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冯林 等 编

图书标签:

• 图论
• 离散数学
• 算法
• 数据结构
• 计算机科学
• 数学
• 网络分析
• 组合数学
• 优化
• 应用数学

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560332918

版次：1

商品编码：10978142

包装：平装

丛书名： ACM-ICPC程序设计系列

开本：16开

出版时间：2012-03-01

用纸：胶版纸

页数：240

字数：311000

正文语种：中文

编辑推荐

《图论及应用》是ACM-ICPC程序设计系列丛书之一。全书共分6章，内容包括：图，树，图的最短路径问题，连通性问题，网络流，二分图及匹配算法。
本书既可以作为高等院校信息与计算科学、计算机专业及数学相关专业的图论教材，也可以作为高等学校计算机竞赛的培训教材，还可供计算机软硬件研发人员参考。

内容简介

《图论及应用》主要介绍ACM-ICPC比赛中涉及的图论，其中包括许多实际问题的抽象表示与求解，以及部分图论理论内容的证明。全书共分6章，第1章介绍了图论的基础知识，包括基础概念、存储方法和遍历方法；第2章介绍了有关树的问题，着重讲解生成树和一些树上特殊点集的求法；第3章介绍了最短路径问题，包括几种通用算法和特殊图上的算法；第4章介绍图论中有关连通性的问题，包括有向图的强连通、无向图的双连通及其扩展问题；第5章介绍网络流解法，包括几种常用的网络流算法和对于问题如何抽象成网络流模型的经验方法；第6章介绍二分图的相关问题，重点为二分图的匹配及其变种问题。《图论及应用》的内容基本满足ACM-ICPC比赛对于图论方面的要求，讲解清晰易懂，代码规范，例题丰富。

目录

第1章 图
1.1 图的定义和术语
1.1.1 图的定义
1.1.2 特殊的图
1.1.3 有向图和无向图
1.1.4 路径与连通
1.2 图的存储结构
1.2.1 邻接矩阵
1.2.2 前向星
1.2.3 邻接表
1.3 图的遍历
1.3.1 图的深度优先遍历
1.3.2 图的宽度优先遍历
1.3.3 图的拓扑排序
1.3.4 图的可行遍性

第2章 树
2.1 树的定义和遍历
2.1.1 树的相关定义
2.1.2 树的遍历
2.2 图的生成树
2.2.1 最小生成树
2.2.2 次小生成树
2.2.3 有向图的最小树形图
2.3 树的其他问题
2.3.1 树上两点的最近公共祖先
2.3.2 树的最小支配集，最小点覆盖与最大独立集

第3章 图的最短路径问题
3.1 单源最短路径
3.1.1 Dijkstra算法
3.1.2 Bellman-Ford算法
3.1.3 SPFA算法
3.1.4 例题
3.2 每对顶点间的最短距离
3.2.1 Floyd算法
3.2.2 例题
3.3 最短路问题的扩展与应用
3.3.1 k短路
3.3.2 差分约束系统
3.3.3 DAG图上的单源最短路径
3.3.4 Floyd求最小环

第4章 连通性问题
4.1 图的强连通
4.1.1 强连通的定义
4.1.2 Kosaraju算法
4.1.3 Tarjan算法
4.1.4 Garbow算法
4.1.5 例题
4.2 最小点基
4.2.1 最小点基的定义
4.2.2 最小点基
4.2.3 最小权点基
4.2.4 例题
4.3 图的双连通
4.3.1 双连通的定义
4.3.2 点双连通分量
4.3.3 边双连通分量
4.3.4 例题
4.4 图的全局最小割问题和Stoer-Wagner算法
4.5 2-SAT
4.5.1 SAT
4.5.2 2-SAT
4.5.3 例题

第5章 网络流
5.1 网络
5.1.1 容量与流
5.1.2 残留网络及增广路
5.1.3 最小割最大流定理
5.2 最大流算法
5.2.1 Ford-Fulkson方法的基本思想
5.2.2 Edmond-Karp算法
5.2.3 SAP算法及其优化
5.2.4 Dinic算法
5.2.5 例题与应用
5.3 有上下界的网络流
5.3.1 解决上下界网络流的一般思路
5.3.2 例题与应用
5.4 网络的费用流
5.4.1 连续最短路算法
5.4.2 例题与应用

第6章 二分图及匹配算法
6.1 匹配问题
6.2 匹配基本定理
6.2.1 Berge定理
6.2.2 Hall定理
6.3 二分图最大匹配
6.3.1 匈牙利算法
6.3.2 Hopcroft-Karp算法
6.3.3 二分图多重匹配
6.3.4 二分图最大匹配的网络流解法
6.4 二分图最佳匹配
6.4.1 Kuhn Munkras算法
6.5 二分图模型的应用
6.5.1 二分图最小点覆盖
6.5.2 有向无环图的最小路径覆盖
6.5.3 二分图的最大独立点集
6.5.4 最小点权覆盖
参考文献

前言/序言

《图论基础与算法实践》 引言 在当今信息爆炸的时代，数据无处不在，而如何有效地组织、表示和分析这些数据，成为一项至关重要的任务。图论，作为一门研究点和边之间关系的数学分支，为我们理解和解决现实世界中的复杂问题提供了强大的理论框架和工具。从社交网络的连接模式，到交通运输的优化路径，再到生物信息学中的基因序列分析，图论的应用渗透到各个领域，展现出其无可比拟的价值。《图论基础与算法实践》一书，正是为了带领读者深入探索图论的奥秘，掌握其核心概念，并学会如何将这些理论知识转化为解决实际问题的强大能力。 本书并非仅仅罗列图论的定义和定理，而是力求将抽象的数学概念与生动的应用场景相结合，让读者在理解理论的同时，也能感受到图论的魅力和实用性。我们相信，只有将理论与实践紧密结合，才能真正掌握图论的精髓，并将其灵活运用于未来的学习和工作中。 第一部分：图论的基石——核心概念与定义 本部分将为读者构建坚实的图论基础。我们将从最基本的概念入手，逐步深入，确保每一位读者都能对图论的本质有一个清晰的认识。 图的初步认识：点、边与结构 我们首先将引入图（Graph）这一核心概念，将其定义为由顶点（Vertices）和连接顶点的边（Edges）组成的数学模型。我们将区分不同类型的图，例如无向图（Undirected Graphs）、有向图（Directed Graphs）、多重图（Multigraphs）和伪图（Pseudographs），并解释它们各自的特点和适用场景。例如，在社交网络中，人与人之间的关系可以表示为无向图，而信息在网络中的流动则更适合用有向图来描述。我们将通过生动的实例，如简单的地图、网络连接图等，帮助读者直观地理解这些概念。 图的各种形态：度、连接性与子图 接着，我们将深入探讨图的各种属性。顶点的度（Degree）——即连接到该顶点的边的数量——是描述顶点重要性的一个基本指标。我们将讨论顶点的入度和出度（In-degree and Out-degree）在有向图中的重要性。连通性（Connectivity）是图论中一个至关重要的概念，它描述了图中顶点之间是否可以相互到达。我们将介绍连通图（Connected Graphs）、强连通图（Strongly Connected Graphs）等概念，并理解其在网络鲁棒性分析中的意义。此外，我们还将引入子图（Subgraphs）、生成子图（Spanning Subgraphs）和导出子图（Induced Subgraphs）等概念，它们为分析图的局部结构提供了便利。 路径的探索：距离、环与图的分解 路径（Path）是图论中最基本也是最重要的概念之一。我们将定义路径、简单路径（Simple Paths）、路（Walk）等，并区分它们之间的区别。距离（Distance）——即两顶点之间最短路径的长度——在很多应用中都扮演着核心角色。我们将初步了解最短路径问题的重要性。环（Cycle）的出现，则为图的结构增添了复杂性，我们将学习如何识别和分类不同的环，例如简单环（Simple Cycles）和基本环（Fundamental Cycles）。最后，我们将初步接触到图的分解，例如边分离（Edge Disjoint）和顶点分离（Vertex Disjoint）的概念，为后续更复杂的算法奠定基础。 图的特殊结构：树、森林与二分图 在众多图的类型中，树（Trees）和森林（Forests）因其特殊的结构和广泛的应用而备受关注。我们将详细介绍树的定义（例如，无环连通图），以及其重要的性质（如 n 个顶点有 n-1 条边）。树在数据结构（如二叉搜索树、堆）和算法设计中扮演着核心角色。森林则是若干棵树的集合。此外，我们还将介绍二分图（Bipartite Graphs）——即顶点集可以分成两个互不相交的子集，使得任意一条边都连接这两个子集中的顶点。二分图在匹配问题（Matching Problems）中有着极其重要的应用。 第二部分：图论的利器——经典算法与分析 掌握了图论的基础概念后，本部分将带领读者探索图论领域中最具代表性和实用性的经典算法。我们将深入理解这些算法的工作原理，分析它们的效率，并探讨其在不同场景下的应用。 搜索的智慧：广度优先搜索与深度优先搜索 广度优先搜索（Breadth-First Search, BFS）和深度优先搜索（Depth-First Search, DFS）是图论中最基本也是最强大的图遍历算法。我们将详细讲解 BFS 和 DFS 的工作流程，并通过具体的例子演示如何使用它们来发现图中的连通分量，找到最短路径（在无权图的情况下），以及进行拓扑排序等。我们将分析它们的时空复杂度，并讨论它们各自的优势和局限性。 连接的奥秘：最小生成树算法 对于一个带权无向连通图，找到连接所有顶点的、边权之和最小的生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是图论中的一个经典问题。我们将介绍两种解决此问题的著名算法：Prim 算法和 Kruskal 算法。我们将详细阐述它们如何通过贪心策略，逐步构建出最小生成树，并分析它们的复杂度。最小生成树在网络设计、通信系统建设等领域有着广泛的应用。 最短的旅程：单源最短路径算法 在带权图中，找到从一个特定源顶点到图中所有其他顶点的最短路径，是图论中最核心的问题之一。我们将介绍 Dijkstra 算法，它能够高效地解决非负权重的单源最短路径问题。我们将详细讲解 Dijkstra 算法的贪心思想和工作机制，并分析其复杂度。我们还将简要介绍 Bellman-Ford 算法，它能够处理包含负权重的图，并能检测负权重环。最短路径算法在导航系统、网络路由、交通调度等领域发挥着至关重要的作用。 全局的视野：多源最短路径算法 当我们不仅关心单源最短路径，而是希望了解图中任意两点之间的最短路径时，就需要用到多源最短路径算法。我们将深入讲解 Floyd-Warshall 算法，它能够计算出图中所有顶点对之间的最短路径。我们将分析 Floyd-Warshall 算法的动态规划思想，并理解其时间复杂度。尽管其复杂度相对较高，但在小规模图或需要计算所有路径时，它依然是一个强大的工具。 流量的流动：最大流与最小割 最大流问题（Maximum Flow Problem）研究的是在一个网络中，从源点到汇点能够传输的最大流量。我们将引入网络流（Network Flow）的概念，以及容量（Capacity）、流（Flow）等基本概念。我们将介绍 Ford-Fulkerson 方法及其改进算法，例如 Edmonds-Karp 算法，来解决最大流问题。更重要的是，我们将探讨最大流-最小割定理（Max-Flow Min-Cut Theorem），它揭示了最大流与最小割之间的深刻联系，并在许多实际问题中具有重要的指导意义，例如通信网络的容量规划、资源分配等。 第三部分：图论的实践——应用场景与案例分析 理论知识只有落地才能发挥其真正的价值。本部分将带领读者走进图论的广阔应用领域，通过具体的案例分析，展示图论如何解决现实世界中的复杂问题，激发读者将图论知识应用于自身领域的潜力。 网络的脉络：社交网络分析 社交网络，如微信、微博、Facebook 等，本身就是一个庞大的图结构。我们将探讨如何利用图论工具来分析社交网络的特性，例如度中心性、介数中心性等指标来衡量用户的影响力，发现社群结构，预测信息传播的趋势。我们将讨论社群检测算法（Community Detection Algorithms）的基本思想，以及图算法在推荐系统中的应用。 连接的智慧：交通与物流优化 交通网络（公路、铁路、航空）和物流配送网络本质上也是图。我们将探讨如何利用图论算法解决实际的交通和物流问题，例如如何找到最短的出行路线（最短路径算法），如何优化车辆的配送路径（旅行商问题，虽然是NP-hard问题，但有近似算法），如何规划最优的公交线路，以及如何高效地管理货物的运输。 决策的辅助：资源分配与调度 许多资源分配和调度问题都可以转化为图论问题。例如，如何合理分配有限的计算资源给不同的任务（可能涉及图着色问题），如何安排生产计划以最大化产出（可能涉及调度算法），如何优化项目的时间进度（项目管理中的关键路径法）。我们将分析这些问题如何被建模为图，并利用图论算法进行求解。 信息的传递：网络安全与数据挖掘 在网络安全领域，图论可以用来建模和分析网络攻击的路径，检测恶意节点的行为。在数据挖掘领域，图论可以帮助我们发现数据之间的隐藏关联，例如在推荐系统中，通过分析用户之间的相似性或物品之间的关联性来生成个性化推荐。我们将介绍如何将图技术应用于欺诈检测、异常行为识别等场景。 结构的探索：生物信息学与化学 在生物信息学中，基因序列的相似性比对、蛋白质相互作用网络的分析都可以利用图论。例如，基因的相似性可以通过构建序列比对图来度量，蛋白质的相互作用可以用图来表示，研究其功能和调控机制。在化学中，分子的结构也可以表示为图，用于研究分子的性质和反应。 结语 《图论基础与算法实践》旨在为读者提供一条清晰、系统且富有实践意义的学习路径。我们相信，通过对本书内容的深入学习和思考，读者将能够建立起坚实的图论知识体系，掌握一系列强大的图算法，并具备将这些知识应用于解决实际问题的能力。图论是一个充满活力和创造力的领域，其应用场景仍在不断拓展。我们鼓励读者在掌握基本理论和算法的基础上，进一步探索图论的更多分支和前沿研究，发掘图论在各个领域的无限潜力，为推动科学技术的发展贡献力量。 本书的编写，力求语言通俗易懂，例证生动形象，算法讲解清晰到位。我们希望本书能够成为您探索图论世界的得力助手，陪伴您在知识的海洋中扬帆远航。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书最大的感受就是，它彻底颠覆了我对“抽象数学”的固有印象。我一直觉得数学是冰冷且远离现实的，但《图论及应用》让我看到了数学的生命力，看到了它如何能够如此巧妙地解决现实世界中的各种难题。书中对“着色问题”的讲解，就让我印象深刻。它不仅仅是关于给图的顶点涂上不同颜色的问题，它更是一种关于“资源分配”和“冲突避免”的思考。比如，在安排会议室的时候，如果有些会议之间有冲突，不能在同一个会议室举行，那么就需要用最少的会议室来安排所有的会议，这就是一个图着色问题。作者用非常直观的比喻，将这些数学问题与我们的生活紧密联系起来，让这些抽象的概念变得生动有趣。另外，书中关于“匹配问题”的探讨，也让我受益匪浅。它不仅仅是关于如何在两个集合之间建立一一对应的关系，它更是一种关于“最优配对”的决策过程。想象一下，在招聘会上，如何才能将求职者和职位进行最有效的匹配，或者是在医院里，如何才能将病人与医生进行最合理的分配，这些都可以用匹配论来解决。这本书让我意识到，很多看似复杂的问题，都可以用简洁而强大的图论模型来分析和解决。它不仅仅是一本知识书，更是一本思维的启迪之书，它教会我如何用更系统、更科学的方式去观察和理解世界。

评分☆☆☆☆☆

我可以说，这本书彻底改变了我对“连接”这个概念的认知。过去，我可能更多地将“连接”理解为物理上的接触，但《图论及应用》让我看到了连接背后更深层次的含义，包括信息、关系、逻辑等等。书中关于“二分图”的讲解，就给我留下了深刻的印象。它不仅仅是关于如何将图的顶点分成两组，使得任意两个顶点都在同一组内，更是关于如何分析和解决“分组”和“匹配”的问题。比如，在社交网络中，如何识别不同的社群，或者在生物学中，如何研究蛋白质之间的相互作用，都可以用二分图来建模。作者用通俗易懂的语言，配合精美的图例，将这些抽象的概念解释得淋漓尽致。而且，我发现书中对于“图的遍历”的讲解，也极其富有启发性。它不仅仅是关于如何访问图中的每一个顶点，更是关于如何设计高效的遍历策略，以解决特定的问题。例如，在进行网络爬虫时，如何才能有效地抓取网页信息，或者在进行数据分析时，如何才能系统地遍历数据集，这些都涉及到图的遍历。这本书让我开始用一种“图”的思维去观察世界，去思考事物之间的关系和相互作用，这种思维方式的转变，对我而言是非常宝贵的。

评分☆☆☆☆☆

这本书带来的不仅仅是知识的增长，更是一种思维方式的革新。在阅读过程中，我常常被作者的洞察力所折服。他能够从看似普通的现象中挖掘出深层的图论结构，并且用清晰易懂的方式将其呈现出来。比如，书中对于“连通性”的探讨，让我对网络的鲁棒性有了更深刻的理解。它不仅仅是关于网络中节点之间的连接数量，更是关于网络在面临局部故障时，是否还能保持整体的连通。这对于构建高可用性的通信网络、电力系统，甚至社交网络都至关重要。作者通过丰富的案例，比如“桥梁问题”的演变，让我直观地感受到了连通性在实际中的意义。而且，这本书并没有止步于理论的讲解，它还深入探讨了各种图论算法的应用。比如，对于“最短路径算法”的讲解，就让我了解了Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法的原理和适用场景，这对于我理解地图导航、物流配送等应用非常有帮助。我特别喜欢书中对于“动态图”的讨论，它让我意识到，现实世界中的很多网络都不是静态的，而是时刻在变化的，而图论也提供了分析这些动态网络的方法。总而言之，这本书让我看到了图论的强大生命力，它不仅仅是一门数学分支，更是一种解决现实世界问题的强大工具。

评分☆☆☆☆☆

这本《图论及应用》真是让我脑洞大开！一直以来，我对图论这个概念都停留在“点和线”的模糊印象里，总觉得它离我的生活很遥远。但翻开这本书，我才发现自己错得离谱。书里那些关于网络连接、路径规划、最短距离的讲解，简直就是把现实世界中的各种复杂问题用一种极其精妙的方式展现出来。比如，书里讲到的“旅行商问题”，让我第一次意识到，我们每天看到的地图导航软件背后，竟然有如此深奥的数学原理在支撑。它不仅仅是告诉你怎么走最快，更是一种对组合优化问题的深刻洞察。还有关于社交网络的分析，那些节点和边的关系，竟然可以揭示群体行为的规律，甚至预测信息的传播速度。我之前总觉得这些都是数据分析师的神秘工作，现在看来，图论才是这一切的基石。书的语言也写得特别接地气，虽然涉及到一些数学概念，但作者总是能用生动的例子来解释，让即使是像我这样的初学者也能轻松理解。我尤其喜欢书中关于“哈密顿回路”和“欧拉回路”的讨论，它们不仅仅是抽象的数学定义，在我看来，简直就是关于“高效遍历”的艺术。比如，如果要设计一个物流配送系统，如何才能让配送员一次性走完所有需要送达的地点，又不重复经过，这就是一个典型的图论问题。这本书让我对“连接”这个概念有了全新的理解，不仅仅是物理的连接，更是信息、关系、逻辑上的连接，而图论就是研究这些连接的强大工具。

评分☆☆☆☆☆

这本书的写作风格实在是太迷人了，完全不是我之前想象中那种枯燥的数学教材。它更像是一部关于“结构”的百科全书，用图论的语言，解读了世界万物的运行规律。我特别欣赏作者那种抽丝剥茧的叙事方式，从最基础的概念讲起，然后一步步深入到更复杂的应用。比如，关于“最小生成树”的讲解，它不仅仅是一个寻找连接所有节点的最小权重的边集合的算法，它更是一种关于“最小成本最优连接”的哲学思考。你可以想象，在构建一个城市交通网络时，如何才能用最少的铺路成本连接所有重要的区域，这就是最小生成树的应用。或者是在设计一个计算机网络，如何才能用最少的线缆连接所有的计算机，同时保证它们之间都有通路，这也是最小生成树的用武之地。书里还深入探讨了“网络流”的概念，这对我来说简直是打开了新世界的大门。想象一下，如何最大化地将货物从一个仓库运送到另一个地方，或者如何在保证安全性的前提下，最大化地传输数据，这些都是网络流问题的范畴。作者用清晰的图示和详实的案例，将这些看似复杂的概念一一呈现，让我不禁感叹数学的魅力。这本书让我明白，很多我们习以为常的系统，背后都隐藏着精巧的图论模型。它让我开始用一种“图”的视角去看待问题，去思考事物之间的关系和联系，这种思维方式的转变，对我来说是无价的。

评分☆☆☆☆☆

6.5 二分图模型的应用

评分☆☆☆☆☆

4.3.2 点双连通分量

评分☆☆☆☆☆

Kosaraju算法

评分☆☆☆☆☆

1.1 图的定义和术语

评分☆☆☆☆☆

5.3.1 解决上下界网络流的一般思路

评分☆☆☆☆☆

2.1.2 树的遍历

评分☆☆☆☆☆

4.1.1 强连通的定义

评分☆☆☆☆☆

6.5.4 最小点权覆盖

评分☆☆☆☆☆

Hopcroft-Karp算法