橢圓麯綫的有理點 [Rational Points on Elliptic Curves] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[美] 西爾弗曼（Silverman J.H.） 著

圖書標籤:

• 橢圓麯綫
• 有理點
• 數論
• 代數幾何
• 密碼學
• 丟番圖方程
• 算術幾何
• 橢圓麯綫密碼
• 整數論
• 現代數學

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510086328

版次：1

商品編碼：11647744

包裝：平裝

外文名稱：Rational Points on Elliptic Curves

開本：24開

齣版時間：2015-01-01

用紙：膠版紙

頁數：281

正文語種：英文

內容簡介

　　The theory of elliptic curves involves a blend of algebra，geometry， analysis，and number theory.This book stresses this interplay as it develops the basic theory，providing an opportunity for readers to appreciate the unity of modern mathematics.The book s accessibility，the informal writing style，and a wealth of exercises make it an ideal introduction for those interested in learning about Diophantine equations and arithmetic geometry.

內頁插圖

目錄

Preface
Computer Packages
Acknowledgments
Introduction
CHAPTER 1
Geometry and Arithmetic
1.Rational Points on Conics
2.The Geometry of Cubic Curves
3.Weierstrass Normal Form
4.Explicit Formulas for the Group Law
Exercises

CHAPTER 2
Points of Finite Order
1.Points of Order Two and Three
2.Real and Complex Points on Cubic Curves
3.The Discriminant
4.Points of Finite Order Have Integer Coordinates
5.The Nagell—Lutz Theorem and Further Developments
Exercises

CHAPTER 3
The Group of Rational Points
1.Heights and Descent
2.The Height of P + P0
3.The Height of 2P
4.A Useful Homomorphism
5.Mordell's Tneorem
6.Examples and Further Developments
7.Singular Cubic Curves
Exercises

CHAPTER 4
Cubic Curves over Finite Fields
1.Rational Points over Finite Fields
2.A Theorem of Gauss
3.Points of Finite Order Revisited
4.A Factorization Algorithm Using Elliptic Curves
Exercises

CHAPTER 5
Integer Points on Cubic Curves
1.How Many Integer Points？
2.Taxicabs and Sums of Two Cubes
3.Thue's Theorem and Diophantine Approximation
4.Construction of an Auxiliary Polynomial
5.The Auxiliary Polynomialls Small
6.The Auxiliary Polynomial Does Not Vanish
7.Proof of the Diophantine Approximation Theorem
8.Further Developments
Exercises

CHAPTER 6
Complex Multiplication
1.Abelian Extensions of Q
2.Algebraic Points on Cubic Curves
3.A Galois Representation
4.Complex Multiplication
5.Abelian Extensions of Q（i）
Exercises

APPENDIX A
Projective Geometry
1.Homogeneous Coordinates and the Projective Plane
2.Curves in the Projective Plane
3.Intersections of Projective Curves
4.Intersection Multiplicities and a Proof of Bezout's Theorem
5.Reduction Modulo p
Exercises
Bibliography
List of Notation
Index

前言/序言

現代數論與代數幾何的交匯：解析數論中的整數與有理數問題 引言 本書旨在深入探討現代解析數論在處理整數與有理數領域中核心問題上的最新進展與經典方法。我們關注的焦點在於如何利用分析工具（如傅裏葉分析、自守形式、L-函數）來構建關於丟番圖方程解的有效估計和精確計數，從而揭示這些離散結構背後的連續性與周期性規律。本書麵嚮對解析數論、代數幾何有一定基礎的讀者，力求在嚴謹的數學推導中展現該領域迷人的深度與廣闊的應用前景。 第一部分：基礎工具與調和分析 本書的開篇將迴顧解析數論的基石——調和分析及其在數論中的應用。我們將從經典的狄利剋雷特徵函數和黎曼 $zeta$ 函數的性質齣發，引齣更現代化的傅裏葉變換技術在處理加性問題中的作用。 第一章：模函數與自守形式的初步 本章著重於介紹模形式的定義、模群 $ ext{SL}_2(mathbb{Z})$ 的作用以及由它們誘導齣的自守形式的結構。我們將詳細闡述 Hecke 行列式如何作用於這些函數，並探討與 $L$-函數之間的深層聯係，特彆是它們在解析延拓和函數方程中的角色。重點討論模形式在計數二次型或特定代數結構解時的應用，盡管本書不直接討論橢圓麯綫，但模形式作為連接代數幾何與分析的橋梁，其基礎理解至關重要。 第二章：均值估計與指數和估計 解析數論的核心挑戰之一是如何精確估計三角和與指數和。本章將係統地介紹韋依上界（Weil Bound）的思路及其在有限域上的推廣，雖然我們的主要關注點是有理數域 $mathbb{Q}$ 上的問題，但這些代數幾何的工具為理解 $mathbb{Q}$ 上的近似提供瞭必要的背景。我們將詳細分析 Vinogradov 均值方法的演變，特彆關注如何利用循環平均法來處理涉及素數和多項式的指數和，以及這些估計如何轉化為對特定丟番圖方程解的計數界限。 第二部分：經典丟番圖方程的解析方法 在這一部分，我們將把分析工具應用於解決一係列著名的、涉及整數和有理數解的方程。這些方法強有力地揭示瞭即使是最簡單的多項式方程也蘊含著深刻的數論結構。 第三章：加性問題的解析處理 本章聚焦於哥德巴赫猜想及其變體的解析論證。我們將詳細闡述圓法（Hardy-Littlewood Circle Method）的結構，從構造積分核到分解積分路徑為“主要弧”和“次要弧”。重點在於如何通過精確估計次要弧上的積分來控製誤差項，特彆是當方程涉及更高次冪時，如 Waring 問題（Warring's Problem）的現代處理，其中涉及對 $zeta$ 函數零點密度的假設或證明。 第四章：篩法與素數分布 篩法是解析數論中處理“至多”或“至少”類型問題的有力武器。本章將介紹梅爾特（Mertens）公式、布朗篩法（Brun's Sieve）以及更精細的組閤篩法。我們特彆關注篩法如何用於估計具有特定形式素數（例如，形如 $x^2+y^2+1$ 的素數）的密度，以及如何利用篩法來處理涉及多個變量的多項式方程中解的結構，例如 $x^3+y^3+z^3=n$ 的解的稀疏性分析。 第三部分：高維空間的代數數論與幾何 本部分將視角從一維的整數擴展到更高維度的代數結構，關注數域和代數簇上的有理點分布問題，采用幾何化的分析手段。 第五章：代數數域中的分析工具 本章介紹如何將解析技術擴展到一般的代數數域 $mathbb{K}$ 上。我們將探討理想類群、單位群的結構，以及赫爾格爾茨-範德堡定理（Heegner-Stark-Baker Theorem）的分析基礎——特彆是關於實二次域中類數的估計。重點將放在狄利剋雷 $L$-函數的推廣及其在數域中的解析性質，例如解析秩的計算。 第六章：閔可夫斯基幾何與丟番圖逼近 本章將代數工具與幾何直觀相結閤。我們深入研究閔可夫斯基定理，並將其應用於有理數的綫性形式的逼近問題。重點討論 Liouville 不等式的推廣，即關於代數數可以通過有理數如何“好地”逼近的精確量化。這部分內容為理解任何代數簇上的有理點分布提供瞭幾何約束的框架，特彆是當我們需要證明在特定區域內解的稀疏性或存在性時。 第七章：代數簇上的密度定理 最後，本章將討論如何利用自守形式理論和 $L$-函數的性質來研究代數簇上解的漸近密度。我們將探討關於黎曼假設的變體在更一般的代數簇上的作用，例如，如何利用算術的幾何化視角來分析特定代數流形上的有理點如何分布在整體空間中。討論的重點將放在如何通過分析 $L$-函數的零點分布來推導齣解的計數函數（Counting Function）的精確漸近公式，這與研究黎曼麯麵上點的分布有著深刻的對應關係。 總結 本書旨在為讀者提供一個全麵且深入的分析數論視角，用以解決涉及整數和有理數的復雜代數問題。我們通過精妙的調和分析、嚴謹的篩法和現代的自守形式理論，展示瞭分析方法在揭示離散數學結構中的強大威力。對橢圓麯綫這一特定對象的討論被有意識地排除，以聚焦於更廣泛的、基於分析工具的整數與有理數問題的通用處理技術。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，拿到《橢圓麯綫的有理點》這本書時，我心中是既興奮又有些許忐忑的。我一直對那些聽起來“高深莫測”的數學領域充滿好奇，而“橢圓麯綫”和“有理點”這兩個詞組閤在一起，簡直是數學魅力的集大成者。我期待這本書能夠以一種相對“友好”的方式，帶領我這個非專業讀者，或者至少是初學者，一點點地走進這個奇妙的數學世界。我設想它不會一開始就拋齣大量的抽象定義和復雜的定理，而是會從一些直觀的例子入手，比如一些簡單的三次方程，然後引導我理解為什麼我們要研究它們的“有理點”，以及這些點的幾何意義是什麼。我希望作者能夠用生動形象的比喻來解釋那些抽象的概念，讓我能夠“看見”橢圓麯綫，並“觸摸”到那些有理點。如果書中能夠穿插一些曆史的典故，講述一些偉大的數學傢是如何一步步揭示橢圓麯綫的奧秘，那就更完美瞭。我期待這本書能夠點燃我對數學的熱情，讓我覺得學習這些知識是一件有趣且富有成就感的事情，而不是一場枯燥的記憶和推演。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數學史和數學思想演變感興趣的讀者，我拿到《橢圓麯綫的有理點》這本書，首先想到的是它背後所承載的深厚數學積澱。我腦海中勾勒齣的畫麵是，書中會以一種“溯源”的方式，帶領讀者追溯橢圓麯綫研究的曆史脈絡。從古代對丟番圖方程的探索，到十八、十九世紀數學傢們對積分和超越函數的深入研究，再到二十世紀代數幾何的興起，這些過程必然與橢圓麯綫及其有理點的研究緊密相連。我期待書中能夠提及那些在這一領域做齣開創性貢獻的數學巨匠，比如歐拉、高斯、韋爾斯特拉斯，以及最重要的摩爾德爾和韋伊。我希望書中不僅會展示那些冰冷的公式和定理，更會講述發現這些定理的“故事”，以及數學傢們是如何在不同的曆史時期，麵對不同的數學難題，最終一步步構建起橢圓麯綫理論的宏偉大廈。這本書對我而言，不僅僅是一本關於數學方法的教材，更是一扇瞭解數學思想如何發展、人類智力如何不斷突破邊界的窗口，讓我能感受到數學的生命力和其蘊含的哲學思考。

評分☆☆☆☆☆

我的第一印象是，《橢圓麯綫的有理點》這本書的書名本身就帶著一種古老而又精深的魅力。它暗示著一種對數學對象在特定數域（有理數域）上的結構進行深入探索。我設想，這本書的開篇應該會首先清晰地界定什麼是“橢圓麯綫”，從其代數方程的特徵入手，例如一個特定的三次方程形式，並且可能還會從幾何上描述其光滑的、連通的形狀。接著，重點將轉嚮“有理點”，即麯綫上的那些坐標都是有理數的點的概念。我期待書中會詳細闡述這些有理點所構成集閤的性質，尤其是其重要的阿貝爾群結構，這無疑是理解橢圓麯綫數論性質的核心。書中是否會深入探討摩爾德爾定理，即證明瞭在有理數域上，橢圓麯綫的有理點構成一個有限生成阿貝爾群，這對我來說會是一個非常吸引人的點。此外，我也好奇書中是否會涉及一些與之相關的更現代的理論，例如代數幾何中的抽象概念，或者它與數論中其他分支（如費馬大定理）的聯係。這本書的閱讀過程，我預感將是一場智力上的挑戰，但同時也是一次對數學美學的深刻體驗。

評分☆☆☆☆☆

我之所以會對《橢圓麯綫的有理點》這本書産生強烈的興趣，很大程度上源於它在現代數學，特彆是數論和密碼學領域所扮演的關鍵角色。我設想這本書會不僅僅停留在理論層麵，而是會適時地展現橢圓麯綫及其有理點在實際應用中的價值。比如，我非常期待書中會詳細介紹橢圓麯綫密碼學（ECC）的基本原理，解釋為什麼橢圓麯綫的“離散對數問題”比傳統的離散對數問題更難解決，從而能夠提供更強大的安全性。我好奇書中是否會涉及橢圓麯綫在生成大素數、橢圓麯綫上的整數點計算，以及一些與編碼理論相關的應用。即使我對這些應用領域的瞭解不深，但我相信通過這本書的講解，我能夠更清晰地認識到，那些看似純粹抽象的數學概念，是如何被巧妙地轉化為現實世界中解決具體問題的強大工具。這本書的價值，對我來說，不僅僅在於其理論上的深度，更在於它能夠展現數學的實用性和它在推動科技進步中所起到的不可替代的作用，這讓我對這門學科充滿瞭敬畏和好奇。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名《橢圓麯綫的有理點》就足夠吸引人，光是這個名字就勾勒齣瞭一個充滿數學魅力的世界。作為一名對純數學，尤其是數論和代數幾何領域抱有濃厚興趣的讀者，我對於能夠深入探討這個特定主題的著作一直充滿期待。我設想這本書會以嚴謹的數學語言，層層遞進地展開關於橢圓麯綫在有理數域上的行為的研究。從最基礎的橢圓麯綫的定義和方程入手，應該會逐步引導讀者理解有理點的概念，並進一步探討這些點所形成的群結構。我非常期待書中能夠清晰地解釋諸如“摩爾德爾定理”（Mordell's Theorem）這樣的核心結果，以及它是如何為理解橢圓麯綫上的有理點提供一個堅實基礎的。我也好奇書中是否會涉及一些更高級的工具和概念，例如函數域上的類域論，或者與代數幾何中的一些深刻理論的聯係。即使隻是從書名推測，我也能感受到這本書所蘊含的數學深度和其在現代數論研究中的重要地位，它很可能是一部能夠拓寬我數學視野的經典之作，讓我更深刻地理解這個優美而復雜的數學對象。

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書的內容很好！！！！

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好

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好

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很有趣的書，講解由淺入深，很喜歡！

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很不錯的書，值得專業人士閱讀。

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課餘讀物，比較直觀，通讀有益

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還行，不錯。。。。。。。。

評分☆☆☆☆☆

課餘讀物，比較直觀，通讀有益

評分☆☆☆☆☆

書的內容很好！！！！