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Paul Fannon & Vesna Ka... 著

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出版社： Cambridge University P...

ISBN：9781107613065

商品编码：1646157129

包装：平装

外文名称：Mathematics for the Ib...

出版时间：2012-09-13

页数：679

正文语种：英语

图书基本信息

Mathematics for the Ib Diploma Standard Level [With CDROM]
作者： Paul Fannon;Vesna Kadelburg;Ben Woolley;
ISBN13： 9781107613065
类型： 平装(简装书)
语种： 英语（English）
出版日期： 2012-09-13
出版社： Cambridge University Press
页数： 679
重量（克）： 1474
尺寸： 26.416 x 19.558 x 3.048 cm

商品简介

This title forms part of the completely new Mathematics for the IB Diploma series. This highly illustrated coursebook, available in both print and e-book formats, has been written to specifically cover the new IB Standard Level syllabus. Based on the new group 5 aims, the progressive approach encourages cumulative learning. Features include: a dedicated chapter exclusively for combined exercises; plenty of worked examples; questions colour-coded according to grade; exam-style questions; feature boxes of hints and tips. The print book includes a CD-ROM providing a complete e-version of the book, extension worksheets, prior learning sheets, calculator skills sheets and fill-in proofs. These additional materials are also included in the e-book version.

启迪未来：高等数学的深度探索与应用 本书致力于为广大学生提供一套全面、深入且极具挑战性的高等数学学习资源。它超越了基础微积分的范畴，将重点放在现代数学分析的核心概念、严谨的证明方法以及这些理论在复杂科学与工程领域中的实际应用。我们精心构建的内容结构，旨在培养读者对数学逻辑的深刻理解和独立解决问题的能力。 第一部分：实分析的基石与拓展 第一章：拓扑空间与度量空间 本章是深入理解分析学的坚实基础。我们首先从集合论的视角回顾了开集、闭集、邻域等基本概念，并引入了拓扑空间的公理化定义。重点探讨了子空间拓扑、乘积拓扑以及商拓扑的构造与性质。随后，我们将讨论度量空间的概念，度量如何诱导出拓扑结构，以及完备性、紧致性在度量空间中的重要作用。我们将详细分析完备度量空间（如巴拿赫空间）的性质，并介绍贝尔分类，为后续的泛函分析打下基础。 第二章：序列与函数的收敛性——更深层次的视角 传统的数列收敛性被提升到函数空间的高度。本章深入探讨一致收敛的重要性，并将其与逐点收敛进行严格的对比。我们详细论证了连续函数序列的一致极限是否仍为连续函数，以及在一致收敛下积分和微分运算的可交换性。此外，本章引入了等度连续性的概念，并利用Ascoli-Arzelà定理来表征紧致性，这是泛函分析中处理函数族的重要工具。 第三章：勒贝格积分理论 本书将传统黎曼积分的局限性作为引入勒贝格积分的出发点。我们系统地构建了可测集的理论，定义了简单函数、非负可测函数，并最终给出勒贝格积分的定义。本章的核心在于证明勒贝格控制收敛定理 (LCT) 和法图引理 (Fatou's Lemma)。我们将详细比较这些强大的收敛定理与黎曼积分理论中的支配收敛定理的优越性，并展示勒贝格积分在处理奇异积分和概率论中的优势。 第四章：$L^p$ 空间与测度论进阶 在掌握了勒贝格积分之后，我们转向研究函数的函数空间——$L^p$ 空间。本章定义了 $L^p$ 范数，并利用Hölder不等式和Minkowski不等式证明了 $L^p$ 空间的完备性，即其是一个巴拿赫空间。本章还涵盖了测度的构造（如Carathéodory外测度方法）以及Radon-Nikodym定理，该定理在概率论和条件期望的定义中占据核心地位。 第二部分：线性代数与抽象代数的高级主题 第五章：有限维向量空间的深入结构 本章超越了特征值和特征向量的基础计算，聚焦于矩阵的规范形。我们将详细阐述Jordan标准形的构造过程和理论依据，并讨论在域扩展（如复数域）下的必要性。我们还将介绍初等因子理论，用以理解矩阵在相似变换下的不变性。此外，我们将探讨内积空间的结构，引入正交分解和谱定理，尤其是在实对称矩阵上的应用。 第六章：线性算子的谱理论 将线性代数扩展到无穷维空间，谱理论是关键。本章从有界线性算子入手，定义了算子的谱。对于有限维空间，我们将谱理论与Jordan形式联系起来；对于更一般的希尔伯特空间，我们将详细介绍有界算子的范数、伴随算子的概念，并开始探讨紧算子的性质，这是理解积分方程和量子力学的基础。 第七章：群论的结构与应用 本章从集合上的置换群开始，系统地引出群的定义和基本性质（子群、陪集、同态）。重点放在Sylow定理的证明及其在判断有限群结构方面的威力。我们将深入研究正规子群和商群的构造，并利用第一同构定理来分析复杂群的结构分解。此外，本章还将探讨表示论的初步概念，即群如何通过矩阵作用于向量空间。 第八章：环、域与伽罗瓦理论的开端 在抽象代数的高级阶段，我们引入了环和域的结构。本章侧重于理想、主理想环 (PID) 和唯一因子化域 (UFD) 的性质。在域论部分，我们将定义代数扩张、域扩张的次数，并探讨分裂域的概念。最后，本书将简要介绍伽罗瓦群，阐明它如何与域扩张联系起来，为理解五次及以上代数方程无根式解的理论奠定基础。 第三部分：微分几何与偏微分方程基础 第九章：曲线与曲面的微分几何 本章将分析的工具应用于几何空间。我们从曲线的局部理论开始，定义了弧长、切向量、挠率和曲率，并详细推导了Frenet-Serret公式。随后，我们将二维曲面推广到微分流形的初步概念，引入第一、第二基本形式，并推导出主曲率、高斯曲率和平均曲率。利用这些工具，我们将证明 Theorema Egregium (卓越定理)，揭示高斯曲率的内在性。 第十章：偏微分方程的变分法与基本解 本章关注偏微分方程（PDEs）的现代解法。我们首先从能量最小化的角度引入变分原理，并推导出欧拉-拉格朗日方程。随后，我们将重点分析拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程这三大经典PDE。对于这些方程，我们将探讨分离变量法的适用性，并引入格林函数 (Green's Function) 的概念，作为求解非齐次线性PDE的一种强大的积分形式方法。 第十一章：傅里叶分析与分布论 为了更好地处理PDE的解，本章系统回顾傅里叶级数和傅里叶变换，并将其推广到 $L^2$ 空间中的傅里叶变换，强调其在无穷维希尔伯特空间中的等距性 (Parseval's Identity)。最后，我们引入分布 (Distributions) 的概念，将狄拉克$delta$函数及其导数纳入严格的数学框架内，这对于处理具有不连续边界条件或点源的物理问题至关重要。 结语 本书所涵盖的知识体系横跨实分析、抽象代数、几何与分析物理的多个前沿领域。它并非提供操作性的“食谱”，而是要求读者积极参与到概念的构建和定理的证明过程中去。完成本书的学习，意味着读者已经掌握了现代数学学科所依赖的严格逻辑和核心工具，为未来在纯数学、理论物理、高级工程计算或金融数学等领域的研究打下了不可动摇的基础。

评分☆☆☆☆☆

我是一位在国际学校就读预科的IB学生，坦白说，我过去对数学的理解一直停留在机械的解题层面，缺乏更高维度的思考。接触了这本《Mathematics for the IB Diploma Standard Level》后，我的数学观受到了极大的冲击和重塑。这本书的编排逻辑，简直像是一部精心策划的思维导图，它不仅仅是知识点的罗列，更是一种数学思维体系的构建。它非常注重概念之间的内在联系，例如，它在讲解微积分时，会不着痕迹地回顾代数中的函数性质，让你清晰地看到不同数学分支是如何融会贯通的。尤其是在涉及到建模和数据分析的部分，它的深度远超我预期的“标准水平”教材。它引导我们去质疑和批判性地看待数据，而不是盲目套用公式。书中那些拓展阅读和“挑战自我”的部分，虽然难度陡增，但正是这些内容，激发了我去探究那些更深层次的数学原理。阅读这本书的过程，与其说是学习一个科目，不如说是在进行一场智力上的冒险。我感觉自己不再是被动地接受知识，而是在主动地与书中的思想进行对话和辩论。对于那些志在申请顶尖大学，希望在数学领域展现出超越标准要求的学生来说，这本书提供的深度和广度，绝对是能让你脱颖而出的关键所在。

评分☆☆☆☆☆

这本《数学：国际文凭课程标准水平》（Mathematics for the IB Diploma Standard Level）的教材，简直是为我这种数学“小白”量身定做的救星！说实话，在拿到这本书之前，我对IB数学这个“拦路虎”充满了恐惧，总觉得那些复杂的公式和抽象的概念会把我压垮。然而，翻开第一页，我就被它那清晰、循序渐进的讲解方式所折服。它不像某些教科书那样上来就是一堆公式堆砌，而是用非常生活化的例子和图示来引入每一个新的知识点。比如，在讲到概率统计那部分时，作者竟然用了分析一场足球比赛获胜概率的真实案例，这一下子就让我产生了强烈的代入感，感觉数学不再是冰冷的数字，而是解决现实问题的工具。书中的例题设计也极其巧妙，难度梯度掌握得恰到好处，从最基础的计算练习到稍有深度的应用题，每一步都像是有人在旁边耐心地引导你，让你在不知不觉中就掌握了知识的精髓。最让我惊喜的是，它对于“理解”的重视程度远超“死记硬背”。它会花大量的篇幅去解释“为什么”要用这个公式，这个概念背后的数学逻辑是什么，而不是简单地告诉你“怎么做”。这种深入浅出的讲解方式，极大地增强了我的学习信心，让我从“不得不学”转变成了“想要学好”。对于那些初次接触IB数学课程，或者希望打下扎实基础的学生来说，这本书绝对是值得信赖的伙伴。

评分☆☆☆☆☆

我对于这本《Mathematics for the IB Diploma Standard Level》的评价，可以总结为“稳健而富有启发性”。它最大的优点在于它完美地平衡了IB课程的要求——既要确保学生能够顺利通过标准水平的考试，又要为他们未来进入大学学习更深入的数学或科学课程做好准备。它的内容覆盖广度适中，但深度却恰到好处地卡在了“标准”与“卓越”的临界点。比如在向量和空间几何部分，它没有过度纠缠于复杂的解析几何运算，而是重点强化了向量在三维空间中的几何意义和应用，这对于后续学习物理或工程学非常有益。我个人非常喜欢它在每章末尾设置的“知识回顾与总结”，那部分内容非常精炼，将一章的核心公式和概念提炼成易于记忆的卡片式总结，极大地提高了我的考前复习效率。这本书的语言风格是严谨而不失亲和力，它既保持了学术书籍的专业性，又避免了术语堆砌带来的距离感。总而言之，它是一本可靠、高效、且能真正提升学生数学素养的优秀教材，是我IB学习生涯中不可或缺的基石。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我买这本书之前是有些犹豫的，毕竟IB课程的教材价格都不菲，我担心它是否物有所值。但使用了一段时间后，我完全被它的配套资源和结构设计所折服。这本书的排版设计堪称业界良心，字体选择舒适，留白恰到好处，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。更重要的是，它的章节组织逻辑极为清晰，每个单元的开头都会有一个“学习目标”列表，让你清楚地知道本单元需要掌握的核心技能，这对于高效复习和自我检测非常有帮助。而且，书后附带的练习题覆盖面极广，从基础巩固到IB考试真题风格的综合应用，应有尽有。我特别欣赏它在错误分析上的引导，许多题目解答后，会有一个小提示框，专门分析了学生最常犯的错误类型，这种“预判式教学”真正体现了编写者的用心良苦。这本书不仅仅是一本课本，它更像是一个全天候待命的私人导师，时刻关注着学生可能出现的学习盲点，并提前给出指引。对于需要系统性学习和反复练习的学生而言，它的价值远超标价。

评分☆☆☆☆☆

作为一名在国际课程体系中摸爬滚打多年的资深学生，我对市面上各种教材的优缺点可谓了如指掌。我必须承认，这本《Mathematics for the IB Diploma Standard Level》在“应用与实践”这一块做得尤为出色，其水准完全可以媲美某些高水平的教材。我发现，很多教材在处理实际问题时，往往将现实的复杂性过度简化，导致学生在遇到真实世界的问题时束手无策。但这本书不同，它内置了大量的跨学科案例，比如环境科学中的增长模型、金融学中的复利计算，甚至是艺术设计中的几何透视。这些例子不是简单地把数字塞进公式，而是真正要求读者先理解情境，再选择合适的数学工具去解决问题。它培养的是一种“用数学解决问题”的能力，而非“解数学题”的技巧。书中的图表和可视化效果也处理得非常到位，每一个重要的定理或公式推导过程，都会配以清晰的图形辅助，极大地降低了抽象概念的理解门槛。总而言之，它成功地搭建了一座理论与实践之间的坚实桥梁，让学习数学变得目标明确且充满意义。