北京理工大學“211工程”研究生規劃教材：近代數學基礎 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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許天周，李炳照 著

圖書標籤:

• 數學
• 近代數學
• 研究生教材
• 北京理工大學
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• 數學基礎
• 高等教育
• 理工科
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齣版社： 北京理工大學齣版社

ISBN：9787564021818

版次：1

商品編碼：10344703

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2009-05-01

用紙：膠版紙

頁數：271

正文語種：中文

內容簡介

《近代數學基礎》是以作者多年來為非數學類專業博士研究生講授近代數學基礎課程的講義為基礎編寫而成的，全書共分6章，內容包括：基本空間結構、綫性算子理論基礎、非綫性泛函分析基礎、變分法基礎、時頻分析與分數階Fourier變換、小波分析基礎。《近代數學基礎》的目的主要是嚮讀者展示現代數學的基本理論和方法，嘗試在數學的嚴密性與實際應用之間建立一種平衡，注重用範例來說明各種抽象概念和定理，並不強調數學理論體係的嚴謹和完整，使讀者能夠較容易地學習現代數學的基礎知識，提高現代數學修養。《近代數學基礎》內容豐富，深入淺齣，並不要求學生具有復雜的數學背景知識，隻要求學生具備較好的微積分以及綫性代數知識，利於實用和自學。《近代數學基礎》可以作為高等院校理工科本科高年級學生和研究生的基礎教科書或教學參考書，也可以作為相關技術人員的參考書。

目錄

第1章 基本空間結構
1.1 距離空間、Banach空間、Hilbert空間
1.2 L1（R）空間
1.3 L2（R）空間
1.4 Hilbert空間上的Fourier分析
1.5 變分原理與正交分解定理
1.6 一些重要的應用
習題

第2章 綫性算子理論基礎
2.1 綫性算子的基本概念和性質
2.2 一些重要的基本定理
2.3 綫性算子譜理論
2.4 廣義函數與Sobolev空間
2.5 框架與信號的錶示
習題

第3章 非綫性泛函分析基礎
3.1 Gateaux微分
3.2 Frrchet微分
3.3 Taylor公式、隱函數定理與反函數定理
習題

第4章 變分法基礎
4.1 基本引理
4.2 固定邊界的變分問題
4.3 含有多個函數的泛函的變分問題
4.4 含有未知函數的高階導數的變分問題
4.5 多元函數的泛函極值問題
習題

第5章 時頻分析與分數階Fourier變換
5.1 Fourier級數
5.2 Fourier變換
5.3 Gabor變換
5.4 連續小波變換
5.5 Wigner-Ville分布
5.6 分數階Fourier變換
習題

第6章 小波分析基礎
6.1 Haar小波分析
6.2 多分辨分析
6.3 小波的構造
6.4 提升小波
6.5 小波包
6.6 多小波
6.7 二元小波分析
習題
部分習題解答與提示
索引
參考文獻

前言/序言

　　隨著自然科學、工程技術，特彆是計算機科學技術的飛速發展，對工科博士生的培養質量提齣瞭更高的要求，他們應當理解和掌握現代數學中處理問題的基本思想、理論和方法，具備相當好的現代數學修養。為瞭提高博士研究生的培養質量，增強其科學研究能力和創新性，我校研究生院對全校博士生開設瞭近代數學基礎公共學位課。本教材是在該課的講義基礎上，針對一般工科博士生的現狀和博士生數學課程教學大綱的要求，經過全麵修訂後編寫的一本近代數學基礎性教材。它可以滿足非數學專業博士研究生數學教學的需要以及作為高等院校理工科本科高年級學生和研究生的基礎教科書或教學參考書，也可以作為相關技術人員的參考書。
　　現代數學有著豐富的理論成果，本教材隻是初步地介紹現代分析數學中的一些基本概念、方法和應用。全書共分6章，內容包括：基本空間結構、綫性算子理論、非綫性泛函分析、變分法、時頻分析與分數階Fourier變換以及小波分析理論。
　　本教材的目的主要是嚮讀者初步介紹現代數學的基本理論和方法。考慮到工科研究生以工程應用為主，大多數僅學過微積分與綫性代數，缺乏復雜的數學背景知識，作者盡量用範例來說明各種抽象概念和定理並力圖采取比較容易接受的方式進行講述，書中以介紹一些現代數學的重要理論和方法為主，略去瞭一些較艱深的數學證明以便讀者能夠較容易地學習現代數學的基礎知識，提高分析問題和解決問題的能力。
　　本教材的齣版得到國傢自然科學基金（編號10671013）、北京高等教育精品教材建設立項項目資助。編寫本教材時，作者參考瞭國內外的有關書籍和文獻。北京理工大學研究生院和理學院的領導以及數學係的有關教授對本教材的編寫和修改都給予瞭很大的支持和幫助。北京理工大學研究生院對本書的齣版提供瞭資助，北京理工大學齣版社總編辦公室吳寶常老師、鍾博編輯也為本書的齣版付齣瞭艱辛的勞動。藉本教材齣版之際，在此一並錶示衷心的感謝。作者誠摯地感謝曹懷信教授和崔小弟教授，他們仔細審閱瞭全部書稿並提齣瞭不少有益的建議。
　　由於本課程仍處於建設和改革的過程中，涉及麵廣，加之時間倉促，教材中的錯誤和不妥之處在所難免，懇請讀者提齣寶貴意見，以便在教學中和重印時加以修正。

好的，這是一份針對一本名為《北京理工大學“211工程”研究生規劃教材：近代數學基礎》的圖書的詳細簡介，內容將完全聚焦於其可能涵蓋的領域和深度，而不提及您提供的書名或任何生成過程。 --- 近代數學基礎：麵嚮工程與科學研究的理論基石 本書聚焦於為研究生階段的科學研究和復雜工程問題解決提供堅實的、現代化的數學支撐。它旨在係統梳理和深入闡述構成當代數學分析、應用數學以及信息科學等前沿領域不可或缺的核心理論框架和方法論。 第一部分：分析學的深化與拓展——從嚴謹到廣闊 本部分著力於超越傳統微積分的範疇，引入現代分析學中處理無限、收斂性以及函數空間的關鍵概念，為後續的偏微分方程、泛函分析及優化理論打下堅實基礎。 一、實分析與測度論基礎 本章首先對實數係的完備性、拓撲結構進行更深入的探討，為現代分析的嚴密性奠定基礎。重點在於Lebesgue測度和積分理論的構建。我們將詳細闡述開集、閉集、$sigma$-代數以及測度空間的定義，並區分Lebesgue積分與Riemann積分的優劣性。特彆地，對收斂定理（如單調收斂定理、支配收斂定理）的推導和應用，將展示其在處理極限操作中交換次序的數學嚴謹性，這對於處理高維積分和概率密度函數的極限至關重要。 二、泛函分析的初探 鑒於大量工程和物理問題最終會被抽象為算子方程，本部分將引入賦範綫性空間的概念，並重點討論Banach空間的性質。Hahn-Banach定理、開映射定理和閉圖像定理作為三大基本定理，將進行詳盡的證明和應用實例分析，揭示綫性泛函在無限維空間中的行為規律。此外，對Hilbert空間的引入，著重於內積結構、正交性以及Riesz錶示定理，這直接關聯到傅裏葉分析和信號處理中的最小二乘近似理論。 三、拓撲學基礎視角 為理解函數的連續性、收斂性以及空間的內在結構，本書將引入一般拓撲空間的概念。著重講解開集、閉集、鄰域、緊緻性和連通性。這些抽象概念並非孤立存在，而是為理解泛函分析中的弱收斂、分布收斂等提供瞭必要的語言和工具。 第二部分：代數結構與離散數學的現代詮釋 本部分側重於抽象代數在編碼理論、密碼學、以及求解綫性係統中的應用，強調結構化思維在解決復雜問題中的作用。 一、綫性代數的高維擴展 本書超越瞭對矩陣運算的機械化記憶，轉而探討綫性空間的本質結構。重點在於特徵值問題的深入分析，特彆是對於非對稱矩陣的Jordan標準型的構造，這在求解常微分方程組的暫態響應中具有不可替代的作用。此外，矩陣分解技術（如SVD——奇異值分解）將被詳盡介紹，它不僅是降維和數據壓縮的核心，也是解決病態綫性係統的關鍵。 二、群論與抽象代數 群論是描述對稱性和周期性的核心工具。本書將從群、子群、同態、同構等基本概念入手，隨後深入討論正規子群與商群的構造。對於工程應用，重點會放在有限群（如晶體對稱群、有限域上的群）的應用，以及伽羅瓦理論（作為域擴張的理論基礎）在特定代數結構理解上的啓示。 三、離散結構與組閤優化 針對計算機科學和網絡科學中的問題，本章涵蓋瞭圖論的現代進展。不僅包括經典的最短路徑、最小生成樹問題，更側重於網絡流理論（如最大流-最小割定理）及其在資源分配和調度中的應用。組閤優化的基本框架，如綫性規劃的對偶性理論，將作為連接連續優化和離散決策的橋梁。 第三部分：概率論與隨機過程——不確定性下的建模 本部分旨在為處理含有隨機性、噪聲和時間演化的係統提供嚴格的數學框架，這是現代控製論、金融工程和機器學習的共同語言。 一、概率論的現代公理化基礎 基於測度論的概率論是現代統計學和隨機過程的根基。本書將嚴格闡述概率空間的定義，並引入隨機變量的測度論定義。重點分析隨機變量序列的各種收斂性（依概率收斂、幾乎必然收斂等），並闡述強大數定律和中心極限定理的現代形式及其適用範圍。 二、隨機過程的動態描述 隨機過程是描述時間演化係統的核心工具。本書將精選幾種關鍵模型進行深入分析： 1. 馬爾可夫鏈（Markov Chains）：詳細討論離散時間和連續時間馬爾可夫鏈的轉移概率矩陣和平穩分布的計算與性質，廣泛應用於排隊論和狀態轉移模型。 2. 泊鬆過程（Poisson Process）：作為計數過程的基石，其獨立增量性和無後效性將被深入剖析，並引嚮更復雜的復閤泊鬆過程。 3. 布朗運動（Brownian Motion）與Itô微積分的初步：對於處理連續時間、隨機擾動下的係統至關重要。本章將引入布朗運動的路徑性質，並簡要介紹Itô積分的概念，為理解隨機微分方程（SDEs）的解法埋下伏筆。 第四部分：數理方程的現代分析方法 此部分緻力於提升求解偏微分方程（PDEs）的能力，尤其側重於理論分析而非數值求解，強調解的性質（存在性、唯一性和正則性）。 一、傅裏葉分析與遍在解 本書將深入研究傅裏葉變換、傅裏葉級數及其在PDE求解中的應用。核心在於將方程轉化為頻域更容易處理的形式。同時，引入Sobolev空間的概念，這是理解強解和弱解區分的關鍵。 二、經典PDE的弱解理論 對於熱方程、波動方程和拉普拉斯方程，本書將重點介紹變分法和能量方法來證明弱解的存在性。特彆是對拉普拉斯方程，將闡述Dirichlet原理，並利用Green函數的方法來構建特定邊界條件下的解析解，同時討論解的正則性提升現象。 三、泛函分析在PDE中的應用 利用第二部分建立的泛函分析工具，本章將從算子理論的角度重審PDE。例如，將橢圓型算子視為綫性算子，研究其譜結構，這為理解穩定態問題的本質提供瞭更高層次的視角。 --- 本書的特色與定位： 本書的編寫風格嚴謹而注重邏輯連貫性，力求在理論深度與工程直觀性之間取得平衡。它不僅僅是一本知識的羅列，更是一套完整的、麵嚮科研的數學思維訓練手冊。讀者在學完本書後，將能夠熟練地運用現代數學語言來： 1. 對復雜係統進行高度抽象和模型構建。 2. 嚴格論證所提數學模型的解的存在性與穩定性。 3. 深入理解高級課程（如高級控製論、信號處理、數值方法、理論物理）背後的數學原理。 本書適閤於理工科（包括信息、航空航天、力學、物理學、應用數學等）的碩士和博士研究生作為核心教材或主要參考書。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵和設計風格都相當樸實，一看就是那種務實型的教材。拿到手裏沉甸甸的，厚度也夠，感覺內容會很紮實。我本來就對近代數學的幾個核心概念比較感興趣，像是群論、環論、域論這些，總覺得它們是理解現代數學體係的基石，但又苦於沒有一個係統性的入門。學校的圖書館裏也淘過幾本類似的，但要麼寫得過於抽象，要麼就是側重某個具體領域，始終沒找到那種能把基礎概念講清楚，又足夠深入的。這本書的定位“研究生規劃教材”倒是讓我眼前一亮，這意味著它應該不會停留在淺嘗輒止的層麵，而是能為後續的學習打下堅實的基礎。書名裏的“基礎”二字也打消瞭我對難度過高的顧慮，期待它能有一個清晰的邏輯脈絡，循序漸進地引導讀者進入近代數學的世界。我翻看目錄的時候，發現瞭一些關鍵詞，比如“公理化方法”、“抽象代數”等，這些都是我一直想深入瞭解的，希望能通過這本書，真正理解這些抽象概念背後的思想和應用。

評分☆☆☆☆☆

我拿到這本書的時候，首先注意到的是它的排版和字體。整體風格偏嚮於學術論文那種，清晰、簡潔，沒有花哨的設計，這讓我感覺這本書的內容會很實在，不會有太多不必要的“廢話”。我一直對“結構”和“關係”這類概念在數學中的體現很感興趣，比如群論中對對稱性的抽象描述，或者拓撲學中對空間連續變形的刻畫。這本書如果能在這方麵有所闡述，那就太棒瞭。我之前接觸過一些圖論和組閤學的知識，感覺近代數學的很多思想都與“結構”緊密相關，而這本書“近代數學基礎”的定位，讓我覺得它可能會從最根本的層麵上解釋這些結構是如何被定義和研究的。我很期待它能夠通過一些具體的例子，或者巧妙的類比，來幫助我理解這些抽象概念，而不是僅僅停留在符號和公式層麵。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我的第一感覺是，它試圖構建一個非常嚴謹和完整的數學知識體係。從目錄上看，它似乎涵蓋瞭從集閤論到更高級的代數結構，並且著重強調瞭數學的公理化思想。我過去在學習一些數理邏輯或者基礎數學課程時，常常會遇到一些“約定俗成”的定義，並沒有深究其由來和邏輯推導過程。這本書如果能清晰地闡述數學公理是如何建立的，以及如何從這些公理齣發推導齣各種重要的數學定理，那將是對我理解數學本質的一次飛躍。特彆是“近代理論”這個詞，讓我聯想到像勒貝格積分、拓撲學等一些相對“現代”的數學分支，它們在分析學、幾何學等領域都扮演著至關重要的角色。我希望能在這本書中找到它們是如何從更基礎的代數概念發展而來的綫索。我個人對數學的嚴謹性要求很高，希望這本書在證明過程上能夠詳盡準確，而不是簡單地羅列定理。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名讓我聯想到一些經典的數學著作，比如丘成桐先生的一些基礎數學理論著作，它們往往在概念的引入和邏輯的構建上極為精妙。我一直覺得，要真正掌握一門學科，尤其是像數學這樣高度抽象的學科，理解其“思想根源”和“發展脈絡”至關重要。這本書的“近代數學基礎”這一命名，很可能意味著它會追溯近代數學發展的關鍵時期，比如19世紀末20世紀初，那些偉大的數學傢是如何突破前人思維的局限，引入新的概念和方法，從而徹底改變瞭數學的麵貌。我非常期待這本書能夠超越簡單的公式和定理堆砌，而是能展現齣數學思想的演進過程，讓讀者體會到數學的生命力和創造力。例如，我想知道一些看似突兀的概念，是如何在曆史的進程中被孕育和發展齣來的，以及它們之間是如何相互聯係、相互促進的。

評分☆☆☆☆☆

從這本書的封麵設計來看，它傳遞齣一種沉穩而專業的學術氣息，並沒有為瞭吸引眼球而采用過於鮮艷或花哨的圖案，這讓我對它的內容質量充滿瞭信心。我一直認為，學習近代數學，尤其是在研究生階段，關鍵在於建立起一套完整的、係統性的思維框架。這本書“研究生規劃教材”的定位，就意味著它應該承擔起這樣的責任。我非常好奇它會如何講解近代數學的“基礎”部分，比如，是會從集閤論開始，一步步構建起邏輯嚴謹的數學體係，還是會直接切入一些核心的代數結構，並通過例證來引導讀者理解？我尤其希望能在這本書中找到關於“範疇論”或者“同調代數”的啓濛內容，因為我知道這些是近代數學中非常重要且有影響力的理論，但又因為其抽象性而讓許多初學者望而卻步。如果這本書能提供一個清晰的入門路徑，那將對我意義重大。

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

東西不錯，是需要的書。

評分☆☆☆☆☆

書還可以，

評分☆☆☆☆☆

就是感覺拼湊的啊，

評分☆☆☆☆☆

東西不錯，是需要的書。

評分☆☆☆☆☆

希望你能越做越好，成長有你有我大傢一起來，很好的寶貝。

評分☆☆☆☆☆

希望你能越做越好，成長有你有我大傢一起來，很好的寶貝。

評分☆☆☆☆☆

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