多变量变分原理与多变量有限元方法 pdf epub mobi txt 电子书下载 2025

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田宗漱等著

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多变量分析
变分原理
有限元方法
数值分析
科学计算
工程数学
偏微分方程
结构力学
计算力学
优化算法

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出版社：科学出版社

ISBN：9787030304827

版次：1

商品编码：10639023

包装：平装

开本：16开

出版时间：2011-04-21

用纸：胶版纸

页数：788

具体描述

内容简介

随着计算机的发展，有限元方法成为解微分方程边值问题强有力的数值方法。本书介绍近30年来这门学科发展的新领域--高等有限元方法。本书系统地总结了有限元学科，依据变分原理，在基础元的研究上，到目前为止世界各国学者所取得的重要成果；由浅入深严谨的讲述了各类主要的高等有限元--这些元泛函的建立，单元列式方法，单刚导出，应用实例及分析比较。这些高等有限元的建立，不仅对这门学科的发展有重要意义，而且有重大的应用前景。本书还介绍了本学科现在世界的研究动向及今后的发展趋势。

前言
第1章小位移变形弹性理论基本方程
第2章小位移变形弹性理论经典变分原理
第3章小位移变形弹性理论广义变分原理
第4章根据最小势能原理建立的有限元
第5章根据修正的势能原理建立的有限元
第6章根据余能原理及修正的余能原理建立的有限元模式（一）
第7章根据修正的余能原理建立的有限元模式I的应用
第8章修正的余能原理建立的杂交应力有限元模式（二）
第9章根据Hellinger—Reissner原理及修正的Hellinger—Reissner原理建立的有限元模式（一）
第10章根据Hellinger—Reissner原理及修正的Hellinger—Reissner原理建立的有限元模式（二）
第11章根据修正的Hellinger—Reissner原理及具有一个参数的广义变分原理建立的有限元模式（三）
第12章根据胡一鹫津（Hu—Washizu）原理所建立的有限元模式
第13章根据修正的Hu—Washizu原理建立的有限元模式
第14章根据更一般形式的广义变分原理所建立的有限元模式
总结
索引（一）
索引（二）

前言/序言

变分原理、有限元方法及其在工程与科学中的应用聚焦数学基础、数值实现与实际问题求解的权威指南本书旨在为读者提供一个全面、深入且结构严谨的数理基础，用以理解和掌握现代科学与工程计算领域的核心工具——变分原理与有限元方法（FEM）。本书的叙述重点在于构建扎实的理论框架、清晰地阐述数值实现的步骤，并展示其在处理复杂物理现象中的强大能力。第一部分：变分原理的深度剖析与数学基础本部分致力于构建读者理解有限元方法的理论基石——数学物理中的泛函极值问题及其变分表述。第一章：泛函分析基础与Sobolev空间本章系统回顾并深化读者对泛函分析的理解，为后续变分方法的建立铺平道路。我们将从赋范线性空间、内积空间的概念出发，引入Banach空间和Hilbert空间。重点讨论了Sobolev空间的定义、性质及其重要性，特别是其与传统 $L^p$ 空间的区别与联系。我们将深入探讨广义导数的概念，分析Sobolev嵌入定理、迹理论以及紧性概念在证明中的关键作用。这些基础知识是理解弱解、确保有限元逼近解的适当正则性的前提。第二章：自伴算子与泛函的变分原理本章将变分法的核心思想具体化。首先，详细讨论了拉格朗日力学与哈密顿力学中的最小作用量原理，展示物理系统演化的内在机制如何转化为数学上的泛函极值问题。随后，我们将讨论线性算子方程的自伴性，并阐述自伴算子下对应的泛函（如能量泛函）的凸性、下确界存在性。关键在于建立能量泛函的最小值与微分方程的强解之间的等价关系，并引入了Dirichlet原理的严格数学表述。第三章：偏微分方程的弱形式推导这是连接连续问题与离散方法的核心桥梁。本章详细讲解了如何将不同类型的偏微分方程（如椭圆型、抛物型和双曲型方程）从经典的强形式（涉及高阶导数）转化为弱形式（或称变分形式）。我们将通过乘以测试函数并进行分部积分（利用格林公式）的过程，清晰地展示如何降低对解的正则性要求，从而允许更广泛的函数空间（如Sobolev空间）作为解的候选空间。本章将重点分析泊松方程、梁方程以及Stokes方程的弱形式构建过程，并探讨Lax-Milgram定理在保证弱解存在性和唯一性中的核心地位。第二部分：有限元方法的理论框架与离散化在掌握了弱形式之后，本部分将引入有限元方法（FEM）的离散化思想，重点阐述如何从无限维的函数空间过渡到有限维的代数系统。第四章：剖分、插值与基函数的构造有限元方法的第一步是空间离散化。本章详细介绍了剖分（或网格划分）的类型（三角形、四面体、拓扑结构）和质量要求（如网格畸形度的控制）。随后，重点讨论了有限元空间的构建，即在每个子单元上选取一组形函数（或称插值基函数）。我们将深入分析最常用的拉格朗日有限元（线性、二次）的构造方法、插值误差估计，并探讨H1伪度量和L2度量下的插值精度。还将介绍P1单元的全局基函数的构建和性质。第五章：有限元离散与刚度矩阵的形成本章将严格执行从弱形式到代数方程组的转换过程。我们使用有限元基函数来近似待求的弱解，将其表示为基函数的线性组合。由此，无限维的内积运算转化为有限维的矩阵运算。我们将详细推导单元刚度矩阵和单元载荷向量的计算公式，重点展示如何利用数值积分（如高斯-勒让德积分）来精确或近似计算积分项，尤其是对于高阶多项式基函数。最后，阐述如何通过组装过程将单元矩阵和向量汇集成为全局的稀疏代数系统 $[K]{u} = {F}$。第六章：有限元方法的误差分析与收敛性理论的严谨性要求我们对数值解的精度进行量化分析。本章深入探讨有限元方法的收敛性。我们将引入Cea引理，该引理提供了数值解与真实弱解之间误差的上界估计，通常以网格尺寸 $h$ 的形式表示（如 $O(h^k)$）。我们将区分$h$ -收敛（减小网格尺寸）和$p$ -收敛（增加多项式次数）。本章还将分析不同边界条件（如Dirichlet、Neumann）在离散化过程中的处理方式，并探讨由于数值积分引入的离散化误差。第三部分：高级主题与特定问题的处理本部分将有限元方法推广到更复杂的问题域和更专业的应用场景，展示其在解决实际工程挑战时的灵活性。第七章：非线性问题的有限元求解许多实际问题（如材料大变形、流体动力学）的控制方程是非线性的。本章讲解如何处理非线性有限元问题。核心在于引入牛顿-拉夫森迭代法或线搜索方法来线性化非线性系统。我们将详细推导非线性弱形式的切线刚度矩阵（Jacobian矩阵），并探讨迭代过程中的收敛准则和步长控制策略。第八章：对流-扩散方程的数值挑战对流项（一阶导数）的存在，使得对流-扩散方程（如Advection Equation）的有限元求解面临振荡问题。本章专门讨论如何稳定这类方程的求解。我们将分析标准 Galerkin 方法在Péclet数高时出现的不稳定现象，并详细介绍常用的稳定化技术，如SUPG（Streamline Upwind Petrov-Galerkin）方法和LPS（Least Squares）方法，展示它们如何在不牺牲高精度解的同时抑制数值噪音。第九章：时间离散化与演化问题针对抛物型（热传导、扩散）和双曲型（波动、振动）的时间依赖性问题，本章聚焦于时间方向的离散化技术。我们将系统比较欧拉法（前向和后向）与Crank-Nicolson法的稳定性和精度特性。重点分析了这些时间步进方案如何与空间上的有限元离散结合，形成半离散模型，并讨论在耦合时间-空间离散化中需要满足的CFL条件或A-稳定性要求。第十章：有限元模型的实施与计算实践本章侧重于将理论转化为实际计算的工程实践。内容包括：高效的稀疏矩阵存储方案（如CSR、CSC格式）的选择与优化；求解大规模线性系统的迭代求解器（如共轭梯度法、GMRES）的原理及预处理器的设计；以及结果的后处理与可视化技术，如应力奇异点的识别和后验误差估计方法的应用。本书的最后部分旨在指导读者建立稳健、高效的数值模拟流程。

用户评价

评分☆☆☆☆☆

《多变量变分原理与多变量有限元方法》这个书名，立刻勾起了我之前在学习数值分析和偏微分方程时的一些困惑。我一直觉得，很多实际问题的复杂度远超我们最初的模型所能捕捉的范围，尤其是当系统中的物理量受到多个独立变量的影响时，比如空间坐标、时间、甚至多种介质的属性。变分原理以其优雅的数学形式，为我们提供了一种从全局出发、寻找系统能量极值的视角，而有限元方法则为我们提供了将这些抽象的数学模型转化为可计算的数值解的强大工具。这本书的名字恰好将这两者结合，并且强调了“多变量”，这让我联想到在一些高维度问题中，传统的建模和求解方法会遇到瓶颈。我希望这本书能够提供一些关于如何在高维空间中有效地构造和理解变分问题的方法，以及如何在保证精度的同时，克服“维度灾难”带来的计算成本问题。如果书中能有一些关于如何处理具有复杂几何形状和多重边界条件的多变量问题的案例分析，那就更加完美了。我非常期待这本书能够帮助我理解如何将更复杂、更真实的物理场景纳入到数学模型中，并找到高效可靠的数值求解方案。

评分☆☆☆☆☆

当我第一眼看到《多变量变分原理与多变量有限元方法》这个书名的时候，我的脑海里就浮现出了无数个需要复杂数学工具才能解决的工程难题。我之前在学习有限元方法的时候，主要接触的是单变量或者低维度的应用，而这本书直接点明了“多变量”，这让我立刻意识到它可能触及了更深层次、更具挑战性的科学计算领域。我特别好奇它在“多变量变分原理”部分是如何构建和解释这些原理的，毕竟在高维空间中，很多直观的几何概念可能不再适用，需要全新的数学语言来描述。我期望这本书能够提供清晰的推导过程，让读者能够理解这些原理的逻辑根源，而不是仅仅停留在公式的层面。至于“多变量有限元方法”的部分，我非常想知道它在离散化、基函数选择以及边界条件处理等方面，相对于传统方法有哪些创新和改进。如果书中能够通过一些具体的例子，比如模拟高维数据集中的热传导、流体流动，或者复杂的结构应力分析，来展示这些方法的威力，那就太棒了。我希望这本书不仅仅是一本理论手册，更是一本能够指导实践的工具书，能够帮助我在面对更复杂的工程问题时，有更强大的数学武器去应对。

评分☆☆☆☆☆

这本书我听说是近期出版的，名字听起来就很有学术深度，叫《多变量变分原理与多变量有限元方法》。我本身是对数学和工程交叉领域比较感兴趣的，特别是那种能把抽象数学理论应用于解决实际工程问题的方法。变分原理听起来就很有意思，它似乎提供了一种从能量的视角去理解和分析复杂物理现象的途径，而有限元方法又是解决偏微分方程的利器，尤其是在处理那些几何形状不规则、边界条件复杂的实际问题时。这两者结合，再加上“多变量”，这名字就暗示着这本书很可能涉及高维空间下的数学建模和数值计算，这对一些高级的科学计算领域，比如流体力学、固体力学、电磁场仿真等等，都至关重要。我非常期待这本书能够深入浅出地讲解这些概念，尤其是希望能看到一些具体的应用案例，比如如何用多变量变分原理来建立一个复杂的物理模型，再用多变量有限元方法来求解它，给出一些工程上的洞察。如果书中能够对算法的收敛性、精度以及稳定性有详尽的分析，那就更好了，毕竟理论的严谨性和计算的可靠性是相互依存的。我非常好奇这本书对于处理多物理场耦合问题有没有涉及，或者在非线性问题上是否有所突破。总之，冲着这个名字，我就觉得这绝对是一本值得深入研读的力作，希望能从中学到很多实用的知识和前沿的研究思路。

评分☆☆☆☆☆

拿到《多变量变分原理与多变量有限元方法》这本书，我感到一种莫名的兴奋。这本书的书名本身就传递出一种严谨、深入的学术气息，暗示着它将带领读者探索科学计算的前沿领域。在我看来，变分原理提供了一种非常强大的数学框架，能够将许多看似互不相关的物理现象统一在“极值原理”之下，而有限元方法则是一种极其灵活和强大的数值离散技术，能够处理各种复杂的几何形状和边界条件。当这两个概念遇上“多变量”，我立刻意识到这本书的潜在应用范围之广。我迫切想知道书中是如何处理多变量情境下的泛函表达和求值的，以及在多变量有限元方法的实现过程中，有哪些独特的技巧和挑战。例如，如何在高维空间中进行有效的积分和求导，如何处理可能出现的奇点和不连续性，以及如何保证算法的稳定性和收敛性。如果书中能够包含一些关于如何将这些理论应用于实际科学工程问题的实例，比如在高性能计算、大数据分析、或者复杂系统建模等领域，那我相信这本书的价值将得到极大的体现。我期待着能够在这本书中找到解决我研究中遇到的复杂数值计算难题的思路和方法。

评分☆☆☆☆☆

收到《多变量变分原理与多变量有限元方法》这本书，我第一时间就被它充满挑战性的书名吸引住了。在我的研究领域，我们经常需要处理涉及多个独立变量的物理系统，比如天气预报模型、金融衍生品定价，亦或是复杂的生物医学模拟。传统的单变量分析方法在这种情况下显得力不从心。因此，一本聚焦于“多变量”的变分原理和有限元方法的书籍，对我来说简直是雪中送炭。我非常期待书中能够深入探讨如何在多变量环境下构建有效的变分泛函，以及如何保证这些泛函的良定性和求解的唯一性。同时，我对于多变量有限元方法的具体实现技术也充满好奇，尤其是如何在高维空间中进行高效的网格划分、如何选择合适的插值函数，以及如何处理可能出现的“维度灾难”问题。如果书中能够给出一些针对特定领域的应用实例，例如在机器学习中用于表示和学习高维数据分布，或者在量子力学中用于求解多体问题，那就更能体现这本书的价值和前沿性。我希望这本书能够提供严谨的数学理论和实用的计算算法，成为我处理复杂多变量问题的得力助手。

评分☆☆☆☆☆