示性类 [Characteristic Classes] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[美] 米尔纳 著

图书标签:

• 拓扑学
• 代数拓扑
• 示性类
• 同调论
• 纤维丛
• 微分几何
• 数学
• 高等数学
• 抽象代数
• 几何学

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510005336

版次：1

商品编码：10104511

包装：平装

外文名称：Characteristic Classes

开本：24开

出版时间：2012-06-01

用纸：胶版纸

页数：330

正文语种：英语

编辑推荐

In 1942 LEV PONTRJAGIN of Moscow University began to study thehomology of Grassmann manifolds， using a cell subdivision due to CharlesEhresmann. This enabled him to construct important new characteristicclasses. （Pontrjagins many contributions to mathematics are the moreremarkable in that he is totally blind， having lost his eyesight in an acci-dent at the age of fourteen.）

内容简介

The text which follows is based mostly on lectures at PrincetonUniversity in 1957. The senior author wishes to apologize for the delayin publication.The theory of characteristic classes began in the year 1935 with almostsimultaneous work by HASSLER WHITNEY in the United States andEDUARD STIEFEL in Switzerland. StiefeIs thesis， written under thedirection of Heinz Hopf， introduced and studied certain "characteristic"homology classes determined by the tangent bundle of a smooth manifold.Whitney， then at Harvard University， treated the case of an arbitrary spherebundle. Somewhat later he invented the language of cohomology theory，hence the concept of a characteristic cohomology class， and proved thebasic product theorem.

内页插图

目录

Preface
§1. Smooth Manifolds
§2. Vector Bundles
§3. Constructing New Vector Bundles Out of Old
§4. Stiefel-Whitney Classes
§5. Grassmann Manifolds and Universal Bundles
§6. A Cell Structure for Grassmann Manifolds
§7. The Cohomology Ring H*(Gn; Z/2)
§8. Existence of Stiefel-Whitney Classes
§9. Oriented Bundles and the Euler Class
§10. The Thorn Isomorphism Theorem
§11. Computations in a Smooth Manifold
§12. Obstructions
§13. Complex Vector Bundles and Complex Manifolds
§14. Chern Classes
§15. Pontrjagin Classes
§16. Chern Numbers and Pontrjagin Numbers
§17. The Oriented Cobordism Ring Ω*
§18. Thorn Spaces and Transversality
§19. Multiplicative Sequences and the Signature Theorem
§20. Combinatorial Pontrjagin Classes
Epilogue
Appendix A: Singular Homology and Cohomology
Appendix B: Bernoulli Numbers
Appendix C: Connections, Curvature, and Characteristic Classes.
Bibliography
Index

前言/序言

　　The text which follows is based mostly on lectures at PrincetonUniversity in 1957. The senior author wishes to apologize for the delayin publication.
　　The theory of characteristic classes began in the year 1935 with almostsimultaneous work by HASSLER WHITNEY in the United States andEDUARD STIEFEL in Switzerland. StiefeIs thesis， written under thedirection of Heinz Hopf， introduced and studied certain "characteristic"homology classes determined by the tangent bundle of a smooth manifold.Whitney， then at Harvard University， treated the case of an arbitrary spherebundle. Somewhat later he invented the language of cohomology theory，hence the concept of a characteristic cohomology class， and proved thebasic product theorem.
　　In 1942 LEV PONTRJAGIN of Moscow University began to study thehomology of Grassmann manifolds， using a cell subdivision due to CharlesEhresmann. This enabled him to construct important new characteristicclasses. （Pontrjagins many contributions to mathematics are the moreremarkable in that he is totally blind， having lost his eyesight in an acci-dent at the age of fourteen.）

深入理解拓扑学的基石：黎曼几何与微分拓扑中的示性类 书籍名称：《示性类》（Characteristic Classes） 内容摘要： 本书旨在为读者提供一个全面、深入且富有洞察力的关于“示性类”这一核心数学概念的导论与详尽阐述。示性类是现代微分拓扑学、代数拓扑学以及微分几何学中不可或缺的工具，它们架起了光滑流形上的微分结构（如曲率和联络）与全局拓扑不变量（如欧拉示性数、陈示性数和庞加莱对偶性）之间的桥梁。本书专注于构建严谨的理论框架，引导读者从基础的向量丛理论出发，逐步攀登至成熟的示性类理论高峰。 全书结构严谨，逻辑清晰，不预设读者已具备极高深的背景知识，但要求读者对基础的微分流形、张量分析和基础拓扑学（同伦群、同调群）有所了解。我们将以一种强调几何直觉和代数工具相互作用的方式来讲解，确保读者不仅知其“是什么”，更理解其“为何重要”和“如何计算”。 第一部分：向量丛与纤维丛的几何基础 本书首先为后续的讨论奠定坚实的几何基础。我们将详细回顾纤维丛（Fiber Bundles）的定义、构造及其重要性质，特别关注向量丛（Vector Bundles），因为示性类本质上是关于向量丛的拓扑不变量。 流形上的向量丛： 介绍切丛（Tangent Bundle）、法丛（Normal Bundle）以及一般的秩 $k$ 向量丛的精确定义、局部平凡化和转移映射（Transition Maps）。 联络的引入： 向量丛上的联络（Connection）是定义曲率的关键。我们将详细讨论联络的存在性、等价性，并引入平移（Parallel Transport）的概念，为后续的示性类定义做准备。 第二部分：基础示性类：欧拉类与庞加莱对偶性 在建立起几何框架后，本书将转向介绍最基本、最具几何意义的示性类——庞加莱对偶的拓扑不变量。 欧拉类（The Euler Class）： 我们将从切丛的角度出发，定义第一陈示性类 $c_1(T M)$ 和更一般的欧拉示性数（Euler Characteristic）。重点讨论李群作用下欧拉类在同调群中的具体表示，以及庞加莱-霍普夫定理（Poincaré-Hopf Theorem）如何将切丛的全局性质与流形的拓扑属性（如欧拉示性数）联系起来。 陈示性类（The Chern Classes）： 这是示性类理论的核心。我们将通过复向量丛（因为复结构使得结构群的简化更容易处理）来定义陈类 $c_k(E)$。这部分将详细介绍陈-西蒙斯形式（Chern-Simons Forms）在定义陈示性类时的作用，并严格证明陈类是流形上的闭微分形式，其上同调类是拓扑不变量。 庞加莱对偶性： 深入探讨示性类如何通过庞加莱对偶化，将向量丛的拓扑信息转化为流形同调群中的特定元素。 第三部分：示性类的构造与代数工具 本部分将介绍构造示性类所依赖的强大代数工具，这是理解示性类之间的内在联系的关键。 德拉姆上同调与上同调环： 回顾德拉姆上同调群 $H^k_{dR}(M)$ 和其上的乘法结构（外积），为示性类的乘积运算做准备。 陈-韦伊同态（The Chern-Weil Homomorphism）： 这是将流形的联络和曲率信息提升到上同调群的桥梁。我们将详细阐述如何利用特征多项式和对称多项式来构造陈示性类，并严格证明陈-韦伊同态的性质——它是一个从曲率形式空间到上同调群的映射，且映射后的结果与所选联络的无关性（即保持在德拉姆上同调类中的不变性）。 示性类的乘法： 介绍示性类的楔积。例如，如何利用两个向量丛的示性类，通过张量积或直和运算，导出新向量丛的示性类。 第四部分：其他重要的示性类族 在掌握了陈类理论后，本书将扩展到其他重要的示性类族，它们在物理学和几何学中有特殊应用。 庞加莱-贾科比类（Pontryagin Classes）： 针对实向量丛，介绍如何利用其与复化（Complexification）的关系，构造出实向量丛的庞加莱示性类 $p_k(E)$。我们将分析庞加莱类与陈类之间的具体代数关系（如 $left.p_{2 k}(E)=left(c_{1}(E)^{2}-2 c_{2}(E) ight)^{k} ight)$。 汤姆类（The Thom Class）： 汤姆类在纤维丛理论中具有基础地位。本书将详细讨论汤姆构造（Thom Construction），如何为任何向量丛 $E$ 构造其汤姆空间 $T(E)$，以及汤姆类 $U in H^{mathrm{top}}(T(E))$ 的定义。汤姆类是连接向量丛上同调与基础流形同调的关键。 第五部分：拓扑与几何的深度联结 最后一部分将展示示性类在解决具体几何和拓扑问题中的威力。 希策布鲁赫零点定理（Hirzebruch's Zero Theorem）： 这是一个将切丛的示性类（特别是欧拉类）与流形上向量场零点数量联系起来的深刻结果。 阿蒂亚-辛格指标定理的先驱： 虽然指标定理本身内容丰富，但本书将展示示性类（特别是安德烈耶夫-阿蒂亚类）是如何自然地出现在涉及到椭圆算子（Elliptic Operators）的几何构造中，预示着它们在分析与拓扑的交叉领域中的重要性。 本书特点： 本书避免了过分依赖纤维化群（Principal Bundles）的抽象讨论，而是将重点放在联络和曲率的直观几何解释上。每一概念的引入都伴随着详细的计算示例和明确的几何意义阐述。通过严格的代数工具（陈-韦伊理论）与直观的几何视角相结合，读者将能熟练地运用示性类来分析流形的内在结构和拓扑特征。本书是几何拓扑研究生、微分几何研究者以及需要深入理解现代物理场论中规范理论基础的读者的理想参考书。

评分☆☆☆☆☆

这本书的扉页设计和字体都透露出一种学院派的严谨与优雅，让人不禁心生敬意。我一直以来都对数学中那些能够概括和描述事物本质的工具充满好奇，那些能够捕捉事物“特性”的数学语言。示性类这个词，在我看来，就是这样一种强大的工具，它能够帮助我们理解和区分复杂的数学对象，揭示它们深层的拓扑和几何性质。我设想这本书会从一些基本的几何概念出发，例如向量场的积分，然后逐步引入示性类的概念，并阐述它们是如何在不同数学领域中得到应用的。我尤其希望书中能够包含一些与代数拓扑相关的讨论，比如如何利用示性类来研究流形的拓扑不变量。如果书中能够提供一些历史文献的引用，或者对一些经典定理的证明进行详细的梳理，那将对我深入理解这些概念非常有帮助。我更期待它能提供一些关于示性类在其他科学领域，例如天体物理学或者凝聚态物理学中的应用例子，这能让我看到数学理论的普适性和强大生命力。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我最直观的感受是它在内容组织上的独特性。它并非那种按部就班、教科书式的叙述，而是似乎带着一种探索的视角，引导读者一步步深入。我对数学中的“不变性”概念情有独钟，那些无论我们在空间中如何变形、如何变换坐标，都能保持不变的量，往往蕴含着最深刻的几何信息。示性类这个术语，在我看来，恰恰就是描述和捕捉这种不变性的有力工具。我脑海里勾勒的场景是，它会从一些具体的几何问题入手，比如曲线的弯曲度，然后自然地引出更一般化的示性类概念，用来处理更高维度的空间和更复杂的结构。我特别期待书中能够有一些关于示性类在物理学，例如在规范场论或者弦理论中的应用，这能极大地激发我的学习兴趣，让我看到数学理论的强大生命力和实际价值。如果它能包含一些挑战性的思考题，鼓励读者自己去发现和验证一些结论，那将是极好的学习体验。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书的时候，首先吸引我的是它的排版和字体选择，一种沉静而又严谨的风格，仿佛这本书本身就是一件精心打磨的数学艺术品。我一直认为，好的教材不仅在于内容的深度，更在于其表述的清晰度和逻辑的严密性。我一直对数学的抽象性感到着迷，尤其是那些能够统一不同数学对象，揭示它们之间深层联系的概念。示性类这个词本身就蕴含着一种关于“标识”和“特性”的意味，这让我联想到很多几何学和拓扑学中的核心问题，比如如何用数值来刻画空间的弯曲度，或者如何区分具有相同局部结构的但全局结构不同的空间。我希望这本书能够以一种循序渐进的方式，从一些基本的几何直觉出发，逐步引入示性类的概念，而不是直接抛出复杂的定义和定理。我期待书中能够包含一些精心设计的插图，这些插图将是连接抽象理论和直观理解的桥梁。如果它能提供一些历史背景的介绍，讲述示性类是如何在数学发展史中诞生的，那将更具吸引力，也能帮助我理解这些概念的深远意义。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计着实让我眼前一亮，那种简洁而又富有深意的构图，仿佛预示着书本内容本身的抽象与深刻。我一直对数学的某些分支，尤其是那些能够描述空间和几何对象内在属性的概念，抱有浓厚的兴趣。虽然我并非数学专业的科班出身，但一直以来，我都在尝试着通过各种渠道，哪怕是通俗读物，来理解那些高深莫测的理论。这本书的题目“示性类”本身就带着一种引人入胜的魔力，它听起来就像是在揭示某种隐藏在事物背后的本质规律，一种能够量化和描述“特性”的工具。我脑海中浮现出许多与之相关的想象，比如如何用数学的语言去勾勒一个曲面的扭转程度，或者怎样去区分不同纤维丛的拓扑性质。这本书的出版，无疑为像我这样的非专业读者提供了一个窥探这一领域奥秘的窗口，我迫不及待地想知道，它将如何以一种我能理解的方式，带领我进入这个充满智慧的世界。我希望它不仅仅是枯燥的公式堆砌，更能融入一些历史的渊源，或者是一些直观的几何解释，这样才能更好地抓住我这样初学者的心。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格有一种独特的魅力，既不失数学的严谨，又带着一丝文学的韵味，让我能沉浸其中。我一直认为，数学的精髓在于其抽象和普遍性，它能够描述从微观粒子到宏观宇宙的各种现象。示性类，这个听起来就充满神秘感的词汇，在我看来，就像是数学中的一种“指纹”，它能够唯一地标识出某种数学对象的特定属性，而无需深入了解其具体的构造细节。我脑海中浮现的画面是，这本书将以一种清晰而生动的语言，阐述示性类是如何从对几何对象性质的细致观察中孕育而生的，以及它如何成为连接不同数学分支的桥梁。我希望它能提供一些关于示性类在现代数学研究前沿的介绍，例如它在代数几何、微分几何或者拓扑学中的最新进展，这样我能更了解这个领域的前沿动态。同时，我也希望书中能有一些历史性的叙述，讲述那些伟大的数学家们是如何一步步开创示性类这一宏伟领域的，这能让我感受到数学思想的传承和发展。

评分☆☆☆☆☆

内容质量没得说！

评分☆☆☆☆☆

内容质量没得说！

评分☆☆☆☆☆

还没看过不发表内容的评论了，评论一下别的：纸张光滑，比世图出版的别的书要好很多，封面与图示不符，为白色红边，不过依然很漂亮，里面印刷不错。

评分☆☆☆☆☆

米尔诺的书当然没的说，塞尔对其评价很高，他的数学写作有一种美感！

评分☆☆☆☆☆

很经典的一本书，值得购买

评分☆☆☆☆☆

内容质量没得说！

评分☆☆☆☆☆

好书，真的，我喜欢，就是好呀

评分☆☆☆☆☆

里面有我想知道的东西，还没看不知道讲得怎样，不过Springer的书都不错

评分☆☆☆☆☆

本书作者是菲尔兹奖和沃尔夫将双奖的获得者，在拓扑学、几何学等分支成就卓著。本书讲解了从惠特尼到庞特里亚金再到陈省身等人的示性类方面的结果与成就，是一本难得的示性类方面的著作。