现代数学基础丛书·典藏版1：数理逻辑基础（上册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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胡世华，陆钟万 著

图书标签:

• 数理逻辑
• 逻辑学
• 数学基础
• 集合论
• 命题逻辑
• 谓词逻辑
• 公理系统
• 模型论
• 证明论
• 数学哲学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030464217

版次：1

商品编码：12194368

包装：平装

丛书名： 现代数学基础丛书

开本：16开

出版时间：2015-11-01

用纸：胶版纸

页数：228

字数：192000

正文语种：中文

内容简介

　　《现代数学基础丛书·典藏版1：数理逻辑基础（上册）》陈述数理逻辑的基础知识，包括逻辑演算的基本内容。这些内容构成数理逻辑各个分支（模型论、证明论和构造性数学、递归论、集合论）的共同的基础。
　　《现代数学基础丛书·典藏版1：数理逻辑基础（上册）》共六部分，分上、下两册。下册包括第三、四、五章和两个附录。第三章陈述逻辑演算的重言式系统，并研究自然推理系统和重言式系统的关系。第四章研究逻辑演算的可靠性和完备性问题。第五章讨论了逻辑演算如何应用于陈述具体的数学理论，并且研究了在数学中引进定义的形式化问题。附录（一）陈述带量词的命题逻辑；附录（二）定义了斜形证明，并且证明了形式证明与斜形证明的等价关系。
　　《现代数学基础丛书·典藏版1：数理逻辑基础（上册）》可以用作数学专业和其他专业数理逻辑课程的教材或教学参考书，或供有关工作人员参考，使用时可根据具体情况删减内容，使用《现代数学基础丛书·典藏版1：数理逻辑基础（上册）》时一般要求读者具有相当于大学高年级程度的数学训练。

内页插图

目录

前言/序言

　　数理逻辑是研究推理，特别是研究数学中的推理的科学。本书陈述数理逻辑的基础性知识，包括逻辑演算（这里是指命题逻辑和一阶谓词逻辑）的基本内容，这些内容构成数理逻辑各个分支（模型论、证明论和构造性数学、递归论、集合论）的共同的基础。
　　数理逻辑的思想可以溯源到莱布尼兹，而命题逻辑和一阶谓词逻辑的研究则从弗雷格开始。以后，经过皮尔斯，施罗德，皮亚诺，怀德海与罗素，勒文海姆，斯柯伦9等的研究，特别是经过了希尔伯特与阿克曼、贝尔奈斯的研究和整理，谓词逻辑的体系得以形成；而在哥德尔证明了一阶逻辑的完全性定理之后，这个逻辑演算的体系可以说是最后得到完成。
　　逻辑演算是反映前提和结论之间的推理关系的形式系统。在数理逻辑的历史发展中，构造了逻辑演算的重官式系统。在重言式系统中，以某些形式公理和形式推理规则刻划重言式的全体，以重言式反映推理关系。
　　然而，重言式系统中的形式公理（它们本身都是重言式）并不揭示出推理的性质。形式公理的涵义是并不直观、并不明显的。用重言式系统中的形式推理来反映演绎推理是不直接、不自然的，于是出现了一些较为直接地反映推理关系的逻辑演算。由厄尔勃朗证明的演绎定理就是比较直接地反映推理关系的，以后，在雅思柯夫斯基，根岑等的著作中，也表明了这种趋势。又如在克利尼的《元数学导引》一书中所构造的逻辑演算，虽然仍然是重言式系统，但在其中定义了有前提的形式推理，并且利用演绎定理得出直接反映推理关系的形式推理关系，这也表明了上面所说的趋势，
　　本书按照直接而自然地反映推理关系的要求来构造逻辑演算，这是逻辑演算的自然推理系统。本书中构造的自然推理系统既是一种严格的形式的数学语言，又与通常的数学语言很接近。王宪钧同志在1940年前后曾告诉作者之一，沈有鼎同志在三十年代初就有了关于构造逻辑演算的自然推理系统的思想。本书所构造的自然推理系统是受到这种思想的启发的，
　　文献中已有的带函数词的谓词逻辑往往是其中的函数词只表示全函数，即在论域中处处有定义的函数，本书中构造了两个带函数词的谓词逻辑，一个里面的函数词表示全函数，另一个里面的函数词表示全函数或者偏函数，即在论域中并非处处有定义的函数。

现代数学基础丛书·典藏版（系列介绍） 《现代数学基础丛书·典藏版》 旨在为读者提供一套全面、深入且权威的现代数学核心知识体系。本丛书汇集了数学领域中最基础、最关键的理论分支，力求在保持学术严谨性的同时，兼顾体系的完整性与可读性。它不仅是数学专业学生和研究人员的重要参考资料，也是致力于深入理解现代科学思维的广大读者不可或缺的工具书。 本丛书的定位是“典藏版”，意味着我们精选了在各自领域内具有里程碑意义的经典内容，并采用高标准的编排与装帧，确保其持久的学术价值和收藏意义。丛书的编写遵循现代数学发展的脉络，从最底层的公理化基础出发，逐步推向抽象和应用的前沿领域。 以下是本丛书（不含具体提及的《数理逻辑基础（上册）》）所涵盖的主要卷册的详细介绍： --- 卷册一：集合论与公理化体系（暂定名） 核心主题： 现代数学的基石——集合论的严谨构建与分析。 本卷致力于系统阐述集合论的公理化框架，这是理解所有现代数学分支的起点。内容将聚焦于策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）的公理系统及其推导能力。 主要内容板块： 1. 朴素集合论的局限性与公理化的必然性： 探讨朴素集合论中出现的悖论（如罗素悖论），引出公理化集合论的需求。 2. ZFC 公理系统的详尽解读： 对外延性、分离性、并集、幂集、无穷公理、替换公理、选择公理（AC）等各项公理进行逐一深入的解释和几何/代数意义的阐释。 3. 序数与基数的概念： 严格区分良序集、序数（Ordinal Numbers）和基数（Cardinal Numbers）。详细介绍冯·诺依曼序数系统，并深入探讨良序定理、良基定理及其在不同数学领域中的应用。 4. 基数的算术与势： 讨论有限基数、可数无限基数 ($aleph_0$)、连续统基数 ($c$)。重点解析康托尔定理及其推论，探讨不可数集的构造。 5. 选择公理（AC）的深度剖析： 鉴于选择公理在数学中的核心地位，本卷将用专门的篇幅讨论其等价命题（如策恩定理、良序定理），并讨论在不使用AC或使用其弱化形式（如依赖选择公理）时，数学理论可能发生的变化和限制。 6. 模型论的初步视角： 介绍集合论模型（如依赖集模型、构造性宇宙）的概念，为理解某些陈述（如连续统假设的独立性）埋下伏笔。 本卷的写作风格注重公理的推导链条，旨在帮助读者建立起一套“万物皆可由集合构造”的严密思维框架。 --- 卷册二：代数结构基础（抽象代数导论） 核心主题： 研究数学对象之间的结构关系，从最基本的运算出发建立代数系统。 本卷是通往抽象代数核心领域的桥梁，侧重于代数结构（群、环、域）的定义、基本性质、同态与同构理论。 主要内容板块： 1. 群论的根基： 定义与基本性质： 幺元、逆元、结合律的完备阐述。 子群、陪集与拉格朗日定理： 详细推导子群的性质及有限群的阶数关系。 正规子群与商群： 构造商群的必要条件与运算规则。 同态与同构定理（第一、二、三定理）： 深刻理解结构保持映射的本质。 循环群、置换群（对称群 $S_n$ 的结构分析）。 2. 环论的扩展： 环的定义与基本例子： 交换环、单位环。 理想与商环： 理想在环中的作用类似于正规子群在群中的作用。 整环与域： 零因子、域的性质，以及域的构造（如 $mathbb{Q}$ 对 $mathbb{Z}$ 的构造）。 环同态与同构定理。 3. 域论与伽罗瓦理论的预备： 子域、域扩张的基础概念。 多项式环 $F[x]$ 的性质： 整除性、唯一分解域（UFD）的引入。 有限域的初步探讨。 本卷通过大量的实例（如整数模 $n$ 的运算、矩阵群）来阐明抽象概念，确保读者能够将代数结构与具体的数学对象联系起来。 --- 卷册三：拓扑学基础（点集拓扑） 核心主题： 研究空间结构在连续变换下保持不变的性质，是现代几何学和分析学的通用语言。 本卷聚焦于点集拓扑学的公理化构建，这是泛函分析和微分几何的先决条件。 主要内容板块： 1. 拓扑空间的定义与构造： 开集、闭集、邻域、基与可构造性： 从集合上的“开”的概念出发，建立公理化体系。 基与可数性概念： 可数基、Lindelöf 空间、可分离性。 2. 连续性与拓扑同胚： 连续函数的拓扑定义： 开集的原像是开集。 拓扑同胚（Homeomorphism）： 拓扑性质不变量的初步探讨。 3. 特定拓扑空间的性质： 度量空间（Metric Spaces）： 引入距离的概念，展示度量诱导出拓扑结构，并探讨完备性（Completeness）。 紧致性（Compactness）： 紧致性的定义、等价刻画（开复盖的有限子复盖）以及在 $mathbb{R}^n$ 上的重要应用（Heine-Borel 定理）。 连通性（Connectedness）： 路径连通性与连通性的关系。 4. 商拓扑与乘积拓扑： 讨论如何从已有的拓扑空间构造出新的拓扑空间，这些构造对于构建复杂空间至关重要。 本卷强调几何直觉与代数抽象的结合，通过大量的图示和例子说明，帮助读者理解“形状不变性”的深层含义。 --- 卷册四：实分析与测度论 核心主题： 对经典微积分概念（极限、连续性、积分）进行严格、严密的重构，并引入现代测度理论。 本卷是连接经典分析与泛函分析的桥梁，其严格性要求是理解高等分析工具的前提。 主要内容板块： 1. 实数系统的严密构造（回顾与深化）： 戴德金截与 $mathbb{R}$ 的完备性。 2. 序列与级数： 柯西收敛准则、绝对收敛与条件收敛的严格区分。 3. 连续函数与一致收敛： 探讨连续函数序列的极限函数的性质，以及一致收敛在保持连续性、可积性上的关键作用。 4. 勒贝格积分理论的建立： 测度论基础： 长度、面积到一般测度的推广。可测集、$sigma$-代数。 简单函数与勒贝格可测函数： 定义单调收敛定理、Fatou 引理。 勒贝格积分的定义、性质与收敛定理（占优收敛定理）。 5. $L^p$ 空间简介： 引入函数空间的概念，为后续泛函分析奠定基础。 本卷的重点在于从“黎曼可积”到“勒贝格可积”的飞跃，理解为何勒贝格积分在现代数学中占据主导地位。 --- 卷册五：线性代数与矩阵理论 核心主题： 向量空间、线性映射的理论及其在有限维空间中的具体实现——矩阵。 本卷是连接几何、代数和应用数学的关键枢纽，采用现代的、基于向量空间的观点来阐述线性代数。 主要内容板块： 1. 向量空间的公理化： 线性组合、线性相关性、基与维数的严格定义。 2. 线性映射与矩阵表示： 线性变换的性质，不同基下的矩阵表示如何变化，矩阵乘法的几何意义。 3. 行列式理论： 行列式的定义、性质及其与逆矩阵、体积的关系。 4. 特征值与特征向量： 特征方程、特征空间。 5. 对角化与标准形： 相似变换、Jordan 标准型的存在性证明。 6. 内积空间与正交性： 欧几里得空间、酉空间的概念，施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，正交矩阵与酉矩阵。 7. 谱定理（对实对称矩阵的分析）： 这是连接线性代数与几何直观的关键结论。 本卷的论述将高度依赖于前面卷册建立的集合论和代数结构知识，强调几何理解与计算技巧的统一。 --- 《现代数学基础丛书·典藏版》 通过这五个核心卷册，为读者构建了一个从公理基础到抽象结构，再到分析工具和具体计算模型的完整知识体系，是当代数学教育与研究的必备珍藏。

评分☆☆☆☆☆

我对数学的理解一直停留在比较“工程化”的层面，即如何运用数学工具解决问题，但对于其内在的逻辑框架却知之甚少。这本《数理逻辑基础（上册）》的书名就非常吸引我，因为它暗示了对数学“根本”的探索。我希望这本书能够系统地介绍数理逻辑的基本概念，包括命题、谓词、量词、真值表等，并清晰地阐述逻辑推理的规则。我尤其期待它能够解释清楚，为什么这些看似抽象的逻辑概念能够成为构建整个数学大厦的基石。书中能否涵盖一些关于逻辑悖论的讨论，并解释它们是如何被解决的，也是我非常感兴趣的点。此外，我希望这本书能够帮助我理解形式化证明的概念，以及如何在数学研究中运用严格的逻辑进行论证。如果书中能引用一些经典数学定理的逻辑推导过程，来展示数理逻辑的实际应用，那就更好了。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本《数理逻辑基础（上册）》，第一感觉是它的分量十足，厚度也令人满意，这通常意味着内容会比较充实。我一直对数学的“元语言”——也就是用来谈论数学的语言——充满好奇。很多时候，我们在学习具体数学分支时，都会不自觉地使用一些逻辑上的预设，但很少去深入思考这些预设本身的合理性和严谨性。这本书正好填补了我的这一需求。我希望它能从最基本的形式逻辑入手，讲解命题的真值、联结词的含义，以及如何进行有效的推理。更重要的是，我期待它能深入探讨集合论的基础，因为集合是现代数学的通用语言，理解集合的构造和性质对于理解一切数学概念至关重要。如果书中能包含一些关于证明方法（如直接证明、反证法、数学归纳法）的详细介绍和应用案例，那我一定会觉得这次购买非常超值。我希望这本书能帮助我建立起一种“用逻辑思维看数学”的视角。

评分☆☆☆☆☆

这套“现代数学基础丛书”我关注了很久，这次终于入手了这本《数理逻辑基础（上册）》。我之前学数学的时候，总觉得有些地方似懂非懂，尤其是涉及证明的部分，常常感觉像是在背诵一套固定的套路，而不是真正理解了其中的逻辑。我希望这本书能够系统地梳理数理逻辑的核心内容，比如命题演算和谓词演算的体系，以及它们之间的关系。我特别希望它能解释清楚，为什么我们能够依靠有限的公理和推理规则，构建出如此广阔的数学世界。这种“从无到有”的创造过程，对我来说充满了吸引力。我期望这本书的语言风格是清晰、准确且易于理解的，即使是复杂的概念，也能通过恰当的比喻和深入浅出的讲解来呈现。如果书中能介绍一些历史上关于数理逻辑发展的里程碑式事件和重要人物，那我会更加喜欢，因为历史往往能帮助我们更好地理解事物的起源和演变。同时，我对它能否为理解计算机科学中的逻辑门、算法等概念提供理论支撑也抱有很大的期望。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出版似乎是为那些渴望深入理解数学本质的读者量身定做的。我一直在思考，是什么让数学拥有如此强大的严谨性和普适性？《数理逻辑基础（上册）》这个书名，精准地击中了我的疑问。我期待它能够像一位经验丰富的向导，带领我穿梭在逻辑的迷宫中，揭示命题演算、谓词演算的奥秘，以及它们如何构建起数学的语言体系。我希望书中能够详细解释公理化方法的重要性，以及它如何为数学理论提供坚实的基础。同时，我也关注书中是否会涉及一些关于模型论、递归论的初步概念，这些都是连接逻辑与其他数学分支的重要桥梁。我希望这本书的讲解能够循序渐进，从最简单的逻辑推理开始，逐步过渡到更复杂的证明技巧，并辅以足够的范例来加深理解。如果书中还能触及一些逻辑在哲学、语言学等领域的应用，那我一定会为这次阅读经历感到由衷的满足。

评分☆☆☆☆☆

这本书的包装非常精美，厚实的封面和高质量的纸张，拿在手里就有一种沉甸甸的“典藏”感。我一直对数学的底层逻辑非常感兴趣，但又苦于没有合适的入门读物。市面上很多数学普及读物都过于侧重应用，讲解起来就像直接端上成品菜肴，让人看不到烹饪过程的精妙。而这本书从书名上看，就直指“数理逻辑基础”，这正是我渴望的，希望它能带领我一步步揭开数学大厦的建造秘密。我非常期待它能够从最基础的概念讲起，比如命题、谓词、量词等等，然后逐步深入到证明的技巧和公理系统的构建。我希望它不仅能让我理解“是什么”，更能让我明白“为什么是这样”。这种从根本上理解数学的视角，往往能带来更深刻的洞察，也能为后续学习更复杂的数学分支打下坚实的基础。我尤其关注书中对于符号的严谨定义和逻辑推理的清晰展现，这对于培养严谨的数学思维至关重要。如果它能配以大量的例题和习题，并提供详细的解答，那就更完美了，毕竟实践是检验真理的唯一标准，也是巩固知识的最佳途径。

评分☆☆☆☆☆

该书质量还行吧，就是偏贵了一些。

评分☆☆☆☆☆

很实用，就是贵了点

评分☆☆☆☆☆

并不是一本通识性质的读物，无基础者慎买。

评分☆☆☆☆☆

送货速度快，商品质量有保证。

评分☆☆☆☆☆

收藏的书，感觉还是精致的，看几天后再评价。

评分☆☆☆☆☆

旧版新出，就随便看看吧。

评分☆☆☆☆☆

刚收到，正在看，感觉很不错的一本书！从非常直觉的角度设问，但论述则非常严谨！

评分☆☆☆☆☆

该书质量还行吧，就是偏贵了一些。

评分☆☆☆☆☆

关于数理逻辑比较全面的参考书，作者很权威，论述严谨，快递很快。