普通高等教育“十二五”规划教材：矩阵论与数值分析基础 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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邱启荣，张可铭 编

图书标签:

• 矩阵论
• 数值分析
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• 数学
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• 数值计算
• 工科
• 理科
• 大学教材

出版社： 中国电力出版社

ISBN：9787512321274

版次：1

商品编码：10891699

包装：平装

丛书名： 普通高等教育"十二五"规划教材

开本：16开

出版时间：2011-11-01

用纸：胶版纸

页数：214

字数：336000

正文语种：中文

内容简介

《普通高等教育“十二五”规划教材：矩阵论与数值分析基础》共六章，主要内容包括：矩阵运算与矩阵分解，线性空间与线性变换，矩阵的Jordan标准形与矩阵函数，方程（组）求解的数值方法，数值逼近方法与数值微积分，常微分方程的数值方法等内容。本书注重数学概念的理解与应用，突出数学思想与数学方法的阐述，精简了定理的证明、公式的推导。
本书可作为理工科院校硕士研究生矩阵论与数值分析基础课程的教材，还可作为学习矩阵论与数值分析基础人员的参考用书。

目录

前言
第1章 矩阵运算与矩阵分解
1.1 矩阵的基本运算与方阵的特征值
1.2 矩阵的Kronecker积与Kronecker和
1.3 矩阵分解
1.4 矩阵的广义逆及其应用
习题1

第2章 线性空间与线性变换
2.1 线性空间
2.2 赋范线性空间与矩阵范数
2.3 内积空间
2.4 矩阵分析初步
2.5 线性变换
习题2

第3章 矩阵的Jordan标准形与矩阵函数
3.1 λ－矩阵及其Smith标准形
3.2 矩阵的Jordan标准形
3.3 最小多项式
3.4 矩阵函数
习题3

第4章 方程求解的数值方法
4.1 线性方程组的Gauss消元法
4.2 线性方程组的直接分解算法
4.3 线性方程组解的误差分析
4.4 线性方程组的迭代法
4.5 非线性方程的数值解法
4.6 解非线性方程组的迭代法简介
习题4

第5章 数值逼近方法和数值积分
5.1 插值问题
5.2 离散数据的曲线拟合
5.3 数值微分
5.4 数值积分
习题5

第6章 常微分方程的数值方法
6.1 常微分方程初值问题的欧拉方法
6.2 龙格一库塔方法
6.3 线性多步法
习题6
参考文献

前言/序言

矩阵理论与数值计算基础 面向工科与理科专业核心课程的经典教材 本书特色： 本书旨在为高等院校理工科专业学生系统讲授矩阵理论的核心概念、基本运算及其在数值计算中的应用基础。内容组织遵循从理论到实践、由浅入深的原则，确保读者能够扎实掌握矩阵分析的数学工具，并理解其在数值方法中的实际意义。我们力求在保持数学严谨性的同时，突出工程应用背景，使理论学习更具驱动力。 第一部分：线性代数基础与矩阵理论核心 本部分构建了学习后续内容所需的坚实基础，着重于向量空间、线性变换以及矩阵结构的基本理论。 第一章：数域、向量空间与线性相关性 数域的引入： 简要回顾实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 的基本代数结构，为后续的向量空间定义奠定基础。 向量空间的定义与基本性质： 严格定义向量空间（线性空间）的公理体系，讨论常见的向量空间实例，如多项式空间 $P_n(F)$ 和函数空间。 子空间、生成与线性无关性： 深入探讨子空间的概念、交集与和空间的性质。重点阐述线性组合、线性无关集、基（Basis）和维数（Dimension）的定义及其相互关系，这是后续理论推导的基石。 坐标变换与同构： 引入坐标系的概念，讨论不同基之间的坐标变换矩阵，并初步探讨向量空间同构的意义。 第二章：线性映射与矩阵表示 线性映射的定义与性质： 定义线性映射（或称线性变换），分析其核（Kernel）与像（Image），并阐述秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）。 矩阵的定义与基本运算： 从线性映射的角度定义矩阵，详细讲解矩阵的加法、数乘、矩阵乘法及其结合律。特别强调矩阵乘法的非交换性及其在复合变换中的意义。 矩阵的秩与等价关系： 引入矩阵的列秩、行秩的概念，证明行秩等于列秩。讨论矩阵在相似变换下的等价关系，这是理解矩阵规范型的基础。 初等矩阵与行阶梯形： 系统介绍初等行变换（Elementary Row Operations），推导行最简形（Row Echelon Form, REF）和简化行阶梯形（Reduced Row Echelon Form, RREF）。利用初等矩阵分解来理解矩阵的乘法结构。 第三章：线性方程组的求解 方程组的相容性判定： 利用增广矩阵的秩来判定线性方程组（包括齐次与非齐次）的解的存在性与唯一性。 高斯消元法（Gauss Elimination）： 详细阐述求解线性方程组的标准算法——高斯消元法，并结合简化行阶梯形求出方程组的通解。 矩阵的逆与可逆性： 定义矩阵的逆，推导矩阵可逆的充分必要条件（如行列式不为零，秩满秩）。讲解使用初等矩阵或伴随矩阵求逆的方法。 克拉默法则（Cramer's Rule）： 利用行列式引入克拉默法则，并讨论其在计算上的局限性。 第四章：行列式理论 行列式的定义与性质： 从乘积公式或拉普拉斯展开式定义行列式，系统梳理行列式关于行/列的线性性、交错性、以及行列式与行变换的关系。 行列式与矩阵可逆性： 深入证明行列式非零是矩阵可逆的充要条件。 行列式的应用： 讨论行列式在计算矩阵逆、体积（面积）变换因子中的几何意义。 第二部分：矩阵的结构与分解 本部分聚焦于矩阵的内部结构——特征值、特征向量，以及实现各种重要矩阵分解的理论。 第五章：特征值与特征向量 定义与基本计算： 定义特征值（Eigenvalue）和特征向量（Eigenvector），并给出求解特征方程（Characteristic Equation）的方法。 相似变换与对角化： 引入相似矩阵的概念，讨论矩阵可对角化的充要条件（例如，特征向量线性无关性）。 矩阵的幂运算与微分方程： 利用对角化方法简化矩阵的幂运算 $A^k$ 以及矩阵指数 $e^A$ 的计算，初步引入其在动力系统中的应用。 特征值与矩阵性质： 讨论特征值与迹（Trace）、行列式之间的关系。 第六章：矩阵的规范形 若尔当标准型（Jordan Canonical Form, JCF）： 针对不可对角化的矩阵，系统地引入若尔当块、若尔当链的概念。详细讲解如何构造若尔当标准形，以及利用它来简化矩阵函数计算。 实数域上的分析： 讨论实对称矩阵的特殊性质，如 Schur 分解的实数形式。 第七章：矩阵的分解 正交矩阵与正交变换： 定义内积空间，引入正交向量组、标准正交基。详细阐述正交矩阵的性质，包括其正交性 $mathbf{Q}^Tmathbf{Q} = mathbf{I}$。 施密特正交化（Gram-Schmidt）： 介绍构造正交基的标准算法，这是后续许多分解的基础。 QR 分解： 详细介绍 QR 分解的原理及其在最小二乘问题和迭代算法中的核心地位。 奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）： 引入奇异值、左奇异向量和右奇异向量。详细论述 SVD 的唯一性、几何意义（奇异值分解是对矩阵作用下单位球的最大拉伸因子），以及其在数据压缩和降维中的关键作用。 第八章：二次型与矩阵的二次微分形式 二次型的定义与矩阵表示： 定义二次型，并将其表示为 $x^T A x$ 的形式，其中 $A$ 是对称矩阵。 合同变换与主轴定理： 讨论合同变换保持二次型的二次形式不变性。利用正交变换将二次型化为规范形（对角形）。 正定性判据： 介绍如何利用特征值（或顺序主子式的正负性）来判断二次型的正定性、半正定性。这在优化理论中至关重要。 第三部分：数值分析基础 本部分将理论知识与实际计算相结合，介绍求解线性代数问题和进行函数逼近所需的数值方法。 第九章：线性方程组的数值解法 直接法回顾与误差分析： 重新审视高斯消元法，重点分析其数值稳定性、浮点运算次数以及误差的传播。 LU 分解与 Cholesky 分解： 详细介绍 LU 分解的算法，并针对对称正定系统，介绍更稳定的 Cholesky 分解。 迭代法基础： 引入迭代法的基本框架，包括雅可比（Jacobi）法和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）法。讨论收敛性的充要条件（如对角占优性）。 第十章：矩阵范数与稳定性分析 向量范数与矩阵范数： 定义 $L_1, L_2$（谱范数）和 $L_infty$ 范数，并探讨它们之间的关系。 条件数（Condition Number）： 引入条件数的概念，解释其在度量线性系统对输入微小扰动的敏感性方面的作用。高条件数意味着病态（Ill-conditioned）问题。 特征值问题的稳定性： 讨论求特征值问题的稳定性，特别是幂法（Power Iteration）和反幂法（Inverse Iteration）在数值计算中的应用。 第十一章：最小二乘问题与数据拟合 最小二乘问题的提法： 将最小二乘问题定义为求解 $min |Ax-b|^2$。 正规方程组法： 通过求解正规方程组 $A^T A x = A^T b$ 来求解最小二乘解。 QR 分解在最小二乘中的应用： 阐述利用 QR 分解求解最小二乘问题（特别是对于病态问题）的数值优势，避免了计算 $A^T A$ 可能导致的精度损失。 结语 本书的编写始终坚持理论的深度与计算的可操作性相结合，确保读者不仅理解“是什么”，更懂得“如何算”。通过对矩阵理论和数值方法的全面覆盖，本书为后续学习数值线性代数、优化理论、数据科学中的矩阵分解技术（如 PCA）打下了坚实的数学基础。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对数学建模感兴趣的学生，经常需要用到各种数值计算的技巧来处理现实世界的问题。这本《矩阵论与数值分析基础》对我来说，就像一本宝典。它在介绍矩阵运算时，不仅仅停留在符号层面，还很注重矩阵的几何意义和其在不同应用场景下的解释。比如，在讲解奇异值分解（SVD）时，它不仅给出了严谨的数学证明，还用图像化的方式展示了SVD如何揭示数据的内在结构和降维的原理，这一点对我理解PCA（主成分分析）等降维技术非常有帮助。此外，数值分析的部分也让我受益匪浅。关于插值和逼近的章节，它详细介绍了牛顿插值、拉格朗日插值、样条插值等方法，并讨论了它们的优缺点以及在数据拟合中的应用。这对于我处理实验数据、进行趋势预测非常实用。这本书的语言风格相对严谨，但又不失清晰，即使是对于一些初学者来说，只要认真阅读，也能够逐步掌握其中的精髓。

评分☆☆☆☆☆

作为一名在工程领域工作多年的技术人员，我深知扎实的理论基础对于解决实际问题的重要性。最近我在研究一些有限元分析的算法，发现很多核心的计算都离不开矩阵的理论和数值方法的支撑。这本《矩阵论与数值分析基础》正是我所需要的。它对线性方程组的各种求解方法，无论是直接法还是迭代法，都进行了非常系统和深入的讲解，并给出了相应的算法伪代码，这为我在实际工程计算中实现这些算法提供了极大的便利。尤其是在处理大型稀疏矩阵时，书中关于迭代求解方法的详细分析，以及对收敛性和稳定性的讨论，让我对如何选择合适的算法有了更清晰的认识。另外，关于特征值和特征向量的讲解，在很多振动分析、稳定性分析的工程问题中都有着核心的应用，这本书对它们的理论推导和计算方法的介绍，对我解决实际的工程难题提供了强有力的理论支持。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我是在一个偶然的机会下接触到这本书的，当时正在为一个项目寻找求解大规模稀疏线性方程组的方法，传统的高斯消元法在处理超大矩阵时效率实在太低了。我的一个同事推荐了这本《矩阵论与数值分析基础》，说里面关于迭代求解法的内容很不错。我当时抱着试试看的心态买来翻阅，结果确实给我带来了惊喜。它在介绍迭代方法时，不仅仅列出了雅可比法、高斯-赛德尔法等经典算法，还对它们的收敛性进行了详细的分析，并且给出了误差估计。最关键的是，书中还穿插了一些实际问题的例子，比如有限元方法中的矩阵求解，这让我能够将书本上的理论知识与实际应用联系起来。我尤其喜欢书中关于矩阵分解的部分，比如LU分解、QR分解、Cholesky分解，这些分解方法在很多数值计算领域都扮演着核心角色，而这本书对它们的推导过程和性质讲解得非常透彻，这为我后续理解更复杂的算法打下了坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本《矩阵论与数值分析基础》教材，我真的找了好久。最近在读一些关于机器学习和深度学习的书，里面经常会冒出各种矩阵运算、特征值、奇异值分解之类的概念，当时我就感觉自己基础太差了，完全跟不上。看到这个书名，我当时就眼前一亮，觉得这正是我需要的“救命稻草”。拿到手之后，我先大致翻了一下目录，感觉内容还是很扎实的，从基本的矩阵运算、向量空间，到更深入的线性方程组求解、特征值问题，再到数值分析的一些核心内容，比如插值、逼近、求积等等，感觉覆盖面很广。虽然我还没来得及深入学习，但单从目录的结构和一些章节的开头来看，它应该是一个循序渐进、由浅入深的学习路径。尤其是“十二五”规划教材的标签，让我觉得它应该经过了比较严格的审定，内容质量和教学体系应该都比较成熟可靠，这对于我这种初学者来说，吃下一颗定心丸。我特别期待它在算法的介绍上能有详实的讲解，不仅仅是公式的堆砌，更希望能够理解算法的原理和适用场景。

评分☆☆☆☆☆

我是一名计算机科学专业的学生，一直对图形学和图像处理领域非常着迷。在学习相关的课程和文献时，矩阵运算和数值方法几乎是无处不在。这本《矩阵论与数值分析基础》恰好弥补了我在这方面的知识短板。它在讲解线性代数部分时，与计算机科学的联系非常紧密，比如在介绍向量和矩阵的存储方式、运算效率时，都会考虑到实际的计算资源。更让我惊喜的是，它在数值分析部分，对傅里叶变换、快速傅里叶变换（FFT）等在信号处理和图像压缩中的应用进行了详细的阐述，这对于我理解JPEG、MP3等压缩算法背后的原理至关重要。此外，书中关于矩阵的范数、条件数以及病态方程组的讨论，也让我对数值计算的稳定性和精度有了更深刻的认识，这在设计鲁棒的算法时非常重要。总的来说，这本书为我打开了理解许多先进计算机技术背后数学原理的大门。