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美国迈阿密大学Singiresu S.Rao教授的力作《机械振动》（MECHANICAL VIBRATIONS)一本书的第5版秉承了其一贯的内容详实、叙述简介、强调工程背景与计算技术的风格，很能体现美国工程与技术鉴认委员会（Accreditation Board For Engineering And Technology）所要求的能力培养目标即应用数学、科学以及工程方面知识的能力，对工程问题进行识别、公式化建模和求解的能力，利用工程实践所必需的技术、方法和现代工程工具的能力，设计和进行实验以及分析和解释实验数据的能力。内容简介
《机械振动（第5版）》可作为工程力学、机械工程、车辆工程、动力工程、航空航天工程等专业本科生或研究生的教材使用，亦可供相关专业的工程技术人员参考。
内页插图
目录
第1章振动理论基础1
1.1前言2
1.2振动研究简史2
1.2.1振动研究的起源2
1.2.2从伽利略(Galileo)到瑞利(Rayleigh)5
1.2.3近代之贡献7
1.3振动研究的重要性9
1.4振动的基本概念11
1.5振动的分类14
1.5.1自由振动与受迫振动14
1.5.2有阻尼振动与无阻尼振动14
1.5.3线性振动与非线性振动14
1.5.4确定性振动与随机振动15
1.6振动分析的一般步骤15
1.7弹簧元件18
1.7.1非线性弹簧19
1.7.2非线性弹簧的线性化21
1.7.3弹性元件的弹簧常数22
1.7.4弹簧的组合25
1.7.5与由重力引起的恢复力有关的弹簧常数31
1.8质量或惯性元件32
1.9阻尼元件36
1.9.1黏性阻尼器的结构37
1.9.2非线性阻尼器的线性化41
1.9.3阻尼器的组合42
1.10简谐运动43
1.10.1简谐运动的矢量表示44
1.10.2简谐运动的复数表示44机械振动（第5版）目录1.10.3复数的代数运算46
1.10.4简谐函数的运算46
1.10.5定义和术语48
1.11谐波分析51
1.11.1傅里叶级数展开52
1.11.2傅里叶级数的复数形式53
1.11.3频谱53
1.11.4时域表示法与频域表示法54
1.11.5奇函数和偶函数54
1.11.6半区间展开56
1.11.7系数的数字计算56
1.12利用MATLAB求解的例子60
1.13振动方面的文献64
本章小结65
参考文献65
思考题67
习题71
设计题目92
第2章单自由度系统的自由振动96
2.1引言97
2.2无阻尼平动系统的自由振动99
2.2.1根据牛顿第二定律建立系统的运动微分方程99
2.2.2用其他方法建立系统的运动微分方程100
2.2.3铅垂方向上弹簧�仓柿肯低车脑硕�微分方程101
2.2.4运动微分方程的解102
2.2.5简谐运动103
2.3无阻尼扭转系统的自由振动111
2.3.1运动微分方程112
2.3.2运动微分方程的解113
2.4一阶系统的响应与时间常数115
2.5瑞利能量法117
2.6黏性阻尼系统的自由振动120
2.6.1运动微分方程120
2.6.2方程的解120
2.6.3对数缩减率124
2.6.4黏性阻尼消耗的能量125
2.6.5有黏性阻尼的扭振系统126
2.7特征根的图解表示及相应的解131
2.7.1特征方程的根131
2.7.2根的图解表示及相应的解132
2.8参数变化与根轨迹表示133
2.8.1s平面中ωn、ωd、ζ与τ的说明133
2.8.2根轨迹与参数变化136
2.9库仑阻尼系统的自由振动141
2.9.1运动微分方程142
2.9.2方程的解143
2.9.3有库仑阻尼的扭振系统145
2.10滞后阻尼系统的自由振动146
2.11系统的稳定性151
2.12利用MATLAB求解的例子154
本章小结159
参考文献160
思考题160
习题165
设计题目191
第3章单自由度系统在简谐激励下的振动193
3.1引言194
3.2运动微分方程194
3.3无阻尼系统在简谐力作用下的响应195
3.3.1总响应197
3.3.2拍振现象198
3.4阻尼系统在简谐力作用下的响应200
3.4.1总响应203
3.4.2品质因子与带宽205
3.5F(t)=Feiωt作用下阻尼系统的响应206
3.6基础作简谐运动时阻尼系统的响应208
3.6.1所传递的力210
3.6.2相对运动211
3.7具有旋转不平衡质量的阻尼系统的响应212
3.8库仑阻尼系统的受迫振动217
3.9滞后阻尼系统的受迫振动220
3.10其他类型阻尼系统的受迫振动221
3.11自激振动与稳定性分析222
3.11.1动力稳定性分析222
3.11.2流体导致的动力不稳定224
3.12传递函数法230
3.13利用拉普拉斯变换求解232
3.14频率传递函数235
3.14.1一般传递函数T(s)与频率传递函数T(iω)的关系236
3.14.2频响特征的表示237
3.15利用MATLAB求解的例子240
本章小结246
参考文献246
思考题247
习题250
设计题目267
第4章单自由度系统在一般激励下的振动268
4.1引言269
4.2一般周期力作用下的响应269
4.2.1一阶系统270
4.2.2二阶系统275
4.3不规则形式的周期力作用下的响应280
4.4非周期力作用下的响应281
4.5卷积积分282
4.5.1对冲量的响应282
4.5.2对一般力的响应285
4.5.3对基础激励的响应286
4.6响应谱291
4.6.1基础激励对应的响应谱293
4.6.2地震响应谱295
4.6.3冲击环境下的设计298
4.7拉普拉斯变换300
4.7.1瞬态响应与稳态响应301
4.7.2一阶系统的响应301
4.7.3二阶系统的响应302
4.7.4阶跃激励的响应307
4.7.5阶跃响应的分析311
4.7.6瞬态响应的描述312
4.8数值方法318
4.9利用数值方法求不规则激励下的响应321
4.10利用MATLAB求解的例子323
本章小结327
参考文献327
思考题328
习题332
设计题目347
第5章二自由度系统的振动349
5.1引言350
5.2受迫振动的运动微分方程353
5.3无阻尼系统的自由振动分析354
5.4扭振系统361
5.5坐标耦合与主坐标364
5.6受迫振动分析368
5.7半正定系统371
5.8自激振动与稳定性分析373
5.9传递函数法374
5.10利用拉普拉斯变换求解375
5.11利用频率传递函数求解382
5.12利用MATLAB求解的例子384
本章小结390
参考文献391
思考题391
习题394
设计题目411
第6章多自由度系统412
6.1引言413
6.2连续系统模型化为多自由度系统413
6.3运用牛顿第二定律推导运动微分方程414
6.4影响系数418
6.4.1刚度影响系数418
6.4.2柔度影响系数422
6.4.3惯性影响系数425
6.5以矩阵形式表示的势能与动能427
6.6广义坐标与广义力429
6.7用拉格朗日方程推导运动微分方程430
6.8以矩阵形式表示的无阻尼系统的运动微分方程433
6.9特征值问题434
6.10特征值问题的解435
6.10.1特征方程的解435
6.10.2主振型的正交性439
6.10.3重特征值442
6.11展开定理444
6.12无约束系统444
6.13无阻尼系统的自由振动447
6.14用模态分析法求无阻尼系统的受迫振动449
6.15黏性阻尼系统的受迫振动454
6.16自激振动及其稳定性分析458
6.17利用MATLAB求解的例子460
本章小结468
参考文献468
思考题469
习题473
设计题目489
第7章多自由度系统固有频率与振型的近似计算方法490
7.1引言491
7.2邓克莱公式491
7.3瑞利法493
7.3.1瑞利商的性质494
7.3.2基频的计算495
7.3.3梁和轴的基频496
7.4霍尔茨法498
7.4.1扭振系统499
7.4.2弹簧�仓柿肯低�501
7.5矩阵迭代法502
7.5.1收敛到高阶固有频率503
7.5.2中间某阶固有频率的计算504
7.6雅可比法508
7.7标准特征值问题510
7.7.1柯勒斯基分解511
7.7.2其他解法512
7.8利用MATLAB求解的例子512
本章小结515
参考文献516
思考题517
习题520
设计题目526
第8章连续系统的振动527
8.1引言528
8.2弦或索的横向振动528
8.2.1运动微分方程528
8.2.2初始条件与边界条件529
8.2.3等截面弦的自由振动530
8.2.4两端固定弦的自由振动531
8.2.5行波解533
8.3杆的纵向振动534
8.3.1运动微分方程及其解534
8.3.2振型函数的正交性536
8.4圆杆或轴的扭转振动540
8.5梁的横向振动542
8.5.1运动微分方程542
8.5.2初始条件543
8.5.3自由振动544
8.5.4边界条件545
8.5.5振型函数的正交性547
8.5.6受迫振动549
8.5.7轴向力的影响550
8.5.8转动惯量与剪切变形的影响552
8.5.9其他影响555
8.6薄膜的振动555
8.6.1运动微分方程555
8.6.2初始条件与边界条件557
8.7瑞利法558
8.8瑞利�怖钭确�559
8.9利用MATLAB求解的例子561
本章小结564
参考文献564
思考题566
习题569
设计题目577
第9章振动控制578
9.1引言579
9.2振动列线图和振动标准579
9.3抑制振源强度583
9.4旋转机械的平衡583
9.4.1单面平衡583
9.4.2双面平衡585
9.5轴的涡动589
9.5.1运动微分方程589
9.5.2临界速度591
9.5.3系统的响应591
9.5.4稳定性分析593
9.6活塞式发动机的平衡594
9.6.1气体压力变化产生的不平衡力594
9.6.2运动部件的惯性产生的不平衡力595
9.6.3活塞式发动机的平衡597
9.7振动的控制598
9.8固有频率的控制599
9.9阻尼的应用599
9.10振动隔离600
9.10.1具有刚性基础的振动隔离系统602
9.10.2具有支撑运动的振动隔离系统610
9.10.3具有挠性基础的振动隔离系统615
9.10.4具有部分挠性基础的振动隔离系统616
9.10.5冲击隔离617
9.10.6主动振动控制619
9.11吸振器623
9.11.1无阻尼动力吸振器624
9.11.2有阻尼动力吸振器627
9.12利用MATLAB求解的例子630
本章小结639
参考文献639
思考题641
习题644
设计题目655
第10章振动测量与应用656
10.1引言657
10.2传感器658
10.2.1变电阻传感器658
10.2.2压电传感器660
10.2.3电动式传感器661
10.2.4线性可变差动变压器传感器661
10.3拾振器662
10.3.1测振计663
10.3.2加速度计664
10.3.3速度计666
10.3.4相位失真667
10.4频率测量仪669
10.5激振器670
10.5.1机械式激振器670
10.5.2电动式激振器671
10.6信号分析672
10.6.1频谱分析仪673
10.6.2带通滤波器673
10.6.3恒百分比带宽滤波器和恒带宽滤波器674
10.7机械和结构的动态测试675
10.7.1利用测量运行时的变形675
10.7.2利用模态测试676
10.8实验模态分析676
10.8.1基本观点676
10.8.2所需仪器676
10.8.3数字信号处理678
10.8.4随机信号分析679
10.8.5从观察到的峰值确定模态数据682
10.8.6根据奈奎斯特图确定模态数据683
10.8.7模态形状的测量685
10.9机器运行状态监测与诊断687
10.9.1振动强度标准687
10.9.2设备检修技术687
10.9.3机械运行状况监测技术688
10.9.4振动监测技术689
10.9.5仪器系统692
10.9.6监测参数的选取694
10.10利用MATLAB求解的例子694
本章小结697
参考文献697
思考题698
习题702
设计题目705
第11章振动分析中的数值积分法707
11.1引言708
11.2有限差分法708
11.3用中心差分法求单自由度系统的响应709
11.4用龙格�部馑�法求单自由度系统的响应711
11.5用中心差分法求多自由度系统的响应713
11.6用有限差分法求连续系统的响应716
11.6.1杆的纵向振动716
11.6.2梁的横向振动719
11.7用龙格�部馑�法求多自由度系统的响应722
11.8侯伯特法723
11.9威尔逊法726
11.10纽马克法728
11.11利用MATLAB求解的例子730
本章小结737
参考文献737
思考题738
习题740
第12章有限单元法745
12.1引言746
12.2单元的运动方程746
12.3质量矩阵、刚度矩阵以及载荷向量748
12.3.1杆单元748
12.3.2扭转单元750
12.3.3梁单元751
12.4单元矩阵和单元向量的变换753
12.5有限单元集成系统的运动方程755
12.6边界条件的引入756
12.7一致质量矩阵和集中质量矩阵764
12.7.1杆单元的集中质量矩阵764
12.7.2梁单元的集中质量矩阵764
12.7.3集中质量矩阵与一致质量矩阵的关系765
12.8利用MATLAB求解的例子766
本章小结771
参考文献772
思考题772
习题775
设计题目785
第13章非线性振动787
13.1引言788
13.2非线性振动问题的例子788
13.2.1单摆788
13.2.2机械颤振,皮带摩擦系统789
13.2.3变质量系统790
13.3精确解法790
13.4近似分析方法791
13.4.1基本原理792
13.4.2林兹泰德（Lindstedt）摄动方法794
13.4.3迭代法795
13.4.4李兹�操ち山鸱�798
13.5亚谐振动和超谐振动800
13.5.1亚谐振动800
13.5.2超谐振动802
13.6变参数系统(马休方程)803
13.7图解法807
13.7.1相平面法807
13.7.2相速度810
13.7.3绘制相轨迹的方法811
13.7.4根据相轨迹求时域解812
13.8平衡状态的稳定性813
13.8.1稳定性分析813
13.8.2奇点的分类814
13.9极限环816
13.10混沌817
13.10.1具有稳定轨道的函数818
13.10.2具有不稳定轨道的函数819
13.10.3没有激励项时达芬方程的混沌行为820
13.10.4有激励项时达芬方程的混沌行为822
13.11数值方法824
13.12利用MATLAB求解的例子824
本章小结833
参考文献833
思考题835
习题838
设计题目844
第14章随机振动845
14.1引言846
14.2随机变量与随机过程847
14.3概率分布847
14.4均值与标准差848
14.5几个随机变量的联合概率分布849
14.6随机过程的相关函数851
14.7平稳随机过程852
14.8高斯随机过程854
14.9傅里叶分析855
14.9.1傅里叶级数855
14.9.2傅里叶积分857
14.10功率谱密度859
14.11宽带和窄带随机过程861
14.12单自由度系统的响应862
14.12.1脉冲响应函数法862
14.12.2频响函数法863
14.12.3响应函数的特点864
14.13平稳随机激励下的响应864
14.13.1脉冲响应函数法865
14.13.2频响函数法865
14.14多自由度系统的响应869
14.15利用MATLAB求解的例子874
本章小结877
参考文献877
思考题878
习题881
设计题目887
附录A数学关系和材料属性888
附录B梁和板的挠度891
附录C矩阵894
C.1定义894
C.2矩阵的基本运算897
参考文献898
附录D拉普拉斯变换899
D.1定义899
D.2导数的拉普拉斯变换900
D.3移位定理900
D.4部分分式法901
D.5卷积积分902
附录E单位906
参考文献908
附录FMATLAB简介909
F.1变量909
F.2数组和矩阵910
F.3特殊结构的数组910
F.4特殊矩阵911
F.5矩阵运算911
F.6MATLAB中的函数911
F.7复数912
F.8M文件912
F.9绘图913
F.10非线性方程的根914
F.11线性代数方程组的解914
F.12特征值问题的解915
F.13微分方程的解916
部分习题答案918
精彩书摘
库仑(Charles Augustin de Coulomb,1736—1806)，法国物理学家、军事工程师。1779年，总结其早年关于静力学和机械学工作的论文集《简单机械理论》面世，其描述的摩擦力与正压力之间成比例的关系，即人们熟知的库仑摩擦定律。1784年，他得到了刚体微幅扭振问题的准确解。他因提出电磁力的计算公式而广为人知。在国际单位制中，电荷的单位库仑就是用他的名字命名的。
（蒙Applied Mechanics Reviews许可使用。）
第3章单自由度系统在简谐激励下的振动
导读
本章主要讨论单自由度系统在简谐激励下的响应。首先，推导了单自由度系统在简谐激励作用下的运动微分方程以及求解过程，同时考虑了有阻尼和无阻尼两种情况。针对无阻尼质量�驳�簧系统，介绍了振幅放大系数(或幅值比)、共振以及拍振现象。非齐次二阶微分方程的解可表示成齐次解(自由振动解)与特解(受迫振动)之和。系统的已知初始条件可用于确定全解的常数。详细介绍了黏性阻尼系统的放大系数以及相位角的重要特征。给出了品质因数、带宽及半功率点的定义，同时介绍了如何利用品质因数来确定机械系统的黏性阻尼系数。
介绍了无阻尼系统在简谐函数为复数形式时的响应，并且引入了复频响应的概念。介绍了阻尼系统在基础作简谐运动时的响应，引入位移传递率及力传递率的概念，这可以应用于如在飞机滑行或起降过程中跑道的粗糙度引起的飞机的振动、车辆由于道路不平而引起的振动以及建筑物由于地震引起的振动等问题。还介绍了阻尼系统在旋转不平衡情况下的响应，可以应用于转子不平衡的旋转机器。介绍了质量�驳�簧系统在库仑阻尼、滞后阻尼及其他类型阻尼下的受迫振动。给出了单自由度系统的自激振动和稳定性分析及应用。对求解简谐激励系统的三种传递函数法(一般传递函数法、拉普拉斯变换法及谐波传递函数法)进行了概述。最后，给出了若干利用MATLAB求解不同类型的简谐激励下阻尼和无阻尼振动问题的例子。机械振动（第5版）第3章单自由度系统在简谐激励下的振动学习目标
学完本章后，读者应能达到以下几点：
�r 求解在不同类型的简谐力作用下阻尼或无阻尼单自由度系统的响应，包括基础激励和有旋转不平衡的情况。
�r 区分瞬态振动、稳态振动以及全解。
�r 了解放大系数和相位角随激励频率的变化规律，以及共振和拍振的概念。
�r 求在库仑阻尼、滞后阻尼及其他类型阻尼下系统的响应。
�r 识别自激振动问题并分析其稳定性。
�r 推导受控于常系数线性微分方程的系统的传递函数。
�r 利用拉普拉斯变换求解单自由度系统在谐波作用下的振动问题。
�r 从一般传递函数推导出频率传递函数，并用伯德(Bode)图画出频率响应特性。
�r 利用MATLAB求解简谐激励下的振动响应。
3.1引言
当有外部能量供给机械或机构系统时，一般会导致受迫振动。提供给系统的外部能量，既可能是作用力，也可能是强加的位移激励。作用力或位移激励本质上可能是简谐形式、非简谐但为周期性形式、非周期或随机形式。简谐激励下系统的响应称为简谐响应简谐响应。非周期激励可能经历或长或短的一段时间。动力学系统对突加非周期激励的响应称为瞬态响应瞬态响应。
本章将讨论在简谐激励F(t)=F0ei(ωt+��)或F(t)=F0cos(ωt+��)或F(t)=F0sin(ωt+��)(其中，F0为幅值，ω是频率，�嘉�简谐激励的相角）作用下的单自由度系统的动态响应。�嫉闹等【鲇贔(t)在t=0时刻的值，通常取为零。在简谐激励作用下，系统的响应也将是简谐形式的。若激励频率等于系统的固有频率，则系统的响应会非常大，称为共振共振。应尽量避免出现这种现象，以防止系统失效。由旋转机器的不平衡导致的振动、在稳定的风中因涡流脱落导致的高耸烟囱的振荡以及在正弦曲线路面上行驶的汽车的垂向运动，均可视为简谐激励下振动的例子。
本章也讨论了应用传递函数、拉普拉斯变换及频率函数法求简谐激励系统的解。
3.2运动微分方程
若力F(t)作用在图3.1所示的黏性阻尼弹簧�仓柿肯低成希�则应用牛顿第二运动定律可得系统的运动微分方程为mx··+cx·+kx=F(t)(3.1)由于该方程是非齐次的，所以其通解x(t)可表示成齐次解xh(t)与特解xp(t)之和。齐次解即齐次方程mx··+cx·+kx=0(3.2)的解，表示系统的自由振动，已在第2章讨论。如2.6.2节所述，该自由振动在3种可能的阻尼条件（欠阻尼、临界阻尼与过阻尼）和所有的初始条件下都将逐渐消失。于是式（3.1）的通(全)解最终演化为特解xp(t)，它表示系统的稳态振动。只要受到力函数的作用，系统就会有稳态响应。齐次解、特解与通解随时间变化的典型情况如图3.2所示。由该图可知，经过一段时间τ之后，xh(t)就消失了，而x(t)变为xp(t)。由于阻尼存在导致消失的那部分运动（自由振动部分）称为瞬态振动瞬态振动。瞬态运动衰减的快慢主要取决于系统的参数k，c和m。在本章中除了3.3节外，均忽略瞬态运动，只推导式（3.1）的特解，即在简谐力函数作用下，系统的稳态响应。
图3.1弹簧�仓柿开沧枘崞飨低�
图3.2欠阻尼时，方程（3.1）的齐次解、特解和通解
3.3无阻尼系统在简谐力作用下的响应
在研究阻尼系统的响应前，为简单，先考虑一受简谐力作用的无阻尼系统。若力F(t)=F0cosωt作用在无阻尼系统的质量块m上，则运动微分方程式（3.1）简化为mx··+kx=F0cosωt(3.3)该方程的齐次解可以表示为xh(t)=C1cosωnt+C2sinωnt(3.4)其中,ωn=(k/m)1/2为系统的固有频率。由于激振力F(t)为简谐形式，则特解xp(t)也是简谐的，同时具有与激励频率相同的频率ω。于是假定其解的形式为xp(t)=Xcosωt(3.5)其中，X为常量，表示xp(t)的振幅。将式（3.5）代入式（3.3），可得X=F0k－mω2=δst1－ωωn2(3.6)其中，δst=F0/k表示在力F0作用下弹簧的变形。由于F0是常（静态）力，故有时δst也称为静变形静变形。于是式（3.3）的全解为x(t)=C1cosωnt+C2sinωnt+F0k-mω2cosωt(3.7)应用初始条件x(t=0)=x0与x·(t=0)=x·0，求得C1=x0－F0k－mω2,C2=x·0ωn(3.8)因此图3.3无阻尼系统的振幅放大系数
x(t)=x0－F0k－mω2cosωnt+x·0ωnsinωnt
+F0k－mω2cosωt(3.9)式（3.6）中的幅值X可以表示为Xδst=11－ωωn2(3.10)量X/δst表示动态幅值与静态幅值之比，称为振幅放大系数 振幅放大系数或幅值比幅值比。X/δst随频率比r=ω/ωn(式(3.10)）的变化如图3.3所示，根据该图，系统的响应可以分为以下3种情形。
情形1当0<ω/ωn<1时，式（3.10）中的分母为正值，由式（3.5）给出系统的响应。此时称系统的简谐响应xp(t)与外力同相，如图3.4所示。
情形2当ω/ωn>1时，式（3.10）中的分母为负值，稳态解可以表示为xp(t)=－Xcosωt(3.11)其中，运动的幅值X重新定义为另一个正量X=δstωωn2－1(3.12)F(t)与xp(t)随时间t的变化如图3.5所示。由于xp(t)与F(t)符号相反，则说明响应与外力反相，即响应与激励有180°的相角差。此外，当ω/ωn→∞时，X→0，即简谐力的频率非常高时，则系统的响应趋于零。
情形3当ω/ωn=1时，由式（3.10）或式（3.12）给出的幅值X成为无限大。激振力频率ω等于系统的固有频率ωn，此条件称为共振。为求此条件对应的响应，将式（3.9）重新表示为
x(t)=x0cosωnt+x·0ωnsinωnt+δstcosωt－cosωnt1－ωωn2(3.13)图3.40<ω/ωn<1时的简谐响应
图3.5ω/ωn>1时的简谐响应
由于该式的最后一项对应于ω=ωn为0∶0型的不定式，为此应用罗毕塔（L’Hospital）法则计算该项的极限值limω→ωncosωt-cosωnt1-ωωn2=limω→ωnddω(cosωt-cosωnt)ddω1-ω2ω2n
＝limω→ωntsinωt2ωω2n=ωnt2sinωnt(3.14)图3.6ω/ωn=1时的响应
于是，共振时系统的响应为x(t)=x0cosωnt+x·0ωnsinωnt+δstωnt2sinωnt(3.15)由式（3.15）可知，共振时x(t)无限地增大。式（3.15）中的最后一项如图3.6所示，这表明响应的振幅随时间线性地增大。
3.3.1总响应
系统的总响应即式（3.7）或式（3.9）也可以表示为x(t)=Acos(ωnt-�迹�+δst1-ωωn2cosωt,ωωn<1(3.16)
x(t)=Acos(ωnt-�迹�-δst1-ωωn2cosωt,ωωn>1(3.17)其中，A与�寄芟裨谑剑�2.21）中那样确定。则总的运动可表示成不同频率的两余弦曲线之和。在式（3.16）中，激振力频率ω小于系统的固有频率，则总响应如图3.7（a）所示。在式（3.17）中，激振力频率比固有频率大，总响应如图3.7（b）所示。
图3.7总响应
(a) ωωn<1 b="" n="">1
3.3.2拍振现象
若激振力的频率接近但不等于系统的固有频率，则可能发生拍振拍振。发生拍振时，质量块的振幅按某种确定的规律时而变大，时而变小（见1.10.5节）。拍振现象可通过形如式（3.9）的解来解释。若初始条件为X0=X·0=0，则式（3.9）简化为x(t)=F0/mω2n－ω2cosωt－cosωnt
=F0/mω2n－ω22sinω+ωn2t·sinωn－ω2t(3.18)令激振力频率略小于固有频率，即ωn－ω=2ε(3.19)其中，ε为一小的正数，则ωn≈ω，以及ω+ωn≈2ω(3.20)将式（3.19）与式（3.20）相乘，得ω2n-ω2＝4εω(3.21)将式（3.19）～式（3.21）代入式（3.18）中，有x(t)=F0/m2εωsinεtsinωt(3.22)由于ε非常小，函数sinεt变化缓慢，其周期2π/ε的值较大。则式（3.22）可视为周期为2π/ω的振动，其可变幅值为F0/m2εωsinεt从图3.8也可观察到，曲线sinωt经过几个循环时，sinεt只经过一个循环，其幅值呈连续地增大和减小。两零幅值点或两最大幅值点对应的时间，称为拍振周期拍振周期（τb），其表达式为τb=2π2ε=2πωn－ω（3.23）与之对应的拍振(角)频率定义为ωb=2ε=ωn－ω图3.8拍振现象
例3.1重为150lbf的往复式活塞泵安装在钢板的中部。该钢板厚为0.5in，宽为20in，长为100in,两端固定,如图3.9所示。泵工作时，钢板受到一个大小为F(t)=50cos62.832tlbf的简谐力作用。求钢板的振动幅值。
图3.9支承具有不平衡质量活塞泵的钢板
解： 钢板可以模型化为两端固定的梁，弹性模量E=30×106lbf/in2，长l=100in，惯性矩I=112×20×0.53 in4=0.2083in4，梁的弯曲刚度为k=192EIl3=192×(30×106)×0.20831003 lbf/in=1200 lbf/in(E.1)简谐振动响应的幅值由式(3.6)确定,其中F0=50lbf，m=150/386.4lbf·s2/in(忽略钢板的重量)，k=1200lbf/in，ω=62.832rad/s。于是，由式（3.6）得X=F0k－mω2=501200－(150/386.4)×62.8322 in=－0.1504 in(E.2)负号表示钢板的响应x(t)与激振力F(t)反相。
例3.2弹簧�仓柿肯低持械�簧刚度为5000N/m，受到大小为30N、频率为20Hz的简谐力作用。质量块振动的幅值为0.2m，假设振动从静止状态开始，试求系统的质量。
解： 根据式(3.9)及初始条件x0=x·0=0，可以得到系统振动响应为x(t)=F0k－mω2(cosωt－cosωnt) (E.1)或写成x(t)=2F0k－mω2sinωn+ω2tsinωn－ω2t (E.2)由于振动幅值为0.2m，则式(E.2)中有2F0k－mω2=0.2 (E.3)将已知条件F0=30N，ω=20Hz=125.665rad/s，以及k=5000N/m代入式(E.3)中,有2×305000－m(125.664)2=0.2 (E.4)从而由式(E.4)可以解出m=0.2976kg。
3.4阻尼系统在简谐力作用下的响应
如果激振力为F(t)=F0cosωt，则运动方程为mx··+cx·+kx=F0cosωt (3.24)式（3.24）的特解也是简谐函数形式，假定为也可假定xp(t)=C1cosωt+C2sinωt,此式中也包含两个常数C1与C2，但这两种表述方式的最终结果一致。xp(t)=Xcos(ωt－��)(3.25)其中，X与�嘉�待定常量，分别表示响应的幅值与相角。将式（3.25）代入式（3.24）中，则得X(k－mω2)cos(ωt－��)－cωsin(ωt－��)=F0cosωt(3.26)运用下列三角函数关系cos(ωt－��)=cosωtcos��+sinωtsin��
sin(ωt－��)=sinωtcos�迹璫osωtsin�加谑剑�3.26）中再令方程两边cosωt和sinωt的系数分别相等，则可得X(k－mω2)cos��+cωsin��=F0
X(k－mω2)sin�迹璫ωcos��=0(3.27)式（3.27）的解为X=F0(k－mω2)2+c2ω21/2(3.28)
��=arctancωk－mω2(3.29)将式（3.28）与式（3.29）代入式（3.25），则可得式（3.24）的特解。图3.10（a）所示为力函数与稳态响应的典型形式，式（3.26）中各项的矢量表示如图3.10（b）所示。式（3.28）中的分子与分母均除以k并作如下代换
图3.10力函数和响应
(a) 图形表示； （b) 矢量表示
ωn=km（无阻尼固有频率）
ζ=ccc=c2mωn=c2mk，cm=2ζωn
δst=F0k（静态力F0作用下的变形）
r=ωωn（频率比）则得Xδst=11－ωωn22+2ζωωn21/2=1(1－r2)2+(2ζr)2(3.30)
��=arctan2ζωωn1－ωωn2=arctan2ζr1－r2(3.31)如3.3节所述，量M=X/δst称为振幅放大系数振幅放大系数或振幅比振幅比。X/δst与�妓嫫德时萺与阻尼比ζ的变化如图3.11所示。
图3.11X和�妓嫫德时萺的变化
根据式（3.30）与图3.11（a），可知振幅放大系数M具有下列特点：
（1） 对于无阻尼系统（ζ=0），式（3.30）简化为式（3.10）。当r→1时，M→∞。
（2） 对于激振力的各频率值，任意大小的阻尼（ζ>0）均将使振幅放大系数M减小。
（3） 对于任意确定的r值，阻尼值越大，则M值越小。
（4） 当激振力为常力（即r=0）时，M=1。
（5） 当发生共振或在其附近时，阻尼的存在将显著降低M值。
（6） 受迫振动的幅值随激振力频率的增加而显著地降低（即当r→∞时，M→0）。
（7） 对于0<ζ<12，当r=1－2ζ2或ω=ωn1－2ζ2(3.32)时，M值达到最大。显然，ω值小于无阻尼固有频率ωn 和有阻尼固有频率ωd=ωn1－ζ2。
（8） 当r=1－2ζ2时，X的最大值为Xδstmax =12ζ1－ζ2(3.33)当ω=ωn时，X的值由下式确定Xδstω=ωn=12ζ(3.34)式（3.33）可用于通过实验测定系统的阻尼值。在振动测试中，若测量出了响应的最大幅值Xmax，则系统的阻尼比可应用式（3.33）来确定。反过来，若已知阻尼值，则可估算出振动系.
……
前言/序言
前言 本版的变化 本书是为本科大学生准备的一本关于振动工程课程的入门读物。来自读者对《机械振动》第4版的肯定和赞许一直鼓励着作者为大家呈现本书的第5版。本版依然保持了前几版的风格，比如在振动理论、计算与应用方面的介绍都是以尽可能简单的方式给出的，并强调分析中所涉及的计算技术。此外，还对一些基本概念和原理作出了进一步的说明，以便加强对物理含义和概念的理解，这些都有赖于在本科生阶段学习力学所积累的经验。所选的大量的例题和习题都是为了说明一些重要的原理和概念。 在这一版中，对某些题目进行了修改和重写，并增加了一些新的题目。此外，还引入了一些新的特色。而这些新增加或修正的内容大多数都是由这本书的使用者和评论者提出的。一些重要的变化体现在以下几个方面： （1） 在每一章的开头，给出了“导读和学习目标”。 （2） 在每一章的结尾，给出了“本章小结”。 （3） 为了扩大覆盖的范围以及更加清晰的表述，对部分题目进行了改写。这些题目包括振动系统的基本组成——弹簧元件、阻尼元件和质量或惯性元件，振动的隔离和振动的主动控制。 （4） 详细地论述了许多新的题目并配以直观的例子，这包括一阶系统的响应和时间常数，特征根和解的图形化显示，参数变化和根轨迹表示法，系统的稳定性，受迫振动问题的传递函数方法，求自由和受迫振动问题解的拉普拉斯变换方法，频率传递函数方法，有阻尼单自由度系统的波特图，阶跃响应，瞬态响应的描述和塑性及弹性冲击。 （5） 又新加了128道例题，160道习题，70道思考题和107个插图。 （6） 删去了前几版中在每章最后给出的基于C++和Fortran程序的例题和习题。 本书的特色 机械振动中的每一个题目都自成一章，所有的概念都给出了详尽的解释，所有的推导都给出了全部的细节。 全书从始至终都强调计算方面的原理和技巧。每一章中的最后都给出了基于MATLAB的例题和一些通用MATLAB程序。此外，还给出了大量需要利用MATLAB或MATLAB程序求解的习题。 在某种程度上，某些题目的介绍可能是以不太方便的方式给出的，尤其是第9～11章。大多数教科书都会在不同的章节讨论隔振器、吸振器和机械的平衡问题。既然研究振动的主要目的之一就是要控制振动响应，所以第9章中的每一个题目都是和振动控制直接相关的。第10章介绍振动测量仪器和激振器、实验模态分析以及设备状态监测。类似地，所有可应用于单自由度和多自由度以及连续系统的数值积分方法构成了第11章的全部内容。 本书的特色之处体现在以下几个方面： 机械振动（第5版）前言�r 240多道说明性的例题以配合大多数所讨论的问题。 �r 980多道思考题帮助学生复习和检验他们对教材内容的理解。思考题的形式包括多项选择题、简述题、判断题、连线题和填空题。 �r 每一章所给出的大量习题旨在强调所涉及内容之不同应用。全部习题的数量达到了1150多道。习题解答专门编成了一个教师手册。 �r 在各章的最后，共有30多道设计性题目，它们中的许多解并不是唯一的。 �r 超过25个MATLAB程序以帮助学生理解如何实现教材中讨论的数值方法。 �r 在每一章和附录的起始页，给出约20位对振动理论的发展曾作出过重要贡献的科学家和工程师的传记信息。 �r 书中给出的MATLAB程序、思考题和习题的答案可以在公司的网站上找到： www.prenhall.com/rao。选用本书作为教材的教师可以得到包含全部习题解答和设计性题目的有关提示的题解手册。 符号和单位 在本书的例题和习题中，同时采用了国际制单位和英制单位。在致谢的后面，不仅给出了符号表，还列出了各种物理量的国际制单位和英制单位。在附录E 中，又给出了国际制单位应用于振动领域时的简要讨论。其中，用黑斜体字母表示列向量，用方括号表示矩阵。 材料的组织 本书包括14章正文和6个附录，其中第13、14两章是以电子文档的形式提供的，可以在公司的网站下载。阅读本书的读者应该具备静力学、动力学、强度理论以及微分方程方面的基础知识。尽管也期望读者具备矩阵理论和拉普拉斯变换方面的一些背景知识，但还是在附录C和D中分别给出了一个概要。 第1章简要地讨论了振动研究的历史和重要性，同时还介绍了对实际系统进行振动分析时如何进行简化以及振动分析的各个步骤。接下来介绍了振动系统的基本组成——刚度、阻尼和质量（惯性）以及振动分析中要用到的基本概念和术语。 第2章介绍了单自由度无阻尼和黏性阻尼平动系统以及扭振系统的自由振动分析。讨论了特征根和相应解的图形化显示方法、参数变化以及根轨迹表示法。尽管在控制系统中根轨迹法会经常用到，本章还是直观地示意了其在振动分析中的应用。本章还介绍了单自由度系统有库仑阻尼和滞后阻尼时如何求自由振动响应。 第3章讨论了单自由度无阻尼和有阻尼系统在简谐激励下的响应。还概要地介绍了力传递率和位移传递率的概念以及它们在实际系统中的应用。第3章还介绍了传递函数方法、受迫振动的拉普拉斯变换解、频率响应以及波特图。 第4章涉及的是单自由度系统在一般力函数作用下的响应。在这一章里还通过示例概要地介绍了周期函数傅里叶级数展开的作用、卷积积分、拉普拉斯变换以及数值方法。此外还利用峰值时间、上升时间和镇定时间讨论了弱阻尼系统响应的特性。 第5章讨论了两自由度系统的自由振动和受迫振动问题。在这一章里还讨论了自激振动和系统的稳定性问题。还通过示例给出了传递函数方法、无阻尼和有阻尼系统的拉普拉斯变换解。 第6章介绍了多自由度系统的振动问题，在理论上使用了矩阵分析方法。针对受迫振动问题的求解，详细地给出了模态分析的全部过程。 第7章介绍了求解离散系统固有频率和模态的几种近似方法，包括邓克莱（Dunkerley）法、瑞利（Rayleigh）法、霍尔茨（Holzer）法、雅可比（Jacobi）法和矩阵迭代法。 与离散系统运动微分方程的形式是常微分方程不同，连续或分布参数系统的运动微分方程的形式是偏微分方程。第8章讨论连续体的振动，包括弦的振动、杆的振动、轴的振动、梁的振动和薄膜的振动。这一章还介绍了求解与连续系统有关的偏微分方程时用到的分离变量方法。此外，这一章还通过示例介绍了求解连续系统固有频率的近似方法——瑞利（Rayleigh）法和瑞利�怖钭龋≧ayleigh�睷itz）法。 第9章讨论了振动控制方面的问题，包括消振问题、隔振问题和吸振问题。本章还给出了振动列线图和振动标准，据此可以判断可以接受的振动强度。这一章还讨论了旋转和往复运动机械的平衡问题以及轴的弓形回转问题。第9章的内容还包括用于控制振动系统响应的主动控制技术。 第10章讨论了用于振动响应测量的实验方法，以及振动测量要用到的硬件和信号分析技术。最后介绍了设备运行状态监测和故障诊断技术。 第11章讨论了求离散和连续系统动力学响应的几种数值积分方法，包括中心差分法、龙格�部馑�法（Runge�睰utta）、侯伯特（Houbolt）法、威尔逊（Wilson）法和纽马克 （Newmark） 法，并给出了示例。 第12章结合一维单元介绍了有限单元分析方法，对桁架、受扭杆和梁进行静力和动力分析时分别用到了杆单元、轴单元和梁单元。本章还讨论了进行振动分析时一致质量矩阵和集中质量矩阵的使用问题。 非线性振动问题的描述表现为非线性微分方程，非线性振动表现出的某些现象经常是不能用相应的线性问题预测的，甚至是不能提供任何线索。第13章关于非线性振动介绍性的内容包括亚谐振动、超谐振动、极限环、时变系数系统和混沌。 第14章讨论的是线性振动系统的随机振动问题，介绍了随机过程、平稳过程、功率谱密度、自相关、宽带和窄带随机过程等概念，并讨论了单自由度和多自由度系统的随机振动响应。 附录A和B分别介绍数学关系以及梁和板的变形。附录C、D和E分别介绍矩阵理论基础、拉普拉斯变换和国际制单位。最后，在附录F中介绍了MATLAB程序设计基础。 典型的课程提纲 本书的素材为不同类型的振动课程提供了一个弹性的选择。第1～5章、第9章和第6章的部分内容构成了本课程的基本内容，对于不同的侧重或定位，可按如下的提示增加额外的章节。 �r 第8章是针对连续或分布参数系统的。 �r 第7和11章是针对数值解的。 �r 第10章是针对实验方法和信号分析的。 �r 第12章是针对有限元分析的。 �r 第13章是针对非线性振动的。 �r 第14章是针对随机振动的。 期望的课程效果 本书所提供的材料有助于达到工程与技术鉴定委员会（Accreditation Board for Engineering and Technology，ABET）指定的某些培养方案的效果，它们是： �r 应用数学、科学以及工程方面知识的能力。 如本书所呈现的这样，振动课程是利用数学知识（不同形式的方程、矩阵代数、矢量方法和复数）和科学知识（静力学与运动学）求解工程中的振动问题。 �r 对工程问题进行识别、公式化建模和求解的能力。 大量的例题、习题和设计性题目都是为了帮助学生识别各种各样的实际振动问题，建立数学模型、分析、求解以及对结果进行正确的解释。 �r 利用工程实践所必需的技术、方法和现代工程工具的能力。 在每一章的最后一节都给出了利用MATLAB软件求振动问题解的示例，并在附录F中总结了MATLAB编程的基础知识。 利用现代分析技术——有限元方法求振动问题的解单独成章（第12章）。有限元方法是工业领域广为人知的对复杂振动系统建模、分析和求解的一种技术。 �r 设计和进行实验以及分析和解释实验数据的能力。 本书的第10章为读者呈现的是实验方法和与振动相关的数据分析方面的内容，还讨论了进行振动实验、信号分析和系统参数识别所需的仪器和设备。用户评价
经典之作，值得
评分东西很好东西不错物流快
评分书的内容很好，研究高速机械，机床动态性能，透平机等的入门书。
评分很厚的一本书，大体翻了一下，内容挺全面的，讲的也很详细。作为今后个人发展方向，努力把这本书多读几遍
评分快递弄脏了。好大的黑手印。差评。
评分为什么早没有遇见它！经典！认真拜读
评分搞活动买的，这本美国振动教材非常全面系统，估计要啃下来不容易。经典大师之作，两个清华版的振动书都相当经典
评分很不错，很全面！
评分好学习，天天向上。
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