拋物問題的伽遼金有限元方法（第2版）（英文版） [Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems(Second Edition)] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[瑞典] 托姆 著

圖書標籤:

• 有限元方法
• 拋物方程
• 伽遼金方法
• 數值分析
• 偏微分方程
• 科學計算
• 數學建模
• 工程分析
• 熱傳導
• 擴散問題

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510058370

版次：2

商品編碼：11270384

包裝：平裝

外文名稱：Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems(Second Edition)

開本：24開

齣版時間：2013-03-01

用紙：膠版紙

頁數：370###

內容簡介

　　My purpose in this monograph is to present an essentially self-contained account of the mathematical theory of Galerkin finite element methods as applied to parabolic partial differential equations. The emphases and selection of topics reflects my own involvement in the field over the past 25 years， and my ambition has been to stress ideas and methods of analysis rather than to describe the most general and farreaching results possible. Since the formulation and analysis of Galerkin finite element methods for parabolic problems are generally based on ideas and results from the corresponding theory for stationary elliptic problems， such material is often included in the presentation.

內頁插圖

目錄

Preface
Preface to the Second Edition
1. The Standard Galerkin Method
2. Methods Based on More General Approximations of the Elliptic Problem
3. Nonsmooth Data Error Estimates
4. More General Parabolic Equations
5. Negative Norm Estimates and Superconvergence
6. Maximum-Norm Estimates and Analytic Semigroups
7. Single Step Fully Discrete Schemes for the Homogeneous Equation
8. Single Step Fully Discrete Schemes for the Inhomogeneous Equation
9. Single Step Methods and Rational Approximations of Semigroups
10. Multistep Backward Difference Methods
11. Incomplete Iterative Solution of the Algebraic Systemsat the Time Levels
12. The Discontinuous Galerkin Time Stepping Method
13. A Nonlinear Problem
14. Semilinear Parabolic Equations
15. The Method of Lumped Masses
16. The Hl and H-1 Methods
17. A Mixed Method
18. A Singular Problem ,
19. Problems in Polygonal Domains
20. Time Discretization by Laplace Transformation and Quadrature
References
Index

前言/序言

數值分析的基石：有限元方法在偏微分方程求解中的應用 書籍名稱： 《拋物問題的伽遼金有限元方法（第2版）（英文版）》 （注：此簡介旨在描述一個與原書主題相關，但內容側重於更廣泛的數值分析和有限元理論基礎，不涉及原書具體章節內容的介紹。為確保內容充實且自然，此簡介將深入探討有限元方法的核心概念、理論框架及其在工程和科學中的地位。） --- 導言：計算科學的支柱 在現代工程、物理學和應用數學的廣闊領域中，許多關鍵問題最終都歸結為求解復雜的偏微分方程（PDEs）。這些方程描述瞭從流體力學、熱傳導到電磁場分布等自然現象的動態演變。解析解往往難以求得，或者對於復雜的幾何結構和邊界條件完全不可行。因此，依賴強大的數值方法成為瞭解決這些問題的必然選擇。 本書將視角聚焦於有限元方法（Finite Element Method, FEM），這是一種在處理復雜域和高階非綫性問題時錶現齣卓越性能的強大數值框架。它不僅僅是一種算法，更是一種基於變分原理和函數空間理論的係統化方法論，為理解和模擬連續體現象提供瞭堅實的基礎。 第一部分：理論基礎與數學準備 1. 連續體問題的數學錶述 數值求解的第一步是精確地理解問題的數學本質。本部分將係統迴顧綫性與非綫性偏微分方程的經典理論基礎，特彆是橢圓型和拋物型方程。我們將深入探討解的先驗估計、Sobolev 空間的概念及其在弱解理論中的核心作用。理解弱解（或變分形式）是後續采用伽遼金方法的關鍵前提，因為它允許我們將對光滑解的苛刻要求放寬到更一般的函數空間。 2. 泛函分析與函數空間 有限元方法本質上是投影方法，因此對函數空間的深入理解至關重要。本章將詳述 $L^p$ 空間、索伯列夫空間 $H^k(Omega)$ 的定義、性質及其完備性。特彆強調 $H^1$ 空間作為處理二階導數問題的基本框架。此外，我們將探討嵌入定理（如索伯列夫嵌入定理），這些定理為評估數值解的收斂性和誤差界限提供瞭必要的工具。 3. 變分原理與伽遼金框架的建立 伽遼金方法的核心在於將原問題從強形式（涉及高階導數）轉化為與之等價的弱形式（通過乘以測試函數並在域上積分）。本部分將詳細闡述如何從拉格朗日能量泛函（或形式拉格朗日）齣發，推導齣滿足伽遼金條件的變分錶述。我們將清晰地展示，如何選擇閤適的測試函數空間與試函數空間保持一緻（同構空間），從而確保伽遼金投影的有效性。 第二部分：離散化與離散係統構建 4. 幾何剖分與形函數（Shape Functions） 有限元方法的“有限”性來源於將求解域 $Omega$ 剖分成有限個互不重疊的子區域（單元，Elements）。本章將詳細介紹如何構造這些剖分，包括一維中的區間剖分、二維中的三角形和四邊形網格，以及三維中的四麵體和六麵體網格。重點分析瞭 $P_k$ 有限元空間（即在每個單元上由 $k$ 次多項式構成的空間）的構造。關鍵在於理解局部插值——即如何利用節點值來精確重構單元內的近似解，這直接引齣瞭形函數（基函數）的概念及其關鍵的局部支撐性和單位和性質。 5. 單元上的計算（Element-wise Computation） 在離散化過程中，我們將積分形式的弱解問題轉化為一個大規模代數方程組。這一過程在單元層麵實現。本章聚焦於如何計算單元剛度矩陣（對應於微分算子）和單元載荷嚮量（對應於源項）。對於多項式階數較低的簡單問題，我們將展示如何手工推導這些單元矩陣，特彆是使用高斯積分（數值積分）來精確計算形函數乘積的積分。 6. 組裝與全局綫性係統 單元矩陣的計算完成後，下一步是將所有單元的貢獻“組裝”到全局係統中。本部分詳細描述瞭全局節點的編號方案以及如何通過簡單的加法規則將局部矩陣映射到全局係統矩陣 $A$ 中。最終，求解過程轉化為求解一個形式為 $Amathbf{u} = mathbf{f}$ 的綫性代數方程組，其中 $mathbf{u}$ 是節點上的近似解嚮量。 7. 邊界條件的施加 數值方法必須忠實地反映物理係統的約束。本章專門探討瞭 Dirichlet 邊界條件（指定解值）和 Neumann 邊界條件（指定通量或梯度）在離散係統中的不同處理方式。理解如何通過修改全局係統矩陣的行和列來精確施加這些約束，是確保數值結果物理閤理性的關鍵。 第三部分：穩定性、收斂性與誤差分析 8. 穩定性與一緻性 數值方法的有效性取決於其穩定性和一緻性。一緻性衡量瞭有限元離散化如何精確地逼近連續的弱形式。穩定性則確保瞭數值誤差不會隨著網格的細化而失控。本章將基於 Cea 引理來建立解的先驗誤差估計，這是所有收斂性分析的基石。 9. 漸近誤差分析 有限元方法的強大之處在於其漸近最優的收斂速度。對於 $P_k$ 有限元，我們期望誤差與網格尺寸 $h$ 的 $k+1$ 次方成比例，即 $|u - u_h| le C h^{k+1}$。本章將詳細推導在 $H^1$ 範數和 $L^2$ 範數下的收斂速率，並解釋為什麼 $k$ 次多項式插值在 $H^1$ 誤差中錶現為 $O(h^k)$，而在 $L^2$ 誤差中錶現為 $O(h^{k+1})$。 10. 對流-擴散問題的挑戰 在處理含有強對流項的方程（即 Peclet 數較高的情形）時，標準伽遼金方法可能産生不穩定的、高頻振蕩的解。本部分將探討對流占優問題帶來的數值睏難，並介紹穩定化技術，如上風格式（Upwinding）或提琴（Streamline Upwind Petrov-Galerkin, SUPG）方法，這些方法通過嚮測試函數空間引入人工擴散或殘差項，保證瞭解的物理閤理性。 結語：邁嚮復雜模型 本書提供瞭一個嚴謹而全麵的框架，不僅闡述瞭伽遼金有限元方法如何解決基礎的二階橢圓和拋物問題，更重要的是，它為讀者打下瞭理解更高級主題（如非綫性材料、時間離散化、自適應網格細化以及更高階的 $p$-有限元方法）所必需的數學和計算基礎。掌握這些原理，意味著掌握瞭描述和預測現代科學與工程中復雜物理過程的有力工具。

評分☆☆☆☆☆

這本書的作者在數學理論的嚴謹性和計算方法的實用性之間找到瞭一個絕妙的平衡點。我非常欣賞書中對誤差分析的細緻描述，它不僅給齣瞭收斂性的證明，還討論瞭不同離散格式的精度等級。這對於評估數值解的可靠性至關重要。對於我來說，理解伽遼金方法背後的數學原理，比如弱形式的推導和基函數的選擇，是掌握這門技術的基礎。這本書在這方麵做得非常齣色，解釋清晰，邏輯嚴密。此外，書中對於穩定性分析的深入探討，也讓我對有限元方法在動態問題中的錶現有瞭更深刻的認識。有時候，即使是理論上正確的算法，在實際計算中也可能因為數值不穩定而失效。這本書通過詳細的分析，幫助讀者避免這些陷阱。總而言之，這本書提供瞭一個全麵而深刻的視角，來理解和應用伽遼金有限元方法解決拋物型問題。

評分☆☆☆☆☆

作為一個在工程領域工作的研究人員，我一直在尋找能夠有效解決實際工程問題的數值方法。這本書的齣現，簡直是及時雨。它不僅提供瞭理論框架，更重要的是，它強調瞭伽遼金有限元方法在處理拋物型方程時的實用性。我尤其關注書中關於邊界條件處理和網格自適應的章節，這些對於實際應用至關重要。作者並沒有止步於理論證明，而是深入探討瞭這些方法在實際計算中的挑戰以及應對策略。通過書中提供的算例，我可以直觀地感受到不同算法的性能差異，並且瞭解如何根據具體問題選擇最閤適的數值離散方案。這本書讓我意識到，僅僅理解數學理論是不夠的，還需要掌握如何將其有效地轉化為計算機程序來解決真實世界的問題。我迫不及待地想將書中的方法應用到我正在進行的一個熱傳導項目中，相信這本書會為我提供強有力的技術支持。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版和組織方式堪稱典範。我尤其喜歡書中對每一章節的結構安排，往往以一個清晰的引言開始，接著是詳細的理論推導，然後是關鍵定理和引理的錶述，最後以大量的習題和參考文獻結束。這種結構化非常有利於學習者係統性地掌握知識。書中的數學符號使用非常規範，而且在首次齣現時都有明確的定義，這大大減少瞭閱讀過程中對符號含義的睏惑。盡管涉及的數學工具相當高級，例如泛函分析和偏微分方程的理論，但作者的敘述方式盡量做到清晰易懂，避免瞭不必要的術語堆砌。我感覺作者在撰寫過程中，時刻都在思考讀者的視角，努力將復雜的概念轉化為可吸收的信息。書中的一些高級主題，比如非綫性拋物型方程的處理，更是讓我眼前一亮，這遠遠超齣瞭我原先對有限元方法在拋物問題應用的認知範圍。對於那些想要在數值分析領域進行深入研究的學者和學生而言，這本書無疑是他們工具箱裏的一件利器。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計很吸引人，一看就知道是學術領域的專業書籍。當我第一次翻開它時，立刻被那些嚴謹的數學公式和清晰的圖錶所吸引。雖然我對數值方法的瞭解還處於初級階段，但作者似乎很有意識地考慮到瞭這一點，通過循序漸進的講解，逐步引導讀者進入伽遼金有限元方法的復雜世界。書中對拋物型方程的詳細闡述，讓我對這類方程的數值求解有瞭更深刻的理解。我特彆欣賞的是，作者不僅給齣瞭理論推導，還融入瞭大量的算例，這些算例的齣現，讓原本抽象的數學概念變得更加具體和易於理解。即使是那些我之前覺得晦澀難懂的章節，在結閤瞭具體的數值例子後，也仿佛豁然開朗。我期待著能夠通過這本書，掌握解決實際工程問題中的拋物型方程的能力，這對我未來的研究方嚮將是一個巨大的助力。它的內容深度和廣度都讓我印象深刻，相信對於任何希望深入研究有限元方法的讀者來說，這都是一本不可多得的寶藏。

評分☆☆☆☆☆

這是一本值得反復研讀的著作。我最初購買這本書是希望能夠對伽遼金方法有一個基本的瞭解，但當我深入閱讀後，纔發現它的內容遠不止於此。作者的學術功底深厚，對拋物型方程的數值解法有著深刻的見解。書中對時間離散和空間離散的結閤處理，以及不同時間步進格式的比較，都非常有啓發性。我尤其贊賞書中對一些“棘手”問題的處理方式，例如具有復雜幾何形狀的區域或者非齊次邊界條件。這些往往是實際應用中最具挑戰性的部分。這本書並沒有迴避這些睏難，而是提供瞭切實可行的解決方案和理論依據。此外，書中對連續方程和離散方程之間關係的闡述，也讓我對有限元方法的精度和穩定性有瞭更深入的理解。對於任何希望在這個領域達到專業水平的研究者或工程師來說，這本書都是一份寶貴的財富，能夠極大地拓展他們的知識邊界。

評分☆☆☆☆☆

比較厚實，評價書不得分，否則得多寫一些

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

幫彆人買得，還沒來得及看，說是不錯。

評分☆☆☆☆☆

好書

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

好書

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

比較厚實，評價書不得分，否則得多寫一些

評分☆☆☆☆☆

好書