奧數小叢書（第二版）高中捲4（平均值不等式與柯西不等式） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2026

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李勝宏，邊紅平 著

圖書標籤:

• 奧數
• 高中數學
• 平均值不等式
• 柯西不等式
• 數學競賽
• 解題技巧
• 第二版
• 叢書
• 學習輔導
• 拔尖訓練

齣版社： 華東師範大學齣版社

ISBN：9787561793114

版次：2

商品編碼：11060226

包裝：平裝

叢書名： 數學奧林匹剋小叢書

開本：16開

齣版時間：2012-01-01

頁數：183

內容簡介

《平均值不等式與柯西不等式（第2版）》主要介紹平均值不等式和柯西不等式。用不同方法證明瞭這兩個基本的不等式，並涉及證明一般不等式問題的常用方法和技巧。同時介紹瞭幾個常見的著名不等式，如排序不等式、赫爾德不等式、契比雪夫不等式和閔可夫斯基不等式，內容豐富、全麵。重點介紹瞭平均值不等式和柯西不等式在證明不等式和求最值等問題中的應用。本書所討論的題目，大多是國內外數學競賽試題，具有一定的代錶性，其證明有一定的技巧。希望讀者仔細琢磨，多想多練，從而提高解題能力和水平。

作者簡介

李勝宏，浙江大學教授，博士生導師，從事金融數學研究。多次參加全國高中數學聯賽、全國中學生數學鼕令營和IMO中國國傢集訓隊的命題和輔導工作。

邊紅平，中學數學特級教師，全國優秀教師，湖北省十大名師，中國數學奧林匹剋高級教練，武漢市十佳模範共産黨員。先後在武鋼三中和樂成公立寄宿學校工作，獨立輔導的學生付雷、鄭誌偉、李嘉倫獲得國際數學奧林匹剋金牌，周遊獲得銀牌：獨立指導的學生有100多人次獲得全國高中數學聯賽一等奬，40多人次進人全國中學生數學鼕令營。多次擔任女子數學奧林匹剋和中國西部數學奧林匹剋主試委員會委員。齣版的書籍和發錶論文約280餘萬字，曾任《數學通訊》、《中學數學》等雜誌的編委。

目錄

1 平均值不等式及其證明
1.l 平均值不等式
1.2 平均值不等式的證明
習題1

2 平均值不等式的應用
2.1 平均值不等式在不等式證明中的應用
2.2 平均值不等式在求極值中的應用
2.3 平均值不等式在幾何不等式中的應用
2.4 平均值不等式的變形及應用
2.5 帶參數的平均值不等式
習題2

3 柯西不等式及其證明
3.1 柯西不等式及其證明
3.2 柯西不等式的變形和推廣
習題3

4 柯西不等式的應用
4.1 柯西不等式在證明不等式中的應用
4.2 柯西不等式在解方程組和求極值中的應用
4.3 柯西不等式在證明分式不等式中的應用
4.4柯西不等式在組閤計數估計中的應用
4.5 帶參數的柯西不等式
4.6 利用平均值不等式與柯西不等式解題
習題4
習題解答
參考文獻

前言/序言

《奧數小叢書（第二版）高中捲4：平均值不等式與柯西不等式》 前言 數學的魅力，在於其簡潔嚴謹的邏輯，在於其揭示萬物運行規律的深刻洞察。而在數學的諸多分支中，不等式以其獨特的視角，為我們提供瞭一種審視數量關係、揭示事物發展趨勢的強大工具。平均值不等式和柯西不等式，作為高中數學中不等式部分的璀璨明珠，不僅在理論研究中占據著舉足輕重的地位，更在解決各類數學問題，甚至在物理、經濟等學科的應用中，展現齣不可替代的價值。 本冊《奧數小叢書（第二版）高中捲4：平均值不等式與柯西不等式》正是為瞭帶領讀者深入探索這兩個基本且重要的不等式而精心編著。我們力求在保留數學嚴謹性的前提下，以清晰易懂的語言、層層遞進的邏輯，將抽象的數學概念具象化，將復雜的數學技巧條理化。本書並非對已有知識的簡單羅列，而是旨在培養讀者獨立思考、靈活運用數學工具解決問題的能力，激發讀者對數學的濃厚興趣。 內容概述 本冊書籍將圍繞以下兩個核心主題展開，並輔以豐富的例題和練習，幫助讀者夯實基礎，掌握精髓： 第一部分：平均值不等式 平均值不等式，顧名思義，是通過比較不同類型的平均值來建立不等關係。其最基本的形式，算術平均數與幾何平均數之間的不等式（AM-GM不等式），是其中最為人熟知和應用廣泛的一個。 1. 基本概念與形式： 算術平均數 (AM): 對於一組非負實數 $a_1, a_2, dots, a_n$，其算術平均數為 $frac{a_1 + a_2 + dots + a_n}{n}$。 幾何平均數 (GM): 對於一組非負實數 $a_1, a_2, dots, a_n$，其幾何平均數為 $sqrt[n]{a_1 a_2 dots a_n}$。 AM-GM不等式： 對於任意 $n$ 個非負實數 $a_1, a_2, dots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + dots + a_n}{n} ge sqrt[n]{a_1 a_2 dots a_n}$。 等號成立的條件： 當且僅當 $a_1 = a_2 = dots = a_n$ 時，等號成立。 我們將詳細闡述AM-GM不等式的多種形式，包括對兩個非負實數的AM-GM不等式，以及其推廣形式。理解等號成立的條件是應用AM-GM不等式解決問題的關鍵，我們將對此進行深入的講解和分析。 2. 證明方法與思想： 數學歸納法： 這是證明AM-GM不等式最嚴謹和基礎的方法之一。我們將展示如何運用數學歸納法，從基本情況齣發，逐步推廣到任意 $n$ 個非負實數。 均值不等式的變體證明： 除瞭標準的數學歸納法，我們還將介紹一些巧妙的證明方法，例如利用 Jensen 不等式，或者一些幾何意義上的證明，幫助讀者從不同角度理解不等式的本質。 均值不等式的思想： 核心思想在於“化積為和”或“化和為積”。當遇到求最值問題時，如果目標函數的形式可以看作是若乾個數的和或積，並且這些數的和或積是常數，那麼就可以考慮利用AM-GM不等式。 3. 平均值不等式的應用： 求最值問題： 這是AM-GM不等式最直接的應用。 定積求和最小值： 當若乾個正數的積為常數時，求其和的最小值。例如，已知 $xy = 100$ ($x,y>0$)，求 $x+y$ 的最小值。 定和求積最大值： 當若乾個正數的和為常數時，求其積的最大值。例如，已知 $x+y = 20$ ($x,y>0$)，求 $xy$ 的最大值。 函數的最值： 將復雜函數錶達式轉化為若乾個代數式的和或積，通過AM-GM不等式求解。 證明其他不等式： AM-GM不等式可以作為基礎，用來推導和證明其他更復雜的不等式。 幾何問題： 在解決幾何問題時，往往會涉及邊長、麵積、體積等量之間的關係，AM-GM不等式可以為求解這些問題提供有力的工具。例如，在固定周長的情況下，求矩形麵積的最大值（正方形）。 實際應用舉例： 簡要提及 AM-GM 不等式在實際生活中的一些應用，例如優化資源配置、工程設計中的效率最大化等（在此不展開具體細節，重點在於數學應用）。 4. 其他平均值不等式： 平方平均數 (RMS): $sqrt{frac{a_1^2 + a_2^2 + dots + a_n^2}{n}}$ 調和平均數 (HM): $frac{n}{frac{1}{a_1} + frac{1}{a_2} + dots + frac{1}{a_n}}$ 功率平均數 (PM): $M_p(a_1, dots, a_n) = left(frac{a_1^p + dots + a_n^p}{n} ight)^{1/p}$ 我們將介紹這些平均值之間的關係，即 $RMS ge AM ge GM ge HM$ (對於正數)。這些不等式在某些特定的問題中，比 AM-GM 不等式更為適用，我們將通過實例展示它們的用法。 第二部分：柯西不等式 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality），也稱為施瓦茨不等式，是另一個在數學中具有極其廣泛應用的不等式，尤其在代數、幾何和微積分中。它將兩個嚮量（或數列）的內積（或乘積之和）與它們的模（或平方和）聯係起來。 1. 基本概念與形式： 嚮量形式： 對於任意兩個 $n$ 維嚮量 $mathbf{a} = (a_1, a_2, dots, a_n)$ 和 $mathbf{b} = (b_1, b_2, dots, b_n)$，有 $(mathbf{a} cdot mathbf{b})^2 le |mathbf{a}|^2 |mathbf{b}|^2$，即 $(a_1 b_1 + a_2 b_2 + dots + a_n b_n)^2 le (a_1^2 + a_2^2 + dots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + dots + b_n^2)$。 數列形式： 對於任意兩組實數 $a_1, a_2, dots, a_n$ 和 $b_1, b_2, dots, b_n$，有 $(a_1 b_1 + a_2 b_2 + dots + a_n b_n)^2 le (a_1^2 + a_2^2 + dots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + dots + b_n^2)$。 等號成立的條件： 當且僅當嚮量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 綫性相關，即存在一個常數 $lambda$ 使得 $a_i = lambda b_i$ (或 $b_i = lambda a_i$) 對所有 $i$ 成立時，等號成立。 我們將深入理解柯西不等式的不同錶述形式，以及等號成立條件的幾何和代數意義。 2. 證明方法與思想： 構造法（判彆式法）： 這是證明柯西不等式最經典和常用的方法之一。我們可以構造一個關於參數 $t$ 的二次函數 $f(t) = sum_{i=1}^n (a_i t + b_i)^2$。由於 $f(t) ge 0$ 對於所有實數 $t$ 都成立，我們可以通過判彆式小於等於零來得到柯西不等式。 嚮量法： 利用嚮量點積的性質和三角不等式來證明。 拉格朗日恒等式： 利用拉格朗日恒等式來推導柯西不等式。 柯西不等式的思想： 核心思想是將兩個數列（或嚮量）的“交叉積之和”與它們各自“平方和之積”聯係起來。它提供瞭一種在不知道具體數值的情況下，估計兩個量之間關係的方法。 3. 柯西不等式的應用： 求最值問題： 柯西不等式是解決一類重要最值問題的有力工具。 定和（或定積）求“交叉積之和”的最大值： 例如，已知 $x^2+y^2=1$，求 $2x+3y$ 的最大值。 定“交叉積之和”求“平方和”的最值： 例如，已知 $x+y=10$，求 $x^2+y^2$ 的最小值。 證明其他不等式： 柯西不等式可以用來證明很多其他重要不等式，例如均值不等式、三角不等式等。 幾何問題： 在解析幾何中，柯西不等式可以用來處理直綫與圓的位置關係，以及求解距離等問題。 概率論和統計學： 柯西不等式在概率論中的重要不等式（如切比雪夫不等式）的證明中也有應用。 復數域上的應用： 柯西不等式在復數域上也有推廣，可以處理復數之和的模的平方與復數模的平方之積的關係。 4. 柯西不等式的推廣形式： 閔可夫斯基不等式 (Minkowski Inequality)： 柯西不等式可以看作是閔可夫斯基不等式在 $p=2$ 時的特例。 Hölder 不等式： 柯西不等式是 Hölder 不等式在 $p=q=2$ 時的特例。 我們將簡要介紹這些更一般的形式，幫助讀者建立更廣闊的數學視野。 學習方法與建議 理解而非死記： 對於每一個不等式，務必理解其幾何意義和代數意義。理解等號成立的條件是解決問題的關鍵。 多做例題： 本書提供瞭大量的例題，覆蓋瞭不同類型和不同難度的題目。認真理解例題的解題思路和技巧，並嘗試獨立完成。 勤加練習： 練習是檢驗和鞏固學習成果的最佳途徑。請務必完成書後的練習題，並在遇到睏難時，迴顧相關的例題和講解。 舉一反三： 在解決具體問題時，嘗試思考是否存在其他方法，或者能否將該問題推廣到更一般的情況。 循序漸進： 從基本概念入手，逐步深入到復雜應用。如果遇到暫時難以理解的內容，不要急躁，可以先跳過，稍後再迴頭攻剋。 聯係實際： 嘗試尋找不等式在實際生活或其他學科中的應用，可以加深對數學的理解和興趣。 結語 平均值不等式和柯西不等式是數學王國中兩顆璀璨的明珠，它們以其簡潔而強大的力量，幫助我們洞察數量關係的奧秘，解決層齣不窮的數學難題。希望本冊《奧數小叢書（第二版）高中捲4：平均值不等式與柯西不等式》能夠成為您探索數學世界的得力助手，引領您領略不等式數學的無窮魅力，激發您對數學學習的熱情。讓我們一起在數學的星空中，勇敢地遨遊，探索未知，發現真理。

評分☆☆☆☆☆

一本數學書，拿到手裏沉甸甸的，翻開第一頁，油墨的清香就撲鼻而來，仿佛置身於知識的海洋。封麵設計簡潔大方，但又不失學術的嚴謹，字體清晰，排版閤理，讀起來讓人賞心悅目。作為一個長期沉浸在數學世界的研究者，我深知一本好的數學書籍不僅在於內容的深度和廣度，更在於其思想的啓發性和邏輯的嚴密性。這本《奧數小叢書（第二版）高中捲4》在這一點上做得相當齣色，雖然我還沒有來得及深入研讀所有章節，但僅憑初步的瀏覽，就足以讓我感受到作者的用心良苦。書中的例題選取角度刁鑽而又貼近實際，能夠有效地引導讀者從不同的角度去思考問題。而且，我注意到作者在一些關鍵概念的引入上，並沒有直接給齣定義，而是通過一係列巧妙的問題，讓讀者自己去發現和理解，這種“授人以漁”的方式，無疑更能激發學習者的主動性和創造力。

評分☆☆☆☆☆

從書的整體風格來看，我感覺它試圖在嚴謹性與易讀性之間找到一個絕佳的平衡點。我留意到，作者在講解一些相對復雜的概念時，會適當地穿插一些曆史背景或者名人軼事，這不僅增加瞭知識的趣味性，也讓這些抽象的數學思想變得更加鮮活和有溫度。而且，書中的插圖雖然不多，但每一張都恰到好處，能夠清晰地圖示齣數學模型或者幾何結構，極大地輔助瞭理解。對於我這種視覺型學習者來說，這種圖文並茂的設計，能夠極大地提升我的學習效率。總而言之，這本書給我留下瞭非常專業且人性化的印象。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀質量也讓人眼前一亮。紙張的觸感非常好，厚實且不易透頁，即便是用鋼筆書寫，墨跡也不會暈染。封麵采用的材質也很耐磨，即使經常翻閱，也不容易留下明顯的劃痕。我喜歡它那種低調的專業感，沒有花哨的圖飾，隻有最純粹的數學符號和文字，這恰恰符閤我對一本嚴肅數學教材的期待。拿到書後，我迫不及待地翻閱瞭目錄，雖然有些章節的標題我還需要進一步查閱資料來理解其具體內容，但這本身就構成瞭一種學習的動力。我覺得，一本好的數學書，就應該有這樣的力量，它能夠在你閱讀的過程中，不斷地為你打開新的視角，讓你對已有的知識産生新的認識，並激發你去探索那些未知領域。

評分☆☆☆☆☆

這本書的紙質手感非常舒適，翻頁時的聲音也恰到好處，不會過於嘈雜，也不會過於沉悶。我喜歡它那種淡淡的紙香，讓人感覺很放鬆。封麵設計雖然不是那種特彆張揚的風格，但卻透露齣一種沉穩和力量感，這與數學這門學科本身的特質非常契閤。在翻閱的過程中，我注意到書頁的摺痕處處理得很到位，即便是彎摺到最大程度，也不會輕易損壞。這說明在印刷和裝訂上，都是經過精心設計的，可以保證書籍的耐用性。對於一本需要經常使用的工具書來說，這一點尤為重要。

評分☆☆☆☆☆

我是一個非常看重閱讀體驗的人，對於書籍的排版和設計有比較高的要求。這本書的字體大小適中，行距也十分閤理，長時間閱讀不會感到疲勞。即使在光綫不是特彆充足的環境下，書頁的顔色和文字的對比度也足夠清晰，這一點對於需要長時間伏案學習的讀者來說，是非常重要的考量。我特彆喜歡它在章節開頭設置的小引子，它們往往用一種非常生活化或者具有啓發性的方式引入即將要探討的數學概念，這對於緩解學習數學的枯燥感非常有幫助。感覺作者在設計這本書的時候，充分考慮到瞭高中生的學習特點和心理需求，力求讓數學學習的過程變得更加有趣和有效。

評分☆☆☆☆☆

我為什麼喜歡在京東買東西，因為今天買明天就可以送到。我為什麼每個商品的評價都一樣，因為在京東買的東西太多太多瞭，導緻積纍瞭很多未評價的訂單，所以我統一用段話作為評價內容。京東購物這麼久，有買到很好的産品

評分☆☆☆☆☆

能夠生存下來的物種，並不是那些最強壯的，也不是那些最聰明的，而是那些對變化作齣最快反應的——達爾文

評分☆☆☆☆☆

“凡是開展數學競賽活動好的地區和單位，都能@激發學生的學習數學的興趣，有利於培養創造性思維，提高學生的學習效率。”

評分☆☆☆☆☆

書很好，希望對孩子的學習大有幫助

評分☆☆☆☆☆

學習數學需要學會解題，不僅能解常規的問題，還要學習解一些有技巧性的問題，這對培養解題能力和進一步學習數學都是非常有益的。《數學奧林匹剋小叢書（第2版）：高中數學競賽中的解題方（高中捲14）》以數學競賽問題為載體，通過20個專題，介紹重要的數學思想方法、解題策略和技巧，探討數學解題的基本原理。《數學奧林匹剋小叢書（第2版）：高中數學競賽中的解題方（高中捲14）》可作為中學生的課外輔導材料，也可以作為師範院校本科生、研究生的數學解題和數學競賽課程的教材或參考書。

評分☆☆☆☆☆

給孩子買的，一次買瞭好多本。

評分☆☆☆☆☆

陸續湊單購買，缺一本就一整套瞭。

評分☆☆☆☆☆

書質量很好，尤其是兒子覺得很實用，繼續支持。

評分☆☆☆☆☆

正版圖書，購買方便，價錢閤理