俄罗斯数学教材选译·现代几何学·方法与应用3：同调论引论（第2版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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福缅科 等 著

图书标签:

• 数学
• 几何学
• 同调论
• 代数拓扑
• 抽象代数
• 教材
• 选译
• 俄罗斯数学
• 高等教育
• 数学分析

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040214345

版次：1

商品编码：10000985

包装：平装

开本：16开

出版时间：2007-04-01

页数：303

正文语种：中文

编辑推荐

　　《现代几何学方法与应用：同调论引论》(第3卷)(第2版)可用作数学和理论物理专业高年级和研究生的教学用书，对从事几何和拓扑研究的工作者也极有参考价值。

内容简介

　　《现代几何学方法与应用：同调论引论》(第3卷)(第2版)是莫斯科大学数学力学系对几何课程现代化改革的成果，作者之一的诺维可夫是1970年菲尔兹奖和2005年沃尔夫奖得主。全书力求以直观的和物理的视角阐述，是一本难得的现代几何方面的好书。内容包括张量分析、曲线和曲面几何、一维和高维变分法(一卷)，微分流形的拓扑和几何(第二卷)，以及同调与上同调理论(第三卷)。

内页插图

目录

《俄罗斯数学教材选译》序前言第一章 同调和上同调群．它们的计算方法§1．作为闭微分形式类的上同调群．它们的同伦不变性§2．代数复形的同调群§3．单纯复形．其同调和上同调群．二维闭曲面的分类§4．在拓扑空间上附加胞腔的运算．胞腔空间．关于胞腔空间的约化定理．曲面和其他某些流形的同调群和基本群§5．奇异同调和上同调．它们的同伦不变性．空间对的正合序列．相对同调群§6．胞腔复形的奇异同调．它与胞腔同调的等同．单纯同调的庞加莱对偶§7．直积空间的同调．上同调乘积．日一空间和李群的上同调．酉群的上同调§8．斜积(纤维丛空间)的同调群§9．映射的延拓问题，同调与截影．障碍的上同调类§10．同调论及同伦群的计算方法．嘉当一塞尔定理．上同调运算．向量丛§11．同调与基本群§12．超椭圆黎曼面的上同调．雅可比环面．多轴椭圆体上的测地线．与有限间断位势的关联§13．凯勒流形的最简单性质．阿贝尔环面§14．系数在层的同调论第二章 光滑函数的临界点和上同调§15．莫尔斯函数与胞腔复形§16．莫尔斯不等式§17．莫尔斯一斯梅尔正常函数．环柄．曲面§18．庞加莱对偶§19．光滑函数的临界点和柳斯捷尔尼克一施尼雷尔曼畴数§20．临界流形和莫尔斯不等式．有对称性的函数§21．函数的临界点与道路空间QM的拓扑§22．指数定理的应用§23．变分法的周期问题§24．三维流形上的莫尔斯函数和赫戈图§25．博特的酉周期性和高维变分问题§26．莫尔斯理论和平面n体问题的某些运动第三章 配边论和光滑结构§27．示性数．配边．闭链和子流形．流形的符号差§28．七维球面的光滑结构．光滑流形的(法不变)分类问题．赖德迈斯特挠率和组合拓扑的基本假设参考文献应用1 多值函数的类比莫尔斯理论．泊松括号的某些性质应用2 普拉托问题．配边和在黎曼流形中的整体极小曲面索引……

前言/序言

　　从上世纪50年代初起，在当时全面学习苏联的大背景下，国内的高等学校大量采用了翻译过来的苏联数学教材。这些教材体系严密，论证严谨，有效地帮助了青年学子打好扎实的数学基础，培养了一大批优秀的数学人才。到了60年代，国内开始编纂出版的大学数学教材逐步代替了原先采用的苏联教材，但还在很大程度上保留着苏联教材的影响，同时，一些苏联教材仍被广大教师和学生作为主要参考书或课外读物继续发挥着作用。客观地说，从解放初一直到文化大革命前夕，苏联数学教材在培养我国高级专门人才中发挥了重要的作用，起了不可忽略的影响，是功不可没的。改革开放以来，通过接触并引进在体系及风格上各有特色的欧美数学教材，大家眼界为之一新，并得到了很大的启发和教益。但在很长一段时间中，尽管苏联的数学教学也在进行积极的探索与改革，引进却基本中断，更没有及时地进行跟踪，能看懂俄文数学教材原著的人也越来越少，事实上已造成了很大的隔膜，不能不说是一个很大的缺憾。事情终于出现了一个转折的契机。今年初，在由中国数学会、中国工业与应用数学学会及国家自然科学基金委员会数学天元基金联合组织的迎春茶话会上，有数学家提出，莫斯科大学为庆祝成立250周年计划推出一批优秀教材，建议将其中的一些数学教材组织翻译出版。这一建议在会上得到广泛支持，并得到高等教育出版社的高度重视。会后高等教育出版社和数学天元基金一起邀请熟悉俄罗斯数学教材情况的专家座谈讨论，大家一致认为：在当前着力引进俄罗斯的数学教材，有助于扩大视野，开拓思路，对提高数学教学质量、促进数学教材改革均十分必要。《俄罗斯数学教材选译》系列正是在这样的情况下，经数学天元基金资助，由高等教育出版社组织出版的

现代几何学：拓扑学的核心与范畴论的基石 聚焦于代数拓扑的经典著作，深入剖析同调论的理论基础、计算方法及其在几何学中的深刻应用。 本书特色： 经典地位： 作为代数拓扑领域公认的权威教材，本书系统地、严谨地构建了同调论的理论框架，是理解现代几何学不可或缺的基石。 深度与广度兼备： 详细阐述了链复形、链同调、奇异同调、纤维化、谱序列等核心概念，同时涵盖了特定空间（如图形、流形）同调的计算技巧。 严谨的数学逻辑： 遵循了代数结构（如范畴、函子）的视角，将拓扑问题转化为可计算的代数问题，展示了现代数学研究范式的力量。 面向未来： 本书的讨论不仅仅停留在基础的奇异同调，而是自然地导向更高级的主题，如上同调、纤维丛的陈类，以及其在微分几何和代数几何中的联系。 --- 第一部分：基础结构与链复形的代数语言 本书的开篇即奠定了现代拓扑学研究的基石——链复形及其同调理论。此部分旨在将直观的拓扑概念转化为严格的代数工具。 1. 基础概念与预备知识回顾： 在深入同调之前，本书首先回顾了拓扑学中的基本空间概念，特别是紧致性、连通性以及基本群的局限性。随后，引入了范畴论的初步概念，强调了态射、函子和自然变换在连接不同数学领域中的桥梁作用。这为后续将拓扑空间映射到链复形（一个阿贝尔群的序列）提供了理论框架。 2. 链复形（Chain Complexes）的构造： 核心内容聚焦于链复形的定义：一个阿贝尔群（或模）序列 $C_n$ 和一组满足 $d_n circ d_{n+1} = 0$ 的边界映射 $d_n$。本书详细讨论了边界算子（Boundary Operator）的性质及其在定义“洞”（Holes）方面的关键作用。特别地，讨论了链映射（Chain Map）的概念，并证明了链映射在链同调的诱导映射（Induced Map）上的良好性质。 3. 同调与上同调的代数定义： 基于链复形，清晰地定义了同调群 $H_n(C)$ 作为自行车链群（Cycle Group）对边界群（Boundary Group）的商群：$H_n(C) = ext{Ker}(d_n) / ext{Im}(d_{n+1})$。随后，引入了上链复形（Cochain Complex）和上同调群（Cohomology Group），阐述了它们与同调群的对偶关系，以及通过万有系数定理（Universal Coefficient Theorem）将两者联系起来的代数结构。 --- 第二部分：拓扑空间的同调论：奇异同调的建立 代数工具准备就绪后，本书将重点转向将这些工具应用于具体的拓扑空间，特别是奇异同调的构造。 1. 单形与奇异单纯形： 本书详细介绍了 $n$ 维单纯形（Simplex）的拓扑定义，随后引入了奇异单纯形，即从标准单纯形到任意拓扑空间 $X$ 的连续映射。奇异同调的威力在于其对任意拓扑空间的适用性。 2. 奇异链复形的构造与基本性质： 定义了奇异链群 $C_n(X)$ 为由所有 $n$ 维奇异单纯形构成的自由阿贝尔群，并构造了相应的边界算子，从而得到了奇异链复形 $C_(X)$。本书严谨地证明了 $C_(X)$ 满足链复形的公理，并导出了奇异同调群 $H_n(X)$。 3. 同伦不变性（Homotopy Invariance）： 这是同调论区别于其他代数不变量的关键特征。本书深入阐述了凸链同伦（Chain Homotopy）的概念，并证明了如果两个连续映射是同伦等价的，则它们诱导的同调映射在同调群上是恒等映射。这一证明依赖于对“中点算子”的构造，展示了代数结构如何精确地捕捉拓扑形变下的不变性。 4. 拓扑构造下的精确性： 本书强调了正合序列（Exact Sequence）在分析几何性质中的核心作用。详细讨论了正合列的性质，尤其是短正合序列（Short Exact Sequence）及其在同调理论中的应用，例如如何通过迈耶-维托里斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）来计算复杂空间的同调群。 --- 第三部分：特定几何构造与高级工具 在掌握了基础理论后，本书转向了同调论在特定几何情境下的应用，并引入了更强大的计算工具。 1. 胞腔同调与流形的联系： 对于具有良好结构的拓扑空间，如CW复形（Cell Complexes），引入了胞腔同调（Cellular Homology）。本书证明了奇异同调与胞腔同调之间的同构关系，展示了在特定情况下，计算的简化性。随后，详细讨论了流形（Manifolds）的同调性质，特别是利用边界算子的零点来定义流形的边界。 2. 积与库涅特积（Künneth Formula）： 分析两个拓扑空间乘积空间的同调。本书详细推导了库涅特公式，该公式基于张量积和Tor函子，描述了 $H_(X imes Y)$ 如何由 $H_(X)$ 和 $H_(Y)$ 导出。理解此公式需要深入理解范畴论中的张量积的性质。 3. 纤维丛与上同调（Serre Spectral Sequence）： 本书将代数工具推向一个高潮：谱序列。对于一个纤维丛 $F o E o B$，经典的同调方法难以直接计算 $H_(E)$。本书详细介绍了塞雷谱序列（Serre Spectral Sequence），它提供了一个强大的迭代计算框架，将 $H_(E)$ 的计算归结为对基空间 $H_(B)$ 和纤维 $H_(F)$ 的同调群的分析，并在同调论中起到了举足轻重的作用。 4. 欧拉示性数（Euler Characteristic）的同调表达： 最后，本书将前面建立的代数结构与拓扑空间的一个重要不变量——欧拉示性数联系起来。通过链复形的欧拉示性数的定义，证明了其与同调群的交替和的关系： $chi(X) = sum_{i} (-1)^i cdot ext{rank}(H_i(X))$。这一结果是代数拓扑理论的里程碑式成就之一。 --- 总结： 本书内容严谨、逻辑清晰，不仅为读者奠定了坚实的同调论基础，更展示了代数方法在解决深刻几何问题时的威力。它不仅是学习代数拓扑的必备参考书，也是理解现代数学中范畴论、微分几何以及代数几何等领域交叉点的关键钥匙。

评分☆☆☆☆☆

我对《俄罗斯数学教材选译·现代几何学·方法与应用3：同调论引论（第2版）》的期待，更多地源于它在“现代几何学”这个大框架下的定位。我一直认为，几何学的魅力不仅仅在于那些直观的图形和空间，更在于它能够提供一种理解世界和解决问题的全新视角。同调论，作为一个相对“高等”的代数工具，却能被用来研究几何对象的某些“洞”或者“连通性”，这种跨领域的联系本身就足够吸引我。我希望这本书能帮助我理解，如何用代数的方法来“量化”几何特征，如何从拓扑学的角度审视代数结构。对于“方法与应用”这部分，我非常希望它能涵盖一些令人眼前一亮的例子，比如如何用同调论来区分不同形状的空间，或者它在曲面分类中的作用。即使我不能完全掌握所有的技术细节，但能够领略到同调论在几何学中扮演的关键角色，也就足够了。

评分☆☆☆☆☆

购买《俄罗斯数学教材选译·现代几何学·方法与应用3：同调论引论（第2版）》的初衷，主要是被它“引论”的定位所吸引。我倾向于从基础的概念入手，逐步建立对一个数学分支的理解，而不是直接跳入复杂的定理和证明。我希望能通过这本书，建立起对同调论清晰、连贯的认识，掌握其核心的定义、构造和基本性质。我想了解，为什么我们需要引入“链复形”、“边界算子”和“同调群”这些概念，它们在解决什么问题时显得尤为强大。这本书的“方法与应用”部分，哪怕只是简单地提及一些著名的定理，并说明它们是如何借助同调论得以证明的，对我来说就已经非常有启发意义了。我希望这本书能成为我探索同调论的坚实起点，让我对这个领域不再感到陌生和畏惧。

评分☆☆☆☆☆

终于下定决心把这本《俄罗斯数学教材选译·现代几何学·方法与应用3：同调论引论（第2版）》搬上我的书架了。之所以犹豫了这么久，一方面是因为“同调论”这几个字本身就带着一股子学究气，让人望而生畏，另一方面，坦白说，我之前的数学基础，尤其是在抽象代数和拓扑学方面的储备，总觉得不够扎实，总担心自己会卡在某个概念上，然后就再也爬不起来了。但这次，我给自己定了个小目标：无论如何都要啃下它。这本书在我的书单里躺了快一年了，期间也断断续续地翻阅过一些推荐的参考书，了解了一些基本的概念，比如群上同调、链复形之类的，但始终觉得缺乏一个系统性的、深入的认识。我希望这本教材能够填补我在这方面的空白，给我一个清晰的视角来理解同调论的精髓，特别是它在现代数学各个分支中的实际应用。我知道这本书是第二版，应该在内容上有所更新和完善，这让我对接下来的学习充满期待。

评分☆☆☆☆☆

这次我购买《俄罗斯数学教材选译·现代几何学·方法与应用3：同调论引论（第2版）》纯粹是出于对数学理论架构的好奇心，并非出于特定的研究需求。我一直对数学的“骨架”——那些抽象而普适的结构——深感兴趣，而同调论在我看来，正是构建这种骨架的重要工具之一。我尤其期待能通过这本书，理解其核心的“函子”和“长正合列”的概念是如何被巧妙地运用，以解决一系列看似无关的问题。我听说同调论在代数拓扑、代数几何，乃至数论等领域都有着深远的影响，虽然我可能不会深入到那些细枝末节的研究，但我渴望能够窥见其宏观的图景，感受数学家们是如何通过这种抽象化的语言来揭示数学世界潜在的统一性和规律性。这本书的“方法与应用”部分，如果能提供一些具体的案例，展示同调论是如何被“发明”出来解决特定问题的，那对我来说将是莫大的收获。

评分☆☆☆☆☆

我对《俄罗斯数学教材选译·现代几何学·方法与应用3：同调论引论（第2版）》的期待，侧重于它在“方法与应用”上的实用价值。虽然同调论本身是一门高度抽象的理论，但我更关注它如何在实际的数学研究中发挥作用。我希望通过这本书，能够看到同调论是如何被用来解决具体的数学问题，而不仅仅是作为一种理论框架存在。例如，它在代数几何中研究簇的性质，或者在代数拓扑中研究空间的同伦不变性的具体应用，都是我非常感兴趣的内容。我期待这本书能够提供一些生动、易于理解的例子，让我能够体会到同调论的强大之处，并理解它在数学发展中的重要地位。即使我不是一个专业的同调论研究者，但通过学习这本书，我希望能对它有一个宏观的认识，并了解它对其他数学分支的贡献。

评分☆☆☆☆☆

不错，遇上双11，还能这个速到到。

评分☆☆☆☆☆

书质量好，送货快京东很给力。

评分☆☆☆☆☆

本书是《现代几何学》的第三卷，与前两卷有联系，更有深入。本书主要讲解同调理论，介绍得比一般国内的书籍深入很多，而且本书还讲解了一些示性类的内容，这在一般的书中并不多见。

评分☆☆☆☆☆

本书是《现代几何学》的第三卷，与前两卷有联系，更有深入。本书主要讲解同调理论，介绍得比一般国内的书籍深入很多，而且本书还讲解了一些示性类的内容，这在一般的书中并不多见。

评分☆☆☆☆☆

这套教材的内容比较重视应用，很多从实际问题或者工程应用角度出发。这个跟俄罗斯注重数学与力学的结合有关。大部分都入手了，收藏。

评分☆☆☆☆☆

好书！好书！

评分☆☆☆☆☆

本书适合物理系深入阅读，翻译略差。

评分☆☆☆☆☆

经典的书，需要好好看

评分☆☆☆☆☆

京东的这本书很好很好！