二战时期密码决战中的数学故事 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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王善平，张奠宙 著

图书标签:

• 密码学
• 数学史
• 二战史
• 图灵
• 破译
• 数学
• 历史
• 战争
• 科学
• 计算机科学

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040229912

版次：1

商品编码：10000796

包装：平装

丛书名： 数学文化小丛书

开本：32开

出版时间：2008-02-01

用纸：胶版纸

页数：118

正文语种：中文

编辑推荐

　　《二战时期密码决战中的数学故事》精选对人类文明发展起过重要作用、在深化人类对世界的认识或推动人类对世界的改造方面有某种里程碑意义的主题，深入浅出地介绍数学文化的丰富内涵、数学发展史中的一些重要篇章以及一些著名数学家的历史功绩和优秀品质等内容，适于包括中学生在内的读者阅读。

内容简介

　　本丛书精选对人类文明发展起过重要作用、在深化人类对世界的认识或推动人类对世界的改造方面有某种里程碑意义的主题，深入浅出地介绍数学文化的丰富内涵、数学发展史中的一些重要篇章以及一些著名数学家的历史功绩和优秀品质等内容，适于包括中学生在内的读者阅读。《二战时期密码决战中的数学故事》是其中之一！

作者简介

　　王善平，1990年华东师范大学数学系现代数学史方向硕士研究生毕业。现为《华东师范大学学报》编辑部编审。已发表《数学无国界》、《数字化信息技术与技能导引》等数学史、信息科学技术和图书馆学方面的论著30余篇／部。
　　张奠宙，国际欧亚科学院院士，华东师范大学数学系教授，专长算子谱论。著名数学教育家和数学史家，曾当选国际数学教育委员会执行委员。著有《20世纪数学经纬》、《中国数学的现代发展》和《陈省身传》等数学史著作。

目录

法西斯的阴霾笼罩着数学界
一、希特勒排犹狂潮葬送了德国数学
二、新的世界数学中心：普林斯顿
三、数学家大力投入反法西斯战争
运筹学诞生在战场
为战争服务的美国“应用数学计划”
来自德国的柯朗参与反德国法西斯战争
冯·诺伊曼的反法西斯努力

二战时期密码破译的传奇故事——幕后的数学战
一、“超级”情报扭转战争局面
不列颠空战
阿拉曼战役
大西洋海战
法莱围歼
中途岛海战
山本五十六之死
二、德国“隐谜”密码机的出现
三、波兰数学家的功绩.、
四、英国布雷契莱庄园的故事
布雷契莱庄园成为英国二战时期的密码中心
图灵等人制造破译“隐谜”密码的“炸弹”机
图灵破译德国海军的“隐谜”密码
英国数学家破译德军最高统帅部的“洛伦兹”密码
五、美国人的破译故事
美国海军造出破译“隐谜”密码的“炸弹”机
破译日本“紫色”密码的“魔术”
破译日本海军的JN系列密码
余音
参考文献

精彩书摘

　　虽然密码的应用已经在第一次世界大战中大显身手，但密码学作为一门学科，在当时并没有很大的发展，使用的加密方法与古代相比并没有什么创新，只是增加了一些难度，
　　当时的加密方法大都采用字母替换，比如说在一个未加密的文本（称作“明文”）中，用f代替a，用h代替b，再用i代替f，用z代替h，如此等等，就得到了一个加密文本（称作“密文”），在早期的加密方法中，这种字母替换的规则大多是固定的，即只有一张关于每个字母的替换表，所以被称作“单表替换加密”，2000年前的“恺撒密码”，就属于这种加密方法，所有的单表替换加密都可以通过运用字母频率分析的手段来破解，因为概率论和统计学告诉我们，每个字母在一个文本中出现的频率几乎不变，一些字母的组合和单词出现的概率也是如此，比如说在英文的文本中，字母“e”出现的频率最高，字母“z”出现的频率最低；字母组合“eh”出现的概率很小，而组合“he”出现的概率很大，运用这些知识对密文进行分析，就能够发现字母替换的规则，从而破解密文，
　　后期的加密方法开始采用变化的替换规则，即根据每个字母在明文中出现的位置和出现的次数，使用不同的替换表，这种方法被称为“多表替换加密”，如16世纪法国外交官维吉尼亚发明的密码，就属于这种加密方法，维吉尼亚密码使用了26张通过字母顺序平移产生的替换表。

前言/序言

　　整个数学的发展史是和人类物质文明和精神文明的发展史交融在一起的。数学不仅是一种精确的语言和工具、一门博大精深并应用广泛的科学，而且更是一种先进的文化。它在人类文明的进程中一直起着积极的推动作用，是人类文明的一个重要支柱。要学好数学，不等于拼命做习题、背公式，而是要着重领会数学的思想方法和精神实质，了解数学在人类文明发展中所起的关键作用，自觉地接受数学文化的熏陶。只有这样，才能从根本上体现素质教育的要求，并为全民族思想文化素质的提高夯实基础。

《二战时期密码决战中的数学故事》 一、 引言：数字的战场，智慧的较量 第二次世界大战，一场席卷全球的浩劫，不仅是钢铁洪流与血肉之躯的较量，更是一场隐秘而激烈的数字战场上的决战。在这场宏大的历史画卷中，人类文明的存亡，在很大程度上被隐藏在无数电波、纸张中的秘密代码所左右。而这些看似神秘的代码背后，却跳动着一颗颗理性而严谨的心脏——数学。 本书并非仅仅是一部战争史的旁述，也不是一本枯燥的数学定理汇编。它旨在揭示一个鲜为人知的秘密：数学，作为人类最古老、最普适的智慧语言，在第二次世界大战的关键时刻，是如何化身为一把锐利的双刃剑，深刻地影响了战争的走向，甚至在一定程度上决定了最终的胜利天平。我们将跟随历史的脚步，深入二战时期那些充满戏剧性与传奇色彩的密码破译与加密故事，探寻数学原理如何在实战中发挥出惊人的力量，如何成为各国情报机构、军事部门手中不可或缺的战略武器。 在那个风云变幻的时代，数学不再仅仅是书斋中的抽象概念，它被赋予了前所未有的实际意义。从纳粹德国的“恩尼格玛”机到日本的“紫密”，从盟军的密码分析专家到轴心国的加密技术团队，无数智慧的火花在数学的指引下碰撞、交织，构成了这场无声战争中最动人心魄的篇章。本书将带领读者穿越时空，亲历那些扣人心弦的密码破译时刻，感受数学的优雅与力量，理解数字如何在战争的阴影下，无声地塑造着历史的进程。 二、 密码学的诞生与早期发展：数学的雏形应用 在二战爆发之前，密码学早已在人类历史的长河中留下了深深的印记。古代的简易替换密码、置换密码，虽然原理粗糙，却已初步展现了信息隐藏的思想。然而，随着科技的进步和战争规模的扩大，传统的密码方法逐渐显得力不从心。 数学，作为逻辑与规律的科学，自然而然地成为了密码学发展的基石。早期的密码学家们，便开始尝试将一些基本的数学概念融入到密码的设计与分析中。例如，简单的频率分析法，便是基于统计学原理，通过统计明文中字母出现的频率来推断密文中对应字母的方法。这种方法在分析一些简单的替换密码时，屡试不爽，但面对更复杂的密码系统，其局限性也日益凸显。 直到19世纪末20世纪初，数学理论的飞速发展，特别是代数、数论、概率论等分支的突破，为现代密码学的诞生奠定了坚实的基础。群论、有限域等抽象代数概念，开始被引入到密码学的研究中，使得设计更为复杂的置换和替换组合成为可能。这些早期数学原理的应用，虽然与二战时期的密码技术相比，显得较为稚嫩，但却为后来的重大突破埋下了伏笔，也预示着数学在信息安全领域将扮演越来越重要的角色。 三、 “恩尼格玛”的魅影：数学在破解纳粹德国核心密码中的威力 提起二战密码战，最负盛名的莫过于德国“恩尼格玛”（Enigma）密码机的破解。这款集成了转子、插线板等多种复杂机械装置的密码机，被纳粹德国视为不可逾越的军事通信屏障，其密文的复杂性一度让盟军情报部门束手无策。然而，正是数学，成为了撕裂这层神秘面纱的关键。 “恩尼格玛”的破解并非一蹴而就，而是一个漫长而艰辛的过程，其中蕴含着无数数学家的智慧结晶。早期，波兰密码分析局的数学家们，如马里安·雷耶夫斯基（Marian Rejewski），便大胆地运用了群论等数学概念，对“恩尼格玛”的内部结构进行了逆向工程分析。他们通过对大量截获的密文进行统计分析，识别出机器的转子组合和接线板的配置，并利用数学的抽象能力，设计出能够模拟“恩尼格玛”工作的机器——“波兰炸弹”（Polish Bomba）。 “波兰炸弹”的成功，标志着人类历史上第一次大规模利用数学原理成功破解高度复杂的机械密码系统。然而，随着战争的深入，“恩尼格玛”的配置也日益复杂，波兰的成果被转移到英国布莱切利园（Bletchley Park）后，又迎来了一批杰出的数学家和逻辑学家，如艾伦·图灵（Alan Turing）。 在布莱切利园，数学家的工作变得更加系统化和高效。图灵设计的“图灵炸弹”（Turing Bombe）是“波兰炸弹”的升级版，它进一步优化了破解算法，能够更快速地尝试各种可能的设置。同时，统计学、概率论在分析“恩尼格玛”的弱点，例如“恩尼格玛”永远不会将一个字母加密成自身，这一数学特性被利用得淋漓尽致。通过对成千上万的密文进行概率分析，数学家们能够缩小搜索范围，最终找到正确的设置。 “恩尼格玛”的破解，不仅是情报战的巨大胜利，更是数学理论在实战中应用的典范。它证明了，即使是看似无懈可击的机械系统，也可能隐藏着数学上的弱点，而对这些弱点的洞察，往往需要深厚的数学功底。这场密码决战，彻底改变了战争的进程，盟军得以提前获知德军的军事部署和意图，极大地缩短了战争的持续时间，挽救了无数生命。 四、 隐秘的战线：日本“紫密”与统计学的胜利 与“恩尼格玛”的机械复杂性不同，日本在二战时期使用的“紫密”（Purple cipher）更多地依赖于数学上的组合和置换。这款代号为“紫”的密码机，其结构相对于“恩尼格玛”更为简单，但其背后同样蕴含着深奥的数学原理，也面临着严峻的破解挑战。 负责破解“紫密”的美国情报机构，同样派遣了一批数学才能出众的专家。他们首先通过细致的模式识别和统计分析，发现了“紫密”系统的一些关键特征。与“恩尼格玛”不同，“紫密”在每次加密中会随机选择一个密钥，这使得传统的频率分析法失效。然而，数学家们并没有因此放弃，他们开始转向更高级的统计方法。 通过对大量加密信息进行比对和分析，数学家们逐渐摸索出“紫密”的生成规则。他们运用了信息论中的熵概念，来衡量密码的随机性和复杂性。同时，他们也从概率论的角度出发，寻找密码系统中的统计规律。例如，他们会关注某些特定字母组合在不同密文中的出现频率，以及不同密钥序列的概率分布。 一个重要的突破点在于，他们发现了“紫密”系统在某些条件下会产生可预测的模式，尽管这种模式非常隐蔽。通过数学上的推理和实验，他们能够逐步推导出密钥的长度、字符集以及更复杂的置换规则。这个过程就像是在解一个巨大的数学谜题，每找到一个线索，都意味着离真相更近一步。 最终，通过巧妙地结合数学理论与信息论的知识，美国情报部门成功地构建了能够模拟“紫密”工作原理的破解设备，并开始破译日军的通信。这一成就同样具有划时代的意义，它表明数学在破解基于数学组合和置换的密码系统方面，同样具有无可匹敌的力量。 五、 数学在密码创新中的角色：加密技术的演进 除了在密码破解中扮演关键角色，数学同样是二战时期密码创新的核心驱动力。各国情报机构和军事部门都在不断探索更先进、更安全的加密技术，以期在信息战中占据优势。 例如，在早期，一些基于算术和代数的简单加密方法便得到了应用。这些方法通常涉及到对明文进行数值化处理，然后应用一系列数学运算，如加法、乘法、模运算等，来生成密文。虽然这些方法在今天看来相对简单，但在当时，它们已经能够有效抵御基础的密码分析。 随着密码学理论的发展，更为复杂的数学概念开始被引入。例如，一些利用置乱（permutation）和代换（substitution）结合的密码系统，其背后都离不开组合数学和代数结构的研究。设计这些密码需要精确地计算各种排列组合的可能性，以及设计复杂的代换表，以最大化密码的安全性。 到了战争后期，随着电子技术的兴起，数学家们开始尝试将连续数学的概念引入到密码设计中。例如，一些基于随机数生成器（pseudorandom number generator）的加密方法，其核心便是利用复杂的数学算法来生成看似随机的密钥序列。这些算法的安全性，直接取决于其数学上的不可预测性。 此外，在信息论的指导下，数学家们也在研究如何设计具有更高熵的密码系统，以避免统计学上的漏洞。他们关注的信息冗余度、信源编码等概念，都直接来源于数学理论。 可以说，二战时期的密码创新，是一场数学理论与工程实践紧密结合的盛宴。无数数学家和密码学家，在战争的紧迫需求下，将抽象的数学公式转化为实际的加密设备和通信系统，为国家的安全和战争的胜利做出了不可磨灭的贡献。 六、 数学思维在情报战中的价值：超越计算的智慧 本书所呈现的，不仅仅是具体的数学公式和算法，更是一种深刻的数学思维。在二战的密码决战中，数学家们所展现出的，不仅仅是精湛的计算能力，更是其独特的逻辑推理、抽象概括、模式识别以及问题分解的能力。 “恩尼格玛”的破解，并非仅仅依靠蛮力尝试，而是通过对机器结构的深刻理解，以及对数学规律的敏感洞察，才得以找到突破口。艾伦·图灵对“恩尼格玛”的分析，便是典型的数学思维在实践中的体现：他能够将一个复杂的机械系统，抽象为一系列数学模型，并利用逻辑推理来推导出其内在的弱点。 日本“紫密”的破解，同样需要高度的统计学思维和概率论分析能力。情报分析人员需要从海量的密文中，识别出那些隐藏在噪音之下的微弱信号，并利用概率模型来推断其生成规律。这是一种从不确定性中发现确定性的能力，而这正是数学思维的核心价值所在。 更重要的是，数学思维培养了一种严谨的科学态度。在密码战中，任何微小的错误都可能导致功败垂成。数学家们必须精确计算，细致分析，确保每一个步骤的正确性。这种严谨性，是情报工作成功的基石。 本书将通过讲述一个个生动的故事，展现数学思维如何在情报战的复杂环境中发挥作用，它如何帮助分析人员看穿迷雾，如何指引技术人员设计出更强大的加密系统。它证明了，数学的价值，远远超越了纯粹的计算，它是一种强大的思维方式，能够帮助我们理解世界，解决复杂的问题，并在关键时刻做出明智的决策。 七、 结语：数学之光，永不熄灭 第二次世界大战的硝烟早已散去，但那场惊心动魄的密码决战，以及其中闪耀的数学之光，却永远铭刻在人类文明的历史长卷中。本书希望通过深入浅出的方式，展现数学在二战时期所扮演的至关重要的角色，揭示隐藏在战争史料背后，那些由数字和逻辑构建起的辉煌篇章。 从“恩尼格玛”的破解到“紫密”的攻陷，从加密技术的创新到情报分析的突破，数学的力量贯穿始终。它不仅是战争胜负的砝码，更是人类智慧的象征。这本书试图告诉读者，数学并非遥不可及的象牙塔，而是深入我们生活，影响我们世界的强大力量。 希望通过阅读本书，读者能够对数学产生新的认识，理解数学在现实世界中的广泛应用，尤其是在信息安全领域。更希望能够激发读者对数学的兴趣，认识到数学思维的独特价值，以及它在解决复杂问题时的关键作用。 《二战时期密码决战中的数学故事》，不仅仅是一部历史的叙述，更是一曲献给数学智慧的赞歌。它证明了，在人类文明的无数次挑战面前，数学，永远是那盏指引方向的明灯，是解决一切问题的有力武器。

评分☆☆☆☆☆

从阅读体验上来说，这本书的质量无疑是顶尖的。它的翻译（如果我阅读的是译本）处理得极其出色，语言保持了一种冷静而有力的克制感，避免了过度煽情，反而让事实本身的力量得以凸显。排版和插图的运用也十分考究，那些历史照片和示意图，往往在最恰当的时机出现，起到画龙点睛的作用，帮助读者建立起空间和时间的坐标感。更重要的是，它激发了我进一步探索相关领域的强烈欲望。读完后，我立刻去搜索了书中提到的某些数学家和密码学先驱的更多生平事迹，这本身就是一本优秀非虚构作品的终极褒奖。它没有满足于告知“发生了什么”，而是致力于解释“为什么会那样发生”，并成功地将“密码战”这一原本深锁在档案库里的主题，以一种极具启发性的方式，呈现在了公众面前。它是一部关于智慧、隐蔽斗争与时代抉择的宏大赞歌。

评分☆☆☆☆☆

这本书最让我感到惊喜的地方在于其探讨的“蝴蝶效应”——微小的数学洞察如何引发巨大的历史涟漪。它不仅仅是简单地记录了“我们破译了X密码，所以赢得了Y战役”，而是更深层次地剖析了信息不对称性是如何被转化为军事优势的。作者似乎在不断地提醒我们：在信息战的早期阶段，真正的“武器”并非是钢铁和火药，而是算法和逻辑。书中对某些关键决策点，比如某个情报机构是应该选择相信一个“数学上不可能”的预测，还是遵循传统的军事直觉，进行了精彩的心理博弈描绘。这种对“理性与直觉的冲突”的展现，极具戏剧张力。阅读过程中，我的神经一直处于一种紧绷的状态，因为你知道，每一个被破解的数字背后，都可能意味着盟军的登陆时间提前，或者某个U型潜艇的航线暴露。它成功地将抽象的数学逻辑，具象化为影响全球格局的决定性因素，这种震撼感是罕见的。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我原本对这类偏重技术的书籍抱有一丝保留，担心会过于枯燥或晦涩难懂，但这本书彻底颠覆了我的预设。作者显然深谙如何将硬核内容“软化”的艺术。与其堆砌晦涩的数学符号，不如着重讲述发现那个符号背后含义的人类心路历程和外部环境的压力。书中对密码本身（而非破解技术）的描述，更侧重于其设计思想和局限性，这使得即便是对现代加密技术一窍不通的读者，也能理解不同时期密码系统的“强度”差异。此外，书中还穿插了一些关于后勤、资源分配以及政治博弈的内容，这些“非核心”的叙事元素，非但没有分散主题，反而像精美的配饰一样，让整体画面更加饱满和真实。它成功地将一场智力竞赛升华为一场关乎国家命运的综合较量。读罢，我对那个时代所有参与者——无论他们是坐在计算机前，还是驾驶着轰炸机——所付出的努力，都油然而生一种深刻的敬意。

评分☆☆☆☆☆

这本书的结构安排简直是教科书级别的示范，它成功地在宏观的历史脉络和微观的智力对决之间找到了完美的平衡点。开篇并未急于抛出复杂的公式或技术细节，而是先搭建起一个充满张力的时代背景，让人自然而然地对即将到来的“较量”产生强烈的期待感。随后，随着战局的演变，作者如同一个高明的棋手，逐步引导我们进入那些密码战的核心区域。每一次关键的密码破译，都被描绘成一次智力上的“登顶”，其过程中的艰险、灵感迸发的瞬间，以及团队协作的默契，都刻画得淋漓尽致。我特别喜欢作者在描述那些关键转折点时的节奏控制，那种时而缓慢推进、细致入微，时而突然爆发、如闪电穿透迷雾的叙事节奏，牢牢抓住了读者的注意力。读完之后，我感觉自己不仅了解了某些密码学的原理，更重要的是，我体会到了在极端压力下，人类理性思维的力量是何等强大与迷人。它让“数学”这个词汇，从书架上沉睡的理论，变成了推动历史车轮的实际动力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙事功力着实了得，它将一个看似冷峻的学术领域——数学——融入到那个波谲云诡的宏大历史背景中，描绘出了一幅扣人心弦的画面。阅读体验非常流畅，作者的笔触既有历史学家的严谨考据，又不失小说家的生动描摹。我尤其欣赏作者如何巧妙地将那些抽象的数学概念，例如概率论在情报分析中的应用，或者代数结构在密码破译中的基础地位，用非常直观且易于理解的方式呈现给非专业读者。整个阅读过程中，我仿佛置身于布莱切利园的秘密房间，能真切感受到那些数学家和语言学家们夜以继日的煎熬与狂喜。他们面对的不仅仅是冰冷的数字和符号，更是关乎成千上万士兵生死的抉择。书中对于特定历史人物性格侧面的挖掘也非常到位，不再是教科书上扁平化的英雄形象，而是充满了人性的挣扎、智慧的光芒以及时代洪流下的无奈与坚韧。这种深度融合，使得这本书不仅仅是一本关于数学或历史的书，它更像是一部关于人类智慧如何影响战争进程的史诗。

评分☆☆☆☆☆

准备送给小朋友的，，，，

评分☆☆☆☆☆

一本小书，看着还可以，就是有点皱。还是挺不错的

评分☆☆☆☆☆

很不错的一本小册子，值得一看

评分☆☆☆☆☆

满减买的，价格便宜划算！

评分☆☆☆☆☆

学校建议购买书籍，了解数学文化。

评分☆☆☆☆☆

小小的一本书，融汇了很多小故事，值得一读

评分☆☆☆☆☆

二战的那段历史中的一个缩影，半晌之后才凄楚应道：“若甫你这是何意？拱儿虽不是我的孩子，但逢年过节，我总是让人送礼物至府上，我也如你一般疼爱我，我我，堂堂公主之尊，莫非却是你的出气筒？罢了罢了今日你心情不好，还是先别说了。”林若甫忽然冷哼一声说道：“今日与长公主相见，便是要讲与公主听，十月份晨儿的婚事，我已经允了。”宫墙外一片黑暗，只有搁在长公主轿旁的那个灯笼散着些许光芒，长时间的沉默足以证实轿中那位看似柔弱的女子，此时心中是如何的震惊，听到这话后又是怎样的愤怒，许久之后，长公主清冽如三九寒风般的声音才透出轿帘之外：“那是我的女儿！我不会让她嫁给范家那个小杂种。”长公主不论在宫中官外，一直给人一种柔弱不堪的形亲，谁知道此时说话竟如此厉杀。“您能拗得过陛下吗？”林若甫的声音里无来由多出一丝自责自怨自嗟，“何况陛下让天下人都知道，晨儿是我的女儿，这就注定了她也只能是个不怎么光彩的角色。”长公主的声音已经马上反复成了万分凄美：“你真的忍心”林若甫现在听见对方这种声音便觉得十分恶心，厌恶说道：“公主若是担心内库的事情，这如今已经不在我的考虑范围之中。”长公主颤声说道：“你不考虑，谁去考虑？我一个妇道人家，独处宫中。这些年难道容易吗？”轿中林若甫面上憎恶之色大作：“我有一女，却终年不得相见，只在宫庭大宴上偶尔能远远瞥上一眼，做父亲做成我这种模样，难道我容易！”长公主凄楚辨解道：“这是没法子的事情，当年我珠胎暗结，又不忍心误了你的前途，这才独自一人将她养大，这些年来，我在宫中为你打理，从内库里暗调银两让你使用，难道你就不念我的一丝好？”宰相的轿中声音寒意大作，林若甫低声咆哮说道：“我的前途？从当年至今，我何时主动要过这等前途？当年穷酸读书郎，如今却成了一代宰相，似乎风光，但有女不得见。生了个儿子却”他在轿中颤着声音说道：“却惨死在前，这哪里是我的前途，我所想要的东西。这只是你想要的权力，你不甘心嫁给一个永世不能出头的驸马，安安稳稳地过下半辈子罢了，莫非我还因为这些事情谢你？”长公主听着这些话语，心头大怒，尖声哭骂道：“林若甫。事已至此。你却来说这些混帐话。若你真的不甘心，当年调你入都察院任给事中的时候。你为什么不说话？让你进翰林院的时候你为什么不难过？为你求来吏部待郎实职的时候，你为什么不自责？步步高升的时候，你不记着我的好，如今稍有不顺，便将所有怒气发泄到我身上！”“很好，睿儿。”听着长公主的声音越来越高，林若甫的声音反而安静了下来，说的话却无比怨看：“我宁肯你是这样的一个泼妇，也不希望你永远是那种哀哀戚戚的模样，你知道不知道

评分☆☆☆☆☆

送货挺快递，书也不错 值得好好看看！

评分☆☆☆☆☆

学校建议购买书籍，了解数学文化。