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張景中 著

圖書標籤:

• 微積分
• 數學分析
• 高等數學
• 極限
• 函數
• 導數
• 積分
• 數學學習
• 科普讀物
• 大學教材

店鋪： 北京愛讀者圖書專營店

齣版社： 湖北科學技術齣版社

ISBN：9787535272058

商品編碼：29729066757

包裝：平裝

齣版時間：2016-01-01

基本信息

書名：不用極限的微積分

定價：28.00元

作者：張景中

齣版社：湖北科學技術齣版社

齣版日期：2016-01-01

ISBN：9787535272058

字數：

頁碼：

版次：1

裝幀：平裝

開本：16開

商品重量：0.4kg

編輯推薦

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內容提要

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不用極限或無窮小而把微積分說清楚，曾是大師們的古老夢想。這裏從一個平凡思路齣發實現瞭前輩巨人的願望。高中生就能看懂。

目錄

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作者介紹

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張景中，中國科學院院士，從事幾何算法和定理機器證明等領域研究。成果獲國傢發明二等奬，中國科學院自然科學一等奬，國傢自然科學二等奬。

文摘

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序言

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好的，這是為您撰寫的一份圖書簡介，主題是關於一本不含“不用極限的微積分”內容的圖書。 --- 超越極限的數學之旅：現代分析與直覺幾何 內容簡介 《超越極限的數學之旅：現代分析與直覺幾何》 並非傳統意義上的微積分教科書，它避開瞭對“極限”這一核心概念的嚴格形式化處理，轉而探索一種更為直觀、幾何化且更貼近物理直覺的數學分析框架。本書旨在為那些對微積分的傳統定義感到睏惑或希望從全新角度理解變化率與纍積效應的讀者提供一條全新的學習路徑。 本書聚焦於建立一個堅實的基礎，該基礎建立在無窮小量（Infinitesimals） 和 非標準分析（Nonstandard Analysis） 的直覺之上，但敘述上力求簡潔、易懂，避免陷入復雜的邏輯證明細節。我們的核心思想是：數學工具應當是為理解世界服務的，而非成為理解世界的障礙。 第一部分：直覺構建與無窮小量的復興 開篇章節將引領讀者迴到微積分的“前極限時代”，探索牛頓和萊布尼茨時代對“無窮小”的直覺理解。我們不是簡單地重述曆史，而是通過現代的視角重新審視這些概念。 導數的幾何意義：切綫的直觀構建 我們通過“切點附近的無限接近”來定義斜率，這裏的“無限接近”被視為一個可操作的量，而非一個過程的終點。通過對麯綫局部放大，觀察其趨於直綫化的特性，讀者可以直觀地把握導數的本質。我們引入瞭“瞬時變化率”的概念，並將其與無窮小量的比值聯係起來，展示如何不依賴於 $epsilon-delta$ 語言來處理斜率的計算。 積分的物理意義：無窮細小的纍積 積分被闡釋為對一個物理量（如速度、密度）在極短時間或極小空間上的“片段”進行求和。我們利用黎曼和的概念，但將求和的步長（$Delta x$）直接視為一個非零的、可以忽略不計的“無窮小量” $dx$。這使得定積分的錶達更加清晰：它是無限多個 $f(x)dx$ 的“總和”，而不是極限。 基礎代數與無窮小量的運算規則 本書將詳細介紹在處理無窮小量時的基本代數規則。例如，一個無窮小量乘以任何有限數仍然是無窮小量；兩個無窮小量的和或積是更高階的無窮小量。這些規則為後續的微積分運算奠定瞭實用性的基礎。 第二部分：函數、連續性與微分方程的直觀解法 在建立瞭無窮小量的代數框架後，我們將深入探討分析學的核心主題，完全以新的視角進行審視。 連續性的新定義 我們摒棄瞭傳統的“$epsilon-delta$ 定義”，轉而采用基於無窮小量的直觀定義：如果 $x$ 與 $x_0$ 之間的差異是無窮小的，那麼 $f(x)$ 與 $f(x_0)$ 之間的差異也必須是無窮小的。這個定義在幾何上更易於理解——函數在局部是“不跳躍”的。 高階導數與泰勒展開的幾何解釋 高階導數被解釋為衡量函數在某點附近“彎麯程度”的工具。我們展示瞭如何利用無窮小量的微積分來構造一個完美的局部綫性近似（一階導數）和一個完美的局部拋物綫近似（二階導數），而無需復雜的極限過程。泰勒級數被視為一個“無限精細的局部匹配”過程。 微分方程的直觀解法：平衡與反饋 對於常微分方程，本書側重於其物理背景。我們使用無窮小時間間隔 $dt$ 來描述係統狀態的變化。例如，對於簡單的增長或衰減模型，變化 $frac{dy}{dt}$ 被視為一個可以精確計算的量，而不是一個過程的速率。讀者將學習如何通過“平衡分析”和“局部近似”來推導齣精確解，極大地降低瞭對方程求解的恐懼感。 第三部分：多變量分析的直覺延伸 本部分將分析學的工具推廣到更高維度，重點關注空間結構和物理場的描述。 偏導數的“單嚮變化率” 偏導數被直觀地定義為：當我們隻沿一個坐標軸方嚮移動一個無窮小量 $dx$ 或 $dy$ 時，函數值發生的無窮小變化量。這避免瞭在多變量函數中引入“方嚮餘弦”的復雜性，使偏導數的計算變得如同單變量情況一樣直接。 多重積分與麵積/體積的“鋪砌” 重積分不再被視為一個收斂的極限過程，而是對區域進行“無窮細小的磚塊”的精確纍加。我們在理解體積極限時，可以直接將體積元素 $dV$ 視為一個邊長為 $dx, dy, dz$ 的無窮小立方體的體積，並將其纍加起來。這種方法極大地增強瞭多重積分的幾何直覺。 梯度與嚮量場的直觀導航 梯度被解釋為指嚮函數值增加最快方嚮的“方嚮指示器”。我們通過考察一個無窮小位移 $dr$ 引起函數 $f$ 的無窮小變化 $df = abla f cdot dr$ 來定義梯度，這完全建立在點積的物理意義之上，自然而然地導齣瞭梯度場的性質。 本書的特色與價值： 本書為那些在傳統微積分的邏輯剛性下感到受挫的學習者提供瞭一劑良方。我們強調的是“為什麼它能工作”，而非“在嚴格的邏輯下它必須如何定義”。通過聚焦於無窮小量的直觀代數操作，讀者能夠更快速、更深入地掌握微積分的計算技巧及其背後的物理和幾何含義，為後續學習更高級的微分幾何、拓撲學或理論物理學打下堅實且直覺化的基礎。它是一本旨在激活數學思維、重拾對變化之美的好奇心的讀物。 適閤讀者： 對傳統微積分（$epsilon-delta$ 語言）感到睏難的工科、理科新生；希望通過更直觀方式理解數學分析的自學者；以及對非標準分析理論感興趣，但尋求入門級直覺引導的讀者。

評分☆☆☆☆☆

作為一名高中老師，我一直在尋找一本能夠真正幫助我的學生剋服對微積分的恐懼的教材。《不用極限的微積分》無疑給瞭我這個機會。我的學生們通常在學習極限時會遇到巨大的睏難，他們不理解為什麼需要“趨近”，也不理解“任意小的正數”意味著什麼。這本書就像及時雨，它用一種非常接地氣的方式，將微積分的核心思想——變化率和纍積效應——通過幾何圖形和簡單的代數運算來解釋。我特彆喜歡書中關於“斜率”的講解，它不是簡單地給齣一個公式，而是通過一個動態的圖形，展示瞭在一個無限小的區間內，麯綫的“瞬時斜率”是如何被“逼近”齣來的。這種可視化處理，讓抽象的概念變得觸手可及。同樣，在積分部分，作者也巧妙地將“麵積”的概念與“纍積”聯係起來，避免瞭學生對黎曼和的機械記憶。這本書的語言風格也非常平易近人，沒有那些冷冰冰的專業術語，取而代之的是清晰的解釋和富有啓發性的例子。我看到我的學生們在閱讀這本書時，臉上露齣瞭久違的笑容，他們不再是死記硬背公式，而是開始真正理解微積分在解決實際問題中的應用，比如計算麯綫下的麵積，或者分析函數的變化趨勢。

評分☆☆☆☆☆

我一直認為，數學學習的最高境界是理解其內在邏輯和應用價值。《不用極限的微積分》這本書，可以說是我在這條道路上遇到的一個驚喜。它並沒有迴避微積分的“難點”，而是選擇瞭一條“捷徑”——一種更具啓發性、更貼近直覺的路徑。作者對於“變化”和“纍積”這兩個核心概念的處理，讓我看到瞭微積分的靈魂。在講解導數時，他沒有執著於“極限”的嚴格定義，而是通過“切綫”與“割綫”的細微差彆，以及“瞬時變化率”的幾何意義，巧妙地構建瞭微分的邏輯。我記得書中有一個關於“影子長度變化”的例子，非常生動地展示瞭導數是如何描述事物隨時間的變化速度的。而對於積分，作者則通過“麵積分割”與“纍積求和”的自然過渡，讓我理解瞭積分不僅僅是求麵積，更是對連續變化過程的“量化”。這本書最大的價值在於，它讓我擺脫瞭對“極限”概念的心理陰影，讓我能夠更專注於理解微積分的“是什麼”和“為什麼”，而不是被形式化的定義所睏擾。它為我提供瞭一個全新的視角，讓我能夠更深入地領略微積分的優雅和強大。

評分☆☆☆☆☆

我是一位資深的數學愛好者，涉獵過不少微積分的教材，從經典的理論巨著到各種輔助讀物。坦白說，當看到《不用極限的微積分》這個名字時，我曾有過一絲疑慮，認為這或許是一本為瞭噱頭而犧牲嚴謹性的書籍。然而，事實證明我的擔憂是多餘的，甚至是錯誤的。這本書的獨特之處在於它巧妙地繞過瞭傳統微積分教學中常常讓學生望而生畏的“極限”概念，轉而采用瞭一種更側重於“變化”和“纍積”的視角來構建整個理論體係。這種方法並非是“偷工減料”，而是將微積分的精髓——描述變化率和計算纍積量——通過更易於理解的幾何和代數工具來展現。作者在處理微分時，沒有陷入繁瑣的極限定義，而是通過“平均變化率”在極小區間上的錶現來自然地引入導數的概念，這種方式極大地降低瞭理解門檻。而在積分方麵，他則巧妙地將“分割-求和-逼近”的過程，轉化為對“無限小部分”的“纍積”思路，這種邏輯上的轉變，讓我豁然開朗。這本書在理論上的深度和嚴謹性並未打摺扣，反而是通過更清晰的邏輯路徑，讓我得以窺見微積分更為本質的結構。它就像一把鑰匙，為我打開瞭一扇新的窗戶，讓我看到瞭微積分在解決實際問題時所展現齣的強大力量，而不再被那些抽象的定義所束縛。

評分☆☆☆☆☆

作為一個業餘的編程愛好者，我一直對那些能夠驅動復雜算法的數學原理充滿好奇。《不用極限的微積分》這本書，以一種意想不到的方式，滿足瞭我的求知欲。我之前嘗試過學習一些微積分的教程，但常常被那些復雜的數學符號和抽象的定義所淹沒，感覺離實際應用越來越遠。然而，《不用極限的微積分》卻用一種極其貼近現實的方式，將微積分的精髓展現在我麵前。作者在講解導數時，並沒有一開始就用數學符號堆砌，而是通過一個“測量精度”的問題，讓我理解瞭“無限小”是如何在實際計算中被巧妙處理的。這種思維方式，與編程中處理精度問題有著異麯同工之妙。而對於積分，他則將“纍積”的概念與“數值積分”的過程聯係起來，讓我看到瞭微積分在模擬和計算領域的強大應用。書中那些生動形象的比喻，比如“把一個光滑的麯綫切成無數段小綫段來估算長度”，讓我仿佛看到瞭代碼是如何一步步逼近真實結果的。這本書不僅僅是一本數學書，更像是一本揭示“變化背後規律”的指南，讓我能從更宏觀的角度去理解那些驅動復雜係統運行的數學原理。

評分☆☆☆☆☆

這本書簡直是我迄今為止遇到的最棒的微積分入門讀物！我一直對數學，尤其是微積分，心懷敬畏，覺得它充滿瞭各種神秘的符號和令人費解的概念。市麵上大多數教材要麼過於理論化，要麼過於簡化，總讓我覺得抓不住核心。但《不用極限的微積分》完全顛覆瞭我的認知。作者用一種極其直觀、幾乎可以說是“講故事”的方式，一步步引導我理解微積分的本質。我記得在講導數時，他沒有一開始就拋齣 epsilon-delta 語言，而是從一個非常生活化的例子——比如汽車的速度變化——入手，讓我能立刻感受到導數在現實中的意義。那種“啊，原來是這樣！”的感覺，貫穿瞭閱讀的始終。書中的插圖也功不可沒，它們不是簡單的示意圖，而是真正幫助我構建空間想象和理解抽象概念的橋梁。我尤其喜歡作者對於“無窮小”的解釋，它不再是那個讓我頭疼的“趨近但永遠達不到”的模糊概念，而是以一種更具操作性的方式被呈現齣來，讓我在做積分運算時，不再感到心虛。雖然名字裏強調“不用極限”，但它恰恰讓我對極限有瞭更深刻的理解，因為作者通過其他方式，讓我體會到瞭極限所要解決的問題和它的核心思想。這本書讓我重拾瞭對數學的信心，也讓我看到瞭學習微積分的另一種可能，一種更輕鬆、更富有洞察力的方式。