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美 Joseph H Silverm 著

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出版社： 机械工业出版社

ISBN：9787111385813

商品编码：27159077396

丛书名： 华章数学原版精品系列

出版时间：2012-06-01

页数：409

书[0名0]：	数论概论(英文版.[0第0]4版)|3661721
图书定价：	69元
图书作者：	(美)Joseph H. Silverman
出版社：	[1机1] 械工业出版社
出版日期：	2012/6/1 0:00:00
ISBN号：	9787111385813
开本：	16开
页数：	409
版次：	4-1

作者简介

Joseph H．Silverman 拥有哈佛[0大0][0学0]博士[0学0]位。他目前为布朗[0大0][0学0]数[0学0]教授，之前曾任教于麻省理工[0学0]院和波士顿[0大0][0学0]。1998年，他获得了美[0国0]数[0学0][0会0]Steele奖的著述奖，获奖著作为《The Arithmetic of Elliptic Curves》和《Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves》。 他的研究兴趣是数论、椭圆曲线和密码[0学0]等。

内容简介

《数论概论(英文版.[0第0]4版)》面向非数[0学0]专业[0学0]生，讲述了有关数论的[0知0]识，教给他们如何用数[0学0]方[0法0]思考问题，同时介绍了目前数论研究的某些前沿课题。本书采用轻松的写作风格，读者进入美妙的数论世界，不断激发读者的好奇心，并通过一些精心设计的练习来培养读者的探索精神与创[亲斤]能力。对于定理的证明，则强调证明方[0法0]而不仅仅是得到特定的结果。 与[0第0]3版相比，本版的具体更[亲斤]如下： [亲斤]增一章，详细介绍数[0学0]归纳[0法0]（[0第0]26章）。 前言部分给出了各章之间依赖关系的流程图，便于读者选择阅读。 调整了内容的组织结构，将反证[0法0]的相关材料前移至[0第0]8章，原根的相关章节移至二次互反律与平方和之后，上一版[0第0]47~50章的内容移至网上。 给出了二次互反律的完整证明，以及雅可比符号二次互反律的部分证明。 更[亲斤]了书中的实例及章后练习题。

目录

《数论概论(英文版.[0第0]4版)》 Preface Flowchart of Chapter Dependencies Introduction 1 What Is Number Theory? 2 Pythagorean Triples 3 Pythagorean Triples and the Unit Circle 4 Sums of Higher Powers and Fermat's Last Theorem 5 Divisibility and the Greatest Common Divisor 6 Linear Equations and the Greatest Common Divisor 7 Factorization and the Fundamental Theorem of Arithmetic 8 Congruences 9 Congruences, Powers, and Fermat's Little Theorem 10 Congruences, Powers, and Euler's Formula 11 Euler's Phi Function and the Chinese Remainder Theorem 12 Prime Numbers 13 Counting Primes 14 Mersenne Primes 15 Mersenne Primes and Perfect Numbers 16 Powers Modulo tn and Successive Squaring 17 Computing k th Roots Modulo tn 18 Powers, Roots, and "Unbreakable" Codes 19 Primality Testing and Carmichael Numbers 20 Squares Mdulo p 21 Is -1 a Square Modulop? Is 2? 22 Quadratic Reciprocity 23 Proof of Quadratic Reciprocity 24 Which Primes Are Sums of Two Squares? 25 Which Numbers Are Sums of Two Squares? 26 As Easy as One, Two, Three 27 Euler's Phi Function and Sums of Divisors 28 Powers Modulo p and Primitive Roots 29 Primitive Roots and Indices 30 The Equation X4+y4=Z4 31 Square-Triangular Numbers Revisited 32 Pell's Equation 33 Diophantine Approximation 34 Diophantine Approximation and Pell's Equation 35 Number Theory and Imaginary Numbers 36 The Gaussian Integers and Unique Factorization 37 Irrational Numbers and Transcendental Numbers 38 Bi[0no0]mial Coefficients ~md Pascal's Triangle 39 Fibonacci's Rabbits and Linear Recurrence Sequences 40 Oh, What a Beautiful Function 41 Cubic Curves and Elliptic Curves 42 Elliptic Curves with Few Rational Points 43 Points on Elliptic Curves Modulo p 44 Torsion Collections Modulo p and Bad Primes 45 Defect Bounds and Modularity Patterns 46 Elliptic Curves and Fermat's Last Theorem Further Reading Index 47 The Topsy-Turvy World of Continued Fractions [online] 48 Continued Fractions and Pell's Equation [online] 49 Generating Functions [online] 50 Sums of Powers [online] A Factorization of Sm[0all0] Com [p1o1s] ite Integers [online] B A List of Primes [online]

深入探索数学的奥秘：精选经典数学著作导读 本导读旨在为读者呈现一系列在数学领域具有深远影响力的经典著作，这些书籍涵盖了从基础理论到前沿研究的广泛主题，旨在拓展读者的数学视野，提升其理论素养与分析能力。我们将聚焦于那些对现代科学与工程产生基石性影响的学科分支。 第一部分：代数与结构基础 《抽象代数：概念与应用》（Abstract Algebra: Concepts and Applications） 本书是深入理解现代代数核心概念的权威指南。它不仅仅停留在群、环、域等基本结构的定义层面，而是着重于展示这些结构如何在更广阔的数学领域中发挥作用。 群论的深度剖析： 详细阐述了群的定义、子群、陪集、同态与同构，并系统地介绍了Sylow定理及其在有限群分类中的关键地位。书中特别关注了置换群和伽罗瓦群的应用，展示了它们如何解决古典代数难题，例如多项式方程的可解性问题。 环与域的构建： 深入探讨了理想、主理想域（PID）、唯一因子域（UFD）的概念，以及域扩张（Field Extensions）的理论。一个重要的章节专门讨论了域扩张在构造特定几何图形和解决几何作图问题上的应用，连接了代数与几何的桥梁。 模块论的初步介绍： 对于进阶读者，书中引入了模块的概念，将其作为向量空间的推广，为后续学习更高维度的代数结构（如表示论）打下坚实基础。全书通过大量的实例和练习题，确保读者能够将抽象概念转化为具体的计算能力。 《线性代数及其应用》（Linear Algebra and Its Applications） 线性代数是现代科学的通用语言。这本教材的特色在于其严谨的理论推导与广泛的实际应用相结合。 核心理论构建： 从向量空间和线性变换的基本公理出发，系统讲解了基、维数、行列式、特征值与特征向量。书中对特征值问题的处理尤为细致，包括对非对称矩阵的对角化和若尔当标准型（Jordan Canonical Form）的详尽讨论。 矩阵分解的威力： 重点突出了正交性、最小二乘法、奇异值分解（SVD）和QR分解。SVD被置于核心地位，并被应用于数据压缩、主成分分析（PCA）等现代数据科学领域。 几何直觉的培养： 通过大量三维乃至高维空间的可视化解释，帮助读者建立对线性映射和子空间的直观理解。它也涵盖了二次型、正定矩阵以及在优化问题中的应用。 第二部分：分析的严谨性与广度 《数学分析原理》（Principles of Mathematical Analysis） 这本书被誉为分析学的“圣经”之一，以其无与伦比的严谨性著称。它要求读者以严格的极限和 $epsilon-delta$ 语言来重构微积分的全部理论。 实数系统的基础： 从集合论的基本概念出发，构建了完整的实数系统，包括完备性公理的意义。 序列与函数的收敛性： 深度探讨了序列收敛、级数的收敛判据，以及函数序列和函数级数的均匀收敛性。均匀收敛在积分和微分运算中的交换地位被严格证明。 微积分的再审视： 对Riemann积分的定义、积分的性质、微积分基本定理进行了详尽而严格的论证。随后，内容扩展到多变量函数上的积分（如Green's, Stokes', Gauss's Theorem的严格证明）。 初步泛函分析： 书的后半部分引入了度量空间（Metric Spaces）的概念，作为拓扑学和泛函分析的起点，探讨了完备性、紧致性在函数空间中的重要性。 《常微分方程导论》（An Introduction to Ordinary Differential Equations） 该教材专注于使用现代分析工具解决动力学系统中的方程。 一阶方程的解法： 系统梳理了变量分离、积分因子法、恰当方程等经典方法，并强调了这些方法的几何意义（如积分曲线）。 高阶线性方程： 详细讲解了常系数方程的解法，特别是利用拉普拉斯变换处理非齐次项和初始值问题的优势。 定性分析： 侧重于相平面分析（Phase Plane Analysis），特别是对于二维自治系统，探讨了平衡点、相轨线、稳定性和极限环等概念，无需求解解析表达式即可理解系统的长期行为。 存在性与唯一性定理： 对Picard-Lindelöf存在性与唯一性定理进行了详细的证明和讨论，为数值解的有效性提供了理论保障。 第三部分：离散结构与计算基础 《图论基础》（Foundations of Graph Theory） 图论是连接数学、计算机科学和运筹学的核心工具。本书结构清晰，理论与应用兼顾。 基本概念与连通性： 详细定义了图、多重图、有向图，并深入研究了连通性、割点、桥、欧拉路径和哈密顿回路的存在性判别条件。 树及其应用： 重点分析了树的性质，以及在网络设计和数据结构中，最小生成树（如Prim和Kruskal算法）的重要性。 图的着色问题： 对图着色问题（Chromatic Number）进行了详尽的阐述，包括对四色定理的历史背景和现代证明思想的介绍，并讨论了五颜六色性（List Coloring）等进阶概念。 网络流理论： 深入探讨了最大流-最小割定理（Max-Flow Min-Cut Theorem），并展示了其在匹配、运输问题中的应用，这是组合优化领域的核心。 《离散数学及其应用》（Discrete Mathematics and Its Applications） 本书是构建计算思维和解决组合问题的必备资源，涵盖了广泛的离散数学主题。 逻辑与证明： 建立了命题逻辑和一阶逻辑的形式化系统，强调了数学归纳法和反证法的应用技巧。 组合计数原理： 全面覆盖了排列组合、鸽巢原理（Pigeonhole Principle）、生成函数（Generating Functions）以及指数型生成函数在解决复杂计数问题中的强大能力。 关系与偏序集： 讨论了等价关系、偏序关系，以及格（Lattice）的结构，这对于理解数据库理论和顺序结构至关重要。 递归关系： 系统讲解了线性齐次与非齐次递归关系的求解方法，并展示了它们在算法分析（如分治算法的时间复杂度）中的体现。 本导读精选的这些著作，代表了各自领域内公认的优秀教材和参考书目。它们不仅提供了坚实的理论基础，更展示了数学思想的深刻性和普适性，是所有致力于深入研究数学科学的学者和工程师不可或缺的资源。阅读这些经典，将使读者能够真正掌握数学分析的严谨性、代数的抽象美感以及离散结构解决实际问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的“第四版”特质在阅读中显而易见，它吸收了近些年数论领域的一些新进展和新的教学思路，使得内容既有经典的厚重感，又不失时代的活力。其中关于计算数论和应用方面的讨论，虽然不是全书的重点，但其恰到好处的引入，让我看到了数论在密码学和现代信息安全领域中不可替代的作用，这让这门古老的学科焕发出新的光彩。我个人最喜欢的一点是，作者在很多关键章节末尾都附带了“进一步阅读”的推荐清单，这些推荐文献的选取非常精准，涵盖了从更基础的入门读物到高度专业的综述文章，构成了一个完整的知识生态系统。这表明作者不仅是一位优秀的数学教育者，更是一位高明的“学习路径设计师”。总而言之，这本书不仅仅是一本教材，它更像是一位经验丰富、学识渊博的导师，耐心地引导你一步步走入数论的迷宫，并最终帮助你找到核心的宝藏。

评分☆☆☆☆☆

这本书真是让我爱不释手，从翻开第一页起，就被作者那清晰而深刻的数学洞察力所吸引。它并非那种枯燥的教科书，反而更像是一场精心策划的数学漫游。作者在介绍基本概念时，总能巧妙地穿插一些历史典故或者实际应用的小插曲，让那些抽象的符号和定理立刻变得生动起来。比如，在讨论某个初等数论问题时，他会追溯到古希腊数学家的思考路径，那种代入感极强，仿佛我正坐在雅典的橄榄树下，和那些伟大的头脑一起推敲。排版设计也十分考究，关键的定理和证明被清晰地用不同字体或边框标出，学习的效率大大提高。特别是对那些被认为是“困难”的证明部分，作者采取了步步为营的讲解方式，每一步的逻辑衔接都如同精密的齿轮咬合，让你在不知不觉中就理解了整个证明的精髓，而不是囫囵吞枣地记下结论。对于想要深入理解数论底层逻辑的读者来说，这本书无疑提供了一个极佳的视角，它教会我的不仅仅是“是什么”，更是“为什么会是这样”。

评分☆☆☆☆☆

对于已经掌握了基础高等数学知识的读者来说，这本书的价值在于它提供了一个严谨且现代的数论框架。作者在很多证明中都非常细致地标明了所用到的高级工具的来源，比如模形式、伽罗瓦理论的影子，这为有志于继续深造的读者铺设了一条清晰的进阶路径。我特别欣赏作者在处理“模算术”这一核心概念时所展现的耐心，他没有跳过任何一个抽象概念的引入步骤，而是将其与我们在现实生活中接触到的周期性现象进行类比，这种扎根于现实的解释方式，使得原本抽象的同余关系变得触手可及。此外，书中的插图和图表质量非常高，很多抽象的代数结构被转化为直观的几何或拓扑图像，这对于视觉学习者来说是巨大的福音。尽管内容专业，但作者的行文风格始终保持着一种学者的谦逊和对读者的尊重，从不卖弄深奥，而是致力于将复杂性转化为清晰度。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我之前对数论的印象一直停留在“小学奥数”的层面，觉得它不过是些简单的奇偶性、质数分解的小把戏。然而，深入阅读此书后，我才真正领悟到数论的深邃和广阔，它简直是数学大厦中最为坚实而古老的基石之一。作者在处理费马大定理、哥德巴赫猜想这类宏大叙事时，展现出一种史诗般的叙事能力，清晰地勾勒出这些世纪难题的发展脉络和当代研究的前沿阵地。书中对解析数论的介绍尤其精彩，它将微积分和复变函数的工具引入到看似纯粹的整数世界，展示了数学分支之间惊人的互联性。那种“用连续的工具去研究离散的问题”的奇妙感，让我对数学的统一性有了更深的敬畏。阅读过程中，我常常需要停下来，去思考作者提出的某个类比——比如将筛法比作“数学的炼金术”——这些富有诗意的描述，极大地提升了阅读的愉悦度，远超一般教材的刻板印象。

评分☆☆☆☆☆

这本书的篇幅看起来不算薄，但阅读体验却出奇地流畅，这主要归功于作者对内容组织和叙事节奏的精准把握。它不像某些入门书籍那样，在基础概念上徘徊不前，而是迅速将读者带入到数论的核心领域，但又不会让人感到措手不及。我特别欣赏它在引入高级主题时所采用的“渐进式挑战”策略。例如，当涉及到代数数论的某些概念时，作者会先通过一个非常具体的、易于可视化的例子来阐释核心思想，然后再逐步推广到一般的代数结构中去。这种教学方法极大地降低了初学者的畏难情绪。我感觉作者的教学哲学是：数学的美感应当是可感知的，而非仅仅是逻辑推演的产物。书中的习题设计也十分巧妙，分为基础巩固、深入探究和开放性思考三类，确保了从基础练习到更高层次的思维训练都能得到覆盖。我花了大量时间在那些开放性习题上，它们真正激发了我独立思考和查阅更深层资料的动力。