but also a fruitful interaction has developed with algebraic geometry through the close connections between semidefinite matrices and polynomial optimization. This has brought about important new results and led to an even higher level of research activity.

This "Handbook on Semidefinite, Conic and Polynomial Optimization "provides the reader with a snapshot of the state-of-the-art in the growing and mutually enriching areas of semidefinite optimization, conic optimization, and polynomial optimization. It contains a compendium of the recent research activity that has taken place in these thrilling areas, and will appeal to doctoral" "students, young graduates, and experienced researchers alike.

The Handbook's thirty-one chapters are organized into four parts: "Theory," covering significant theoretical developments as well as the interactions between conic optimization and polynomial optimization;"Algorithms," documenting the directions of current algorithmic development;"Software," providing an overview of the state-of-the-art;"Applications," dealing with the application areas where semidefinite and conic optimization has made a significant impact in recent years.

優化理論與實踐的深度探索：綫性規劃、非綫性規劃與凸優化方法 本書旨在為數學優化領域的學生、研究人員和從業者提供一個全麵而深入的指南，涵蓋瞭從經典綫性規劃到現代凸優化理論與算法的廣泛內容。通過嚴謹的數學推導和豐富的實際應用案例，本書構建瞭一個堅實的理論基礎，並側重於實際問題的建模與求解技術。 全書共分為六個主要部分，每一部分都以前一部分的知識為基礎，層層遞進，引導讀者逐步掌握優化方法的精髓。 第一部分：優化基礎與綫性規劃（LP） 本部分首先奠定瞭整個優化理論的基石。我們從問題的定義和基本術語開始，清晰地界定瞭可行域、目標函數和最優解的概念。隨後，重點深入研究瞭綫性規劃（Linear Programming, LP）。 我們詳細闡述瞭LP的標準形式、鬆弛形式以及它們之間的相互轉換。幾何上，我們通過二維和三維的可視化例子，解釋瞭凸多麵體和頂點（基本可行解）的概念。理論核心在於單純形法（Simplex Method）的詳盡剖析。從初始基本可行解的尋找（大M法或兩階段法），到如何通過基變量的變換移動到相鄰的頂點，直至達到最優解或確定無界性。我們不僅描述瞭算法步驟，還深入探討瞭其代數基礎——行空間和零空間，以及如何利用單純形錶的簡化形式（Reduced Costs）來判斷最優性。 此外，本部分還涵蓋瞭對偶理論（Duality Theory）。我們構建瞭原始問題和對偶問題的精確關係，解釋瞭對偶可行性、弱對偶性和強對偶性。通過互補鬆弛性定理（Complementary Slackness Theorem），讀者將理解最優解的內在聯係，並掌握如何利用對偶問題來驗證最優性或解決特定類型的敏感性分析問題。 第二部分：網絡流與整數規劃導論 在掌握瞭基礎的綫性規劃工具後，本部分將焦點轉嚮具有特殊結構的高效求解問題。 網絡流問題是本部分的重要組成部分。我們首先介紹圖論的基礎知識，包括流、容量和流量的概念。接著，詳細分析瞭最大流問題（Maximum Flow Problem），並全麵介紹瞭福特-富勒剋算法（Ford-Fulkerson Method）及其有效實現，如使用增廣路徑或 Edmonds-Karp 算法。隨後，我們轉嚮最小費用最大流問題（Minimum Cost Maximum Flow, MCMF），探討如何結閤最短路徑算法（如 Bellman-Ford 或 Dijkstra 算法的變種）來求解這類帶有成本約束的網絡優化問題。這些模型在物流、通信網絡和資源分配中具有極高的實用價值。 整數規劃（Integer Programming, IP）則引入瞭對變量取整數的約束，這使得問題在理論上和實踐上都變得更加復雜。我們區分瞭純整數規劃、混閤整數規劃和二元整數規劃。求解方法上，本書重點講解瞭分支定界法（Branch and Bound）。該方法的核心思想是通過遞歸地將問題分解為更小的子問題，並利用LP鬆弛的界限來剪枝，從而係統地搜索整數解空間。我們還會介紹割平麵法（Cutting Plane Methods）的基本概念，說明如何通過添加切割不等式來加強LP鬆弛，使其更接近整數解集。 第三部分：非綫性規劃（NLP）基礎與無約束優化 本部分標誌著從綫性世界嚮更廣闊的非綫性領域過渡。非綫性規劃（NLP）涉及目標函數或約束條件中含有非綫性項的問題。 首先，我們迴顧微積分中的多元函數優化基礎，包括梯度、Hessian 矩陣和二階條件。對於無約束優化問題，我們係統地介紹瞭經典迭代方法： 1. 一維搜索方法：包括精確綫搜索（如Fibonacci法）和不精確綫搜索（如Wolfe條件和Armijo準則），確保每一步都能保證函數值的下降。 2. 梯度下降法（Steepest Descent）：分析其簡單性、收斂速度以及局部最優性。 3. 牛頓法（Newton's Method）：基於二階信息，探討其二次收斂特性，以及計算Hessian矩陣的難度。 4. 擬牛頓法（Quasi-Newton Methods）：重點介紹BFGS和DFP算法，它們通過秩一或秩二更新來近似Hessian的逆矩陣，在計算效率和收斂速度之間取得瞭優異的平衡。 第四部分：約束非綫性規劃與KKT條件 約束優化是實際工程和科學中最常見的情況。本部分的核心是理解約束優化問題中的最優性條件。 我們詳細介紹瞭可行性、梯度投影和對偶概念在約束環境下的擴展。最關鍵的內容是Kuhn-Tucker (KKT) 條件。我們從拉格朗日函數（Lagrangian Function）的構建開始，嚴格推導瞭KKT條件的必要性，並解釋瞭它們在最優解處的幾何意義——梯度之間的綫性關係。 隨後，我們討論瞭KKT條件的充分性，特彆是當問題是凸優化問題時。對於一般的非凸問題，KKT條件僅是必要條件。本書隨後介紹瞭求解約束NLP的幾種主要算法： 1. 可行方嚮法：如梯度投影法，確保每一步都保持在可行域內。 2. 罰函數法（Penalty Methods）：通過在目標函數中加入懲罰項來“軟化”約束，將約束問題轉化為一係列無約束問題求解。 3. 內點法（Interior-Point Methods）：作為求解約束優化的現代主流方法，我們引入障礙函數（Barrier Function）的概念，通過求解一係列光滑問題來逼近邊界。 第五部分：凸優化理論的深度解析 凸優化是優化理論中最“完美”的子領域，因為局部最優解必然是全局最優解。本部分將深化對凸性的理解，並係統地介紹現代凸優化求解器的理論基礎。 我們首先正式定義瞭凸集和凸函數，並探討瞭閉閤性、保形性等重要性質。接著，我們深入探討瞭凸優化問題的對偶理論，包括Lagrange對偶和Fenchel對偶。凸對偶性保證瞭強對偶性（即對偶間隙為零），這是高效求解算法的理論保證。 本部分的核心是內點法的深入講解。與第四部分中僅作為一種求解NLP的方法不同，這裏我們專注於自鏇點內點法（Primal-Dual Interior Point Methods）在凸優化中的應用。我們將介紹障礙函數法的具體步驟，如何使用牛頓法求解中心路徑附近的子問題，以及收斂速度的分析。 第六部分：特定結構優化模型與應用案例 最後一部分將理論與前沿應用結閤起來，展示優化工具的強大威力。 我們將探討二次規劃（Quadratic Programming, QP），即目標函數是二次的，而約束是綫性的，這是許多現代算法（如內點法）在每一步迭代中需要求解的核心子問題。我們還將涉及二次約束的二次規劃（QCQP）。 此外，本書還會介紹半定規劃（Semidefinite Programming, SDP）的初步概念，盡管其理論深度超齣本書範圍，但我們會說明SDP如何從凸優化中自然衍生齣來，以及它在控製理論和組閤優化鬆弛中的地位。 最後，通過具體的應用案例——如組閤優化問題的鬆弛、統計模型中的最大似然估計、以及經典的最短路徑問題——來鞏固讀者對所學理論和算法的理解，強調如何將現實世界的復雜性轉化為數學上可解的優化模型。 本書的結構旨在確保讀者不僅能夠“使用”優化算法，更能“理解”其背後的數學原理和收斂保證，從而能夠獨立分析和設計解決復雜決策問題的優化方案。

評分☆☆☆☆☆

作為一名正在攻讀應用數學方嚮的研究生，我急需一本能夠係統梳理從經典優化到現代凸優化理論的參考書。《》這個標題聽起來就非常權威，讓人聯想到這是一本能提供堅實理論支撐和廣泛應用指導的工具書。我非常看重作者在梳理復雜數學結構時的邏輯清晰度和對細節的把控。例如，在講解如何將一個復雜的約束優化問題轉化為標準的半正定鬆弛形式時，每一步的動機和閤理性都必須交代清楚。如果書中能詳細對比不同鬆弛技巧的優劣，並探討其近似效果的理論保證，那對我的研究工作將具有直接的指導意義。此外，關於多項式係統（Polynomi...）的部分，我希望能看到如何利用矩問題（Moment Problems）與半正定規劃的聯係來解決非凸問題，這通常是高階優化理論中最令人費解但又最有力量的部分。

評分☆☆☆☆☆

我關注的焦點主要集中在計算復雜度與算法效率上。《》作為一本“手冊”，應當具備查閱和快速定位信息的能力。因此，內容的係統性和索引的完備性至關重要。我希望書中對內點法等求解器的收斂速度、迭代次數的理論界限以及在大型問題上的可擴展性有明確的討論。在處理高維半正定矩陣時，內存消耗和計算瓶頸是實際應用中繞不開的難題。如果作者能分享一些針對大規模 SDP 問題的有效預處理技術或分解策略，那將是體現其“手冊”價值的關鍵所在。此外，關於多項式係統，我更感興趣的是它們如何被轉化為矩陣不等式，並最終如何有效地被凸優化求解器處理，這中間的橋接技術是檢驗此書水準的重要標準。

評分☆☆☆☆☆

這本《》的封麵設計著實吸引人，色彩搭配沉穩又不失現代感，讓人一眼就能感受到它在數學和工程領域所蘊含的深度。我個人對這方麵的內容一直抱有濃厚的興趣，尤其是在優化理論和控製係統設計中，如何有效地處理非綫性問題是一個永恒的挑戰。我期待書中能對半正定規劃（SDP）的理論基礎進行詳盡的闡述，包括其對偶性、內點法等核心算法的推導過程。很多教材在講解這些內容時往往過於抽象，希望這本“手冊”能在保持數學嚴謹性的同時，提供足夠的直觀解釋和實際應用案例，比如在結構優化或信號處理中的應用實例，這樣能幫助讀者更好地理解這些高級工具的實用價值。我特彆關注它在處理錐規劃（Conic Programming）這一塊的覆蓋程度，因為這是連接綫性規劃與更復雜優化問題的關鍵橋梁，如果能深入探討不同類型錐的性質，那將是極大的加分項。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名似乎暗示瞭它橫跨瞭多個高度專業化的領域，這既令人興奮又讓人略感挑戰。我希望它能有一個非常齣色的組織結構，能夠讓不同背景的讀者都能找到切入點。對於那些初次接觸半正定規劃的讀者，是否提供瞭足夠的綫性代數和凸分析的預備知識？對於資深研究者，書中是否有最新的研究進展或未被廣泛討論的理論變體？我尤其關注其在幾何學解釋上的深度。例如，如何直觀地理解正規錐（Conic Sets）的構造及其在對偶理論中的作用？如果能配上精美的三維或高維圖形來輔助理解這些抽象的幾何概念，那將是極大的福音。我期望這本書不僅僅是知識的堆砌，更是一個引導思考、啓發創新的平颱。

評分☆☆☆☆☆

說實話，市麵上關於優化理論的書籍汗牛充棟，但真正能做到深入淺齣、麵嚮工程實踐的卻鳳毛麟角。《》如果能在這方麵有所建樹，那它無疑是極具價值的。我更傾嚮於那種不是僅僅羅列公式，而是將數學工具與工程挑戰緊密結閤的讀物。比如，在魯棒控製設計中，我們經常需要求解 LMI（綫性矩陣不等式）問題，我希望書中能提供一套完整且可操作的數值求解流程，包括如何選擇閤適的求解器庫，以及如何診斷和處理數值不穩定性。對於“多項式”這一塊，我個人更關注它在係統識彆和非凸規劃中的實際應用，而不是純粹的代數幾何探討。如果能有一章專門討論如何將實際係統中的非綫性約束轉化為易於處理的凸形式，哪怕隻是啓發性的思路，也會讓這本書的實用價值倍增。