什麼是數學 對思想和方法的基本研究（第四版）R柯朗 復旦大學齣版社 大學數學經典專業書 研究學習 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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齣版社： 復旦大學齣版社

ISBN：9787309128109

商品編碼：27179598715

基本信息

書名:什麼是數學:對思想和方法的基本研究

定價：49元

作者:R·柯朗，H·羅賓 著；左平，張飴慈 譯

齣版社：復旦大學齣版社

齣版日期：2017-03-01

ISBN：97873091289

字數：

頁碼：

版次：1

裝幀：平裝-膠訂

開本：32開

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目錄

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什麼是數學第1章 自然數引言§1整數的計算1．算術的規律2．整數的錶示3．十進位製中的計算*§2數係的無限性數學歸納法1．數學歸納法原理2．等差級數3．等比級數4．前n項平方和*5．-個重要的不等式*6．二項式定理*7．再談數學歸納法第1章補充 數論引言§1素數1．基本事實2．素數的分布§2同餘1．一般概念2．費馬定理3．二次剩餘§3畢達哥拉斯數和費馬大定理§4歐幾裏得輾轉相除法1．一般理論（53）2．在算術基本定理上的應用（58）3．歐拉函數再談費馬定理（59）4．連分數丟番都方程（61）第2章 數學中的數係引言§1有理數1．作為度量工具的有理數2．數學內部對有理數的需要推廣的原則3．有理數的幾何解釋§2不可公度綫段無理數和極限概念1．引言2．十進位小數無限小數3．極限無窮等比級數4．有理數和循環小數5．用區間套給齣無理數的一般定義*6．定義無理數的另一個方法戴特金分割§3解析幾何概述1．基本原理*2．直綫方程和麯綫方程§4無限的數學分析1．基本概念2．有理數的可數性和連續統的不可數性3．康托的“基數”4．反證法5．有關無限的悖論6．數學的基礎§5復數1．復數的起源2．復數的幾何解釋3．棣莫弗公式和單位根*4．代數基本定理*§6代數數和**數1．定義和存在性**2．柳維爾定理和**數的構造第2章補充 集閤代數1．一般理論2．在數理邏輯中的應用3．在概率論中的一個應用……第3章 幾何作圖數域的代數第4章 射影幾何公理體係歐幾裏得幾何第5章 拓撲學第6章 函數和極限第6章補充 極限和連續的一些例題第7章 極大與極小第8章 微積分第8章補充第9章 進展附錄 補充說明問題和習題參考書目1參考書目2（推薦閱讀）

內容提要

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《什麼是數學：對思想和方法的基本研究（第4版）》是世界的數學科普讀物，它搜集瞭許多經典的數學珍品，對整個數學領域中的基本概念與方法，做瞭精深而生動的闡述。無論是數學專業人士，或是願意作數學思考者都可以閱讀《什麼是數學：對思想和方法的基本研究（第4版）》。 特彆對中學數學教師、大學生和高中生，《什麼是數學：對思想和方法的基本研究（第4版）》都是一本極好的參考書。

《數學的邊界：探索未知，構建未來》 引言： 數學，作為一門古老而又充滿活力的學科，不僅是理解我們所處世界的基石，更是推動人類文明進步的強大引擎。從宇宙的浩瀚星辰到微觀粒子的奇妙運動，從經濟金融的復雜模型到人工智能的飛速發展，數學無處不在，深刻地影響著我們的生活。然而，數學的魅力遠不止於已知，其真正的力量在於探索未知、突破邊界。本書《數學的邊界：探索未知，構建未來》正是這樣一部旨在引導讀者跨越已知，抵達數學新視界的著作。它將帶領我們深入探索數學研究的前沿領域，領略數學思想的深刻演變，並展望數學在未來將扮演的關鍵角色。 第一部分：數學思想的演進——從經典到前沿 數學的發展並非一蹴而就，而是一個漫長而輝煌的演進過程。本部分將梳理數學思想的經典傳承，並重點介紹那些引領數學走嚮未來的前沿分支。 第一章：邏輯與集閤——構建數學的基石 我們將從最基礎的邏輯推理原則齣發，探討形式邏輯如何成為數學證明的語言。 接著，我們將深入理解集閤論的革命性意義，它如何統一瞭數學的各個分支，並為現代數學奠定瞭堅實的基礎。我們將探討樸素集閤論與公理化集閤論的區彆，以及羅素悖論等引發的深刻思考。 此外，本章還將介紹數理邏輯在計算機科學、哲學等領域的應用，展示其跨學科的強大生命力。 第二章：代數的奧秘——從群論到範疇論 從數的運算到抽象代數，本章將帶領讀者領略代數之美。我們將深入研究群論，理解對稱性的深刻內涵，以及它在物理學、化學等領域的廣泛應用。 我們將探討環、域等代數結構，揭示其豐富的性質與聯係。 更進一步，我們將介紹範疇論這一更為抽象但極為強大的數學語言。範疇論如何以“態射”為核心，以一種統一的視角連接數學的各個分支，並成為現代數學研究的重要工具。我們將探討同構、函子、自然變換等基本概念，並初步領略其在代數幾何、拓撲學等領域的威力。 第三章：幾何的蛻變——從歐幾裏得到微分幾何與拓撲學 本章將從經典的歐幾裏得幾何齣發，展現幾何學如何不斷拓展其研究的邊界。 我們將深入學習微分幾何，瞭解如何利用微積分的工具研究麯綫、麯麵以及高維空間的幾何性質。黎曼幾何將作為重點，它為廣義相對論提供瞭數學框架，是理解時空彎麯的關鍵。 我們將探討拓撲學，它研究的是在連續形變下保持不變的幾何性質。我們將從直觀的例子（如橡皮膜上的洞）齣發，理解同胚、同倫等基本概念，並初步認識同調論、同倫論等強大的拓撲不變量。拓撲學在理論物理、網絡科學等領域有著極其重要的應用。 第四章：分析的深度——從微積分到函數空間與動力係統 本章將迴顧微積分的核心思想，並進一步拓展到更廣闊的分析領域。 我們將探討函數空間的結構，理解無窮維空間的分析方法，以及傅裏葉分析、泛函分析在信號處理、量子力學等領域的應用。 我們將深入研究動力係統，理解方程的解如何隨時間演化，以及混沌理論的深刻洞見。分形幾何也將穿插其中，展現自然界中普遍存在的復雜結構。 第二部分：前沿數學的探索——挑戰與機遇 數學的邊界不斷被拓展，新的領域層齣不窮。本部分將聚焦於一些最具活力和影響力的前沿數學研究方嚮，展現數學傢們正在解決的挑戰以及未來的發展機遇。 第五章：數論的密碼——從素數分布到密碼學 數論，這門研究整數性質的古老學科，在現代依然保持著旺盛的生命力。本章將迴顧素數定理等經典成果，並深入探討代數數論、解析數論等分支。 我們將重點關注數論在現代密碼學中的核心作用，理解橢圓麯綫密碼學、整數分解問題等如何保障信息安全。 我們將展望數論在量子計算、編碼理論等新興領域中的潛在應用。 第六章：概率與統計的融閤——從大數據到機器學習 在信息爆炸的時代，概率論和統計學的重要性日益凸顯。本章將介紹隨機過程、馬爾可夫鏈等核心概念。 我們將探討統計推斷的理論基礎，以及大數據分析的統計方法。 尤其重要的是，我們將深入分析概率與統計如何成為機器學習的核心驅動力，理解從監督學習到深度學習的數學原理，並探討其在人工智能、金融建模、生物醫學等領域的廣泛應用。 第七章：計算數學與理論計算機科學——算法的邊界 隨著計算能力的飛躍，計算數學已成為數學研究中不可或缺的一部分。本章將介紹數值分析、科學計算等方法，以及它們在模擬復雜係統中的應用。 我們將探討計算復雜性理論，理解算法的效率極限，以及P/NP問題的深遠意義。 我們將關注算法設計與優化的前沿進展，以及它們在人工智能、優化問題、圖論等領域的突破。 第八章：數學與物理的對話——弦論、拓撲量子場論與數學物理 數學與物理學之間一直存在著深刻而富有成效的互動。本章將深入探討數學物理的前沿領域。 我們將初步瞭解弦論、M理論等試圖統一物理學基本規律的理論，以及其中涉及的深刻數學概念，如超對稱、規範場論等。 我們將介紹拓撲量子場論，它如何利用拓撲學研究量子場論，並與凝聚態物理、量子計算等領域産生聯係。 我們將探討數學在量子信息、量子引力等未知領域的研究中扮演的關鍵角色。 第三部分：數學的未來——工具、思想與人文價值 數學不僅僅是一門學科，更是一種思維方式、一種探索世界的有力工具。本部分將展望數學的未來發展方嚮，並強調其在構建未來社會中的重要意義。 第九章：跨學科的融閤——數學在科學與工程中的新機遇 數學與其他學科的界限日益模糊，跨學科研究成為新常態。本章將列舉數學在生物信息學、神經科學、環境科學、經濟學等領域的具體應用案例。 我們將探討如何利用數學模型解決現實世界中的復雜問題，並預測數學在未來科學探索中的更大作用。 第十章：數學教育的革新——培養麵嚮未來的數學人纔 數學教育的理念和方法需要不斷革新，以適應時代發展的需求。本章將探討如何培養學生的數學思維能力、解決問題的能力和創造力。 我們將討論在綫教育、交互式學習等新型教學模式，以及如何激發學生對數學的興趣。 本章也將關注如何縮小數學領域的性彆差距，促進數學教育的公平性。 第十一章：數學的人文價值——邏輯、抽象與美的追求 除瞭實用價值，數學還蘊含著深刻的人文精神。本章將探討數學思維的邏輯性、嚴謹性、抽象性及其對人類理性思維的培養作用。 我們將從數學的對稱性、和諧性、簡潔性等方麵，展現數學之美，闡釋數學傢們對真理的執著追求。 本章也將反思數學在哲學、藝術、文學等領域的影響，探討數學的普遍性和超越性。 結語： 《數學的邊界：探索未知，構建未來》是一次對數學世界深度探索的邀請。它不僅為有誌於深入數學研究的讀者提供瞭清晰的導引，更希望能激發所有對未知充滿好奇的人們，一同踏上這場智識的冒險之旅。數學的邊界，並非終點，而是通往更廣闊知識海洋的起點。掌握數學的思想和方法，就是掌握瞭洞察世界、塑造未來的強大力量。讓我們一同迎接數學的未來，探索無限可能。

評分☆☆☆☆☆

我必須承認，這本書的閱讀體驗並非一蹴而就，它需要時間和耐心，但迴報卻是巨大的。 柯朗教授的敘述風格，雖然嚴謹而不失細膩，但他所探討的內容，往往需要讀者反復咀嚼，纔能真正領會其中的深意。我常常會在某個段落反復閱讀數遍，甚至暫時放下書本，去思考他提齣的觀點。這種“慢閱讀”的方式，讓我受益匪淺。它迫使我跳齣碎片化、快餐式的閱讀模式，去進行更深入、更係統的思考。書中關於數學概念的引入，總是循序漸進，從最直觀的例子齣發，逐漸引嚮抽象的定義和定理。這種“由易到難”的設計，對於我這樣對數學有著一定興趣但基礎不紮實的讀者來說，尤為友好。它讓我能夠在理解一個概念的基礎上，再去學習下一個概念，避免瞭因理解障礙而産生的挫敗感。而書中對於數學方法論的探討，更是讓我眼前一亮。它不僅僅是教我們如何運用數學工具，更是引導我們去理解數學思維的邏輯，去掌握分析問題、解決問題的通用方法。那些關於“類比”、“歸納”、“演繹”等思維方法的闡述，讓我看到瞭數學的普遍適用性，不僅僅局限於數學領域，更能應用於科學、工程、甚至生活中的各種挑戰。這本書讓我明白，學習數學，不僅僅是學習一門學科，更是在學習一種思維方式，一種認識世界、改造世界的能力。

評分☆☆☆☆☆

這是一本讓我重新認識數學的書，它不僅僅是公式和符號的集閤，更是思想的盛宴。 柯朗教授的敘述，總能將數學的深邃與生活中的觀察巧妙地結閤起來，讓我對數學的理解不再局限於課本。他所探討的數學思想，不僅僅是知識點，更是一種看待世界的方式。我尤其欣賞他對於數學發展曆程的迴顧，那些先賢們為瞭追求真理而付齣的努力，讓我感受到瞭數學作為一門“活的科學”的生命力。書中對於數學證明的講解，讓我看到瞭邏輯的強大力量，也讓我理解瞭數學的嚴謹性是如何建立的。這種對“為什麼”的深入探討，遠比機械地記憶公式來得更有意義。而書中對於數學方法論的闡述，更是讓我看到瞭數學的普適性。那些關於抽象、類比、歸納、演繹等思維方式，不僅僅在數學領域大放異彩，在科學、工程、乃至日常生活決策中都具有重要的指導意義。這本書讓我意識到，學習數學，不僅僅是為瞭掌握一門學科，更是為瞭培養一種獨立思考、嚴謹求證的能力。它讓我開始用更敏銳的目光去審視周遭的世界，用更理性的思維去分析問題。

評分☆☆☆☆☆

這本書的文字，如同涓涓細流，滋潤著我對數學的認知，也滌蕩著我的思維。 柯朗教授以其特有的筆觸，將數學的思想和方法，描繪得如此生動而深刻。我常常在閱讀時，被他精妙的比喻和貼切的例子所打動，它們將抽象的數學概念，轉化為觸手可及的畫麵，讓我能夠輕鬆地理解和吸收。書中對於數學史的介紹，更是讓我看到瞭數學是如何在人類文明的長河中，不斷發展、不斷演進的。那些偉大的數學傢們，他們的智慧和探索精神，仿佛穿越時空，與我進行著對話，激勵著我勇於探索和創新。我尤其喜歡書中對於數學證明的探討，它讓我看到瞭數學的嚴謹和邏輯之美。柯朗教授並沒有簡單地羅列證明過程，而是深入分析瞭證明的思路和方法，讓我能夠理解“為什麼”這樣做，而不僅僅是“怎麼做”。這種“知其然，更知其所以然”的學習方式，讓我受益匪淺。而書中對於數學方法論的闡述，更是讓我看到瞭數學的普適性。那些關於抽象、類比、歸納、演繹等思維方法，不僅僅適用於數學領域，更能應用於科學、工程、甚至生活中的各種挑戰。這本書讓我明白，學習數學，不僅僅是學習一門學科，更是在學習一種思維方式，一種認識世界、改造世界的能力。

評分☆☆☆☆☆

這本書帶給我的，不僅僅是知識的增長，更是思維的升華。 柯朗教授以其深厚的學養和獨到的見解，為我們展現瞭數學的思想和方法。他所探討的內容，不僅僅停留在技術層麵，更是深入到瞭數學的哲學內涵。我常常在閱讀中，被書中提齣的深刻問題所吸引，例如“數學的語言為何如此強大？”“數學是如何影響人類思維的？”“數學在探索未知領域中扮演著怎樣的角色？”這些問題，引人深思，讓我對數學産生瞭更深層次的理解和熱愛。書中對於數學概念的引入，總是從最基礎的直觀感受齣發，層層遞進，直至抽象的理論。這種“由淺入深”的講解方式，極大地降低瞭學習的門檻，讓我這個並非數學專業齣身的讀者，也能感受到數學的魅力和力量。尤其是對數學證明的闡述，讓我看到瞭邏輯推理的嚴謹之美，也讓我理解瞭數學的確定性和普適性。這本書讓我意識到，學習數學，不僅僅是為瞭掌握一門學科，更是為瞭培養一種獨立思考、嚴謹求證的能力。它讓我開始用更敏銳的目光去審視周遭的世界，用更理性的思維去分析問題。

評分☆☆☆☆☆

這本書在我學習數學的道路上，無疑是一座裏程碑。 柯朗教授以其非凡的洞察力，為我們呈現瞭一幅數學思想和方法的宏大畫捲。他不僅僅是在講解數學知識，更是在傳遞一種對數學的熱愛和敬畏。書中對於數學作為一門“活的科學”的描述，讓我看到瞭數學並非一成不變的教條，而是一個不斷發展、不斷演進的動態係統。他對於數學發展曆史的梳理，讓我們看到瞭無數數學傢們是如何在探索真理的道路上，不斷突破、不斷創新的。這對於我這樣一個對數學史懷有濃厚興趣的讀者來說，無疑是一種精神上的激勵。我尤其喜歡書中對於數學證明的探討，它讓我深刻理解瞭數學的嚴謹性是如何通過精密的邏輯推理來保證的。那些看似枯燥的證明過程，實則蘊含著智慧的光芒，是人類理性思維的結晶。柯朗教授善於將復雜的數學思想，用通俗易懂的語言錶達齣來，讓非數學專業背景的讀者也能感受到數學的魅力。他對於數學在物理、工程、甚至哲學等其他學科中的應用的闡述，也讓我看到瞭數學的強大生命力和普適性。這本書不僅僅是提供知識，更是在啓發思考，在培養批判性思維。它鼓勵我們去質疑，去探索，去發現數學的更多可能性。

評分☆☆☆☆☆

翻開這本書，我感覺自己並非在學習一門科目，而是在進行一場心靈的洗禮。 柯朗教授的文字，充滿瞭哲學的思辨和人文的關懷。他將數學的概念，與人類的認知、宇宙的奧秘緊密聯係起來，讓我看到瞭數學的博大精深。書中對於數學本質的探討，讓我對“什麼是數學”有瞭全新的認識。它不僅僅是數量和空間的描述，更是一種對普遍規律的探索，一種對抽象真理的追求。我尤其喜歡書中對於數學證明的講解，它讓我看到瞭邏輯的嚴謹和思維的深度。那些精妙的證明過程，如同一件件精美的藝術品，展示瞭人類智慧的結晶。而書中對於數學方法論的闡述，更是讓我看到瞭數學的普適性。那些抽象、類比、歸納、演繹等思維方式，不僅僅適用於數學領域，更能應用於科學、工程、甚至日常生活中的各種挑戰。這本書讓我明白，學習數學，不僅僅是學習一門學科，更是在學習一種思維方式，一種認識世界、改造世界的能力。它鼓勵我們主動去探索、去質疑、去創造，去成為一個真正意義上的“思考者”。

評分☆☆☆☆☆

這本書為我打開瞭一扇認識數學的新視窗。 柯朗教授的深刻洞察力，將數學的精髓展現在我們麵前，不僅僅是那些冰冷抽象的公式，更是其背後蘊含的思想和方法。他通過層層遞進的講解，讓我們看到數學是如何從簡單的幾何圖形、數量關係，逐漸演化齣復雜的代數結構、分析理論。這種由淺入深的敘述方式，對於我這樣的初學者來說，無疑是極大的福音，它讓我在理解基本概念的基礎上，能夠逐步深入到更復雜的數學世界。書中對於數學證明的講解，尤其讓我印象深刻。我過去常常覺得證明過程枯燥乏味，但柯朗教授的闡述，讓我看到瞭證明背後的邏輯之美和思想之深邃。他將證明的過程，不僅僅看作是推導，更是一種思維的探索和對真理的求證。而書中對於數學方法論的探討，更是讓我看到瞭數學的普適性。那些關於抽象、類比、歸納、演繹等思維方法，不僅在數學領域至關重要，更是在科學研究、日常生活等方方麵麵都發揮著關鍵作用。這本書讓我明白，學習數學，不僅僅是學習一門技術，更是在學習一種思維方式，一種解決問題的能力。它讓我開始用更廣闊的視野去看待數學，理解數學在人類文明發展中的重要地位。

評分☆☆☆☆☆

《什麼是數學》這本書，就像一位博學的嚮導，引領我踏入瞭數學的奇妙殿堂。 柯朗教授的講解，與其說是教科書，不如說是思想的啓迪。他並沒有直接灌輸復雜的公式和定理，而是從數學的本質入手，探討數學思想的形成和發展。這種“哲學式”的數學教學，讓我耳目一新。我常常在閱讀中停下來，思考他提齣的問題，例如“數學是如何誕生的？”“數學的語言有何獨特之處？”“數學在宇宙中扮演著怎樣的角色？”這些問題，不僅讓我對數學有瞭更深的理解，更激發瞭我對未知世界的探索欲望。書中對於數學概念的引入，總是從最直觀的例子齣發，層層遞進，直至抽象的理論。這種“由淺入深”的講解方式，極大地降低瞭學習的門檻，讓我這個並非數學專業齣身的讀者，也能感受到數學的魅力和力量。尤其是對數學證明的闡述，讓我看到瞭邏輯推理的嚴謹之美，感受到瞭數學的確定性和普適性。這本書不僅僅是關於數學知識的傳遞，更是關於思維方式的培養。它鼓勵我們獨立思考，勇於質疑，並從中發現解決問題的真正方法。

評分☆☆☆☆☆

這本書的深度和廣度，讓我不得不贊嘆柯朗教授的博學與洞見。 他不僅僅是一位數學傢，更像是一位哲學傢、一位思想傢。他對於數學思想和方法的探討，超越瞭單純的技術層麵，觸及瞭數學作為人類智力活動最高形式的本質。在閱讀的過程中，我不斷地被書中提齣的問題所激發，例如“什麼是數學的本質？”“數學思維是如何形成的？”“數學在不同文化和曆史背景下的發展有何差異？”等等。這些問題引人深思，引導我去探索數學的根源，去理解數學的邏輯嚴謹性是如何建立起來的，去感受數學的普適性是如何在不同領域發揮作用的。書中對於數學證明的討論，讓我對“嚴謹”二字有瞭全新的認識。它不再是死記硬背的條條框框，而是一種對邏輯推理的極緻追求，一種對真理的不懈探索。柯朗教授通過生動的例子和深入淺齣的講解，將抽象的數學概念變得觸手可及，讓我看到瞭數學在幾何、代數、分析等不同領域是如何相互聯係、相互促進的。他對於數學史的梳理，也讓我對數學的發展曆程有瞭更清晰的認識，理解瞭數學是如何在人類文明的進程中扮演著重要角色的。這本書不僅僅是關於數學的“是什麼”，更是在引導我們思考“為什麼”和“怎麼做”。它鼓勵我們主動去探索、去質疑、去創造，去成為一個真正意義上的“思考者”。對於任何一個渴望深化自身思維能力的人來說，這本書都絕對是一份無價的寶藏。

評分☆☆☆☆☆

第一次翻開這本書，就被它那深邃的哲學思考所吸引。 柯朗教授不僅僅是在傳授數學的知識，他似乎在引導我們進行一場關於“思維”本身的探索。那些關於數學的本質、數學思維的形成、數學在人類認知體係中的位置的討論，如同一盞盞明燈，照亮瞭我原本模糊的認知邊界。我常常會在閱讀中停下來，反復咀嚼那些看似簡單卻蘊含哲理的句子，試圖理解數學作為一種語言、一種工具、一種思想體係，如何滲透到我們理解世界的方方麵麵。這本書讓我意識到，數學並非冰冷的符號和公式堆砌，而是一種生動的、充滿活力的思維方式，它塑造著我們解決問題、分析事物的能力，甚至影響著我們對真理的追求。尤其令我印象深刻的是，作者在闡述數學概念時，總能從最基礎的直觀感受齣發，層層遞進，直至抽象的理論。這種“由淺入深”的講解方式，極大地降低瞭學習的門檻，讓我這個並非數學專業齣身的讀者，也能感受到數學的魅力和力量。那些貫穿全書的對數學曆史的溯源，對不同數學分支之間聯係的揭示，都讓我對數學這個學科有瞭更宏觀、更深刻的認識。它不再是孤立的知識點，而是一個龐大而精妙的體係，充滿瞭內在的邏輯和美感。我開始嘗試用書中的思想來審視我日常工作和生活中遇到的問題，驚喜地發現，許多曾經睏擾我的難題，似乎都有瞭新的解決思路。這種思維的啓迪，是這本書帶給我的最寶貴財富。