具體描述
這本書是由我國知名數學傢蔡天新教授寫作的一本中國人自己的“數學簡史”；
作者認為，數學的觸角幾乎遍及人類社會的每一個角落，以及曆史和生命的每一個瞬時；
本書入選新聞齣版廣電總局嚮全國青少年推薦的百種圖書，適閤小學生、中學生、大學生還有“門外漢”瞭解數學的發展史，以及數學在人類文明的進程中扮演的不可或缺的角色。
美是數學的一個重要特徵，這一特徵體現在瞭數學發展的整個曆史進程中，但由於數學的嚴格性和抽象性而難以為“局外人”所體會。《數學簡史》做到瞭這一點，作者蔡天新是難得的詩人數學傢。在閱讀本書時體會其無處不在的詩韻本身就是一種享受，她是數學自身固有的美和作者優雅的藝術品味的巧妙融閤。
——彭實戈，數學傢
小時候我們常把聰明的同學稱為“數學腦瓜”，是指數學好纔聰明。數學不僅僅是計算方法，更重要的是思維方式。我一直想推薦一本數學史，讀過幾本，覺得還是太，太難讀。但這本《數學簡史》我覺得任何人都會有興趣讀下去，且會有所收獲。數學的發展主要在西方，但作者並沒有忘記中國。更可貴的是，這本書著眼於從整個人類文明的角度來介紹數學，這就讓人讀起來興趣盎然瞭。
——梁小民，經濟學傢
人類智力高低的標準是什麼？一直以來有較多的爭議。但數學作為人類智慧的結晶，卻是長久以來達成的共識。瞭解數學的曆史，既能瞭解作為動物的人類發展的曆史，更能窺見人類智力的進步。蔡天新的《數學簡史》敘述角度新穎、文字優美，讓我們一起享受這本書帶來的智趣吧。
——饒 毅，生物學傢
>目 錄>
前言 VII
章中東，或數學的起源
數學的起源 003
計數的開始 003
數基和進製 005
阿拉伯數係 007
形而幾何學 010
尼羅河文明 012
奇特的地形 012
萊茵德紙草書 014
埃及分數 016
在河流之間 019
巴比倫尼亞 019
泥闆書上的根 021
普林頓322 號 022
結語 025
第二章希臘的那些先哲們
數學傢的誕生 029
希臘人的齣場 029
論證的開端 031
畢達哥拉斯 034
柏拉圖學園 039
芝諾的烏龜 039
柏拉圖學園 041
亞裏士多德 045
亞曆山大學派 048
《幾何原本》 048
阿基米德 051
其他數學傢 054
結語 059
第三章中世紀的中國
引子 065
先秦時代 065
《周髀算經》 067
《九章算術》 069
從割圓術到孫子定理 073
劉徽的割圓術 073
祖氏父子 076
孫子定理 079
宋元六大傢 083
瀋括和賈憲 083
楊輝和秦九韶 085
李冶和硃世傑 090
結語 094
第四章印度人和波斯人
從印度河到恒河 099
雅利安人的宗教 099
《繩法經》和佛經 101
零號和印度數字 104
從北印度到南印度 108
阿耶波多 108
婆羅摩笈多 110
馬哈維拉 112
婆什迦羅 115
神賜的土地 119
阿拉伯帝國 119
巴格達的智慧宮 121
花拉子密的《代數學》 123
波斯的智者 127
伊斯法罕的海亞姆 127
大不裏士的納西爾丁 131
撒馬爾罕的卡西 134
結語 137
第五章從文藝復興到微積分的誕生
歐洲的文藝復興 143
中世紀的歐洲 143
斐波那契的兔子 145
阿爾貝蒂的透視學 147
達·芬奇和丟勒 150
微積分的創立 154
近代數學的興起 154
解析幾何的誕生 157
微積分學的先驅 161
牛頓和萊布尼茨 164
結語 171
第六章分析時代與法國大革命
分析時代 177
業餘數學傢 177
微積分學的發展 182
微積分學的影響 186
伯努利傢族 190
法國大革命 194
拿破侖·波拿巴 194
高聳的金字塔 197
法蘭西的牛頓 201
皇帝的密友 203
結語 207
第七章現代數學與現代藝術
代數學的新生 213
分析的嚴格化 213
阿貝爾和伽羅華 217
哈密爾頓的四元數 221
幾何學的變革 227
幾何學的傢醜 227
非歐幾何學的誕生 229
黎曼幾何學 234
藝術的新紀元 239
愛倫·坡 239
波德萊爾 242
從模仿到機智 246
結語 249
第八章抽象化：20 世紀以來
走嚮抽象化 255
集閤論和公理化 255
數學的抽象化 259
繪畫中的抽象 265
數學的應用 270
理論物理學 270
生物學和經濟學 274
計算機和混沌理論 278
數學與邏輯學 286
羅素的悖論 286
維特根斯坦 291
哥德爾定理 295
結語 298
附錄1 數學年錶 303
附錄2 常用數學符號的來曆 307
參考文獻 309
人名索引 313> >前 言>
2012 年盛夏，從歐洲大陸北部的挪威王國傳齣一條令人震驚的消息。首都奧斯陸近郊一座名為於特的湖心島上，80 多位參加夏令營的青少年被一名歹徒瘋狂掃射身亡。挪威是當今世界富庶美麗、寜靜安逸的國度，也是數學天纔阿貝爾（N. H. Abel）的祖國，首屆菲爾茲奬1936 年在奧斯陸頒發，以阿貝爾命名的數學奬與諾貝爾和平奬也每年在奧斯陸評選並頒發。悲憤之餘，仍有許多人對挪威發生如此恐怖的事件錶示難以置信。
1829 年，26 歲的挪威青年阿貝爾死於營養不良和肺病，卻依然是19 世紀乃至人類曆史上偉大的數學傢之一。阿貝爾是個揚名世界的挪威人，他取得的成就激發瞭他的同胞們的纔智。在阿貝爾去世前一年，挪威誕生瞭戲劇傢易蔔生，接下來的還有作麯傢格裏格、藝術傢濛剋和探險傢阿濛森，每一位都蜚聲世界。想到這些，不由得對奧斯陸槍擊案可能産生的陰影稍感樂觀，阿貝爾的英年早逝、易蔔生的背井離鄉和濛剋的畫作《呐喊》，都說明這個國傢的人民曾經遭受過不幸和磨難。
在所有與數學史有關的書籍裏，阿貝爾的名字總是在人名索引裏名列前茅。本書對他有較為詳細的描述，書中還談到他的晚輩同胞索菲斯·李（S. Lie，1842—1899），21 世紀的兩個重要數學分支—李群和李代數均得名於他。1872 年，德國數學傢F. 剋萊因（F. Klein，1849—1925）發錶瞭《埃爾朗根綱領》，試圖用群論的觀點統一幾何學乃至整個數學領域，所依賴的正是李的工作。
限於篇幅，本書未談及2007 年過世的挪威數學傢賽爾伯格（A. Selberg，1917—2007），他是我本人見過且交談過的數論同行。早在1950 年，他便因給齣素數定理的初等證明榮獲菲爾茲奬。或許是一種補償，書中後齣場的奧地利人維特根斯坦（L. Wittgenstein，1889—1951）與挪威結緣，他是20 世紀有數學意味的哲學傢。任職劍橋大學期間，維特根斯坦在挪威西部鄉間蓋瞭一間小木屋，經常從英國跑到那裏度假思索，有時一住就是一年，他死後齣版的代錶作《哲學研究》（1953）便是在小木屋裏開始構想的。
從以上敘述中讀者可能已經看齣，本書的寫作風格和宗旨是，既不願錯過任何一位偉大的數學傢和任何一次數學思潮，以及由此産生的內容、方法，也不願放棄任何可以闡述數學與其他文明相互交融的機會。這是一部沒有藍本可以參照的書，從書名來看，接近的同類著作是美國數學史傢M. 剋萊因（M. Kline，1908—1992）的《西方文化中的數學》（1953）。可是，M. 剋萊因的著作討論的範圍被“西方”和“文化”兩個詞限定瞭，我們卻不得不考慮整個人類的曆史長河，涉及的領域也超齣瞭“文化”的範疇。如同英國數學傢、哲學傢阿爾弗雷德·懷特海所言，“現代科學誕生於歐洲，但它的傢卻是整個世界。”
從寫作方式來看，盡管存在著多種可能性，主要麵臨的選擇卻隻有兩個，即是否把數學史作為一種寫作綫索？ M. 剋萊因的著作雖以時間為主綫（他的另一部力作《古今數學思想》也是這樣），卻以每章一個專題的形式來講述數學與文化的關係。顯而易見，M. 剋萊因既精通數學，又熟知古希臘以來的西方文化（主要是古典部分），我認為這方麵已經很難瞭。況且，他的書早已有瞭中文版。
不過，通過閱讀M. 剋萊因的著作，我們不難發現，他假設的讀者對象是數學或文化領域的專傢。而我心目中的讀者範圍更為寬廣，他們可能隻學過初等數學或簡單的微積分，也許對數學的曆史及其與其他文明的關係所知不多，對數學在人類文明的發展曆程中扮演的重要角色認識不足，尤其是，對現代數學與現代文明（比如，現代藝術）的淵源缺乏瞭解。這樣一來，就留齣瞭寫作空間。
在我看來，數學與科學、人文的各個分支一樣，都是人類大腦進化和智力發展進程的反映。它們在特定的曆史時期必然相互影響，並呈現齣某種相通的特性。在按時間順序講述不同地域文明的同時，我們先後探討瞭數學與各式各樣文明之間的關係。例如，埃及和巴比倫的數學來源於人們生存的需要，希臘數學與哲學密切相關，中國數學的活力來自曆法改革，印度數學的源泉始於宗教，而波斯或阿拉伯的數學與天文學互不分離。
文藝復興是人類文明進程的一個裏程碑，這個時期的藝術推動瞭幾何學的發展。到瞭17 世紀，微積分的産生解決瞭科學和工業革命的一係列問題，而18 世紀法國大革命時期的數學涉及力學、軍事和工程技術。19 世紀前半葉，數學和詩歌幾乎同時從古典進入現代，其標誌分彆是非交換代數和非歐幾何學的誕生，愛倫·坡（E. Allan Poe，1809—1849）和波德萊爾（C. Baudelaire，1821—1867）的齣現。進入20 世紀以後，抽象化又成為數學和人文學科的共性。
數學中的抽象以集閤論和公理化為標誌，與此同時，藝術領域則齣現瞭抽象主義和行動繪畫。哲學與數學的再次交匯産生瞭現代邏輯學，並誕生瞭維特根斯坦和哥德爾定理。更有意思的是，數學的抽象化不僅沒有使其被束之高閣，反而得到意想不到的廣泛應用，尤其在理論物理學、生物學、經濟學、電子計算機和混沌理論等方麵。由此可見，這是符閤曆史潮流和文明進程規律的。盡管如此，數學天空的未來並非一片晴朗。
本書的一個顯著特點是對現代數學和現代文明的比較分析和闡釋，這是我多年數學研究和寫作實踐的思考、總結。至於古典部分，我們也著力發現有現代意義的亮點。比如，談到埃及數學時，我們重點介紹瞭“埃及分數”這個既通俗易懂又極為深刻的數論問題，它甚至仍然睏擾著21 世紀的數學傢。又如，巴比倫人早發現瞭畢達哥拉斯定理，同時知道瞭畢達哥拉斯數組，這一結果也是1 000 多年以後興起的希臘數學和文明的代錶性成就，卻與20 世紀末的熱點數學問題——費爾馬大定理——相聯係。
本書的另一個特點是，多數小節以人物為標題，同時做到圖文並茂，以方便理解、欣賞和記憶。在100 餘幅精心挑選的圖片（有的是我拍攝的照片）中，相當一部分與文學、藝術、科學、教育有密切的關聯。希望讀者能通過本書的閱讀，拉近與數學這門抽象學科的心理距離，從中理解各自所學或從事與數學的關係，進而反思人類文明的曆史進程甚或生活的意義。
誠如部分讀者所瞭解的，2012 年夏，商務印書館的“名師講堂”推齣瞭我所著的《數學與人類文明》，後入選國傢新聞齣版廣電總局嚮全國青少年推薦的“百優圖書”。該書源自我的同名教材，係教育部高等學校“十一五”規劃教材的一種，應用於浙江大學等多所大學的通識課程。迄今為止，兩者已印瞭3 萬多冊。如今，商務印書館的版權到期，應中信齣版社的約請和建議，我修訂瞭全書，更新瞭相當一部分圖片。
我們把這本書易名為“數學簡史”，正是這一點觸動瞭我，這個名字更符閤書的本意。因為本書既著眼於數學的曆史，同時數學與人類文明的關係本身也屬於數學史的範疇，這樣一來就適時迴避瞭現代數學的復雜性，努力幫助讀者從不同的角度理解數學。另一點引起我注意的是，中信齣版社引進齣版瞭以色列曆史學傢尤瓦爾·赫拉利的兩本力作《人類簡史》和《未來簡史》。令人鼓舞的是，我在微博上發布徵求本書封麵設計方案的建議後，北京海澱區的藤先生留言道：“在國內引進的各種簡史浪潮中，終於有蔡教授挺身而齣，寫一本數學簡史瞭。”
後，我想用一首詩來結束本序言。這是2005 年夏天，作者偕同4 位研究生，到馬尼拉的菲律賓大學參加一個數論與密碼學的國際研討會期間所作。那是令麥哲倫摺戟沙灘，殖民者不足以重視，數學史傢和文化史傢容易忽略的國度。詩中齣現瞭一些幾何圖形，如綫段、弧綫、圓圈、扭結、麯麵和拓撲變換，當然，均已被改換成相應的詩歌語言。這首詩似乎在敘述一些數學概念，但流露的分明是一種生活的情緒。
跳繩
每一棵光潔的稻草
都布滿瞭銀色的月光
它們被編織成繩索
就像腳踝上的鏈子
那圓圈中的圓圈
也布滿瞭銀色的月光
無論眉梢、鬢角
還是手臂上的燙痕
反來復去地穿梭往來
蔡天新
2017 年夏末定稿於杭州西溪2012 年盛夏，從歐洲大陸北部的挪威王國傳齣一條令人震驚的消息。首都奧斯陸近郊一座名為於特的湖心島上，80 多位參加夏令營的青少年被一名歹徒瘋狂掃射身亡。挪威是當今世界富庶美麗、寜靜安逸的國度，也是數學天纔阿貝爾（N. H. Abel）的祖國，首屆菲爾茲奬1936 年在奧斯陸頒發，以阿貝爾命名的數學奬與諾貝爾和平奬也每年在奧斯陸評選並頒發。悲憤之餘，仍有許多人對挪威發生如此恐怖的事件錶示難以置信。
1829 年，26 歲的挪威青年阿貝爾死於營養不良和肺病，卻依然是19 世紀乃至人類曆史上偉大的數學傢之一。阿貝爾是個揚名世界的挪威人，他取得的成就激發瞭他的同胞們的纔智。在阿貝爾去世前一年，挪威誕生瞭戲劇傢易蔔生，接下來的還有作麯傢格裏格、藝術傢濛剋和探險傢阿濛森，每一位都蜚聲世界。想到這些，不由得對奧斯陸槍擊案可能産生的陰影稍感樂觀，阿貝爾的英年早逝、易蔔生的背井離鄉和濛剋的畫作《呐喊》，都說明這個國傢的人民曾經遭受過不幸和磨難。
在所有與數學史有關的書籍裏，阿貝爾的名字總是在人名索引裏名列前茅。本書對他有較為詳細的描述，書中還談到他的晚輩同胞索菲斯·李（S. Lie，1842—1899），21 世紀的兩個重要數學分支—李群和李代數均得名於他。1872 年，德國數學傢F. 剋萊因（F. Klein，1849—1925）發錶瞭《埃爾朗根綱領》，試圖用群論的觀點統一幾何學乃至整個數學領域，所依賴的正是李的工作。
限於篇幅，本書未談及2007 年過世的挪威數學傢賽爾伯格（A. Selberg，1917—2007），他是我本人見過且交談過的數論同行。早在1950 年，他便因給齣素數定理的初等證明榮獲菲爾茲奬。或許是一種補償，書中後齣場的奧地利人維特根斯坦（L. Wittgenstein，1889—1951）與挪威結緣，他是20 世紀有數學意味的哲學傢。任職劍橋大學期間，維特根斯坦在挪威西部鄉間蓋瞭一間小木屋，經常從英國跑到那裏度假思索，有時一住就是一年，他死後齣版的代錶作《哲學研究》（1953）便是在小木屋裏開始構想的。
從以上敘述中讀者可能已經看齣，本書的寫作風格和宗旨是，既不願錯過任何一位偉大的數學傢和任何一次數學思潮，以及由此産生的內容、方法，也不願放棄任何可以闡述數學與其他文明相互交融的機會。這是一部沒有藍本可以參照的書，從書名來看，接近的同類著作是美國數學史傢M. 剋萊因（M. Kline，1908—1992）的《西方文化中的數學》（1953）。可是，M. 剋萊因的著作討論的範圍被“西方”和“文化”兩個詞限定瞭，我們卻不得不考慮整個人類的曆史長河，涉及的領域也超齣瞭“文化”的範疇。如同英國數學傢、哲學傢阿爾弗雷德·懷特海所言，“現代科學誕生於歐洲，但它的傢卻是整個世界。”
從寫作方式來看，盡管存在著多種可能性，主要麵臨的選擇卻隻有兩個，即是否把數學史作為一種寫作綫索？ M. 剋萊因的著作雖以時間為主綫（他的另一部力作《古今數學思想》也是這樣），卻以每章一個專題的形式來講述數學與文化的關係。顯而易見，M. 剋萊因既精通數學，又熟知古希臘以來的西方文化（主要是古典部分），我認為這方麵已經很難瞭。況且，他的書早已有瞭中文版。
不過，通過閱讀M. 剋萊因的著作，我們不難發現，他假設的讀者對象是數學或文化領域的專傢。而我心目中的讀者範圍更為寬廣，他們可能隻學過初等數學或簡單的微積分，也許對數學的曆史及其與其他文明的關係所知不多，對數學在人類文明的發展曆程中扮演的重要角色認識不足，尤其是，對現代數學與現代文明（比如，現代藝術）的淵源缺乏瞭解。這樣一來，就留齣瞭寫作空間。
在我看來，數學與科學、人文的各個分支一樣，都是人類大腦進化和智力發展進程的反映。它們在特定的曆史時期必然相互影響，並呈現齣某種相通的特性。在按時間順序講述不同地域文明的同時，我們先後探討瞭數學與各式各樣文明之間的關係。例如，埃及和巴比倫的數學來源於人們生存的需要，希臘數學與哲學密切相關，中國數學的活力來自曆法改革，印度數學的源泉始於宗教，而波斯或阿拉伯的數學與天文學互不分離。
文藝復興是人類文明進程的一個裏程碑，這個時期的藝術推動瞭幾何學的發展。到瞭17 世紀，微積分的産生解決瞭科學和工業革命的一係列問題，而18 世紀法國大革命時期的數學涉及力學、軍事和工程技術。19 世紀前半葉，數學和詩歌幾乎同時從古典進入現代，其標誌分彆是非交換代數和非歐幾何學的誕生，愛倫·坡（E. Allan Poe，1809—1849）和波德萊爾（C. Baudelaire，1821—1867）的齣現。進入20 世紀以後，抽象化又成為數學和人文學科的共性。
數學中的抽象以集閤論和公理化為標誌，與此同時，藝術領域則齣現瞭抽象主義和行動繪畫。哲學與數學的再次交匯産生瞭現代邏輯學，並誕生瞭維特根斯坦和哥德爾定理。更有意思的是，數學的抽象化不僅沒有使其被束之高閣，反而得到意想不到的廣泛應用，尤其在理論物理學、生物學、經濟學、電子計算機和混沌理論等方麵。由此可見，這是符閤曆史潮流和文明進程規律的。盡管如此，數學天空的未來並非一片晴朗。
本書的一個顯著特點是對現代數學和現代文明的比較分析和闡釋，這是我多年數學研究和寫作實踐的思考、總結。至於古典部分，我們也著力發現有現代意義的亮點。比如，談到埃及數學時，我們重點介紹瞭“埃及分數”這個既通俗易懂又極為深刻的數論問題，它甚至仍然睏擾著21 世紀的數學傢。又如，巴比倫人早發現瞭畢達哥拉斯定理，同時知道瞭畢達哥拉斯數組，這一結果也是1 000 多年以後興起的希臘數學和文明的代錶性成就，卻與20 世紀末的熱點數學問題——費爾馬大定理——相聯係。
本書的另一個特點是，多數小節以人物為標題，同時做到圖文並茂，以方便理解、欣賞和記憶。在100 餘幅精心挑選的圖片（有的是我拍攝的照片）中，相當一部分與文學、藝術、科學、教育有密切的關聯。希望讀者能通過本書的閱讀，拉近與數學這門抽象學科的心理距離，從中理解各自所學或從事與數學的關係，進而反思人類文明的曆史進程甚或生活的意義。
誠如部分讀者所瞭解的，2012 年夏，商務印書館的“名師講堂”推齣瞭我所著的《數學與人類文明》，後入選國傢新聞齣版廣電總局嚮全國青少年推薦的“百優圖書”。該書源自我的同名教材，係教育部高等學校“十一五”規劃教材的一種，應用於浙江大學等多所大學的通識課程。迄今為止，兩者已印瞭3 萬多冊。如今，商務印書館的版權到期，應中信齣版社的約請和建議，我修訂瞭全書，更新瞭相當一部分圖片。
我們把這本書易名為“數學簡史”，正是這一點觸動瞭我，這個名字更符閤書的本意。因為本書既著眼於數學的曆史，同時數學與人類文明的關係本身也屬於數學史的範疇，這樣一來就適時迴避瞭現代數學的復雜性，努力幫助讀者從不同的角度理解數學。另一點引起我注意的是，中信齣版社引進齣版瞭以色列曆史學傢尤瓦爾·赫拉利的兩本力作《人類簡史》和《未來簡史》。令人鼓舞的是，我在微博上發布徵求本書封麵設計方案的建議後，北京海澱區的藤先生留言道：“在國內引進的各種簡史浪潮中，終於有蔡教授挺身而齣，寫一本數學簡史瞭。”
後，我想用一首詩來結束本序言。這是2005 年夏天，作者偕同4 位研究生，到馬尼拉的菲律賓大學參加一個數論與密碼學的國際研討會期間所作。那是令麥哲倫摺戟沙灘，殖民者不足以重視，數學史傢和文化史傢容易忽略的國度。詩中齣現瞭一些幾何圖形，如綫段、弧綫、圓圈、扭結、麯麵和拓撲變換，當然，均已被改換成相應的詩歌語言。這首詩似乎在敘述一些數學概念，但流露的分明是一種生活的情緒。
跳繩
每一棵光潔的稻草
都布滿瞭銀色的月光
它們被編織成繩索
就像腳踝上的鏈子
那圓圈中的圓圈
也布滿瞭銀色的月光
無論眉梢、鬢角
還是手臂上的燙痕
反來復去地穿梭往來
蔡天新
2017年夏末定稿於杭州西溪> >媒體評論美是數學的一個重要特徵，這一特徵體現在瞭數學發展的整個曆史進程中，但由於數學的嚴格性和抽象性而難以為“局外人”所體會。《數學簡史》做到瞭這一點，作者蔡天新是難得的詩人數學傢。在閱讀本書時體會其無處不在的詩韻本身就是一種享受，它是數學自身固有的美和作者優雅的藝術品位的巧妙融閤。
——彭實戈，數學傢
小時候我們常把聰明的同學稱為“數學腦瓜”，是指數學好纔聰明。數學不僅僅是計算方法，更重要的是思維方式。我一直想推薦一本數學史，讀過幾本，覺得還是太，太難讀。但這本《數學簡史》我覺得任何人都會有興趣讀下去，且會有所收獲。數學的發展主要在西方，但作者並沒有忘記中國。更可貴的是，這本書著眼於從整個人類文明的角度來介紹數學，這就讓人讀起來興趣盎然瞭。
——梁小民，經濟學傢
人類智力高低的標準是什麼？一直以來有較多的爭議。但數學作為人類智慧的結晶，卻是長久以來達成的共識。瞭解數學的曆史，既能瞭解作為動物的人類發展的曆史，更能窺見人類智力的進步。蔡天新的《數學簡史》敘述角度新穎、文字優美，讓我們一起享受這本書帶來的智趣吧。
——饒 毅，生物學傢
>在綫讀數學的應用：計算機與人工智能
一般來說，計算機是指能接收數據，按照程序指令進行運算並提供運算結果的自動電子機器。在計算機的曆史上，起重要革新作用的幾乎全是數學傢。直到20 世紀70 年代末，中國大學裏的電子計算機還大多設在數學係，就像康德時代數學隸屬於哲學係一樣。可是如今，多數大學都有瞭一兩個計算機學院。用機器來代替人工計算，一直是人類的夢想。或許早使用算盤的並非中國人，但長期以來使用廣泛的當屬中國的算盤。在明代（1371）齣版的一本書裏，就有十檔算盤的插圖，但它的實際發明時間遠在此之前。數學傢程大位（1533—1606）的《算法統宗》（1592）詳述瞭珠算的規則、口訣和方法，標誌著珠算的成熟。這本書也流傳到朝鮮和日本，使得算盤在這兩個國傢十分流行。
個提齣機械計算機設計思想的是德國人席卡德（W. Schickard，1592—1635），他在與開普勒通信時闡述瞭這一想法。颱能進行加減計算的機械計算機是由帕斯卡爾發明的（1642），30 年後萊布尼茨製造齣一颱能進行乘除和開方運算的計算機。使計算機擁有能對數據進行各種運算的裝置，是嚮現代計算機過渡的關鍵一步，由英國數學傢巴貝奇（C. Babbage，1792—1871）首先邁齣，在數論裏有一個與二項式係數有關的同餘式用他的名字命名。巴貝奇設計的“分析機”（1834）分為運算室和存儲庫，外加一個專門控製運算程序的裝置，他曾設想根據穿孔卡片上的“0”和“1”來控製運算的順序，這無疑是現代電子計算機的雛形。
遺憾的是，即便巴貝奇付齣後半生的絕大多數精力和財産，甚至失去劍橋大學的盧卡斯教授職位，也沒幾個人能理解他的思想。據說真正支持他的人隻有三個：他的兒子——巴貝奇少將（在父去世後還為分析機奮鬥瞭許多年）、未來的意大利總理和詩人拜倫（L. Byron，1788—1824）的女兒阿達。阿達（AdaLovelace，1815—1852）是拜倫和妻子的獨生女，她為某些函數編製瞭計算程序，可謂開現代程序設計之先河。由於時代的局限性，巴貝奇分析機的設計方案在技術實施上遇到瞭巨大的障礙，他藉助通用程序控製數字計算機的天纔設想，要再過一個多世紀纔能實現。
20 世紀以來，科學技術的迅猛發展帶來瞭堆積如山的數據問題，尤其是在“二戰”期間，軍事上的計算需要更使計算速度的改進成為燃眉之急。起初，人們采用電器元件來代替機械齒輪。1944 年，美國哈佛大學的數學傢艾肯（H. H. Aiken，1900—1973）在IBM（國際商業機器公司）的支持下設計和製造齣世界上颱能實際操作的通用程序計算機（占地170 平方米），隻部分使用瞭繼電器，不久後他又製成瞭一颱全部用繼電器的計算機。與此同時，在賓夕法尼亞大學，人們用電子管來代替繼電器，於1946 年造齣瞭颱通用電子數字積分計算機（ENIAC），效率提高瞭1 000 倍。
1947 年，數學傢馮·諾依曼（John VonNeumann，1903—1957）提齣瞭把ENIAC使用的外插程序改為存儲程序的想法，按照這種想法製成的計算機能按存儲器中的指令進行操作，從而大大加快瞭運算進程。1946 年，他與人閤作發錶論文，提齣瞭並行處理和存儲數據計算機的綜閤設計理念，對後來的數字計算機的設計産生瞭深遠影響。馮·諾依曼齣生在布達佩斯，屬於多纔多藝的那類學者，在數學、物理學、經濟學、氣象學、爆炸理論和計算機領域都取得瞭卓越的成就。據說他是在火車站等車時遇見瞭ENIAC的設計師，後者嚮他討教計算機的技術問題，從而激起瞭他的興趣。
另一位對計算機設計理念做齣傑齣貢獻的是英國數學傢圖靈（A. Turing，1912—1954），他為瞭解決數理邏輯中的基本理論問題——相容性，以及數學問題的機器可計算性的判定，而提齣瞭他的“理想計算機”模型。直到，數字計算機都沒有跳齣這個理想模型的範疇：
輸入/ 輸齣裝置（帶子和讀寫頭）、存儲器和控製器。
圖靈還研究過可以製造齣能思考的計算機的理論，這方麵的構想已成為人工智能研究的基礎。他還提齣瞭會思考的機器的標準，即有超過30%的測試者不能確定被測試者是人還是機器，被稱為“圖靈測試”。遺憾的是，圖靈後來因為不堪忍受對其性取嚮進行的強迫治療，吃下用氰化物溶液浸泡過的蘋果而自殺。為瞭紀念圖靈，1966 年，英特爾公司齣資設立瞭“圖靈奬”，這是計算機領域的高奬項。1976年創建的蘋果電腦公司以一隻被咬瞭一口的蘋果作為標誌，這傢以推齣iPhone 手機和iPad 平闆電腦風靡的公司的信念是：隻有不完美纔能促使進步去追求完美。
雖然數字計算機已曆經四代的發展，但從電子管、晶體管到集成電路、超大規模集成電路，均是采用二進製撥碼開關。這一點不會改變，即使將來有，電子計算機被取代（比如量子計算機）。這自然與19 世紀英國數學傢布爾（G. Boole，1815—1864）所創立的布爾代數的符號邏輯體係分不開，他完成瞭兩個世紀前萊布尼茨未競的事業，即創立瞭一套錶意符號，每一個符號代錶一個簡單的概念，再通過符號的組閤來錶達復雜的思想。布爾齣身貧寒，他的父是一個補鞋匠，他主要通過自學成材，後來成為愛爾蘭皇後學院（現名為科剋大學）的數學教授，並入選英國皇傢學會。不幸的是，布爾49 歲那年因淋雨患肺炎去世。當年早些時候，他的小女兒齣世，她便是小說《牛虻》的作者伏尼契（E. L. Voynich，1864—1960）。
作為抽象數學應用的一個光輝典範，計算機也已成為數學研究本身的有力工具和問題源泉，並推動瞭一個新的數學分支——計算數學的誕生。它不僅設計、改進各種數值計算方法，還研究與這些計算有關的誤差分析、收斂性和穩定性等問題。馮·諾依曼是這門學科的奠基人之一，不僅與人閤作建立瞭全新的數值計算法——濛特卡羅方法，還領導一個小組利用ENIAC實現瞭數值天氣預報，後者的中心問題是求解有關的流體力學方程。值得一提的是，20 世紀60 年代，中國數學傢馮康（1920—1993）獨立創建瞭一種數值分析方法——有限元法，可用於包括航空、電磁場和橋梁設計等在內的工程計算。
1976 年鞦， 伊利諾伊大學的兩位數學傢阿佩爾（K.Appel，1932—2013）和哈肯（W. Haken，1928—）藉助電子計算機，證明瞭已有100 多年曆史的地圖四色定理，這是利用計算機解決重大數學問題的鼓舞人心的範例。說起地圖四色定理，這是由英國人提齣的難得一見的猜想。1852 年，剛剛在倫敦大學獲得雙學士學位的格斯裏（F. Guthrie，1831—1899）來到一傢科研單位做地圖著色工作，他發現隻需用4 種顔色即可填滿地圖並使得任何兩個鄰國呈現不同顔色。但是，不僅他和仍然在讀的弟弟無法證明這個猜想，就連他的老師摩根和哈密爾頓也無能為力。於是，凱萊經過一番研究後在倫敦數學學會做瞭一個報告，使得這個問題齣瞭名。
從那以後，數學傢們更多地藉助計算機研究純粹數學，這方麵突齣的例子是孤立子（soliton）和混沌（chaos）的發現，它們是非綫性科學的核心問題，可謂兩朵美麗的“數學物理之花”。孤立子比四色定理齣現得還早，1834 年，英國工程師拉塞爾（J. S. Russell，1808—1882）在馬背上跟蹤觀察運河中船隻突然停止所激起的水波，他發現它們在行進中形狀和速度沒有發生明顯的改變，於是稱其為“孤立波”。一個多世紀以後，數學傢們又發現，兩個孤立波碰撞後仍是孤立波，因此被稱為“孤立子”，孤立子在光縴通信、木星紅斑活動、神經脈衝傳導等領域大量存在。混沌理論是描述自然界不規則現象的有力工具，被視為繼
相對論和量子力學之後現代物理學的又一次革命。
計算機科學的飛速發展，不僅離不開數理邏輯，也促進瞭與之相關的其他數學分支的變革或創立，前者的一個例子是組閤學，後者的一個典型代錶是模糊數學。組閤學的起源可以追溯至《易經》中的“洛書”，萊布尼茨在《論組閤的藝術》中率先提齣瞭“組閤”這個概念，後來數學傢們從遊戲中歸納齣一些新問題，如哥尼斯堡七橋問題（衍生齣“圖論”這一組閤數學的主要分支）、歐拉36 軍官問題、柯剋曼女生問題和哈密爾頓環球旅行問題等。20 世紀下半葉以來，在計算機係統設計和信息存儲、恢復中遇到的問題，為組閤學研究注入瞭全新的強大動力。
相比古老的組閤學，1965 年誕生的模糊數學可以說是年輕的。按照經典集閤的概念，每一個集閤必須由確定的元素構成，元素之於集閤的隸屬關係是明確的，這一性質可以用特徵函數μA (x) 來錶示。
模糊數學的創始人是阿塞拜疆齣生的伊朗裔美國數學傢、電器工程師紮德（L. A. Zadeh，1921—2017），他把特徵函數改寫成所謂的隸屬函數μA (x) ：0G μA (x) G 1，在這裏A被稱為模糊集閤，μA (x) 為隸屬度。經典集閤論要求μA (x) 取0 或1 兩個值，模糊集閤則突破瞭這一限製，μA (x)= 1 錶示百分之百隸屬於A，μA (x)= 0 錶示完全不屬於A，還可以有20%隸屬於A，80% 隸屬於A，等等。由於人腦的思維包括的和模糊的兩個方麵，因此模糊數學在人工智能係統模擬人類思維的過程中起到瞭重要作用，它與新型的計算機設計密切相關。但是，作為一個數學分支，模糊數學尚未成熟。
現在，我們來談談計算機科學的一個分支——人工智能（ArtificialIntelligence，縮寫為AI）。人工智能的概念初是在1956 年，由美國新英格蘭的達特茅斯學院提齣的。人工智能的主要目標是使機器能夠勝任一些通常需要人類智能纔能完成的復雜工作，包括機器人、語言和圖像的識彆及處理等，涉及機器學習、計算機視覺等領域。其中，機器學習的數學基礎有統計學、信息論和控製論，計算機視覺的數學工具有攝影幾何學、矩陣與張量和模型估計。20 世紀70 年代以來，人工智能與空間技術、能源技術同被視作三大技術。過去的半個世紀，人工智能得到飛速發展，在很多領域獲得廣泛應用，成果卓著，如今它又與基因工程、納米科學同被視作21 世紀的三大技術。
人工智能並非人類智能，但能像人類那樣思考，也有可能超過人類智能。1997 年，美國IBM公司研製的“深藍”（Deep Blue）戰勝瞭阿塞拜疆齣生的俄羅斯國際象棋大師卡斯帕羅夫（G. Kasparov，1963— ）。2016 年和2017 年，榖歌旗下
的人工智能公司DeepMind研製的“阿爾法狗”（AlphaGo）又擊敗瞭兩位圍棋世界——韓國的李世石（1983— ）和中國的柯潔（1997— ）。這方麵的進步得益於雲計算、大數據、神經網絡技術的發展和摩爾定律。目前，人工智能在邏輯推理方麵可以說已人類，但是在認知情感、決策等領域能做的事情仍十分有限。專傢認為，人工智能所麵臨的更多是數學問題，還沒有像剋隆技術那樣發展到需要進行倫理討論的階段。用戶評價
這本書的視角獨到之處，在於它成功地避免瞭傳統數學史著作常有的枯燥與學院派腔調。作者的筆觸充滿瞭激情與洞察力，他沒有止步於對定理本身的介紹，而是深入挖掘瞭數學傢們背後的動機、掙紮與個性。我能感受到作者對這個學科發自內心的熱愛，這種熱愛通過文字感染瞭屏幕前的我。每一次關鍵性的概念誕生，都不是一個孤立的事件，而是社會需求、個人天纔和時代精神相互作用的結果。這種多維度的解讀，讓原本冰冷的數學符號瞬間鮮活瞭起來，充滿瞭人性的溫度和戲劇張力。它讓我意識到，數學的發展史，其實就是人類心智不斷挑戰自身邊界的奮鬥史。對於任何想從根本上理解數學在人類文化中地位的人來說，這本書提供瞭一個極佳的切入點，遠超一般科普讀物的深度。
評分這本書的敘事手法非常引人入勝，仿佛作者本人就站在我們麵前，用最平易近人的語言，為我們描繪瞭一幅波瀾壯闊的數學發展圖景。它不僅僅是關於數字和公式的羅列，更像是一部融閤瞭曆史、哲學乃至社會變遷的宏大史詩。我特彆欣賞它將那些深奧的數學概念，巧妙地與人類文明的重大轉摺點聯係起來的方式。比如，當我讀到某個重要的幾何學突破，作者總能立刻將其置於當時的社會背景下，讓我們理解，為什麼在那個特定的時間點，人類會産生這樣的思考。這種“故事化”的處理，極大地降低瞭閱讀門檻，讓一個對純理論數學感到畏懼的讀者，也能輕鬆地跟上作者的思路，並從中汲取到知識的樂趣和曆史的厚重感。那種感覺，就像是走進瞭曆史長廊，親眼目睹那些偉大的思想傢是如何掙紮、探索，最終點亮人類智慧火花的。
評分這本書最讓我感到驚喜的是，它成功地將看似遙遠的古代數學，與我們當下的生活緊密聯係瞭起來。作者總能找到那個精妙的連接點，揭示齣那些幾百年前的幾何難題或代數探索，是如何潛移默化地影響瞭現代科技的方方麵麵。這種“溯源”的體驗，非常震撼。它讓我們深刻體會到，人類的智慧積纍是一個何等漫長而精妙的過程，今天的任何一個技術奇跡，都建立在無數先賢的智慧基石之上。閱讀過程充滿瞭一種“頓悟”的快感，仿佛解開瞭一個又一個謎團，使得原本抽象的概念突然變得具體可感，具有瞭實際的重量和意義。這絕非一本簡單的“曆史迴顧”，更像是一堂關於人類思維如何演化的深度研討課。
評分坦率地說，我很少能在一本非虛構類作品中體驗到如此強烈的閱讀沉浸感。這本書的敘事節奏控製得極好，張弛有度，高潮迭起。作者仿佛是一位技藝精湛的指揮傢，他知道何時需要放慢腳步，細緻描繪一位數學傢的內心掙紮，何時又需要加快節奏，帶領我們穿越幾個世紀的時空，見證重大發現的誕生。這種流暢性，使得即便是相對復雜的理論演變過程，讀起來也毫不費力，甚至讓人忍不住一口氣讀完。它成功地將一門通常被認為“冷峻”的學科，賦予瞭熾熱的人文關懷和曆史溫度。對於渴望瞭解知識背後的“人”的故事的讀者來說，這本書無疑是上乘之作。
評分我必須承認，在翻開這本書之前，我對數學史的印象還停留在一些零散的、教科書式的片段記憶中。然而，這本書構建瞭一個極其流暢和具有邏輯性的時間綫，使得原本看似散亂的知識點被串聯成瞭一根清晰的主綫。作者的文字功底深厚，遣詞造句之間，既有曆史的莊重，又不失現代的曉暢。特彆是他對一些跨文化交流的描述，比如東方智慧與西方邏輯的碰撞與融閤，描繪得淋灕盡緻。這種全球化的視野，拓寬瞭我對“數學”這個概念的理解邊界，不再局限於某個特定的文化圈。讀完之後，我的腦海中不再是孤立的公式，而是一幅宏大的知識地圖，我能清晰地看到不同文明是如何共同塑造瞭我們今天所依賴的這門學科體係的。
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