科學版研究生教學叢書：常微分方程定性與穩定性方法(第二版) pdf epub mobi txt 電子書下載 2025

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馬知恩，周義倉，李承治著，周義倉，李承治編

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齣版社：科學齣版社

ISBN：9787030443557

版次：2

商品編碼：11713176

包裝：平裝

叢書名：科學版研究生教學叢書

開本：32開

齣版時間：2015-06-01

用紙：膠版紙

頁數：376

字數：473000

正文語種：中文

具體描述

編輯推薦

適讀人群：《常微分方程定性與穩定性方法》可作為理工類專業研究生的教材和高年級本科生的選修課教材，也可供相關的科學技術人員參考.
本書作者馬知恩老師是微分動力係統與生物數學方嚮專傢，是優秀大學教師中的佼佼者，本書內容著眼於應用，取材精練,注意概念實質，定理思路闡述清晰、應用方法介紹簡明扼要，實際例子分析一語中的。

內容簡介

《常微分方程定性與穩定性方法》是為理工類專業的碩士研究生和高年級本科生的需要所編寫的一《常微分方程定性與穩定性方法》.《常微分方程定性與穩定性方法》為第二版.主要包括定性理論、穩定性理論和分支理論三個部分.內容著眼於應用的需要取材精練，注意概念實質的揭示、定理思路的闡述、應用方法的介紹和實際例子的分析，並配閤內容引入計算機軟件. 每章後附有習題供讀者練習.

作者簡介

馬知恩，男，數學傢，西安交通大學教授，博士生導師。1954年畢業於北京大學數學係，分配至交通大學任教。1963-1965在南京大學數學係進修。 1985-1986在美國威斯康辛大學與田納西大學訪問學者，學習生物數學。曾任西安交通大學數學係主任、理學院院長。全國工科數學課程教學指導委員會主任，中國數學學會生物數學專業委員會副主任，陝西省生態數學專業委員會主任等職。現任"J.of Biological Systems"(Canada)雜誌副主編，J. of Theoretical Biology(USA)，等6種雜誌編委。曾多次赴美、意、加、德、日、荷蘭、比利時等國訪問、閤作研究和講學。研究領域或方嚮:微分動力係統與生物數學。科研項目:八十年代以來，承擔瞭教育部立項的教學改革項目9項，國傢自然科學基金項目8項，國傢十五攻關項目1項。學術及科研成果:講授過高等數學等12門課程，科研方嚮為微分動力係統與生物數學。培養瞭碩士生43人，博士生11人。齣版教材10套，譯著1套。發錶學術論文130餘篇，齣版專著3本。曾獲***和教育部有關教學奬8項，省部級科學進步奬3項(均排名第1)。1991年獲全國優秀教師稱號，2003年獲國傢首屆教學名師奬。

第二版前言
第一版前言
第 1 章基本定理 1
1.1 解的存在唯一性定理 1
1.2 解的延拓 3
1.3 解對初值和參數的連續依賴性和可微性 9
1.4 比較定理 13
習題 1 21
第 2 章動力係統的基本知識 23
2.1 自治係統與非自治係統 23
2.1.1 相空間與軌綫 23
2.1.2 自治係統的基本性質 25
2.1.3 動力係統的概念 28
2.2 軌綫的極限集閤.29
2.2.1 常點與奇點 29　2.2.2 自治係統解的延拓性 30
2.2.3 極限集與極限集及其基本性質 32
2.3 平麵上的極限集.35
2.3.1 平麵有界極限集的特性與結構35
2.3.2 Poincar.e-Bendixson 環域定理37
2.4 極限集的應用實例 39
2.4.1 Volterra 捕食{被捕食模型 39
2.4.2 三極管電路的 van der Pol 方程 42
習題 2 44
第 3 章穩定性理論 46
3.1 穩定性的定義和例子 46
3.1.1 穩定性的幾個定義 46
3.1.2 穩定性的關係及例子 49
3.2 自治係統零解的穩定性 54
3.2.1 V 函數 54？
3.2.2 Liapunov 穩定性定理 55
3.2.3 不穩定性定理 57
3.3 非自治係統零解的穩定性 59
3.3.1 V 函數和 k 類函數 59
3.3.2 零解的穩定性 62
3.3.3 零解的不穩定性 65
3.4 全局穩定性 67
3.4.1 全局穩定的概念和判定定理 67
3.4.2 應用舉例.71
3.4.3 吸引域的估計 73
3.5 綫性係統及其擾動係統的穩定性 73
3.5.1 常係數綫性係統的穩定性 74
3.5.2 綫性係統的擾動 81
3.5.3 非自治綫性係統的穩定性 84
3.6 臨界情形下奇點的穩定性分析 87
3.6.1 中心流形.88
3.6.2 中心流形定理 92
3.6.3 臨界情況下奇點的穩定性分析舉例.95
3.7 Liapunov 函數的構造 102
3.7.1 Liapunov 函數的存在性 102
3.7.2 常係數綫性係統的巴爾巴欣公式 104
3.7.3 二次型方法的推廣 108
3.7.4 綫性類比法 110
3.7.5 能量函數法 112
3.7.6 分離變量法 113
3.7.7 變梯度法 114
3.8 判定穩定性時的比較方法 116
3.8.1 與數量方程的比較 116
3.8.2 與嚮量方程的比較 120
習題 3122
第 4 章平麵係統的奇點 125
4.1 初等奇點.125
4.1.1 綫性係統的孤立奇點 125
4.1.2 非綫性係統的雙麯奇點 135
4.2 中心與焦點的判定 140
4.2.1 非雙麯初等奇點的類型與中心的判定定理 140
4.2.2 細焦點及其判定法 147
4.3 高階奇點.157
4.3.1 沿不變直綫方嚮的拉伸變換158
4.3.2 通過極坐標變換的吹脹" 技巧 160
4.3.3 沿 x 與 y 方嚮的吹脹"165
4.3.4 非齊次吹脹" 169
4.4 鏇轉數與指數 171
4.4.1 鏇轉數及其基本性質 171
4.4.2 奇點的指數 173
習題 4177
第 5 章極限環.179
5.1 基本概念與極限環的不存在性 179
5.1.1 基本概念 179
5.1.2 極限環不存在性的判定法 181
5.2 極限環的存在性.187
5.3 後繼函數與極限環的穩定性.198
5.3.1 Poinear.e 映射與後繼函數 198
5.3.2 麯綫坐標與極限環的穩定性200
5.4 極限環的唯一性.204
習題 5211
第 6 章無窮遠奇點與全局結構 212
6.1 無窮遠奇點 212
6.1.1 Poincar.e 球麵與 Poincar.e 變換 212
6.1.2 無窮遠奇點與 Poincar.e 圓盤214
6.2 軌綫的全局結構分析舉例 224
習題 6228
第 7 章分支理論 229
7.1 一個例子.229
7.2 結構穩定與分支現象230
7.2.1 結構穩定的定義 230
7.2.2 結構穩定的等價描述 232
7.2.3 結構不穩定:分支現象 233
7.3 奇點分支.234
7.3.1 一維係統的奇點分支 234
7.3.2 二維或更高維係統的奇點分支.238
7.3.3 給定擾動參數的奇點分支問題.242
7.4 Hopf 分支 243
7.4.1 平麵係統的 Hopf 分支 244
7.4.2 利用特徵根的共振性求正規形.255
7.4.3 三維或更高維係統的 Hopf 分支 257
7.5 閉軌分支.259
7.5.1 平麵係統的閉軌分支 259
7.5.2 三維或更高維係統的閉軌分支.263
7.6 奇異閉軌分支 268
7.6.1 平麵係統的同宿分支 269
7.6.2 鏇轉嚮量場 270
7.6.3 平麵係統同宿分支的例子 272
7.6.4 關於異宿分支和高維係統奇異閉軌分支的介紹 275
7.7 Poincar.e 分支||從平麵閉軌族分支極限環 276
7.7.1 平麵 Hamilton 係統的擾動問題 276
7.7.2 高階 Melnikov 函數.284
7.7.3 平麵可積係統的擾動問題 286
7.7.4 弱化的希爾伯特第 16 問題 287
7.8 從高維係統的閉軌族産生周期解的分支問題 289
7.9 Bogdanov-Takens 分支 296
7.9.1 利用變換求正規形 296
7.9.2 餘維 2 的 B-T 分支:普適開摺的推導 298
7.9.3 餘維 2 的 B-T 分支:分支圖與軌綫拓撲分類 302
習題 7303
第 8 章常微分方程的應用舉例 308
8.1 一個三種群相互作用的 Volterra 模型研究 308
8.1.1 正平衡解的穩定性 308
8.1.2 模型平麵解的存在性及其漸近性態 311
8.1.3 一個 Volterra 模型的 Hopf 分支 314
8.2 傳染病模型 317
8.2.1 假設和記號 317
8.2.2 SIS 模型 317
8.2.3 SIR 模型 319
8.2.4 SEIR 模型 321
8.3 一個總人口變化的 SEIR 模型的全局性態分析 323
8.3.1 模型及其平衡解 323
8.3.2 無病平衡點的穩定性 325　8.3.3 地方病平衡點的穩定性 327
8.3.4 地方病平衡點的全局穩定性329
8.4 三分子反應模型.332
8.4.1 模型及其奇點分析 332
8.4.2 極限環的存在唯一性 334
8.5 一個具有非綫性傳染率的 SI 模型的穩定性與分支 336
8.5.1 具有非綫性傳染率的 SI 模型 336
8.5.2 平衡點的穩定性 338
8.5.3 模型 (8.5.3) 的 Bogdanov-Takens 分支 341
8.6 一個具有飽和恢復率的季節性傳染病模型 348
8.6.1 模型及其基本再生數 348
8.6.2 兩個正周期解的存在性 349
8.6.3 周期解的穩定性 354
習題 8 359
參考文獻362

精彩書摘

研究分支問題時，{heiti 中心流形定理}與{heiti 正規形理論}是把問題化簡的兩個工具：
用前者把問題轉化到維數盡可能低的空間，用後者把係統轉化為含參數盡可能少的形式。
關於中心流形定理，第~3.6.1 節中已有介紹，我們在本章的~7.3.2 與~7.4.3 中有進一步的介紹與應用；
關於正規形理論，我們將在~7.4.2 與~7.9.1 節中結閤具體問題進行介紹。

結構不穩定體現瞭係統的某種退化性，為瞭描述退化的程度，或者說它在擾動下軌綫拓撲結構發生變化的復雜程度，我們引入{heiti 分支的餘維}這個概念。假設係統~$X_0$（即~eqref{S2} 中~$mu=0$）是結構不穩定的，按一定規則取~${m mu}in R^k$ 得到係統~$X_mu$（即~eqref{S2}），其中~$0<| {m mu}|ll 1$，則稱~$X_mu$ 為~$X_0$ 的一個~$k$ 參數擾動係統，或稱為~$k$ 參數{heiti 開摺}(unfolding)。當然~$X_0$ 有無窮多個各種各樣的開摺。如果能找到~$X_0$ 的一個開摺，它的軌綫拓撲分類包含瞭~$X_0$ 的任一開摺所能齣現的軌綫結構，則稱這個開摺為一個{heiti 普適開摺}(universal unfolding)。在一個普適開摺中增加參數得到的新開摺顯然還是普適的，所以普適開摺並不唯一。如果~$X_0$ 有一個含~$m$ 個參數的普適開摺，且從中減少任何一個參數都不再是普適開摺，則稱~$X_0$ 的分支是餘維~$m$ 的。例~1 中~$X_0$ 的分支的餘維數至少為~1，我們將證明它的餘維數恰為~1。

從定理~7.2 可知，當平麵係統有一個非雙麯奇點，或非雙麯閉軌，或存在鞍點到鞍點的連結軌綫時，它是結構不穩定的，如果能確定它的分支的餘維數，找到它的一個普適開摺，
並研究瞭這個普適開摺的分支圖和相應的軌綫拓撲分類，則這個係統的分支現象就得到完全的研究。一般而言，這種完全的研究並不容易，特彆是當餘維數較大，甚至為無窮大的情形。在下麵的幾節中，
我們將討論一些基本並常見的分支現象，並盡可能得到完全的研究。

前言/序言

本書自2001年齣版以來受到廣大教師和讀者的歡迎，已經印刷8次，
在微分方程和應用數學等方麵的教學中發揮瞭較好的作用。
考慮到動力係統和分支理論發展的狀況及寫作的需要，北京大學的李承治教授參加瞭第二版的修訂。
我們根據多年來教學實踐和許多教師及讀者的建議，在保持第一版特色的基礎上做瞭以下修改：

1. 調整瞭第一版的結構，適當精簡瞭內容。如去掉瞭原書第七章的部分內容，
將中心流形定理等頗為實用的方法納入臨界情況下奇點的穩定性分析，並入瞭第三章穩定性理論。
精簡瞭平麵上極限集、無窮遠奇點與全局結構中的部分內容等。

2. 對原書4.3節高階奇點的討論，用較為方便的“吹脹”法替代瞭傳統的“法域與特殊方嚮法”，使得分析得以簡化。

3. 對原書第八章分支理論做瞭較大的改寫和補充，
對分支理論的基礎知識進行瞭較全麵的介紹，並融入瞭本領域一些新的研究成果。

4. 充實瞭原書中常微分方程應用舉例的內容，提供瞭更多的應用模型分析範例。

5. 重新編排瞭各章的習題，加強瞭基本方法的訓練，刪除瞭一些過難的題目。

6. 改正瞭原書中的一些錯誤和講述不夠清楚的地方。

本書的第一、二章和第四、五、六章由馬知恩撰寫，第三章和第八章由周義倉撰寫，
第二版中的第七章和4.3節由李承治撰寫。

不少教師和讀者對本書第一版提齣瞭許多寶貴的意見的建議，
對本書的修改起到瞭非常重要的作用，在此我們錶示衷心的感謝。
並懇請大傢對第二版繼續提齣批評與改進意見。

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2014年10月於西安交通大學

第一版前言

微分方程在實際中有著廣泛的應用，凡是與變化率有關的問題幾乎
都可以用微分方程模型來研究.為瞭弄清一個實際係統隨時間變化的規律，
需要討論微分方程解的性態，通常有三種主要的方法： (1) 求齣方程的解析解(包括級數形式的解)；
(2) 求方程的數值解； (3) 對解的性態進行定性分析.三種方法各有其特點和
局限性.在對方程的研究中它們相互補充、相輔相成.本書介紹定性分析的基
本理論和方法，也就是不求解微分方程而研究時間趨於無窮時解的漸近性態.
其內容包括定性理論、穩定性理論和分支理論三個部分.
定性分析方麵國內外已有不少很好的教材和專著，但麵對非常微分方程專門化的
應用數學專業的碩士生和高年級本科生，在當前有限的學時內尚難找到閤適
的教材.本書正是為適應這一需要而編寫的.在編寫中我們力求反映以下特色：

1. 從應用的需要齣發精選內容

本書在講清基本概念的基礎上，取材著眼
於應用中常見的一些方法及其必要的理論基礎.將某些繁難的證明略去而突齣這些理論
和方法的涵義和應用.例如，中心與焦點的判定隻講形式級數法，著重講清方法的證明
思路和使用步驟，未作完整的嚴格證明；對高階奇點的第一、二類判定問題僅在
解析條件下給齣結論；僅給齣一些實用的中心流形定理，顯示它們的應用而略去其證明等.��

2. 加強定性理論、穩定性理論和分支理論三部分的相互滲透

本書在精選內容的基礎上仍分章保持著定性理論(包括平麵與空間)、
穩定性理論和分支理論各自的基本體係，但在內容的敘述和方法的使用方麵相互配閤、
相互滲透.例如，用Liapunov函數法幫助判定某些中心或焦點，
講解平麵閉軌綫族的極限環分支；將鏇轉嚮量場納入分支理論中講授等.

3. 突齣概念的實質和內容思想方法的揭示

本書力求總結作者多年來在研究生和數學係本科生教學中對本門課程講授的經驗體會，
揭示概念的實質，分析定理證明和方法應用的思路，期望能有助於提高讀者的數學素質和培養讀者的創新研究能力.

4. 加強應用

本書專門列瞭一章微分方程應用舉例.在不同領域內挑選瞭幾個實例從建立模型、
定性分析到結果的實際意義都進行瞭較係統地講解，
在其它有關章節中也穿插瞭一些實例分析.期望能引起讀者的應用興趣，
有助於應用意識和能力的培養.

5. 注意瞭與計算機使用的結閤

本書在基本理論和方法的應用與計算機的數值計算和符號運算功能的有機結閤方麵進行瞭一些探索，
例如利用計算機顯示一些係統的軌綫分布圖；利用符號運算功能來計算焦點量等.
為瞭使讀者更方便地應用Maple軟件解決微分方程定性、穩定性分析中的問題，
我們在相應的地方都給齣瞭Maple程序，對這些程序稍加修改，就可以解決更一般的問題.

本書的第一、二、四、五、六章由馬知恩執筆，第三、七、八、九章由周義倉執筆，Maple程序由周義倉調試.
全書在內容的編排敘述和文字符號的處理上多次討論和統一協調.限於編者水平，難免有錯誤與不妥之處，恕望得到廣大讀者的批評指正.