123和＋－×÷的数学旅行：25段抽丝剥茧的数学探索（著名数学家大卫·伯林斯基展现简单算术内在灵 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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大卫·伯林斯基（David Berlinski） 著

图书标签:

• 数学
• 算术
• 数学普及
• 思维训练
• 逻辑思维
• 趣味数学
• 科普
• 教育
• 大卫·伯林斯基
• 数学探索

出版社： 浙江大学出版社

ISBN：9787308141055

版次：1

商品编码：11651125

包装：平装

开本：32开

出版时间：2015-02-01

用纸：胶版纸

页数：301

内容简介

数学家向来设想数学就像一个城市，城市天际线矗立著三座雄伟的高塔。这三座雄伟的建物分别致力於“几何”、“分析”和“代数”，探究的对象各是空间、时间及符号和结构。本书诉说的正是这个数学城市的故事，主人翁是自然数、0、负数和分数。 文笔如诗的数学家伯林斯基在这部最新力作中，选择了最基础的问题：数字是什么？加减乘除究竟是怎样运作的？几何和逻辑又是什么？伯林斯基致力发掘看似单纯的问题下的数学之美和复杂性，以浅显的方式说明这些多变又难以掌握的概念。 本书带领我们深入最基本的数学世界，揭露隐藏的奥妙。书中呈现许多历史轶事，涉及各时代最著名的数学家，引领读者一窥数学诞生的奥祕，刻画为数学带来献礼的人物，并探索数学对我们为何如此重要。

作者简介

　　大卫·伯林斯基，哥伦比亚大学学士，普林斯顿大学博士。他是著名数学家，也是畅销书作家和深具影响力的思想家。曾在美国和法国多所大学教授数学与哲学。

目录

绪论数／抄写技艺／局外人／在一切人类心智中／妻子、山羊、数／上帝的工作优势地位／统整符号之人／位置记数法集合／独一无二／悖论确定性／人类无一能确定／奥维德观点的例外／最伟大的逻辑学家／若如何，则如何／支点冷酷的大师／废墟数的公理／第二届国际数学家大会／皮亚诺公理／豹后继／从0开始，每次加1／迟来的死讯／打倒欧几里得加法递降／新奇的标记／三个条件／在时空中／4加乘法／乘法的定义／3与2的积／乘方／指数幂大字典／由基底10出发递回／应得的赞扬／分离／递回定理／它的工作是什么制定定律的人／事物变化的道理／失根的英国人／数学优等考试第四名程序数学／实力坚强的选手超越兄弟会／归纳法／倒下的骨牌／棘轮／良序热情证明0的另一边／黑暗的一边／皮耶，坏兆头／距离／负债取走／破裂的对称／整数系／负的身份悸动／代数／古老的／崭新的／递升法／诺特先生受到钟爱的环／环／一大堆肯定／快速涂写，漏失细节符号语言／短暂的交会／另外一边来自古代又回到古代／间接识别／双关语／利益共同体／多项式的环／身份的重要性／所有边境哨最后的运算——除法／整体中的部分／一个数包含两个数／分数不是什么?／一方面／另一方面／对抗全世界数体／天晓得是什么／身份与反转／没有其他东西需要证明／故事结束结语谢词

精彩书摘

　　我这样描述不是为了嘲笑别人的鼻子，毕竟我自己也有个让我原形毕露的鼻子，而是为了说明克罗内克有本事一方面表现得特立独行，同时又能与其他数学家融合。克罗内克是思想史上的“稀有动物”，一位数学怀疑论者，对于他无法完全理解的想法，不轻易表露支持的态度，而他很快就推断出他无法百分之百地理解大多数数学概念。纵然“阴郁的克罗内克”以表达不支持著称——不支持负数、不支持实数、不支持集合——他对自然数表达的支持却众所周知，对于这些历史悠久的思想和经验客体表达了坚定的支持，这项支持发展成包括运用自然数以有限的一连串步骤得出的任何数学建构。 　　表达无数不支持的克罗内克，与表达单一支持的克罗内克，两者合为独一人格：温文、顺从又自满。 　　克罗内克二十多岁时从商，在他舅舅位于东普鲁士的房地产公司担任主管。他在商业实务上极有天分，仅仅八年时间便成为富翁。之后他在柏林购置华宅，与舅舅的女儿普劳丝妮泽（Fanny Prausnitzer）结婚后，这座宅第成为文化和高尚生活的中心。 　　庞大的财富使克罗内克对欧洲顶尖数学家爱玩的大风吹游戏丝毫不感兴趣。一旦席位很少的教授职位有空缺，一堆人抢着要。音乐一停，他们就粗莽地争先恐后抢空位。无可避免地，大多数人以失望告终。像是鼎鼎大名的数学家康托尔（Georg Cantor）为了柏林的教授职位空等多年，最后仍无法如愿。　　……

前言/序言

《数字的奇妙旅程：从基础运算到概念深耕》 数学，这个看似抽象而又无处不在的学科，以其严谨的逻辑和普适的规律，构建了我们理解世界的基础。从孩提时代接触到的加减乘除，到更深层次的数学原理，每一次的探索都是一次智力的飞跃，一次对宇宙奥秘的窥探。本书旨在带领读者踏上一段引人入胜的数学之旅，不局限于枯燥的公式推导，而是深入浅出地展现基础算术运算背后隐藏的深刻内涵与奇妙联系。我们将从最基本的数字概念出发，层层剥茧，揭示简单运算如何孕育出复杂的数学思想，以及这些思想如何与我们的现实生活息息相关。 第一站：数字的起源与数系的构建 一切数学的起点，都是对“数”的感知和表达。我们将追溯人类计数历史的漫长足迹，从原始的结绳记事、刻痕计数，到符号的产生和演变。我们会探讨不同古老文明在数字体系上的独特贡献，例如古埃及的象形数字、巴比伦的六十进制，以及我们今天广泛使用的阿拉伯数字系统的起源。在这一站，我们将重点关注“零”这个概念的出现，它并非简单的“没有”，而是数学史上的伟大革命，为我们构建更丰富的数系，如整数、有理数、实数，奠定了坚实的基础。我们会深入理解不同数系之间的关系，以及它们各自的性质和应用，例如整数的离散性与实数的连续性，如何影响我们对数量的理解。 第二站：加法的力量——组合与聚合的艺术 加法，作为最基本的算术运算之一，其意义远不止于“把东西加在一起”。我们将从集合论的角度来理解加法，看到它如何代表元素的合并与数量的累加。我们会探讨加法的交换律、结合律等基本性质，理解它们在简化计算和抽象思维中的重要作用。更进一步，我们会将加法延伸到数轴上，理解其几何意义，以及如何通过加法来描述位移和距离。本书还将介绍一些与加法相关的有趣数学概念，例如斐波那契数列，它是如何在看似简单的相加规则下，展现出惊人的增长模式和在自然界中的广泛出现。我们还会触及到进位制的问题，理解不同基数的进位方式如何影响数字的表示和运算，从而为理解更复杂的数制系统打下基础。 第三站：减法的奥秘——差异与减少的洞察 减法，是加法的逆运算，它揭示了事物之间的差异和数量的减少。我们将从数的对减来理解减法，掌握其基本运算规则。更重要的是，我们将深入探究减法的本质，它不仅仅是“拿走”，更是“比较”、“剩余”和“相对位置”的体现。在数轴上，减法代表着反向的位移，它帮助我们理解负数以及它们在数轴上的意义。本书将通过生动的例子，展示减法在解决实际问题中的应用，例如库存管理、财务计算、时间推移等等。我们还将讨论借位和负数的运算规则，理解它们是如何扩展我们对数量关系的认识，并为更复杂的代数运算铺平道路。 第四站：乘法的魅力——重复与扩展的规律 乘法，是重复加法的简化，它将我们从繁琐的重复劳动中解放出来，展现出数量的指数级增长。我们将从重复相加的直观概念，逐步深入到乘法的性质，例如交换律、结合律、分配律，理解它们如何在数学运算中发挥核心作用。本书将引入面积的概念，将乘法与几何图形联系起来，例如长方形的面积计算，直观地展示了乘法的意义。我们还将探讨乘数和被乘数在不同情境下的角色，以及它们如何影响运算结果。此外，我们还将触及到因数、倍数、公因数、公倍数等概念，理解它们是如何揭示数与数之间的内在联系，并为之后的数论研究奠定基础。 第五站：除法的智慧——分割与比例的本质 除法，是乘法的逆运算，它揭示了事物的分割、分配以及比例关系。我们将从平均分配的直观理解出发，掌握除法的基本运算规则。我们将深入探究除法的不同含义，例如将一个整体分成若干等份，以及一个整体包含多少个另一个整体。我们将讨论商、余数的概念，理解它们在整数除法中的重要性，以及如何通过余数来判断整除性。本书将用丰富的图示和例子，展示除法在解决实际问题中的广泛应用，例如分摊费用、测量长度、计算速率等等。我们还将介绍分数和小数的概念，理解它们是如何通过除法将整数的概念扩展到非整数领域，从而更精确地描述数量。 第六站：运算的交织与数学结构的雏形 在掌握了基本的四则运算之后，我们将开始观察它们之间的交织与联系。我们会看到，看似简单的加减乘除，在不同的组合下，能够构建出丰富多样的数学表达式。本书将带领读者认识到运算顺序的重要性，例如括号的使用，以及先乘除后加减的规则，理解它们是如何确保数学运算的唯一性和准确性。我们将初步接触到代数中的变量概念，看到数字如何被符号所代替，从而使得数学语言更加简洁和通用。我们会通过一系列的习题和思考题，引导读者去发现运算之间的内在规律，理解数学结构是如何在基础运算中悄然形成的。 第七站：逻辑思维的训练场——数学归纳与证明的启蒙 数学的魅力不仅在于计算，更在于其严谨的逻辑推理。在掌握了基础运算后，我们将开始涉足数学思维的训练。本书将引入“数学归纳法”的思想，虽然不进行严谨的数学证明，但会用通俗易懂的方式解释其原理，即从基础情况出发，逐步证明一般情况成立。我们将通过一些简单的例子，例如证明一个关于自然数的命题，来体会数学归纳法的强大力量。同时，我们也将接触到“反证法”等基本的证明思路，理解如何通过排除不可能的情况来确立一个数学命题的真实性。这一站旨在培养读者的逻辑思维能力，让他们理解数学并非凭空出现，而是通过一步步严谨的推理得出结论。 第八站：从“数”到“形”——几何的初步探索 数学并非仅限于数字的领域，它与几何有着密不可分的联系。我们将从基础的几何概念出发，例如点、线、面、体，以及基本的几何图形，如直线、射线、线段、角、三角形、正方形、圆形等等。我们将通过简单的测量和计算，例如测量长度、计算周长和面积，来感受几何与代数运算的结合。本书将引入一些基本的几何定理，例如勾股定理，并通过直观的图示来解释其意义，让读者初步领略几何图形中隐藏的数学规律。我们会看到，几何问题常常可以通过代数运算来解决，反之亦然，这展示了数学不同分支之间的相互渗透。 第九站：数论的种子——整除性、素数与同余的魅力 整数的世界充满了奇妙的规律。我们将在这一个站点深入探索数论的奥秘。我们将详细介绍整除性的概念，以及如何判断一个数是否能被另一个数整除。我们将重点关注“素数”这个特殊的数字，理解它们的定义，以及它们在数论中的核心地位。我们会探讨素数的分布规律，以及它们在密码学等领域的应用。此外，我们还将初步了解“同余”的概念，理解它如何将整数按照一定的模进行分类，以及它在周期性问题中的应用。通过这些数论概念的学习，读者将领略到整数世界中隐藏的精妙结构和深刻规律。 第十站：概率与统计的萌芽——不确定性中的规律 现实世界充满了不确定性，而概率与统计正是帮助我们理解和量化这种不确定性的数学工具。我们将从抛硬币、掷骰子等简单的随机实验出发，引入概率的基本概念，例如事件、概率的计算方法。我们将初步了解如何收集和整理数据，以及如何用图表（例如条形图、折线图）来直观地展示数据。本书将介绍一些基本的统计概念，例如平均数、中位数、众数，理解它们如何描述数据的集中趋势。通过这些初步的探索，读者将开始认识到，即使在看似随机的现象中，也可能存在着潜在的规律和可预测性。 第十一站：函数——变化中的联系 函数是数学中描述变量之间关系的核心概念。我们将从简单的输入输出模型出发，例如“年龄与身高”、“时间和距离”，来直观地理解函数的概念。我们将看到，函数如何用一个规则将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。本书将引入函数图像的概念，理解图像如何直观地展示函数的变化趋势。我们将学习如何用代数符号来表示函数，例如 f(x) = 2x + 1，并通过简单的函数表达式来计算函数值。我们将初步探索一些简单的函数类型，例如线性函数，理解它们在描述匀速变化过程中的应用。 第十二站：数列——有序的数字序列 数列是由数字按照一定顺序排列组成的序列。我们将从等差数列和等比数列出发，理解它们各自的通项公式和求和公式。我们将看到，数列的规律性如何体现在相邻项之间的固定差值或固定比值。本书将通过生活中的实例，例如银行存款的利息计算、人口增长模型，来展示数列的实际应用。我们将进一步探讨一些更复杂的数列，例如斐波那契数列，理解它们是如何在看似简单的递推关系下，展现出丰富的数学特性。 第十三站：集合论的基石——分类、包含与关系 集合论是现代数学的基础。我们将从最基本的集合概念出发，理解集合是具有某种共同性质的对象的全体。我们将学习如何描述集合，例如列举法和描述法。我们将深入理解集合之间的关系，例如子集、真子集、相等集合，以及集合的并集、交集、差集等运算。本书将通过图示（例如文氏图）来直观地展示集合之间的关系和运算，帮助读者理解这些抽象概念。我们将看到，集合论的思想是如何贯穿于数学的各个分支，是构建更复杂数学结构的基础。 第十四站：代数方程的初步——未知数的求解 代数方程是数学语言的强大体现。我们将从最简单的“一元一次方程”出发，例如 x + 3 = 7，来学习如何求解未知数。我们将掌握移项、合并同类项等基本解方程的技巧。本书将通过一系列实际问题，例如“小明有5本书，小红比小明多2本，小红有多少本书？”，来展示代数方程如何将实际问题转化为数学模型，并通过求解方程来找到答案。我们将初步认识到，代数方程是解决许多未知量问题的有力工具。 第十五站：三角学的入门——角度与边的秘密 三角学研究的是三角形中边与角之间的关系。我们将从最基本的角度概念出发，了解度、弧度等不同的角度度量单位。我们将学习正弦、余弦、正切等基本三角函数，理解它们是如何描述直角三角形中边与角之间的比例关系。本书将通过直观的图示和例子，展示三角学在测量高度、距离等实际问题中的应用。例如，如何利用太阳的高度和影子的长度来估算建筑物的高度。 第十六站：复数世界的初探——虚构的单位与扩展的数域 复数是数学中的一个重要概念，它将实数系统进行了扩展。我们将介绍虚数单位“i”，理解其定义（i² = -1）。我们将学习复数的表示方法，例如代数形式 a + bi。本书将通过简单的例子，展示复数在解一元二次方程中的作用，以及复数在工程、物理等领域的应用。我们将看到，看似虚构的“i”，却能够解决许多在实数范围内无法解决的问题。 第十七站：微积分的曙光——变化率与累积量的思想 虽然不深入微积分的计算，但我们可以窥探其核心思想。我们将介绍“变化率”的概念，理解它如何描述事物变化的快慢，这与导数的思想相关。我们将通过速度与距离的关系来直观理解变化率。同时，我们也将介绍“累积量”的思想，理解它如何描述事物的积累，这与积分的思想相关。我们将通过面积的概念来理解累积量。这一站旨在为读者建立对微积分基本思想的初步认识，为将来的深入学习打下基础。 第十八站：空间想象力——三维几何的初步 我们将从二维平面图形延伸到三维空间。我们将认识基本的立体图形，例如立方体、球体、圆柱体、圆锥体，并理解它们的基本属性，例如顶点、边、面。本书将通过简单的测量，例如计算立方体的体积，来感受三维空间的计算。我们将初步理解投影的概念，理解如何将三维物体在二维平面上表示出来。 第十九站：离散数学的入口——图论与网络 图论是研究点和线组成的网络的数学分支。我们将用点和线来表示各种实际问题，例如交通网络、社交关系。我们将学习图的基本概念，例如顶点、边、路径、环。本书将通过一些简单的例子，例如如何找到两点之间的最短路径，来展示图论的应用。我们将看到，图论为我们分析和解决复杂系统问题提供了强大的工具。 第二十站：逻辑学的基石——命题、联结词与真值表 逻辑学是数学推理的基石。我们将介绍命题的概念，以及如何使用联结词（如“与”、“或”、“非”、“则”）将命题组合起来。我们将学习如何使用真值表来判断复合命题的真假。本书将通过一些简单的逻辑推理例子，来展示逻辑学在数学证明和计算机科学中的重要作用。 第二十一站：组合数学的入门——排列与组合 组合数学研究的是从一个集合中选择元素的不同方法。我们将区分“排列”（元素的顺序重要）和“组合”（元素的顺序不重要），并学习计算它们的公式。本书将通过生活中的例子，例如从一群人中选出代表，或者为衣服搭配，来直观地理解排列与组合的概念。 第二十二站：数系的扩展——超越实数的边界 我们将进一步回顾数系的扩展，从自然数、整数、有理数、实数，到复数。我们会简要提及更高级的数系，例如四元数、八元数，以展示数学家对数系的不断探索和扩展。这一站旨在拓展读者的数学视野，理解数学的边界是可以不断被突破的。 第二十三站：算法的思想——解决问题的步骤 算法是解决问题的具体步骤。我们将从简单的算术算法（例如长除法），来理解算法的设计思想。本书将强调算法的有限性、确定性、有效性等特点。我们将通过一些简单的例子，例如排序算法的思想，来体会算法在计算机科学中的重要性。 第二十四站：数学模型的构建——抽象与应用 数学模型是将现实世界的问题转化为数学语言的过程。我们将看到，前面的所有数学工具，都可以用来构建不同的数学模型，从而帮助我们理解和解决现实问题。本书将通过几个综合性的例子，来展示如何运用数学知识构建模型，并分析模型的结果。 第二十五站：数学的乐趣与思考——永无止境的探索 最后，我们将回归数学的本质——探索的乐趣。我们将强调数学的抽象美、逻辑美和实用美。我们将鼓励读者保持好奇心，继续深入学习数学的各个分支。本书将以开放性的思考题和对数学家精神的赞扬，来结束这段旅程，激发读者对数学的持续热爱和探索。 通过这段涵盖基础算术、代数、几何、数论、概率统计、逻辑等多个领域的数学探索，本书力求展现数学的魅力所在，让读者体会到，即使是最简单的数字和运算，也蕴含着深刻的智慧和无限的可能性。这是一次思维的体操，一次对世界规律的追寻，一次发自内心的数学奇妙之旅。

评分☆☆☆☆☆

从书名中透露出的气质来看，这本书似乎带有一种古典的严谨与现代的易读性完美结合的风格。它似乎在向我们保证，即使是面对像“123”和“加减乘除”这样古老的主题，依然可以焕发出新的光彩。这种“展现简单算术内在灵性”的承诺，无疑是全书最大的亮点。数学的灵性，在我看来，就是隐藏在冰冷数字背后的和谐与美感，是其逻辑结构所展现出的不可思议的完备性。我渴望看到作者如何运用他的笔触，揭示这些基础运算如何不仅仅是工具，更是一种理解宇宙秩序的方式。这本书应该能满足那些渴望在最基础的知识中发现宏大真理的读者。它不是为了教我们如何计算，而是为了让我们明白“计算”这件事本身的意义和美妙之处，这是一种更深层次的求知欲的满足。

评分☆☆☆☆☆

我最近一直在寻找那种能真正“点亮”阅读体验的书籍，而这本聚焦于基础算术的著作，恰恰在我看来拥有这种潜力。它不像那些动辄讲解高等数学的科普读物那样让人望而却步，而是选择了最贴近生活的“加减乘除”作为切入点。这种由浅入深的策略，无疑能吸引更广泛的读者群体，包括那些可能在学生时代就对数学心生畏惧的人。我尤其欣赏这种“抽丝剥茧”的描述，它暗示着一种细致入微的解构过程，作者不会满足于表面的解释，而是会深入到每一个运算符号、每一个数字背后的逻辑根源去探究。对我而言，这种深度挖掘的尝试本身就极具价值。它挑战了我们对于“基础”的认知，让我们意识到，看似简单的东西往往蕴含着最深刻的智慧。我希望作者能用清晰、富有洞察力的笔触，揭示这些基本工具是如何构建起整个庞大的数学大厦的，那种豁然开朗的感觉，正是阅读优秀科普作品所追求的极致享受。

评分☆☆☆☆☆

读完关于这本书的介绍，我最大的感受是它提供了一种全新的视角来看待我们日常使用的数学工具。我们每天都在使用加法、乘法，但从未真正停下来思考过“为什么是这样？”“它最初是如何被定义的？”这本书似乎就是要回答这些潜藏在我们心底的问题。这种对“为什么”的追问，往往是区分普通读物和深刻探索的关键所在。如果作者能成功地将这些看似理所当然的数学规则，还原到它们最初被发现和定义的那个历史或逻辑的瞬间，那将是一次无比迷人的体验。我设想，这不仅仅是一本数学书，更像是一部数学概念的“起源史”。它承诺的不是解决复杂问题，而是理解构成问题的基本元素，这种“去伪存真”的探索过程，在我看来比任何高深的证明都更具吸引力。我期待它能提供那种智力上的愉悦，让我们重新对这个世界最基本的语言——数学——充满敬畏和好奇。

评分☆☆☆☆☆

这本书的结构听起来非常严谨，特别是“25段抽丝剥茧的数学探索”这个描述，透露出一种精心设计的脉络感。这意味着作者不是随意散落一些有趣的数学轶事，而是有一条清晰的、有逻辑递进的学习路径。对于我这样的非专业读者来说，这种结构至关重要，它能确保我们在探索的过程中不会迷失方向，每“一段”的推进都像是对前一段理解的巩固和深化。我特别关注“抽丝剥茧”的这个动词，它暗示了对复杂性的耐心拆解，将那些可能被过度简化的概念，重新梳理出其内在的纹理和结构。我希望作者能够在这25个单元中，巧妙地穿插一些历史背景或者哲学思考，让这些数学“旅行”不仅仅是逻辑的展示，也充满了人性的光辉——毕竟，这些符号和规则都是人类智慧的结晶。这种兼具学术深度和叙事流畅度的作品，是我阅读清单上的首选。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名本身就带着一种引人入胜的魔力，光是“123和＋－×÷的数学旅行”这几个字，就让人忍不住好奇，作者究竟会带我们去探索怎样一段充满奇思妙想的旅程。我一直觉得，数学这门学科，在很多人心中似乎总是蒙着一层高深的薄纱，充斥着复杂的公式和枯燥的定理。然而，从这本书的标题来看，它似乎在承诺一个截然不同的体验——一场关于最基础的数字和运算符号的“旅行”。这种从最简单的元素出发，去深挖其内在奥秘的叙事方式，非常吸引我。它仿佛在告诉我，即便是我们最熟悉不过的“1、2、3”和加减乘除，背后也隐藏着尚未被完全揭示的广阔天地。我特别期待作者如何将这些看似简单的概念，编织成一段引人入胜的故事，而不是冷冰冰的数学教条。这种期待感，就像是准备踏上一段寻宝之旅，而宝藏就藏在那些我们习以为常的符号之中。我猜想，作者一定有独到的视角，能将原本平淡无奇的算术，打造成一场富有哲理和美感的探索，让人在阅读中重新审视我们与数学世界的关系。

评分☆☆☆☆☆

感觉没用……………亏了

评分☆☆☆☆☆

有点看不懂，还以为是简单知识可以讲解给小孩子

评分☆☆☆☆☆

做活动的时候凑单买的，看起来也还不错，做活动买太划算了。

评分☆☆☆☆☆

没找到电子版，急于想看看“ 集合／独一无二／悖论 ； 确定性／人类无一能确定／奥维德观点的例外／最伟大的逻辑学家／若如何，则如何／支点 ； 冷酷的大师／废墟 ；数的公理／第二届国际数学家大会／皮亚诺公理／豹 ”，看来应该等电子版。

评分☆☆☆☆☆

不适合小孩。。。。。。。。。。。。。

评分☆☆☆☆☆

本书诉说的正是这个数学城市的故事，主人翁是自然数、0、负数和分数。

评分☆☆☆☆☆

包装完好，有塑料封套

评分☆☆☆☆☆

看起来很不错的样子。就是想知道的多一些。

评分☆☆☆☆☆

很好，实惠好用！很多东西都顿悟了