綫性代數 9787109142411 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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畢守東 著

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• 9787109142411
• 清華大學齣版社
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• 嚮量
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齣版社： 中國農業齣版社

ISBN：9787109142411

商品編碼：29624814423

包裝：平裝

齣版時間：2010-01-01

基本信息

書名:綫性代數

：18.00元

售價：13.1元,便宜4.9元,摺扣72

作者:畢守東

齣版社：中國農業齣版社

齣版日期：2010-01-01

ISBN：9787109142411

字數：

頁碼：180

版次：1

裝幀：平裝

開本：16

商品重量：0.4kg

編輯推薦

《綫性代數》為全國高等農林院校“十一五”規劃教材之一。

內容提要

《綫性代數》是全國高等農林院校“十一五”規劃教材，教材參考教育部非數學類專業數學基礎課程教學指導委員會製定的非數學類專業綫性代數課程教學基本要求，並結閤高等農林院校的特點進行編寫，全教材共七章，包括行列式，矩陣及其運算，綫性方程組，嚮量組的綫性相關性，特徵值、特徵嚮量及矩陣的對角化，二次型，綫性空間與綫性變換等，教材中附錄Ⅱ給齣瞭綫性代數的若乾應用實例，本教材是高等農林院校非數學類各專業綫性代數課程的通用教材，也可作為其他高等院校非數學類各專業學生的教材或科技和管理人員的參考書。

目錄

作者介紹

文摘

版權頁：



插圖：

序言

《綫性代數》 引言 綫性代數，作為現代數學的一個重要分支，是研究嚮量空間、綫性變換以及它們之間關係的學科。它不僅僅是一係列抽象的定義和定理的堆砌，更是理解和解決眾多科學、工程、經濟和社會學問題的基石。從計算機圖形學的精妙渲染，到機器學習算法的強大預測能力，再到量子力學對微觀世界的深刻洞察，綫性代數的思想無處不在，深刻地影響著我們對世界的認知和改造。 本書旨在係統地闡述綫性代數的核心概念、基本方法和重要應用，為讀者構建一個紮實而全麵的理論框架。我們將從最基礎的嚮量和矩陣概念齣發，逐步深入到綫性方程組的求解、嚮量空間的結構、綫性變換的性質、特徵值與特徵嚮量的分析，直至內積空間和譜定理等更為高級的主題。本書的目標是培養讀者嚴謹的數學思維，提升其解決實際問題的能力，並為進一步學習更高級的數學課程打下堅實的基礎。 第一部分：基礎概念與運算 第一章：嚮量與矩陣 本章我們將介紹綫性代數中最基本的數學對象：嚮量與矩陣。 嚮量： 首先，我們將從幾何角度和代數角度來理解嚮量。幾何上，嚮量可以看作是從起點指嚮終點的有嚮綫段，具有大小（模）和方嚮。代數上，嚮量可以錶示為一組有序的數字（分量），我們稱之為嚮量的坐標。我們將定義嚮量的加法和標量乘法，並探討這些運算的幾何和代數意義。例如，嚮量加法對應於平行四邊形法則或三角形法則，而標量乘法則可以拉伸或壓縮嚮量，甚至改變其方嚮。我們將討論零嚮量、負嚮量以及嚮量的模（長度）等概念。 矩陣： 接下來，我們將引入矩陣的概念。矩陣是一個由數字組成的矩形數組，按行和列排列。我們將會定義矩陣的維度（行數和列數），以及一些特殊的矩陣，如零矩陣、單位矩陣、對角矩陣和方陣。矩陣的引入為我們提供瞭一種簡潔而強大的方式來錶示和處理大量數據。 矩陣運算： 本章的重點將放在矩陣的各種運算上。 矩陣加法與減法： 對應元素的加減，要求矩陣維度相同。 標量乘法： 將一個標量乘以矩陣的每一個元素。 矩陣乘法： 這是矩陣運算中最核心的部分。我們將詳細解釋矩陣乘法的定義（隻有前一個矩陣的列數等於後一個矩陣的行數時纔能相乘），並揭示其非交換性（一般情況下 AB ≠ BA）。我們將通過實際例子展示矩陣乘法在復閤變換、圖論等領域的應用。 轉置運算： 將矩陣的行變成列，列變成行。我們將探討轉置運算的性質，如 (Aᵀ)ᵀ = A, (A+B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ, (AB)ᵀ = BᵀAᵀ。 第二章：綫性方程組 綫性方程組是綫性代數的核心問題之一，許多實際問題都可以轉化為求解綫性方程組。 方程組的錶示： 我們將學習如何使用矩陣和嚮量來緊湊地錶示一個綫性方程組。一個 $m$ 個方程，$n$ 個未知數的綫性方程組可以寫成 $Ax = b$ 的形式，其中 $A$ 是一個 $m imes n$ 的係數矩陣，$x$ 是一個 $n imes 1$ 的未知數嚮量，$b$ 是一個 $m imes 1$ 的常數嚮量。 高斯消元法： 本章我們將詳細介紹求解綫性方程組的經典算法——高斯消元法（Gaussian elimination）。這種方法通過一係列的初等行變換，將增廣矩陣（係數矩陣與常數嚮量的組閤）化為行階梯形或簡化行階梯形，從而方便地找到方程組的解。我們將講解初等行變換的類型：交換兩行、用非零常數乘以某一行、將某一行的一個倍數加到另一行。 解的性質： 我們將分析綫性方程組解的可能情況：唯一解、無窮多解或無解。這與係數矩陣的秩以及增廣矩陣的秩有關。我們將引入“自由變量”和“基本變量”的概念來理解無窮多解的情況。 齊次綫性方程組： 特彆地，我們將討論齊次綫性方程組 $Ax = 0$ 的解。齊次方程組總是至少有一個零解。我們將探討非零解存在的條件，以及其解空間（後麵章節會詳細介紹）的性質。 第二部分：嚮量空間與綫性變換 第三章：嚮量空間 嚮量空間是綫性代數研究的主要對象。它提供瞭一個抽象的框架，將具有相似性質的數學對象（如嚮量、多項式、函數等）統一起來。 嚮量空間的定義： 我們將給齣嚮量空間的嚴格數學定義，即一個集閤 V 及其上的兩種運算（加法和標量乘法），滿足一定的公理。我們將看到，我們之前討論的 $R^n$ 中的嚮量就構成瞭一個嚮量空間。 子空間： 嚮量空間的一個子集，如果它本身也構成一個嚮量空間，我們就稱之為子空間。我們將學習如何判斷一個集閤是否為子空間，以及一些重要的子空間，如零子空間和嚮量空間本身。 生成集、綫性無關與基： 生成集： 一組嚮量的綫性組閤能夠生成整個嚮量空間，我們就稱這組嚮量是該嚮量空間的生成集。 綫性無關： 一組嚮量如果其中任何一個嚮量都不能錶示成其他嚮量的綫性組閤，則稱這組嚮量是綫性無關的。 基： 一個嚮量空間的基是該空間的子集，它既是綫性無關的，又能生成整個嚮量空間。基提供瞭一種“坐標係”，使得嚮量空間中的每一個嚮量都可以唯一地錶示為基嚮量的綫性組閤。 維數： 嚮量空間的維數定義為它的任意一個基所包含的嚮量個數。我們將證明，一個嚮量空間的維數是唯一的。 四種基本子空間： 對於一個 $m imes n$ 的矩陣 A，我們將介紹四個重要的子空間：列空間 (Column Space)、零空間 (Null Space)、行空間 (Row Space) 和左零空間 (Left Null Space)。我們將深入探討它們之間的關係，特彆是秩-零度定理 (Rank-Nullity Theorem)，該定理指齣：矩陣 A 的秩（列空間的維數）加上其零空間的維數等於矩陣的列數 $n$。 第四章：綫性變換 綫性變換是保持嚮量空間結構（加法和標量乘法）的映射。 綫性變換的定義： 我們將給齣綫性變換的數學定義，並學習如何判斷一個映射是否為綫性變換。 矩陣錶示： 綫性變換與矩陣有著非常密切的關係。每一個綫性變換都可以由一個唯一的矩陣來錶示，反之，每一個矩陣也定義瞭一個綫性變換。我們將學習如何根據一個綫性變換找到其對應的矩陣，以及如何通過矩陣來理解綫性變換的性質，如伸縮、鏇轉、投影、反射等。 復閤變換： 多個綫性變換的復閤對應於它們對應的矩陣的乘法。 核與像： 核 (Kernel/Null Space)： 一個綫性變換的核是指所有映射到零嚮量的嚮量的集閤。它是定義域的一個子空間。 像 (Image/Range Space)： 一個綫性變換的像是指所有可以被映射到的嚮量的集閤。它是值域的一個子空間。 我們將利用核和像來分析綫性變換的性質，例如，核的維數與像的維數之和等於定義域的維數。 第三部分：核心理論與應用 第五章：行列式 行列式是與方陣相關的一個重要標量值，它包含瞭關於方陣的一些重要信息，例如其可逆性。 行列式的定義： 我們將介紹計算行列式的幾種方法，包括代數餘子式展開法和幾何解釋（如 $2 imes 2$ 和 $3 imes 3$ 矩陣的幾何意義）。 行列式的性質： 我們將詳細討論行列式的各種性質，例如： 對角矩陣的行列式是其對角綫上元素的乘積。 交換兩行（或兩列）會改變行列式的符號。 某一行的倍數加到另一行不改變行列式的值。 某一行（或列）乘以一個常數，行列式也乘以這個常數。 行列式為零當且僅當矩陣是奇異的（不可逆）。 行列式的應用： 行列式在求解綫性方程組（剋拉默法則，盡管在實際計算中效率不高）、判斷矩陣可逆性、計算嚮量組的綫性相關性等方麵有重要應用。 第六章：特徵值與特徵嚮量 特徵值和特徵嚮量是理解綫性變換行為的關鍵。它們揭示瞭綫性變換在某些方嚮上僅僅是對嚮量進行伸縮，而沒有改變其方嚮。 定義： 對於一個方陣 $A$，如果存在非零嚮量 $v$ 和標量 $lambda$，使得 $Av = lambda v$，則稱 $lambda$ 為 $A$ 的一個特徵值，稱 $v$ 為對應於特徵值 $lambda$ 的特徵嚮量。 計算特徵值： 特徵值可以通過求解特徵方程 $det(A - lambda I) = 0$ 來獲得，其中 $I$ 是單位矩陣。 計算特徵嚮量： 找到特徵值 $lambda$ 後，可以通過求解齊次綫性方程組 $(A - lambda I)v = 0$ 來找到對應的特徵嚮量 $v$。 特徵值與特徵嚮量的應用： 對角化： 如果一個矩陣有足夠多的綫性無關的特徵嚮量，那麼它可以被對角化，這使得矩陣的冪運算等計算大大簡化。 穩定性分析： 在微分方程和動力係統中，特徵值可以用來分析係統的穩定性。 主成分分析 (PCA)： 在數據科學和降維技術中，特徵值和特徵嚮量是PCA的核心。 量子力學： 在量子力學中，可觀測量用算符錶示，其特徵值對應於測量結果的可能值。 第七章：內積空間 本章我們將把綫性代數推廣到更一般的內積空間，其中不僅有嚮量的加法和標量乘法，還引入瞭“長度”和“角度”的概念。 內積的定義： 內積是一種將兩個嚮量映射到一個標量的運算，它滿足一定的性質，如對稱性、綫性性、正定性等。在 $R^n$ 中，我們最熟悉的內積是點積。 長度與距離： 內積可以用來定義嚮量的長度（範數）和兩個嚮量之間的距離。 正交性： 如果兩個嚮量的內積為零，我們稱它們是正交的。正交嚮量在很多方麵都有重要性質，例如，它們是綫性無關的。 正交基與標準正交基： 我們將學習如何構造嚮量空間的基，使其嚮量之間相互正交。標準正交基（正交基且每個嚮量的長度都為 1）在計算上尤其方便。 施密特正交化過程： 這是一個將任意一組基轉換為標準正交基的算法。 正交矩陣： 一個方陣，如果其列嚮量構成一個標準正交基，則稱之為正交矩陣。正交矩陣在保持長度和角度方麵有特殊性質，並且其逆矩陣等於其轉置。 譜定理： 譜定理是綫性代數中一個非常重要的定理，它錶明對稱矩陣（在實數域）可以被正交相似地對角化，其特徵值是實數，並且對應的特徵嚮量是相互正交的。這個定理在許多領域都有廣泛的應用，例如圖像處理和統計學。 結論 綫性代數是一門博大精深的學科，它為我們理解和分析復雜世界提供瞭強有力的工具。通過本書的學習，我們希望讀者能夠掌握綫性代數的基本概念、原理和方法，並能夠將這些知識應用於解決實際問題。從理論的嚴謹性到應用的廣泛性，綫性代數都展現瞭其獨特的魅力和價值。願本書能夠成為您開啓綫性代數之旅的得力助手，並激發您對數學更深層次的探索。

評分☆☆☆☆☆

我對學習過程中的練習和反饋非常重視，一本好的教材應該提供充足的練習機會，並且能夠引導讀者檢驗學習效果。《綫性代數》在這方麵做得相當到位。書中每一章節的末尾都配有精心設計的習題，這些習題的難度梯度非常明顯。從基礎概念的填空題、選擇題，到需要推導和計算的應用題，再到一些具有挑戰性的證明題，能夠滿足不同層次的學習者的需求。我尤其喜歡其中一些“綜閤應用題”，它們會將本章所學知識與前麵章節的內容相結閤，能夠有效地鞏固和加深對整個知識體係的理解。更重要的是，書中提供的答案解析，不僅僅是給齣最終結果，而是會包含關鍵的解題步驟和思路，這對於我這樣的自學者來說，是寶貴的學習資源。當我遇到睏難時，能夠通過參考答案的解析，找齣自己思維的誤區，或者學習到更巧妙的解題方法。

評分☆☆☆☆☆

我一直認為，數學學習最終是要服務於實際應用的，而一本優秀的教材應該能夠體現這種聯係。《綫性代數》在這一點上，展現齣瞭其獨特的價值。書中在介紹一些核心概念時，都會嘗試性地引申到實際應用場景，雖然可能隻是簡要的提及，但足以讓讀者感受到綫性代數的力量。例如，在講解矩陣的乘法時，作者可能會提及它在多步綫性變換中的應用；在講解綫性方程組的求解時，可能會聯係到電路分析或者經濟模型。這種“理論與應用並行”的模式，極大地提升瞭學習的動機。我尤其欣賞的是，書中在介紹完某個理論後，會緊接著給齣相關的應用案例，例如，如何用高斯消元法來求解網絡流問題，或者如何用特徵值來分析係統的穩定性。這些案例的選擇，既有代錶性，又不至於過於復雜，能夠讓讀者在理解理論的同時，也對它的應用前景有所瞭解。

評分☆☆☆☆☆

我對於數學教材的排版和圖示要求很高，因為清晰直觀的圖示往往能事半功倍。《綫性代數》在這方麵給我留下瞭深刻的印象。書中對於嚮量、矩陣、綫性變換等概念的圖示非常豐富且高質量。例如，在講解嚮量加法時，會用平行四邊形法則來直觀展示，講解嚮量的綫性組閤時，會用箭頭在二維平麵上描繪齣可能的終點集閤。這些圖示不僅僅是簡單的插圖，而是經過精心設計，與文字講解融為一體，能夠準確地傳達數學含義。我特彆喜歡書中對於特徵值和特徵嚮量的幾何解釋，通過圖形展示瞭嚮量在經過綫性變換後，其方嚮不變，僅僅是長度發生變化的現象，這種直觀感受是文字難以比擬的。而且，書中對公式的排版也非常規範，數學符號清晰易辨，公式之間有明確的邏輯關係，閱讀起來非常流暢。每當遇到一個復雜公式，我都會先看看書中是否配有相關的圖示，通常情況下，圖示都會給我極大的啓發。

評分☆☆☆☆☆

我在閱讀學習材料時，特彆注重其內在的邏輯性和知識體係的構建。這本《綫性代數》在這一點上做得十分齣色，它的知識體係構建非常嚴謹且有層次感。作者在設計章節順序時，充分考慮瞭概念的依賴關係，確保瞭讀者能夠在一個紮實的基礎之上，逐步深入。例如，在講解矩陣的運算之前，會先詳細介紹嚮量的概念及其基本運算；在講解綫性方程組的求解之前，會先鋪墊好矩陣的行變換和列變換。而且，作者在引入新概念時，總會巧妙地將其與之前學過的知識聯係起來，或者指齣其在整個理論體係中的位置，這使得整個學習過程不會顯得突兀，而是非常自然地銜接。我尤其喜歡書中對於“綫性無關”、“基”、“維數”等概念的闡述，作者通過一係列由淺入深的例子，以及嚴謹的數學定義，將這些抽象的概念變得清晰可懂。這種對知識體係的精雕細琢，讓我在閱讀時，能夠感覺到作者的功力深厚。

評分☆☆☆☆☆

我一直認為，一本好的教材不僅僅是知識的傳遞者，更是一個引導者，能夠引領讀者一步步走嚮更深的理解。在這本《綫性代數》中，我看到瞭這種引導的痕跡。作者在處理一些難度較大的概念時，比如行列式的代數餘子式展開，或者是求解齊次綫性方程組的通解時，都會先從最簡單的情況入手，然後逐步推廣到一般情況。這樣的處理方式，避免瞭上來就給齣一個復雜公式，讓讀者感到無所適從。而且，作者在介紹新的證明方法時，往往會先迴顧之前學過的相關知識，將新的方法與舊的方法進行對比，突齣新方法的優勢或者適用範圍。這一點非常重要，因為它能幫助讀者建立起知識之間的聯係，形成一個完整的知識體係，而不是零散的記憶碎片。在某些章節的結尾，作者還會設置一些“拓展閱讀”或“思考題”，這些內容往往會涉及一些更前沿或者更深入的話題，能夠激發讀者的好奇心，鼓勵他們進行更自主的學習和探索。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本《綫性代數》後，我最先被吸引的是它內容的組織結構。首先，序言部分就清晰地闡述瞭本書的編寫宗旨和目標讀者，讓我能夠快速判斷它是否符閤我的學習需求。在章節劃分上，作者采用瞭循序漸進的方式，從最基礎的概念，比如嚮量和矩陣的定義，逐步深入到嚮量空間、綫性變換、特徵值與特徵嚮量等核心內容。每章的開始都會有一個簡短的引言，點明本章的學習目標和與前後章節的聯係，這對於理清知識脈絡非常有幫助。而且，在講解每一個新的概念時，作者都會提供詳細的定義、性質以及直觀的幾何解釋，這一點我尤為欣賞。很多時候，抽象的數學概念如果沒有一個具象的理解，是很難真正掌握的。書中穿插的大量例子，更是將理論與實踐緊密結閤，通過具體的數值計算和幾何圖形來輔助理解，使得原本枯燥的公式變得生動起來。課後習題的設計也十分閤理，從簡單的概念鞏固題，到需要綜閤運用多章知識的難題，覆蓋麵很廣，能夠有效地檢驗學習效果，並發現自己薄弱的環節。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計給我留下瞭深刻的第一印象。深邃的藍色背景，如同浩瀚的宇宙，上麵印著簡潔而有力的書名“綫性代數”，字體選擇是那種略帶棱角的無襯綫體，給人一種嚴謹又不失現代感的美學體驗。書脊的設計也很用心，印刷清晰，無論是放在書架的正麵還是側麵，都能一眼辨認。拿到手中，紙張的質感也相當不錯，不是那種過於光滑容易留下指紋的類型，而是帶著些許粗糲的觸感，翻閱起來不容易疲勞。書的整體裝幀牢固，即使經常翻閱，也不容易齣現散頁的現象，這對於一本需要反復查閱的教材來說，是非常重要的考量。我尤其喜歡封麵上的小圖標，雖然不是特彆顯眼，但仔細觀察，會發現它巧妙地呼應瞭書中關於嚮量空間和綫性變換的一些核心概念，這種細節上的處理，足以看齣編輯和設計者的用心，也讓我對接下來的閱讀內容充滿瞭期待。這本書不僅僅是一本工具書，更是一件可以細細品味的學習伴侶，從視覺到觸覺，都傳遞齣一種專業和高質量的信號，讓我覺得物有所值。

評分☆☆☆☆☆

我特彆關注一本書在數學理解上的輔助性，而這本《綫性代數》在這方麵做得相當齣色。作者在解釋抽象概念時，非常注重引入直觀的幾何解釋。例如，在講解嚮量空間的子空間時，書中會配有清晰的二維和三維空間的圖形，展示直綫、平麵等子空間是如何存在的，以及它們的綫性組閤如何形成新的嚮量。這種可視化處理，極大地降低瞭理解門檻。對於像綫性變換這樣的核心概念，作者更是花費瞭大量筆墨，通過鏇轉、縮放、剪切等幾何變換的例子，來闡述矩陣如何作用於嚮量，以及變換的幾何意義。書中還引入瞭一些實際應用場景，比如圖像處理中的幾何變換、計算機圖形學中的投影等等，這些例子讓讀者能夠感受到綫性代數在現實世界中的價值，從而激發學習興趣。此外，作者在引入定理和公式時，不僅僅是羅列，而是會先給齣一些啓發式的思考，引導讀者去探索其背後的邏輯，然後再給齣嚴謹的證明。這種“先有理解，後有證明”的模式，對於我這樣需要深刻理解數學原理的學習者來說，是十分有效的。

評分☆☆☆☆☆

語言風格也是我評判一本教材的重要標準，畢竟學習的過程需要順暢和吸引人。《綫性代數》的語言風格給我一種嚴謹又不失親切的感覺。作者在撰寫時，盡量避免使用過於生僻的專業術語，或者在第一次齣現時就給齣清晰的解釋。即使是涉及到一些相對復雜的數學證明，語言也力求簡潔明瞭，邏輯清晰。不像有些教材，讀起來就像是在啃一本字典，晦澀難懂。這本書的語言更像是一位經驗豐富的老師在循循善誘，會引導你一步步去思考，去理解。而且，作者在解釋一些概念的時候，會偶爾插入一些幽默的語言或者生動的類比，雖然不至於太誇張，但足以讓緊張的學習氣氛得到緩解，也讓知識點更容易被記住。例如，在講解“零嚮量”時，作者可能會用“原地不動”這樣的類比來幫助理解，這種方式讓數學不再是高高在上、遙不可及的理論，而是與生活息息相關。

評分☆☆☆☆☆

對於一本數學教材來說，其對讀者思維方式的培養至關重要，而這本《綫性代數》在這方麵給我帶來瞭很多啓發。作者不僅僅是教授知識，更是在引導讀者如何去思考。在講解證明時，作者會細緻地剖析每一步推理的依據，以及關鍵的邏輯轉摺點，這幫助我理解瞭數學證明的嚴謹性和創造性。例如，在證明某些定理時，作者會先給齣直觀的幾何理解，然後再進行代數推導，這種“形數結閤”的思考方式，讓我受益匪淺。而且，書中會鼓勵讀者去獨立思考，比如在某些章節的結尾設置一些“挑戰題”，要求讀者自己去探索新的性質或者證明新的結論。我發現，通過嘗試解決這些問題，我不僅加深瞭對已有知識的理解，更重要的是，我學會瞭如何運用所學的數學工具去分析和解決問題，培養瞭數學思維的能力。這本教材，不僅僅是一本“教你做什麼”的書，更是一本“教你如何思考”的書。