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李明哲 等 著

图书标签:

• 图论
• 算法
• 数据结构
• 离散数学
• 计算机科学
• 网络分析
• 图算法
• 数学建模
• 人工智能
• 优化算法

出版社： 机械工业出版社

ISBN：9787111317197

版次：1

商品编码：10350806

品牌：机工出版

包装：平装

丛书名： 高等院校规划教材 ，

开本：16开

出版时间：2010-10-01

用纸：胶版纸

页数：242

内容简介

《图论及其算法》为图论的入门教材，介绍了图论的基奉概念、基小定理和算法，共分9章。主要内容包括图的基本概念、树、距离与连通性、图的遍历问题、图的匹配与独立集、图的染色、平面图、网络流、图参数A（H）值等。小书将有向图和无向图融为一个整体，不仅介绍了图论的基小原理，而且介绍了如何应用图论方法解决实际问题，还强调了图论算法，配合适当的例题和习题，并在书后附有部分习题的参考答案。小书概念清楚，立论严谨，所宵的证明和算法简洁明了，通俗易懂。
《图论及其算法》可作为高等院校计算机、数学、信息、电子、管理等专业的教材，还可作为相关专业人员的参考书。

目录

出版说明
前言
第1章 图的基本概念
1.1 图论发展简史
1.2 图的概念
1.2.1 图
1.2.2 子图
1.2.3 一些重要类型的图
1.3 顶点的度和图的同构
1.3.1 顶点的度
1.3.2 图的同构
1.4 图的运算
1.4.1 并与和
1.4.2 笛卡儿积
1.4.3 超立方体
1.4.4 网格
1.4.5 边收缩
1.4.6 线图
1.5 路和连通
1.5.1 路和回路的定义
1.5.2 连通性
1.6 有向图
1.6.1 有向图的概念
1.6.2 有向图的度
1.6.3 有向网络
1.6.4 有向图的连通性
1.7 图的矩阵表示
1.7.1 关联矩阵
1.7.2 邻接矩阵
1.7.3 距离矩阵
1.7.4 连通矩阵
1.7.5 特殊类型图的邻接矩阵
1.7.6 有向图的矩阵表示
1.8 习题

第2章 树
2.1 树的基本性质
2.1.1 树的概念
2.1.2 树的性质
2.1.3 树的度序列与同构
2.1.4 树的叶子数
2.1.5 有向树
2.2 生成树
2.2.1 生成树的概念
2.2.2 生成树的计数
2.3 最优生成树
2.3.1 Kmskal算法
2.3.2 Prim算法
2.3.3 破圈法
2.4 深度优先搜索与广度优先搜索
2.4.1 深度优先搜索
2.4.2 广度优先搜索
2.5 最优二元树与前缀码
2.5.1 最优二元树
2.5.2 前缀码
2.6 树的Pmfer编码
2.7 习题

第3章 距离与连通性
3.1 图的距离
3.1.1 离径、中心、半径与直径
3.1.2 树的中心
3.1.3 自补图与距离
3.2 图的连通性
3.2.1 点连通度、边连通度
3.2.2 点、边连通度的性质
3.2.3 块
3.3 连通图
3.3.1 k.连通图
3.3.2 2.连通图
3.3.3 Menger定理
3.4 最短路算法
3.4.1 从一个始点到一个终点的最短路
3.4.2 任意两点问的最短路
3.5 习题

第4章 图的遍历问题
4.1 欢拉图
4.1.1 欧拉图的相关定义
4.1.2 一笔画问题
4.1.3 七笔画问题
4.2 中国邮递员问题
4.3 哈密尔顿图
4.4 格雷码
4.5 旅行售货员问题
4.6 E-图与H-图的关系
4.7 习题

第5章 图的匹配与独立集
5.1 二分图
5.2 图的匹配
5.3 二分图的匹配
5.3.1 二分图的完全匹配
5.3.2 二分图最大匹配的生成算法
5.4 最优匹配
5.4.1 求最优匹配的Kuhn-Munkres算法
5.4.2 求最小基数最优匹配的算法
5.5 稳定匹配
5.6 独立集和覆盖
5.7 Ramsey数
5.7.1 Ramsey定理
5.7.2 一般化的Ramsey数
5.8 习题

第6章 图的染色
6.1 顶点染色
6.1.1 色数
6.1.2 色数的一个算法
6.2 边染色
6.2.1 边色数的概念
6.2.2 Vizing定理
6.3 色多项式
6.4 图染色的应用
6.4.1 点染色的实际应用
6.4.2 边染色的实际应用
6.5 习题

第7章 平面图
7.1 平面图的概念及Euler公式
7.1.1 平面图的概念
7.1.2 Euler公式
7.2 一些特殊平面图及平面图的对偶图
7.2.1 一些特殊平面图
7.2.2 对偶图
7.3 Kuratowsk定理
7.4 平面性算法
7.5 五色定理和四色猜想
7.6 习题

第8章 网络流
8.1 流与割
8.2 最大流最小割定理
8.3 最大流问题的算法
8.3.1 最大流问题的标号算法(2F算法)
8.3.2 最大流问题的最短增广路算法
8.4 Menger定理
8.5 最小费用流问题
8.6 最小费用流问题的算法
8.6.1 负回路算法
8.6.2 最小费用路算法
8.7 习题

第9章 图参数A(H)值
9.1 图参数A(H)
9.1.1 图参数A(H)的概念
9.1.2 2-图
9.1.32-图母图的结构
9.1.4 3-图的存在性
9.1.5 3-图的推广
9.2 树的A(T)值
9.2.1 关于树的A(T)值的结论
9.2.2 由树构造的A(H)=3图
9.2.3 方法证明
9.3 顶点数不超过7的图按参数A(H)的分类
9.3.1 顶点数不超过7的3一图
9.3.2 顶点数不超过7的4一图
9.3.3 |V(H)|≤7的图按A(H)值的分类
9.4 习题

附录
附录A部分习题参考答案
第1章习题答案
第2章习题答案
第3章习题答案
第4章习题答案
第5章习题答案
第6章习题答案
第7章习题答案
第8章习题答案
第9章习题答案
附录B本书符号列表
参考文献

精彩书摘

因为理论物理学研究的需要，所以在这个学科内不止一次地发现过图论。乌伦伯克（uhlenbeck）在统计力学的研究中用点来代表分子，两个点的邻接表示存在某种物理形式的最邻近的相互作用，如磁的吸力或斥力。在李政道和杨振宁的类似解释中，点代表欧几里得空间的小立方体，其中每一个立方体可能被一个分子占有或者不被分子占有。于是，两个点邻接就表示两个空间都被占有。另外，物理学还用图论来作为一种图形的表示方法。在范曼（Fevnmanon）提出的图解中，点代表物理粒子，线代表粒子碰撞后的路线。
在概率论中，马尔可夫链的研究引进了有向图，它的意思是：点代表事件，一条从一个点到另外一个点的有向线表示这两个事件直接相继有正的概率。研究中，直接定义一个马尔可夫链是一个网络，其中从每一个点出发的所有有向线的值的和是1。有向图有一种类似的表示法出现在数值分析的矩阵求逆和特征值计算的部分中，瓦尔加（Varga）给出了一些例子。对于一个给定的矩阵，特别是“稀疏的”矩阵，可以用如下的方式构成一个有向图：用点来代表给定的矩阵的行与列的指标，当矩阵的i、j元非零时有一条从点f到点.，的有向线。这种方法与处理马尔可夫链的方法有相似性。
线性规划与运筹学的领域里也利用图论的方法研究网络上的流的形式。一个图的点表示某种货物可以储藏或装船的实际位置，从一处到另一处的一条有向线和记在这条线上的一个正数代表一条运输货物的水道和它的能力，这个能力给出可以同时通过的最大允许数量。
科技的迅猛发展向图论提出了越来越多的需要解决的问题，使图论在科学界非常活跃。尤其是计算机科学的快速发展，为图论及其算法的实现提供了强大的计算与证明的手段，有力地推动了图论的发展，而图论在开关理论、数据结构、操作系统、形式语言、计算机网络、编译程序、人工智能等方面亦有显著贡献。
目前，图论领域形成了两个研究方向：一个是以研究图的性质为主，称之为抽象图论；另一个是以研究图的算法为主，称之为算法图论，也称为网络最优化。本书中不仅介绍了图论的基本原理，还介绍了图论算法及其应用。
……

前言/序言

　　图论是研究离散对象二元关系中关系结构的一个数学分支，与群论、矩阵论、概率论、拓扑学、数值分析等其他数学分支有着密切的联系，其广阔的应用领域涵盖了计算机科学、化学、物理学、运筹学、信息论、控制论、经济学、心理学、环境保护领域等。同时，随着这些学科的发展，特别是计算机科学的快速发展，又促进了图论的发展。
　　图论是一门极有趣味的学科，它最吸引人的地方是蕴含了丰富不俗的思想、漂亮的图形和巧妙的证明，它涉及的问题广泛，问题外表虽简单朴素，本质上却十分复杂深刻；其解决问题的方法千变万化，灵活多样。因此，各专业的学生都应该具有一定的图论基础，从而掌握一种强大而灵活的工具来分析和处理自己学科领域的问题。目前，图论已经成为计算机科学、数学、运筹学、组合优化、机电等学科的基本课程之一。
　　本书介绍了图论的基本概念、基本定理和算法，共分9章。主要内容包括图的基本概念、树、距离与连通性、图的遍历问题、图的匹配与独立集、图的染色、平面图、网络流和图参数A（H）值等。本书将有向图和无向图融为一个整体，不仅介绍了图论的基本原理，也介绍了如何应用图论方法解决实际问题，还强调了图论算法，配有适当的例题和习题，并在书后附有部分习题的参考答案。
　　本书吸取了国内外许多优秀图论著作的精华，结合了编者多年的教学经验和本科生的特点，内容力求精炼，所有的证明和算法简洁明了，通俗易懂，易于学生学习和教师的教学。
　　由于图论不强调数值计算而强调证明技巧和解释的清晰，所以许多问题都有多个证明，编者对这些证明精心选择，深入浅出地介绍了图论的证明技巧。
　　图论和计算机科学之间有着千丝万缕的联系。由于算法的研究是计算机科学的核心，所以算法在现代图论中占有举足轻重的地位。本书介绍了图论算法及其应用，计算机专业在教学中还可以引导学生编写程序，上机实践。
　　由于图论是一门新兴的学科，所以国内外许多图论书籍出现了多个版本的术语和符号。本书在介绍图论的基本概念、术语和结论时，选择了最为通俗易懂的语言加以描述，符号力求清晰、简洁、通用。在主题的挑选、顺序的安排和题目的选择上，遵循认知规律和由浅入深的原则，使读者能轻松愉快地进入图论的系统学习和研究。在内容的编排上，各章之间既相互联系又自成体系，便于读者学习和查阅，同时体现了教材的系统性和科学性。
　　全书共分9章，第1、2、9章由哈尔滨学院理学院李明哲编写，第3、4、7章由牡丹江师范学院数学系金俊编写，第5、6、8章由黑龙江科技学院理学院石端银编写，全书由李明哲主持编写并负责统稿。哈尔滨学院盖功琪仔细审阅了本书，并提出了许多宝贵意见。
　　在本书的编写过程中得到了哈尔滨学院软件学院院长贾宗福教授的热诚帮助和指导，本书作为黑龙江省高教学会高等教育科学研究“十一五”规划课题（项目编号：115C一901）的研究成果，在编写过程中得到了校科研处的帮助和指导，在此表示衷心的感谢。
　　由于水平有限，书中不妥之处在所难免，殷切希望广大读者批评指正。

深入理解信息时代的基石：现代离散数学与优化方法 本书导言： 在当今信息技术飞速发展的时代，数据、网络和复杂系统的分析能力已成为衡量一个领域乃至一个国家竞争力的重要指标。本书旨在为读者提供一套坚实而深入的理论框架与实践工具，用以解析和优化那些建立在离散结构之上的现实问题。我们聚焦于现代离散数学的核心概念、高效的组合优化技术，以及它们在实际工程、计算机科学乃至运筹学中的广泛应用。 本书内容环绕着三个主要支柱构建：离散结构的严谨建模、算法设计的核心思想，以及针对复杂问题的精确求解策略。我们不寻求对某一特定应用领域的浅尝辄止，而是力求构建一个可以迁移和复用的知识体系。 --- 第一部分：离散结构的严谨基础与形式化表达 本部分是理解后续所有算法和优化技术的基础。我们从最根本的集合论、逻辑和代数结构出发，逐步过渡到离散数学的精髓——关系与函数在结构上的表现力。 1. 基础逻辑与证明方法论： 我们将详细探讨命题逻辑和一阶谓词逻辑的完备性与可靠性。重点不在于符号的堆砌，而在于如何利用形式化语言精确描述一个问题，并运用归纳法（包括强归纳法、结构归纳法）、反证法、构造法等工具来验证理论断言的正确性。特别地，我们将分析递归定义的严谨性及其在程序设计中的体现。 2. 集合论与关系代数： 超越基础的并集、交集运算，本书深入探讨了偏序关系（Poset）、等价关系、以及它们在构建代数结构中的作用。我们会详细分析格理论（Lattice Theory）的基本概念，及其在形式验证和信息检索中的初步应用。这部分内容强调的是，如何将现实世界中“连接”、“依赖”或“排序”的概念，转化为具有数学性质的关系模型。 3. 组合学原理与计数方法： 计数是离散数学的基石。本书系统地介绍了排列、组合的广义形式，包括有限制条件的计数问题。核心内容包括容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）的深入剖析，以及生成函数（Generating Functions）作为处理复杂递归关系和序列求和的强大工具。我们不仅会推导经典公式，还会展示如何运用生成函数求解著名的组合难题，如卡特兰数（Catalan Numbers）的组合意义和计算方法。 --- 第二部分：算法设计范式与效率分析 在建立了严谨的数学模型之后，如何设计出有效率的步骤（算法）来解决这些模型所代表的问题，是本部分的核心议题。我们采用现代算法分析的标准，强调渐近分析而非单纯的时钟时间。 1. 算法效率的量化标准： 详细阐述大 O 符号、Ω 符号和 Θ 符号的精确定义和应用场景。我们探讨了最坏情况、最好情况和平均情况分析的区别，并引入了摊还分析（Amortized Analysis）来评估动态数据结构的性能。 2. 核心算法设计范式： 我们将分类介绍并深入剖析三大主流设计范式： 分治策略（Divide and Conquer）： 以高效排序（如快速排序、归并排序）为例，讲解递归树方法和主定理（Master Theorem）在求解递归方程中的应用。 贪心算法（Greedy Algorithms）： 重点在于证明贪心选择的最优子结构和全局最优性。经典案例将涵盖最小生成树的 Kruskal 与 Prim 算法，以及区间调度问题。 动态规划（Dynamic Programming, DP）： 这是处理具有重叠子问题和最优子结构问题的利器。我们将深入讲解 DP 的状态定义、转移方程的构建，以及自底向上（Tabulation）和自顶向下（Memoization）的实现区别。案例将涵盖背包问题、最长公共子序列和矩阵链乘法。 3. 图论基础与遍历技术（侧重于结构分析而非路径优化）： 虽然图论是独立的大领域，但本书将其视为离散结构分析的重要载体。本部分侧重于图的拓扑特性： 图的表示与连通性： 邻接矩阵、邻接表，以及强连通分量的识别（如 Tarjan 算法的原理介绍）。 图的着色与匹配： 介绍图的色数问题（NP-难度的引入点）和二分图中的最大匹配（如 Hopcroft-Karp 算法的理论基础）。 --- 第三部分：组合优化与计算复杂度边界 本部分将读者的视野从“如何求解”提升到“能否高效求解”的层面，触及现代计算机科学的前沿界限。 1. 线性规划（Linear Programming, LP）与单纯形法基础： 本书介绍如何将资源分配、生产调度等实际问题转化为标准形式的线性规划问题。详细讲解可行域、最优基、对偶理论的基本概念。虽然本书不深入单纯形法的每一步迭代细节，但会清晰阐述其几何意义、收敛性以及与网络流问题的内在联系。 2. 网络流模型与最大流/最小割理论： 网络流是连接代数、图论和优化的桥梁。我们将详细阐述 Ford-Fulkerson 方法的框架，并引入Edmonds-Karp 算法的实现思路。重点在于最大流-最小割定理的深刻意义——它表明了在有限容量限制下，系统中最“拥堵”的部分决定了整体吞吐量的上限。 3. 计算复杂性理论导论： 理解算法的局限性至关重要。本章将严谨地定义 P 类问题和 NP 类问题。我们将聚焦于 NP 完全性（NP-Completeness）的概念，并展示如何通过归约（Reduction）证明一个新问题的难度。经典的 3-SAT 问题、顶点覆盖问题和哈密顿回路问题的 NP-完全性论证将作为范例，帮助读者区分哪些问题可通过多项式时间算法解决，哪些问题可能需要指数级时间或启发式方法。 总结与展望： 本书旨在培养读者“结构化思考”的能力。从一个复杂的现实问题出发，提炼出其底层的离散结构，选择最合适的建模语言（逻辑、集合、图），设计高效的求解算法，并最终评估该问题的内在计算难度。所涵盖的知识体系是连接理论数学、算法工程与前沿计算科学的坚实桥梁。读者在完成本书的学习后，将具备强大的工具箱，能够自信地应对涉及离散数据、连接关系和资源分配的复杂挑战。

评分☆☆☆☆☆

我是一位在数据科学领域摸爬滚打了多年的工程师，虽然日常工作中接触的更多是机器学习模型和数据分析，但时不时就会遇到一些需要建模和优化的问题，而图论恰恰是解决这类问题的绝佳工具。我一直想系统地学习一下图论，但市面上的一些书籍要么过于理论化，要么过于偏重某一领域，很难找到一本能够兼顾理论深度和实践应用的。直到我读了《图论及其算法》，才真正找到了我的“心头好”。这本书的结构安排非常合理，它既有对图论基本概念的严谨阐述，又有对各种核心算法的详尽介绍，而且这些算法都紧密结合了实际的应用场景。例如，书中关于网络流算法的部分，就详细介绍了它在资源分配、运输调度等方面的应用，让我豁然开朗。我尤其欣赏作者的写作风格，语言简洁明了，逻辑性强，不像有些书那样枯燥乏味。书中的许多例子都来源于实际工程问题，读起来既有启发性，又能学到实用的技巧。我特别喜欢书中关于图的遍历、连通性、匹配等章节的讲解，它们之间的联系被描绘得十分清楚，让我能够构建起完整的知识体系。现在，我已经在我的工作中开始运用书中的一些图论知识来优化我的数据处理流程和模型设计，效果显著。

评分☆☆☆☆☆

作为一个资深程序员，我一直坚信好的算法是解决复杂问题的关键。在我的职业生涯中，我经常会遇到需要处理节点之间关系的问题，而图论正是解决这类问题的核心理论。我一直在寻找一本能够真正帮助我理解和运用图论算法的书籍，《图论及其算法》这本书，可以说是我近些年读过的最令人印象深刻的算法书籍之一。它在理论的严谨性和算法的实用性之间找到了一个完美的平衡点。书中对图论概念的定义清晰准确，对各种经典算法的讲解更是生动有趣，而且都提供了详细的代码实现示例，这对于我这种动手能力比较强的程序员来说，简直是福音。我尤其喜欢书中对一些图算法的变种和优化方案的介绍，这让我能够了解到算法的演进过程，以及如何根据具体场景进行调整。更重要的是，这本书不仅讲解了“怎么做”，还深入探讨了“为什么这么做”，让我能够真正理解算法背后的思想。我已经在我的开发项目中运用了书中的一些算法，比如在构建推荐系统时，就借用了图论中的一些思想来分析用户之间的关联性，效果非常不错。这本书极大地提升了我解决实际问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是我的“救命稻草”！作为一名正在攻读计算机科学研究生的学生，图论的某些章节一直是我的软肋，特别是那些涉及到复杂算法的证明部分，看得我头昏脑胀，总感觉云里雾里。这次偶然间在书店翻到了《图论及其算法》，抱着试一试的心态买了回去，结果真的让我惊喜连连。作者的讲解思路非常清晰，从最基础的概念入手，循序渐进地引导读者进入图论的殿堂。每一个定理、每一个算法的推导过程都梳理得井井有条，重点和难点都做了深入浅出的分析，还配上了大量的图示和例子，生动形象，比我看过的任何教材都更容易理解。我尤其喜欢书中对一些经典算法的深入剖析，比如Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法等等，作者不仅解释了它们的工作原理，还详细分析了它们的复杂度，并且提供了几种不同的实现方式，让我能够从不同角度去理解。更重要的是，书中还包含了一些实用的应用案例，让我看到了图论在现实世界中的强大作用，这极大地激发了我学习的积极性。现在，我感觉我对图论的理解有了质的飞跃，那些曾经让我头疼的问题也迎刃而解，甚至在最近一次的算法竞赛中，我也能够自信地运用图论相关的知识解决问题了。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出现，简直就是为我这类“理论苦手”量身定做的！我一直对计算机科学的各个分支都充满好奇，但数学基础相对薄弱，很多时候在学习算法理论时，总会被那些复杂的数学公式和抽象的概念挡在门外。而《图论及其算法》这本书，给了我前所未有的学习体验。作者在讲解每一个概念时，都花了大量篇幅去解释“为什么”，而不是简单地陈述“是什么”。比如，在介绍最短路径算法时，作者不仅仅是给出算法步骤，还深入分析了算法背后的贪心选择性质和最优子结构性质，让我能够真正理解算法为什么能够工作。书中大量的插图和流程图更是功不可没，它们将抽象的算法过程可视化，让我在脑海中形成清晰的图像，从而更容易记忆和理解。我尤其喜欢书中对一些证明的讲解，虽然我一开始对证明很头疼，但作者的循序渐进的引导，让我逐渐克服了恐惧，甚至开始享受推导的过程。通过这本书，我不仅掌握了图论的基础知识和常用算法，更重要的是，我建立了对数学建模和逻辑推理的信心，这对于我未来深入学习其他计算机科学领域的知识非常有帮助。

评分☆☆☆☆☆

老实说，我买过很多关于算法的书，但大多数要么太过高深，让我望而却步，要么太过肤浅，无法满足我深入研究的需求。直到我发现了《图论及其算法》，我才找到了那种“恰到好处”的感觉。这本书的深度和广度都让我非常满意。它对图论中的各个重要概念，如顶点、边、度、连通分量、环等，都做了细致入微的解释，并且用严谨的数学语言进行了定义。同时，书中对各种图算法的讲解也堪称经典，从基础的深度优先搜索和广度优先搜索，到更复杂的最小生成树算法、网络流算法，乃至一些 NP-hard 问题的近似算法，都进行了全面而深入的介绍。我特别欣赏书中对算法复杂度分析的详细阐述，这让我能够清楚地了解不同算法的优劣，并根据实际需求选择最合适的算法。此外，书中还包含了许多关于图论在实际问题中应用的案例，比如社交网络分析、路径规划、资源调度等，这些案例不仅能让我看到理论知识的价值，还能激发我思考更多新的应用场景。这本书让我对图论这门学科有了更宏观和系统的认识。

评分☆☆☆☆☆

深入浅出，容易懂，值得推荐

评分☆☆☆☆☆

书挺好的，没有问题，谢谢。

评分☆☆☆☆☆

非常不错。好书。

评分☆☆☆☆☆

感觉很好用，但是没有代码只有算法有点伤

评分☆☆☆☆☆

特殊说明：

评分☆☆☆☆☆

不错

评分☆☆☆☆☆

在图论的历史中，还有一个最著名的问题－－四色猜想。这个猜想说，在一个平面或球面上的任何地图能够只用四种颜色来着色，使得没有两个相邻的国家有相同的颜色。每个国家必须由一个单连通域构成，而两个国家相邻是指它们有一段公共的边界，而不仅仅只有一个公共点。这一问题最早于1852年由Francis Guthrie提出，最早的文字记载则现于德摩根于同一年写给哈密顿的信上。包括凯莱、肯普等在内的许多人都曾给出过错误的证明。泰特(Tait)、希伍德(Heawood)、拉姆齐和哈德维格(Hadwiger)对此问题的研究与推广引发了对嵌入具有不同亏格的曲面的图的着色问题的研究。一百多年后，四色问题仍未解决。1969年，Heinrich Heesch发表了一个用计算机解决此问题的方法。1976年，阿佩尔(Appel)和哈肯(Haken)借助计算机给出了一个证明，此方法按某些性质将所有地图分为1936类并利用计算机，运行了1200个小时，验正了它们可以用四种颜色染色。四色定理是第一个主要由电脑证明的理论，这一证明并不被所有的数学家接受，因为采用的方法不能由人工直接验证。最终，人们必须对电脑编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任。主要是因为此证明缺乏数学应有的规范，以至于有人这样评论“一个好的数学证明应当像一首诗——而这纯粹是一本电话簿！”

评分☆☆☆☆☆

4. 企业和个人客户均可以在其京东账户上预存款，京东可以对预存款开具相应金额的发票，但如果客户欲将预存款退回时，相应的发票需退还京东；如已开具预存款发票，则用预存款购物京东将不再开具发票。

评分☆☆☆☆☆

（下图是在上下对折再左右对折以后形成一个轮胎形状，有7个区域两两相连，就是说在一个环面上作图，需要7种颜色，外国数学家构造林格证明：Np=[(7+√1+48p)/2]，p=1，N1=7。