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Miguel F Anjos & Jean ... 著

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出版社： Springer

ISBN：9781461407683

商品编码：1142946946

包装：精装

外文名称：Handbook on Semidefini...

出版时间：2011-11-18

页数：960

正文语种：英语

图书基本信息

Handbook on Semidefinite, Conic and Polynomial Optimization
作者： Miguel F. Anjos;Jean B. Lasserre;
ISBN13： 9781461407683
类型： 精装(精装书)
语种： 英语（English）
出版日期： 2011-11-18
出版社： Springer
页数： 960
重量（克）： 1524
尺寸： 23.3934 x 15.5956 x 5.08 cm

商品简介

Semidefinite and conic optimization is a major and thriving research area within the optimization community. Although semidefinite optimization has been studied (under different names) since at least the 1940s, its importance grew immensely during the 1990s after polynomial-time interior-point methods for linear optimization were extended to solve semidefinite optimization problems.

Since the beginning of the 21st century, not only has research into semidefinite and conic optimization continued unabated, but also a fruitful interaction has developed with algebraic geometry through the close connections between semidefinite matrices and polynomial optimization. This has brought about important new results and led to an even higher level of research activity.

This "Handbook on Semidefinite, Conic and Polynomial Optimization "provides the reader with a snapshot of the state-of-the-art in the growing and mutually enriching areas of semidefinite optimization, conic optimization, and polynomial optimization. It contains a compendium of the recent research activity that has taken place in these thrilling areas, and will appeal to doctoral" "students, young graduates, and experienced researchers alike.

The Handbook's thirty-one chapters are organized into four parts: "Theory," covering significant theoretical developments as well as the interactions between conic optimization and polynomial optimization;"Algorithms," documenting the directions of current algorithmic development;"Software," providing an overview of the state-of-the-art;"Applications," dealing with the application areas where semidefinite and conic optimization has made a significant impact in recent years.

优化理论与实践的深度探索：线性规划、非线性规划与凸优化方法 本书旨在为数学优化领域的学生、研究人员和从业者提供一个全面而深入的指南，涵盖了从经典线性规划到现代凸优化理论与算法的广泛内容。通过严谨的数学推导和丰富的实际应用案例，本书构建了一个坚实的理论基础，并侧重于实际问题的建模与求解技术。 全书共分为六个主要部分，每一部分都以前一部分的知识为基础，层层递进，引导读者逐步掌握优化方法的精髓。 第一部分：优化基础与线性规划（LP） 本部分首先奠定了整个优化理论的基石。我们从问题的定义和基本术语开始，清晰地界定了可行域、目标函数和最优解的概念。随后，重点深入研究了线性规划（Linear Programming, LP）。 我们详细阐述了LP的标准形式、松弛形式以及它们之间的相互转换。几何上，我们通过二维和三维的可视化例子，解释了凸多面体和顶点（基本可行解）的概念。理论核心在于单纯形法（Simplex Method）的详尽剖析。从初始基本可行解的寻找（大M法或两阶段法），到如何通过基变量的变换移动到相邻的顶点，直至达到最优解或确定无界性。我们不仅描述了算法步骤，还深入探讨了其代数基础——行空间和零空间，以及如何利用单纯形表的简化形式（Reduced Costs）来判断最优性。 此外，本部分还涵盖了对偶理论（Duality Theory）。我们构建了原始问题和对偶问题的精确关系，解释了对偶可行性、弱对偶性和强对偶性。通过互补松弛性定理（Complementary Slackness Theorem），读者将理解最优解的内在联系，并掌握如何利用对偶问题来验证最优性或解决特定类型的敏感性分析问题。 第二部分：网络流与整数规划导论 在掌握了基础的线性规划工具后，本部分将焦点转向具有特殊结构的高效求解问题。 网络流问题是本部分的重要组成部分。我们首先介绍图论的基础知识，包括流、容量和流量的概念。接着，详细分析了最大流问题（Maximum Flow Problem），并全面介绍了福特-富勒克算法（Ford-Fulkerson Method）及其有效实现，如使用增广路径或 Edmonds-Karp 算法。随后，我们转向最小费用最大流问题（Minimum Cost Maximum Flow, MCMF），探讨如何结合最短路径算法（如 Bellman-Ford 或 Dijkstra 算法的变种）来求解这类带有成本约束的网络优化问题。这些模型在物流、通信网络和资源分配中具有极高的实用价值。 整数规划（Integer Programming, IP）则引入了对变量取整数的约束，这使得问题在理论上和实践上都变得更加复杂。我们区分了纯整数规划、混合整数规划和二元整数规划。求解方法上，本书重点讲解了分支定界法（Branch and Bound）。该方法的核心思想是通过递归地将问题分解为更小的子问题，并利用LP松弛的界限来剪枝，从而系统地搜索整数解空间。我们还会介绍割平面法（Cutting Plane Methods）的基本概念，说明如何通过添加切割不等式来加强LP松弛，使其更接近整数解集。 第三部分：非线性规划（NLP）基础与无约束优化 本部分标志着从线性世界向更广阔的非线性领域过渡。非线性规划（NLP）涉及目标函数或约束条件中含有非线性项的问题。 首先，我们回顾微积分中的多元函数优化基础，包括梯度、Hessian 矩阵和二阶条件。对于无约束优化问题，我们系统地介绍了经典迭代方法： 1. 一维搜索方法：包括精确线搜索（如Fibonacci法）和不精确线搜索（如Wolfe条件和Armijo准则），确保每一步都能保证函数值的下降。 2. 梯度下降法（Steepest Descent）：分析其简单性、收敛速度以及局部最优性。 3. 牛顿法（Newton's Method）：基于二阶信息，探讨其二次收敛特性，以及计算Hessian矩阵的难度。 4. 拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）：重点介绍BFGS和DFP算法，它们通过秩一或秩二更新来近似Hessian的逆矩阵，在计算效率和收敛速度之间取得了优异的平衡。 第四部分：约束非线性规划与KKT条件 约束优化是实际工程和科学中最常见的情况。本部分的核心是理解约束优化问题中的最优性条件。 我们详细介绍了可行性、梯度投影和对偶概念在约束环境下的扩展。最关键的内容是Kuhn-Tucker (KKT) 条件。我们从拉格朗日函数（Lagrangian Function）的构建开始，严格推导了KKT条件的必要性，并解释了它们在最优解处的几何意义——梯度之间的线性关系。 随后，我们讨论了KKT条件的充分性，特别是当问题是凸优化问题时。对于一般的非凸问题，KKT条件仅是必要条件。本书随后介绍了求解约束NLP的几种主要算法： 1. 可行方向法：如梯度投影法，确保每一步都保持在可行域内。 2. 罚函数法（Penalty Methods）：通过在目标函数中加入惩罚项来“软化”约束，将约束问题转化为一系列无约束问题求解。 3. 内点法（Interior-Point Methods）：作为求解约束优化的现代主流方法，我们引入障碍函数（Barrier Function）的概念，通过求解一系列光滑问题来逼近边界。 第五部分：凸优化理论的深度解析 凸优化是优化理论中最“完美”的子领域，因为局部最优解必然是全局最优解。本部分将深化对凸性的理解，并系统地介绍现代凸优化求解器的理论基础。 我们首先正式定义了凸集和凸函数，并探讨了闭合性、保形性等重要性质。接着，我们深入探讨了凸优化问题的对偶理论，包括Lagrange对偶和Fenchel对偶。凸对偶性保证了强对偶性（即对偶间隙为零），这是高效求解算法的理论保证。 本部分的核心是内点法的深入讲解。与第四部分中仅作为一种求解NLP的方法不同，这里我们专注于自旋点内点法（Primal-Dual Interior Point Methods）在凸优化中的应用。我们将介绍障碍函数法的具体步骤，如何使用牛顿法求解中心路径附近的子问题，以及收敛速度的分析。 第六部分：特定结构优化模型与应用案例 最后一部分将理论与前沿应用结合起来，展示优化工具的强大威力。 我们将探讨二次规划（Quadratic Programming, QP），即目标函数是二次的，而约束是线性的，这是许多现代算法（如内点法）在每一步迭代中需要求解的核心子问题。我们还将涉及二次约束的二次规划（QCQP）。 此外，本书还会介绍半定规划（Semidefinite Programming, SDP）的初步概念，尽管其理论深度超出本书范围，但我们会说明SDP如何从凸优化中自然衍生出来，以及它在控制理论和组合优化松弛中的地位。 最后，通过具体的应用案例——如组合优化问题的松弛、统计模型中的最大似然估计、以及经典的最短路径问题——来巩固读者对所学理论和算法的理解，强调如何将现实世界的复杂性转化为数学上可解的优化模型。 本书的结构旨在确保读者不仅能够“使用”优化算法，更能“理解”其背后的数学原理和收敛保证，从而能够独立分析和设计解决复杂决策问题的优化方案。

评分☆☆☆☆☆

作为一名正在攻读应用数学方向的研究生，我急需一本能够系统梳理从经典优化到现代凸优化理论的参考书。《》这个标题听起来就非常权威，让人联想到这是一本能提供坚实理论支撑和广泛应用指导的工具书。我非常看重作者在梳理复杂数学结构时的逻辑清晰度和对细节的把控。例如，在讲解如何将一个复杂的约束优化问题转化为标准的半正定松弛形式时，每一步的动机和合理性都必须交代清楚。如果书中能详细对比不同松弛技巧的优劣，并探讨其近似效果的理论保证，那对我的研究工作将具有直接的指导意义。此外，关于多项式系统（Polynomi...）的部分，我希望能看到如何利用矩问题（Moment Problems）与半正定规划的联系来解决非凸问题，这通常是高阶优化理论中最令人费解但又最有力量的部分。

评分☆☆☆☆☆

说实话，市面上关于优化理论的书籍汗牛充栋，但真正能做到深入浅出、面向工程实践的却凤毛麟角。《》如果能在这方面有所建树，那它无疑是极具价值的。我更倾向于那种不是仅仅罗列公式，而是将数学工具与工程挑战紧密结合的读物。比如，在鲁棒控制设计中，我们经常需要求解 LMI（线性矩阵不等式）问题，我希望书中能提供一套完整且可操作的数值求解流程，包括如何选择合适的求解器库，以及如何诊断和处理数值不稳定性。对于“多项式”这一块，我个人更关注它在系统识别和非凸规划中的实际应用，而不是纯粹的代数几何探讨。如果能有一章专门讨论如何将实际系统中的非线性约束转化为易于处理的凸形式，哪怕只是启发性的思路，也会让这本书的实用价值倍增。

评分☆☆☆☆☆

这本《》的封面设计着实吸引人，色彩搭配沉稳又不失现代感，让人一眼就能感受到它在数学和工程领域所蕴含的深度。我个人对这方面的内容一直抱有浓厚的兴趣，尤其是在优化理论和控制系统设计中，如何有效地处理非线性问题是一个永恒的挑战。我期待书中能对半正定规划（SDP）的理论基础进行详尽的阐述，包括其对偶性、内点法等核心算法的推导过程。很多教材在讲解这些内容时往往过于抽象，希望这本“手册”能在保持数学严谨性的同时，提供足够的直观解释和实际应用案例，比如在结构优化或信号处理中的应用实例，这样能帮助读者更好地理解这些高级工具的实用价值。我特别关注它在处理锥规划（Conic Programming）这一块的覆盖程度，因为这是连接线性规划与更复杂优化问题的关键桥梁，如果能深入探讨不同类型锥的性质，那将是极大的加分项。

评分☆☆☆☆☆

我关注的焦点主要集中在计算复杂度与算法效率上。《》作为一本“手册”，应当具备查阅和快速定位信息的能力。因此，内容的系统性和索引的完备性至关重要。我希望书中对内点法等求解器的收敛速度、迭代次数的理论界限以及在大型问题上的可扩展性有明确的讨论。在处理高维半正定矩阵时，内存消耗和计算瓶颈是实际应用中绕不开的难题。如果作者能分享一些针对大规模 SDP 问题的有效预处理技术或分解策略，那将是体现其“手册”价值的关键所在。此外，关于多项式系统，我更感兴趣的是它们如何被转化为矩阵不等式，并最终如何有效地被凸优化求解器处理，这中间的桥接技术是检验此书水准的重要标准。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名似乎暗示了它横跨了多个高度专业化的领域，这既令人兴奋又让人略感挑战。我希望它能有一个非常出色的组织结构，能够让不同背景的读者都能找到切入点。对于那些初次接触半正定规划的读者，是否提供了足够的线性代数和凸分析的预备知识？对于资深研究者，书中是否有最新的研究进展或未被广泛讨论的理论变体？我尤其关注其在几何学解释上的深度。例如，如何直观地理解正规锥（Conic Sets）的构造及其在对偶理论中的作用？如果能配上精美的三维或高维图形来辅助理解这些抽象的几何概念，那将是极大的福音。我期望这本书不仅仅是知识的堆砌，更是一个引导思考、启发创新的平台。