ε空間 I：實分析（第三年的數學博客選文）（英文版） [An Epsilon of Room,I:Real Analysis(Pages from year three of a Mathematical Blog)] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[澳] 陶哲軒（Terence Tao） 著

圖書標籤:

• Real Analysis
• Mathematical Analysis
• Calculus
• Mathematics
• Blog
• Undergraduate
• Higher Education
• Epsilon-Delta
• Mathematical Blog
• Third Year

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040469004

版次：1

商品編碼：12118828

包裝：精裝

叢書名： 美國數學會經典影印係列

外文名稱：An Epsilon of Room,I:Real Analysis(Pages from year three of a Mathematical Blog)

開本：16開

齣版時間：2017

內容簡介

　　2007年，陶哲軒創立瞭一個內容豐富的數學博客，內容從他自己的研究工作和其他新近的數學進展，到他的授課講義，包括各種非專業性難題和說明文章。頭兩年的博文已由美國數學會齣版，而第三年的博文將分兩冊齣版。第一冊內容由實分析第二教程和博文中的相關資料構成。
　　實分析課程假定讀者對一般測度論和本科分析的基本概念已有一定的瞭解。《ε空間 I：實分析（第三年的數學博客選文）（英文版）》內容包括：測度論中的高級專題，尤其是Lebesgue-Radon-Nikodym定理和Riesz錶示定理；泛函分析專題，如Hilbert空間和Banach空間；廣義函數空間和重要的函數空間，包括Lebesgue的Lp空間和Sobolev空間。另外還討論瞭Fourier變換的一般理論。
　　《ε空間 I：實分析（第三年的數學博客選文）（英文版）》的第二部分談到瞭許多輔助論題，諸如Zorn引理、Caratheodory延拓定理和Banach-Tarski悖論。作者還討論瞭ε正規化推理——軟分析的一個基本技巧，《ε空間 I：實分析（第三年的數學博客選文）（英文版）》書名正取於此意。總體來說，《ε空間 I：實分析（第三年的數學博客選文）（英文版）》提供瞭比二年級研究生實分析課程豐富得多的內容。
　　博文的第二冊由各種專題的技術性和說明性文章組成，可以獨立閱讀。

內頁插圖

目錄

Preface
A remark on notation
Acknowledgments
Chapter 1．Real analysis
1．1．A quick review of measure and integration theory
1．2．Signed measures and the Radon-Nikodym-Lebesgue theorem
1．3．Lp spaces
1．4．Hilbert spaces
1．5．Duality and the Hahn-Banach theorem
1．6．A quick review of point-set topology
1．7．The Baire category theorem and its Banach space consequences
1．8．Compactness in topological spaces
1．9．The strong and weak topologies
1．10．Continuous functions on locally compact Hausdorff spaces
1．11．Interpolation of Lp spaces
1．12．The Fourier transform
1．13．Distributions
1．14．Sobolev spaces
1．15．Hausdorff dimension
Chapter 2．Related articles
2．1．An alternate approach to the Caratheodory extension theorem
2．2．Amenability， the ping-pong lemma， and the Banach-
Tarski paradox
2．3．The Stone and Loomis-Sikorski representation theorems
2．4．Well-ordered sets， ordinals， and Zorn's lemma
2．5．Compactification and metrisation
2．6．Hardy's uncertainty principle
2．7．Create an epsilon of room
2．8．Amenability
Bibliography
Index

前言/序言

　　In February of 2007， I converted my "What's new" web page of research updates into a blog at terrytao .wordpress.com. This blog has since grown and evolved to cover a wide variety of mathematical topics， ranging from my own research updates， to lectures and guest posts by other mathematicians， to open problems， to class lecture notes， to expository articles at both basic and advanced levels.
　　With the encouragement of my blog readers， and also of the AMS， I published many of the mathematical articles from the first two years of the blog as [Ta2008] and [Ta2009]， which will henceforth be referred to as Structure and Randomn，ess and Poincare's Legacies Vols， I， H. This gave me the opportunity to improve and update these articles to a publishable (and citeable) standard， and also to record some of the substantive feedback I had received on these articles'by the readers of the blog.
　　The current text contains many (though not all) of the posts for the third year (2009) of the blog， focusing primarily on those posts of a mathematical nature which were not contributed primarily by other authors， and which are not published elsewhere. It has been split into two volumes.
　　The current volume consists oflecture notes from my graduate real anal- ysis courses that I taught at UCLA (Chapter 1)， together with some related material in Chapter 2. These notes cover the second part of the graduate real analysis sequence here， and therefore assume some familiarity with general measure theory (in particular， the construction of Lebesgue mea- sure and the Lebesgue integral， and more generally the material reviewed in Section 1.1)， as well as undergraduate real analysis (e.g.， various notions of limits and convergence). The notes then cover more advanced topics in measure theory (notably， the Lebesgue-Radon-Nikodym and Riesz representation theorems) as well as a number of topics in functional analysis， such as the theory of Hilbert and Banach spaces， and the study of key function spaces such as the Lebesgue and Sobolev spaces， or spaces of distributions.
　　The general theory of the Fourier transform is also discussed. In addition， a number of auxiliary (but optional) topics， such as Zorn's lemma， are discussed in Chapter 2. In my own course， I covered the material in Chapter 1 only and also used Folland's text [Fo2000] as a secondary source. But I hope that the current text may be useful in other graduate real analysis courses， particularly in conjunction with a secondary text (in particular， one that covers the prerequisite material on measure theory).
　　The second volume in this series (referred to henceforth as Volume H) consists of sundry articles on a variety of mathematical topics， which is onlyoccasionally related to the above course， and can be read independently.

好的，這是一份關於一本名為《ε空間 I：實分析》（An Epsilon of Room, I: Real Analysis）的圖書的詳細簡介，該書選自第三年的數學博客文章，英文原版。 --- 《ε空間 I：實分析》（An Epsilon of Room, I: Real Analysis） 選自第三年的數學博客文章 簡介 《ε空間 I：實分析》匯集瞭作者在數學專業學習第三年期間，通過博客形式深入探討和記錄的關於實分析（Real Analysis）這一核心學科的思考、解題心得與理論梳理。本書並非傳統意義上的教科書，而是一份生動的學習日誌，它忠實地反映瞭一位數學係學生在麵對“分析學基礎”這一領域時所經曆的挑戰、頓悟與知識的構建過程。 本書的重點在於對實數係統、拓撲結構、序列與級數的收斂性，以及微積分核心概念——極限、連續性、導數和積分——在更嚴格和抽象的框架下的重新審視與深入理解。作者以一種兼具個人見解和學術嚴謹性的方式，帶領讀者穿越瞭實分析的知識迷宮。 核心內容概述 第一部分：基礎的重構——實數係統與拓撲概念的奠基 實分析的起點是對我們習以為常的實數係統進行“從零開始”的精確描述。本書首先迴顧瞭有理數和無理數的構建，並著重探討瞭實數的完備性（Completeness Axiom）。作者花費大量篇幅闡述瞭為何完備性是構建整個分析大廈的基石，包括利用戴德金截分割（Dedekind Cuts）或柯西序列（Cauchy Sequences）來定義實數。 在這一部分，拓撲學的初步概念被引入。讀者將看到對鄰域（Neighborhoods）、開集（Open Sets）和閉集（Closed Sets）的細緻討論。這些抽象概念如何精確地定義瞭“接近”與“聚集”？作者通過具體的例子，如 $mathbb{R}^n$ 空間中的拓撲結構，展示瞭這些定義如何為後續的極限理論鋪平道路。重點探討瞭聚點（Limit Points）、聚點集（Derived Sets）以及緊緻性（Compactness）的定義及其在實數綫上的重要性——特彆是 Heine-Borel 定理的直觀理解與嚴格證明。 第二部分：極限與收斂的嚴格化 實分析的精髓在於其對極限（Limit）的定義。本書的博客選文對 $epsilon-delta$ 語言進行瞭詳盡的分析和應用。作者不僅展示瞭如何使用 $epsilon-delta$ 語言來證明簡單的函數極限，更重要的是，分享瞭在麵對復雜函數或多變量函數時，如何係統地構建證明框架。 序列（Sequences）和級數（Series）的收斂性是本部分的核心。讀者將迴顧各種收斂判彆法（比值檢驗、根值檢驗、積分檢驗等），但本書的價值在於，它深入探討瞭這些判彆法的理論依據。例如，為什麼柯西序列是收斂的？單調收斂定理（Monotone Convergence Theorem）和柯西收斂準則（Cauchy Criterion）在實踐中的應用邊界在哪裏？對於級數，本書著重於一緻收斂（Uniform Convergence）的概念，區分瞭逐點收斂與一緻收斂，並探討瞭一緻收斂如何保證可微性、可積性和連續性的傳遞。 第三部分：函數分析的核心——連續性、導數與積分 在確立瞭嚴謹的極限框架後，本書轉嚮瞭對函數性質的深入研究。 連續性（Continuity）的定義被提升到拓撲視角下，即原像下開集的保持。作者討論瞭連續函數在緊集上的重要性質，如最大值/最小值定理（Extreme Value Theorem）和介值定理（Intermediate Value Theorem）的嚴密證明。 導數（Derivatives）的討論側重於其局限性。本書細緻分析瞭為什麼僅僅函數在每一點都可微並不能保證其連續性（盡管在實分析的背景下，可微性通常蘊含局部連續性，但作者可能會探討更一般的例子或反例的思路）。中值定理（Mean Value Theorems）的幾何意義和代數證明是重點，特彆是羅爾定理（Rolle's Theorem）與拉格朗日中值定理（Lagrange's MVT）的邏輯聯係。 最後，黎曼積分（Riemann Integration）的理論被係統地闡述。本書不僅關注於如何計算積分，更關注於“什麼是黎曼可積”。這涉及到黎曼上和（Upper Sums）與黎曼下和（Lower Sums）的構建，以及可積性的充要條件——幾乎處處不連續點集的勒貝格測度為零。作者對那些“病態”函數（如狄利剋雷函數）的可積性分析，體現瞭對積分理論的深刻理解。 寫作風格與受眾 本書的選文源自一個數學博客，因此其敘述風格是高度個人化和探索性的。它不僅僅是知識的陳述，更是思維過程的展示。作者傾嚮於在證明的每一步停下來，探討“為什麼是這樣？”而不是僅僅接受“就是這樣”。這種風格對於讀者而言，既提供瞭清晰的證明路徑，也提供瞭應對復雜問題的思維工具。 本書適閤於： 1. 正在學習實分析的本科生：作為教科書的有力補充，提供不同視角的解釋和解題策略。 2. 準備進入研究生學習的學生：用於鞏固對分析學基礎的掌握，特彆是對抽象概念的直觀理解。 3. 數學愛好者：對嚴格的數學證明和概念構建過程感興趣的讀者，可以從中體會到數學的嚴謹之美。 《ε空間 I：實分析》是一次對數學嚴謹性與直覺之間平衡的精彩探索，它將讀者帶入那個由 $epsilon$ 和 $delta$ 構築的精確而迷人的分析世界。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名，特彆是“An Epsilon of Room”這個英文名字，就給我一種非常獨特的聯想。它不僅僅是一本關於實分析的書，更像是一個數學探索的“空間”，而 ε（epsilon）則代錶著在這個空間中，我們所能達到的極緻的精確度和細緻的分析。我一直覺得，實分析是數學中一個非常“基礎”但也“深刻”的領域，它構建瞭我們理解連續、極限、收斂等核心概念的語言。而“Pages from year three of a Mathematical Blog”這個副標題，則為這本書增添瞭一層“成長”和“記錄”的色彩。我非常好奇，在作者大學第三年的數學學習過程中，哪些關於實分析的思考是最讓他印象深刻、最值得分享的。這本書，我猜測，將不僅僅是知識的堆砌，更會包含作者在學習過程中的一些心得體會、解題思路，甚至是一些“頓悟”的時刻。我期待在這本書中，能夠感受到一種更加人性化、更加貼近學習者真實經曆的數學講解方式，而不是那種冷冰冰的、公式化的呈現。這本書，或許能讓我看到，實分析是如何在一個個鮮活的思維碰撞中被理解和掌握的。

評分☆☆☆☆☆

一本關於實分析的博客選文，這本身就是一個非常有吸引力的概念。我曾經接觸過一些數學博客，它們往往能夠以一種更加生動、人性化的方式來講解復雜的數學問題，讓學習過程變得不那麼枯燥。我猜想，這本《An Epsilon of Room, I》一定也具備瞭這樣的特質。它可能不會像傳統的教科書那樣，上來就給齣大量的定義和定理，而是通過作者在學習過程中遇到的實際問題、思考過程，來引導讀者一步步地深入理解實分析的精髓。我非常期待看到作者是如何用通俗易懂的語言，或者通過一些巧妙的比喻和例子，來闡釋那些抽象的概念。而且，“第三年的數學博客選文”這個定位，也意味著這本書的內容並非基礎入門，而是已經涉及到瞭實分析中一些更具挑戰性和深度的內容。我希望這本書能夠幫助我梳理那些在我學習過程中可能遺漏或者沒有完全理解的知識點，並提供新的理解角度。我最看重的是，這本書能否激發我繼續深入學習實分析的興趣，並為我提供一種更加自由、更加個性化的學習體驗。

評分☆☆☆☆☆

我尤其好奇的是這本書的“Pages from year three of a Mathematical Blog”這個描述。這不像是一本傳統的、按部就班編寫的教材，而是更像是一位數學愛好者，在大學三年學習過程中，對自己所學知識、遇到的難題、甚至是閃現的靈感進行記錄和分享。這種形式的書籍，我總覺得會帶有一種獨特的魅力，它可能充滿瞭作者的個人思考、對問題的不同視角、以及在理解過程中可能遇到的掙紮和突破。我設想，在博客的選文中，作者一定挑選瞭那些對他而言最具代錶性、最有啓發性的內容。這可能意味著，我將有機會接觸到一些教材中可能不會詳細展開的、或者以另一種方式呈現的知識點。而且，作為“第三年”的選文，我相信內容一定已經具備瞭一定的深度和廣度，不再是基礎的入門介紹，而是對實分析中更具挑戰性、更需要思考和理解的專題進行瞭深入的探討。我非常有興趣瞭解，在作者眼中，實分析的哪些部分是最值得深入挖掘和分享的，以及他是如何將這些復雜的概念用博文的形式清晰地呈現齣來的。這種非綫性的、碎片化的但又充滿深度的學習方式，對我來說是一種非常新穎的體驗。

評分☆☆☆☆☆

從書名《ε空間 I：實分析》中，我立即聯想到數學中那個無處不在的 ε（epsilon）符號，它在極限的定義中扮演著至關重要的角色，是整個實分析理論體係的基石之一。這個符號本身就帶著一種精確、嚴謹、以及探索微小差彆的意味。我期待這本書能夠帶領我深入理解 ε-δ 語言的精髓，並在這個基礎上，構建起對實數集閤、數列、級數、函數極限、連續性等核心概念的深刻認識。實分析的學習往往是抽象且充滿挑戰的，它要求我們擺脫直觀的圖像，用嚴謹的邏輯和證明來理解數學的本質。我知道，在許多學習者眼中，實分析是“勸退”數學的一個重要門檻，但它也是通往更高級數學領域的必經之路。我非常希望這本書能夠成為我跨越這個門檻的有力助手，通過作者獨特的視角和錶達方式，讓我能夠更輕鬆、更有趣地掌握這些至關重要的數學工具和思想。書名中的“空間”二字，也讓我聯想到實數集、歐幾裏得空間等概念，暗示著這本書將從幾何和代數的角度，多維度地解析實分析的內容。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計就給我一種非常專業的、學術的感覺，純淨的白色背景搭配上書名中簡潔的希臘字母 ε（epsilon）和 I，以及“實分析”幾個字，立刻勾勒齣這是一本關於數學的嚴謹著作。雖然我還沒來得及深入閱讀，但單從這視覺傳達上，我就能感受到作者在編排和呈現內容時所花的心思。我知道實分析是大學數學中一個非常核心且重要的分支，它深入探討瞭實數係統、極限、連續性、微分、積分等概念的嚴謹定義和證明，是後續學習更高級數學的基礎。我一直對數學的美感和邏輯性著迷，而“Mathematical Blog”這個副標題又為這本書增添瞭一絲意想不到的親切感，仿佛它不是一本冰冷的教科書，而是作者在學術探索旅程中的真實記錄和思考。我非常期待通過這本書，能夠以一種更加生動、非傳統的方式來理解這些抽象而深刻的數學概念，並從中獲得啓發，發現實分析背後更深層次的數學之美。書名中的“An Epsilon of Room”也很有意境，讓我聯想到數學中那個微小而又至關重要的 ε（epsilon），它代錶著精確和極限，暗示著這本書將帶領我進入數學世界的一個非常精妙的角落，去探索那些最基本、最核心的原理。

評分☆☆☆☆☆

數學天纔的博客文章，買來膜拜的

評分☆☆☆☆☆

這個商品質量非常好很不錯。

評分☆☆☆☆☆

一直想看看天纔的作品，書籍印刷精良，價格比原版實惠瞭許多。

評分☆☆☆☆☆

華裔數學天纔陶哲軒的作品，看過其《實分析》，真是不錯。

評分☆☆☆☆☆

不錯，很好！

評分☆☆☆☆☆

很好

評分☆☆☆☆☆

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經典圖書，一定重點推薦這套書

評分☆☆☆☆☆

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