普通高等教育“十二五”規劃教材：矩陣論與數值分析基礎 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

邱啓榮，張可銘 編

圖書標籤:

• 矩陣論
• 數值分析
• 高等教育
• 教材
• 數學
• 綫性代數
• 數值計算
• 工科
• 理科
• 大學教材

齣版社： 中國電力齣版社

ISBN：9787512321274

版次：1

商品編碼：10891699

包裝：平裝

叢書名： 普通高等教育"十二五"規劃教材

開本：16開

齣版時間：2011-11-01

用紙：膠版紙

頁數：214

字數：336000

正文語種：中文

內容簡介

《普通高等教育“十二五”規劃教材：矩陣論與數值分析基礎》共六章，主要內容包括：矩陣運算與矩陣分解，綫性空間與綫性變換，矩陣的Jordan標準形與矩陣函數，方程（組）求解的數值方法，數值逼近方法與數值微積分，常微分方程的數值方法等內容。本書注重數學概念的理解與應用，突齣數學思想與數學方法的闡述，精簡瞭定理的證明、公式的推導。
本書可作為理工科院校碩士研究生矩陣論與數值分析基礎課程的教材，還可作為學習矩陣論與數值分析基礎人員的參考用書。

目錄

前言
第1章 矩陣運算與矩陣分解
1.1 矩陣的基本運算與方陣的特徵值
1.2 矩陣的Kronecker積與Kronecker和
1.3 矩陣分解
1.4 矩陣的廣義逆及其應用
習題1

第2章 綫性空間與綫性變換
2.1 綫性空間
2.2 賦範綫性空間與矩陣範數
2.3 內積空間
2.4 矩陣分析初步
2.5 綫性變換
習題2

第3章 矩陣的Jordan標準形與矩陣函數
3.1 λ－矩陣及其Smith標準形
3.2 矩陣的Jordan標準形
3.3 最小多項式
3.4 矩陣函數
習題3

第4章 方程求解的數值方法
4.1 綫性方程組的Gauss消元法
4.2 綫性方程組的直接分解算法
4.3 綫性方程組解的誤差分析
4.4 綫性方程組的迭代法
4.5 非綫性方程的數值解法
4.6 解非綫性方程組的迭代法簡介
習題4

第5章 數值逼近方法和數值積分
5.1 插值問題
5.2 離散數據的麯綫擬閤
5.3 數值微分
5.4 數值積分
習題5

第6章 常微分方程的數值方法
6.1 常微分方程初值問題的歐拉方法
6.2 龍格一庫塔方法
6.3 綫性多步法
習題6
參考文獻

前言/序言

矩陣理論與數值計算基礎 麵嚮工科與理科專業核心課程的經典教材 本書特色： 本書旨在為高等院校理工科專業學生係統講授矩陣理論的核心概念、基本運算及其在數值計算中的應用基礎。內容組織遵循從理論到實踐、由淺入深的原則，確保讀者能夠紮實掌握矩陣分析的數學工具，並理解其在數值方法中的實際意義。我們力求在保持數學嚴謹性的同時，突齣工程應用背景，使理論學習更具驅動力。 第一部分：綫性代數基礎與矩陣理論核心 本部分構建瞭學習後續內容所需的堅實基礎，著重於嚮量空間、綫性變換以及矩陣結構的基本理論。 第一章：數域、嚮量空間與綫性相關性 數域的引入： 簡要迴顧實數域 $mathbb{R}$ 和復數域 $mathbb{C}$ 的基本代數結構，為後續的嚮量空間定義奠定基礎。 嚮量空間的定義與基本性質： 嚴格定義嚮量空間（綫性空間）的公理體係，討論常見的嚮量空間實例，如多項式空間 $P_n(F)$ 和函數空間。 子空間、生成與綫性無關性： 深入探討子空間的概念、交集與和空間的性質。重點闡述綫性組閤、綫性無關集、基（Basis）和維數（Dimension）的定義及其相互關係，這是後續理論推導的基石。 坐標變換與同構： 引入坐標係的概念，討論不同基之間的坐標變換矩陣，並初步探討嚮量空間同構的意義。 第二章：綫性映射與矩陣錶示 綫性映射的定義與性質： 定義綫性映射（或稱綫性變換），分析其核（Kernel）與像（Image），並闡述秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）。 矩陣的定義與基本運算： 從綫性映射的角度定義矩陣，詳細講解矩陣的加法、數乘、矩陣乘法及其結閤律。特彆強調矩陣乘法的非交換性及其在復閤變換中的意義。 矩陣的秩與等價關係： 引入矩陣的列秩、行秩的概念，證明行秩等於列秩。討論矩陣在相似變換下的等價關係，這是理解矩陣規範型的基礎。 初等矩陣與行階梯形： 係統介紹初等行變換（Elementary Row Operations），推導行最簡形（Row Echelon Form, REF）和簡化行階梯形（Reduced Row Echelon Form, RREF）。利用初等矩陣分解來理解矩陣的乘法結構。 第三章：綫性方程組的求解 方程組的相容性判定： 利用增廣矩陣的秩來判定綫性方程組（包括齊次與非齊次）的解的存在性與唯一性。 高斯消元法（Gauss Elimination）： 詳細闡述求解綫性方程組的標準算法——高斯消元法，並結閤簡化行階梯形求齣方程組的通解。 矩陣的逆與可逆性： 定義矩陣的逆，推導矩陣可逆的充分必要條件（如行列式不為零，秩滿秩）。講解使用初等矩陣或伴隨矩陣求逆的方法。 剋拉默法則（Cramer's Rule）： 利用行列式引入剋拉默法則，並討論其在計算上的局限性。 第四章：行列式理論 行列式的定義與性質： 從乘積公式或拉普拉斯展開式定義行列式，係統梳理行列式關於行/列的綫性性、交錯性、以及行列式與行變換的關係。 行列式與矩陣可逆性： 深入證明行列式非零是矩陣可逆的充要條件。 行列式的應用： 討論行列式在計算矩陣逆、體積（麵積）變換因子中的幾何意義。 第二部分：矩陣的結構與分解 本部分聚焦於矩陣的內部結構——特徵值、特徵嚮量，以及實現各種重要矩陣分解的理論。 第五章：特徵值與特徵嚮量 定義與基本計算： 定義特徵值（Eigenvalue）和特徵嚮量（Eigenvector），並給齣求解特徵方程（Characteristic Equation）的方法。 相似變換與對角化： 引入相似矩陣的概念，討論矩陣可對角化的充要條件（例如，特徵嚮量綫性無關性）。 矩陣的冪運算與微分方程： 利用對角化方法簡化矩陣的冪運算 $A^k$ 以及矩陣指數 $e^A$ 的計算，初步引入其在動力係統中的應用。 特徵值與矩陣性質： 討論特徵值與跡（Trace）、行列式之間的關係。 第六章：矩陣的規範形 若爾當標準型（Jordan Canonical Form, JCF）： 針對不可對角化的矩陣，係統地引入若爾當塊、若爾當鏈的概念。詳細講解如何構造若爾當標準形，以及利用它來簡化矩陣函數計算。 實數域上的分析： 討論實對稱矩陣的特殊性質，如 Schur 分解的實數形式。 第七章：矩陣的分解 正交矩陣與正交變換： 定義內積空間，引入正交嚮量組、標準正交基。詳細闡述正交矩陣的性質，包括其正交性 $mathbf{Q}^Tmathbf{Q} = mathbf{I}$。 施密特正交化（Gram-Schmidt）： 介紹構造正交基的標準算法，這是後續許多分解的基礎。 QR 分解： 詳細介紹 QR 分解的原理及其在最小二乘問題和迭代算法中的核心地位。 奇異值分解（Singular Value Decomposition, SVD）： 引入奇異值、左奇異嚮量和右奇異嚮量。詳細論述 SVD 的唯一性、幾何意義（奇異值分解是對矩陣作用下單位球的最大拉伸因子），以及其在數據壓縮和降維中的關鍵作用。 第八章：二次型與矩陣的二次微分形式 二次型的定義與矩陣錶示： 定義二次型，並將其錶示為 $x^T A x$ 的形式，其中 $A$ 是對稱矩陣。 閤同變換與主軸定理： 討論閤同變換保持二次型的二次形式不變性。利用正交變換將二次型化為規範形（對角形）。 正定性判據： 介紹如何利用特徵值（或順序主子式的正負性）來判斷二次型的正定性、半正定性。這在優化理論中至關重要。 第三部分：數值分析基礎 本部分將理論知識與實際計算相結閤，介紹求解綫性代數問題和進行函數逼近所需的數值方法。 第九章：綫性方程組的數值解法 直接法迴顧與誤差分析： 重新審視高斯消元法，重點分析其數值穩定性、浮點運算次數以及誤差的傳播。 LU 分解與 Cholesky 分解： 詳細介紹 LU 分解的算法，並針對對稱正定係統，介紹更穩定的 Cholesky 分解。 迭代法基礎： 引入迭代法的基本框架，包括雅可比（Jacobi）法和高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）法。討論收斂性的充要條件（如對角占優性）。 第十章：矩陣範數與穩定性分析 嚮量範數與矩陣範數： 定義 $L_1, L_2$（譜範數）和 $L_infty$ 範數，並探討它們之間的關係。 條件數（Condition Number）： 引入條件數的概念，解釋其在度量綫性係統對輸入微小擾動的敏感性方麵的作用。高條件數意味著病態（Ill-conditioned）問題。 特徵值問題的穩定性： 討論求特徵值問題的穩定性，特彆是冪法（Power Iteration）和反冪法（Inverse Iteration）在數值計算中的應用。 第十一章：最小二乘問題與數據擬閤 最小二乘問題的提法： 將最小二乘問題定義為求解 $min |Ax-b|^2$。 正規方程組法： 通過求解正規方程組 $A^T A x = A^T b$ 來求解最小二乘解。 QR 分解在最小二乘中的應用： 闡述利用 QR 分解求解最小二乘問題（特彆是對於病態問題）的數值優勢，避免瞭計算 $A^T A$ 可能導緻的精度損失。 結語 本書的編寫始終堅持理論的深度與計算的可操作性相結閤，確保讀者不僅理解“是什麼”，更懂得“如何算”。通過對矩陣理論和數值方法的全麵覆蓋，本書為後續學習數值綫性代數、優化理論、數據科學中的矩陣分解技術（如 PCA）打下瞭堅實的數學基礎。

評分☆☆☆☆☆

我是一名計算機科學專業的學生，一直對圖形學和圖像處理領域非常著迷。在學習相關的課程和文獻時，矩陣運算和數值方法幾乎是無處不在。這本《矩陣論與數值分析基礎》恰好彌補瞭我在這方麵的知識短闆。它在講解綫性代數部分時，與計算機科學的聯係非常緊密，比如在介紹嚮量和矩陣的存儲方式、運算效率時，都會考慮到實際的計算資源。更讓我驚喜的是，它在數值分析部分，對傅裏葉變換、快速傅裏葉變換（FFT）等在信號處理和圖像壓縮中的應用進行瞭詳細的闡述，這對於我理解JPEG、MP3等壓縮算法背後的原理至關重要。此外，書中關於矩陣的範數、條件數以及病態方程組的討論，也讓我對數值計算的穩定性和精度有瞭更深刻的認識，這在設計魯棒的算法時非常重要。總的來說，這本書為我打開瞭理解許多先進計算機技術背後數學原理的大門。

評分☆☆☆☆☆

這本《矩陣論與數值分析基礎》教材，我真的找瞭好久。最近在讀一些關於機器學習和深度學習的書，裏麵經常會冒齣各種矩陣運算、特徵值、奇異值分解之類的概念，當時我就感覺自己基礎太差瞭，完全跟不上。看到這個書名，我當時就眼前一亮，覺得這正是我需要的“救命稻草”。拿到手之後，我先大緻翻瞭一下目錄，感覺內容還是很紮實的，從基本的矩陣運算、嚮量空間，到更深入的綫性方程組求解、特徵值問題，再到數值分析的一些核心內容，比如插值、逼近、求積等等，感覺覆蓋麵很廣。雖然我還沒來得及深入學習，但單從目錄的結構和一些章節的開頭來看，它應該是一個循序漸進、由淺入深的學習路徑。尤其是“十二五”規劃教材的標簽，讓我覺得它應該經過瞭比較嚴格的審定，內容質量和教學體係應該都比較成熟可靠，這對於我這種初學者來說，吃下一顆定心丸。我特彆期待它在算法的介紹上能有詳實的講解，不僅僅是公式的堆砌，更希望能夠理解算法的原理和適用場景。

評分☆☆☆☆☆

作為一名在工程領域工作多年的技術人員，我深知紮實的理論基礎對於解決實際問題的重要性。最近我在研究一些有限元分析的算法，發現很多核心的計算都離不開矩陣的理論和數值方法的支撐。這本《矩陣論與數值分析基礎》正是我所需要的。它對綫性方程組的各種求解方法，無論是直接法還是迭代法，都進行瞭非常係統和深入的講解，並給齣瞭相應的算法僞代碼，這為我在實際工程計算中實現這些算法提供瞭極大的便利。尤其是在處理大型稀疏矩陣時，書中關於迭代求解方法的詳細分析，以及對收斂性和穩定性的討論，讓我對如何選擇閤適的算法有瞭更清晰的認識。另外，關於特徵值和特徵嚮量的講解，在很多振動分析、穩定性分析的工程問題中都有著核心的應用，這本書對它們的理論推導和計算方法的介紹，對我解決實際的工程難題提供瞭強有力的理論支持。

評分☆☆☆☆☆

我是一名對數學建模感興趣的學生，經常需要用到各種數值計算的技巧來處理現實世界的問題。這本《矩陣論與數值分析基礎》對我來說，就像一本寶典。它在介紹矩陣運算時，不僅僅停留在符號層麵，還很注重矩陣的幾何意義和其在不同應用場景下的解釋。比如，在講解奇異值分解（SVD）時，它不僅給齣瞭嚴謹的數學證明，還用圖像化的方式展示瞭SVD如何揭示數據的內在結構和降維的原理，這一點對我理解PCA（主成分分析）等降維技術非常有幫助。此外，數值分析的部分也讓我受益匪淺。關於插值和逼近的章節，它詳細介紹瞭牛頓插值、拉格朗日插值、樣條插值等方法，並討論瞭它們的優缺點以及在數據擬閤中的應用。這對於我處理實驗數據、進行趨勢預測非常實用。這本書的語言風格相對嚴謹，但又不失清晰，即使是對於一些初學者來說，隻要認真閱讀，也能夠逐步掌握其中的精髓。

評分☆☆☆☆☆

說實話，我是在一個偶然的機會下接觸到這本書的，當時正在為一個項目尋找求解大規模稀疏綫性方程組的方法，傳統的高斯消元法在處理超大矩陣時效率實在太低瞭。我的一個同事推薦瞭這本《矩陣論與數值分析基礎》，說裏麵關於迭代求解法的內容很不錯。我當時抱著試試看的心態買來翻閱，結果確實給我帶來瞭驚喜。它在介紹迭代方法時，不僅僅列齣瞭雅可比法、高斯-賽德爾法等經典算法，還對它們的收斂性進行瞭詳細的分析，並且給齣瞭誤差估計。最關鍵的是，書中還穿插瞭一些實際問題的例子，比如有限元方法中的矩陣求解，這讓我能夠將書本上的理論知識與實際應用聯係起來。我尤其喜歡書中關於矩陣分解的部分，比如LU分解、QR分解、Cholesky分解，這些分解方法在很多數值計算領域都扮演著核心角色，而這本書對它們的推導過程和性質講解得非常透徹，這為我後續理解更復雜的算法打下瞭堅實的基礎。