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杨振生 著

图书标签:

• 组合数学
• 算法
• 离散数学
• 数学
• 计算机科学
• 数据结构
• 图论
• 排列组合
• 数学建模
• 算法设计

出版社： 中国科学技术大学出版社

ISBN：9787312009334

版次：1

商品编码：10160397

包装：平装

开本：32开

出版时间：1997-11-01

用纸：胶版纸

页数：396

字数：340000

正文语种：中文

内容简介

　　系统地介绍组成数学的基本原理与算法，结构严谨、选材精练、深入浅出、讲求实效、突出分析、注重算法。主要内容有组成数学的研究对象、排列与组合、容斥原理、鸽巢原理、母函数、递归关系、Polya定理、图论基础、拉丁与区组设计、线性规划和组合优化算法等，有些内容反映了作者研究的最新成果。全书叙述简明，例题丰富，颇具启发性。每章附有习题，供读者练习。
　　《组合数学及其算法》可作为计算机科学、管理科学、电子工程和数字通讯等方面的研究生和高年级本科生的教材，对有关科技人员也有足够的参考价值。

内页插图

目录

序
前言
第一章 引论
1.1 组合数学研究的对象
1.2 组合问题典型实例
1.2.1 分派问题
1.2.2 染色问题
1.2.3 幻方问题
1.2.4 36军官问题
1.2.5 中国邮路问题
习题

第二章 排列与组合
2.1 两个基本计数原理
2.2 无重集的排列与组合
2.3 重集的排列与组合
2.4 排列生成算法
2.4.1 序数法
2.4.2 字典序法
2.4.3 轮转法
2.5 组合生成算法
2.6 应用举例
习题

第三章 容斥原理
3.1 引言
3.2 容斥原理
3.3 几个重要公式
3.4 错位排列
3.5 有限制的排列
3.6 棋阵多项式
3.7 禁位排列
习题

第四章 鸽巢原理
4.1 鸽巢原理
4.2 鸽巢原理的推广形式
4.3 Ramsey数
4.4 Ramsey数的性质
4.5 Ramsey定理
习题

第五章 母函数
5.1 母函数概念
5.2 幂级数型母函数
5.3 整数的拆分
5.4 Ferrers图
5.5 指数型母函数
习题

第六章 递归关系
6.1 引言
6.2 几个典型的递归关系
6.3 用母函数方法求解递归关系
6.4 常系数线性齐次递归关系的求解
6.5 常系数线性非齐次递归关系的求解
6.6 非常系数非线性递归关系的求解
6.7 差分表法
6.8 Stirling数
习题

第七章 Polya定理
7.1 有限集的映射
7.2 群的基本概念
7.3 置换群
7.4 置换的奇偶性
7.5 置换群下的共轭类
7.6 Burnside引理
7.7 Polya定理
7.8 Polya定理的母函数型式
7.9 不标号图的计数
习题

第八章 图论基础
8.1 图的基本概念
8.2 同构图、完全图与二分图
8.3 通路、回路与图的连通性
8.4 Euler图与Hamilton图
8.5 割集与树
8.6 图的矩阵表示法
8.7 平面图、对偶图与色数
8.8 匹配理论
8.9 网络流
习题

第九章 拉丁方与区组设计
9.1 引言
9.2 拉丁方
9.3 有限域
9.4 正交拉丁方的构造
9.5 完全区组设计
9.6 平衡不完全区组设计(BIBD)
9.7 区组设计的构造
9.8 Steiner三连系
9.9 Hadamard矩阵
习题

第十章 线性规划
10.1 LP问题引例
10.2 LP问题的一般形式
10.3 LP问题的标准型
10.4 可行域和最优可行解
10.5 单纯形法
10.6 单纯形表格法
10.7 两阶段法
10.8 对偶原理
10.9 对偶单纯形法
10.10 应用举例
习题

第十一章 组合优化算法与计算的时间复杂度理论
11.1 Dijkstra算法
11.2 Floyd算法
11.3 Kruskal算法
11.4 求最优树的破圈法和统观法
11.5 二分图中最大匹配与最佳匹配的算法
11.6 Fleury算法
11.7 中国邮路问题及其算法
11.8 深度优先搜索法——DFS算法
11.9 项目网络与关键路径法
11.10 网络最大流算法
11.11 状态转移法
11.12 好算法、坏算法和NP类问题
11.13 NPC类问题
11.14 货郎问题的近似解
习题
参考文献

精彩书摘

　　组合数学是一个迷人的数学分支，它起源于古老的数学游戏和美学鉴赏，具有无限的魅力。当今，由于现代科学技术的进步，人们面临各种组合问题，组合分析已经成为很多前沿学科关注的焦点。特别是计算机科学的飞速发展，给组合数学注入了强大的生机和活力，使之能够解决前人不敢想象的大型问题，组合数学的离散性已在现代科学技术中发挥出极为重要的作用。
　　但组合数学的发展道路是坎坷不平的。因为受连续数学的传统影响，在相当长的时期内，不少数学家曾对组合问题置若罔闻，认为是微不足道的。加之他们对组合理论及其算法知之甚寡，于是在连续数学与组合数学之间筑起了一道城墙，但是，势如潮涌般的各种组合问题无情地冲击着这道城墙。因为近代科学技术的迅猛发展，组合数学这个领域无论在广度、深度，还是成果和重要性上都急剧地增长，使得那些纯数学家大为震惊。他们当中的许多人终于从连续数学的束缚中解脱出来，并加入组合数学这支“叛军”中。然而，组合数学的发展，正如法国组合学家Berge所说：“数学的这个特殊分支的发展却是沿着现代数学主流的边缘或者是离开主流进行的。”
　　目前，组合分析和组合算法已被广泛应用于计算机科学、管理科学、信息科学、电子工程、人工智能、生命科学等诸多领域中。
　　本章重点介绍组合数学的研究对象，给出了几个组合问题的典型实例。

前言/序言

　　《组合数学及其算法》一书问世，值得庆贺，它对高等教育中组合学与算法的数学改革及教材建设，可以指望会产生积极影响。事实上，我国数学教育中似有忽视组合数学与算法的倾向，需要志同道合者共同努力，强化这方面的教学，本书作者根据他多年对研究生的教学实践编著的这部书，堪称这方面的一个可喜成果。
　　计算机科学技术的崛起，正在从根本上改变人类的生产活动和智力活动的面貌，而计算机是一种解决离散系统中事理与计算的武器，它的中心是离散算法的设计与分析，而组合数学及其算法恰为离散数学这一计算机科学基础的骨干内容，所以，每位称职的自然科学和工程技术人员，在不可避免的计算机化的现代化大潮中，必须接受足够多的组合数学与算法理论、算法设计的训练。
　　这部书适应当今教学改革之需求，不但系统地讲授了组合数学当中应讲应论的传统内容，特别地，又足够地讲授了算法与应用，我们满意地发现，他追求的不再只是一种逻辑上无懈可击的纯数学的传统教程，而是一部准确地教人如何想如何算的教科书，作者一方面恪守了数学严密性的信条，循规蹈矩；一方面在深入浅出和可算可用上多下了功夫，满册新意，书中引用的数学理论已尽可能地少。

好的，这是一份关于《组合数学及其算法》之外的其他数学或计算机科学领域的图书简介，字数约为1500字。 --- 图书简介：[选择一个主题，例如：高级拓扑学：从流形到同调理论] [书名：高级拓扑学：从流形到同调理论] 作者：[虚构作者姓名，例如：李明, 王芳] 出版社：[虚构出版社名称，例如：现代数学前沿出版社] ISBN：[虚构ISBN号] --- 内容概述： 本书《高级拓扑学：从流形到同调理论》是一部旨在为具有坚实微积分和线性代数基础的研究生和高年级本科生提供深入、系统化介绍拓扑学核心概念的专著。拓扑学，作为几何学的一个分支，关注的是空间在连续形变下保持不变的性质。本书的独特之处在于，它不仅严格构建了点集拓扑的基础框架，更进一步深入探讨了微分拓扑和代数拓扑的基石——流形理论与同调理论。 全书结构严谨，从基础概念的引入到前沿理论的构建，层层递进，力求使读者能够全面掌握现代拓扑学的主要思想和工具。我们相信，通过本书的学习，读者将能够独立理解和分析涉及空间结构、连续映射以及更高维几何问题的复杂数学文献。 第一部分：点集拓扑的稳固基石 (Foundations of Point-Set Topology) 本书的开篇部分致力于夯实读者在拓扑学基础上的理解。我们首先回顾了度量空间的概念，并将其自然地推广到更抽象的拓扑空间。 拓扑空间与连续性： 我们详细讨论了拓扑空间的定义、开集与闭集的性质，以及拓扑的生成方式（如子空间拓扑、商拓扑和乘积拓扑）。重点阐述了连续映射的拓扑定义及其与极限、紧致性的深刻联系。 紧致性与连通性： 这两个拓扑学的核心不变量被赋予了专门的章节进行深入分析。紧致性的概念在分析函数空间和收敛性时至关重要，我们通过 Heine-Borel 定理的推广和对紧致性与乘积空间的关系探讨，揭示其在分析学中的重要作用。连通性则通过路径连通性和更精细的分解来考察，为理解空间的“整体性”提供了工具。 分离公理与完备性： 从 $T_1$ 公理到正则性和豪斯多夫（Hausdorff）性质，我们系统地梳理了拓扑空间的“良态”程度。此外，本书对完备度（如 Baire 范畴定理）的讨论，为后续微分拓扑中涉及极限过程的分析奠定了理论基础。 第二部分：微分流形的构造与几何 (Construction and Geometry of Differentiable Manifolds) 在建立起抽象拓扑学的框架后，本书的第二部分将焦点转向了微分几何的核心——微分流形。这是连接代数与几何，特别是将微积分工具应用于弯曲空间的关键桥梁。 流形的正式定义与例子： 我们从局部欧几里得空间的直观概念出发，精确定义了微分流形（Differentiable Manifolds）、光滑结构（Smooth Structures）和图册（Atlas）。大量的经典例子，如球面、环面、射影空间以及李群，被用于直观展示流形的结构。 切空间与向量场： 切空间的引入是微分拓扑分析的起点。本书详尽地解释了切向量的定义、切空间的向量空间结构，以及如何通过导数的推广来定义切映射。我们随后转向向量场（Vector Fields）和张量场（Tensor Fields）的讨论，这些是描述流形上局部变化和物理量的基本工具。 微分形式与外微分： 为了在流形上进行积分和微积分运算，我们引入了微分形式（Differential Forms）的概念。从 1-形式到 $n$-形式的构造、楔积（Wedge Product）的性质，以及至关重要的外微分算子 $d$ 的定义和性质，都被清晰地阐述。我们着重强调了 $d^2 = 0$ 这一代数恒等式在几何上的深刻含义。 第三部分：代数拓扑的威力：同调理论 (The Power of Algebraic Topology: Homology Theory) 本书的第三部分是核心与难点所在，它展示了如何利用代数工具（特别是群论）来对拓扑空间进行“分类”。 链复形与边界算子： 我们首先构建了单纯复形（Simplicial Complexes）和奇异复形（Singular Complexes）作为研究对象的模型。随后，正式引入了链群（Chain Groups）、边界算子（Boundary Operators）和链复形（Chain Complexes）。这里的关键在于理解边界算子满足的性质，即 $partial circ partial = 0$。 同调群的构造与性质： 基于链复形，我们定义了循环群（Cycles）和边界群（Boundaries），并最终构造出同调群 $H_n(X)$。本书详细讨论了同调群的代数性质，特别是其作为拓扑不变量的重要性。我们通过计算经典空间（如球面 $S^n$、环面 $T^2$ 等）的同调群，展示了该理论的实际应用。 Mayer-Vietoris 序列： 作为一个强大的计算工具，Mayer-Vietoris 序列的构造和应用占据了重要篇幅。我们通过此序列展示了如何通过分解复杂空间来计算其整体的同调群，这对于理解“连接性”的代数表示至关重要。 同伦与函子性： 为了确立同调理论的严格性，我们引入了连续映射诱导的同态（Induced Homomorphisms）和同伦等价的概念。本书证明了同调理论是同伦不变的，即两个同伦等价的空间具有同构的同调群，从而巩固了同调群作为拓扑空间“指纹”的地位。 总结与展望： 《高级拓扑学：从流形到同调理论》旨在提供一个从直觉到形式的完整过渡。它不仅仅是一本知识的汇编，更是一份思维的训练手册。读者在掌握了流形上的微积分工具和代数拓扑的分类能力后，将为深入研究微分几何、纤维丛、规范场论乃至现代拓扑量子场论打下坚实的基础。 本书的特点包括： 1. 严谨的数学论证：所有关键定理均给出完整证明。 2. 丰富的例题和习题：每章末尾设有分级习题，帮助读者巩固概念。 3. 清晰的图示辅助：在流形和单纯形的部分，配有大量辅助图示，帮助理解高维概念。 本书适合研究生阶段的拓扑学课程，或作为几何分析、代数几何等领域研究人员的参考书目。 ---

评分☆☆☆☆☆

我一直对那些能够将抽象概念转化为实际应用的书籍情有独钟，而《组合数学及其算法》这本书的标题就传递出这样的信息。 combinatorial mathematics，这个词语本身就充满了探索的意味，而“及其算法”更是为这种探索指明了方向。我特别想了解，那些看似只存在于书本上的数学公式和定理，究竟是如何在现实世界中发挥作用的。比如，在物流配送中，如何用组合数学来优化路线，减少运输成本？在网络安全领域，如何利用组合学原理来设计更安全的加密算法？在数据科学中，如何通过组合分析来发现隐藏在海量数据中的模式和关联？我希望这本书能够提供大量的实际案例，用生动形象的方式展示组合数学的强大力量，让我看到数学不仅仅是枯燥的符号和公式，更是解决实际问题的有力工具。如果书中还能包含一些关于如何将组合数学模型转化为可操作的解决方案的步骤和方法，那就更加理想了。我期待这本书能成为我理解和应用数学的一个重要桥梁。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就吸引了我，那种深邃的蓝色背景，点缀着一些若隐若现的数学符号，仿佛预示着一场智力探险的开始。我一直对那些能够用简洁的数学语言描述复杂现象的学科感到着迷，而组合数学正是这样一个领域。想象一下，如何用最少的步骤解决一个排列组合问题，或者如何高效地设计一个算法来处理海量数据，这背后蕴含着多么精妙的逻辑和美学！这本书的标题《组合数学及其算法》恰好击中了我的兴趣点，它承诺的不仅仅是理论的堆砌，更是将理论付诸实践的途径。我尤其期待书中能够深入剖析一些经典的组合学问题，比如图论中的旅行商问题，或者动态规划中的背包问题，并且详细讲解如何将这些问题转化为可执行的算法。我希望作者能够用清晰易懂的语言，配以生动的例子，引导读者一步步理解那些看似高深的数学概念。如果书中还能包含一些实际应用案例，比如在计算机科学、运筹学、甚至生物信息学等领域的应用，那就更完美了。这本书就像是一把钥匙，我希望能用它来解锁我心中对数学世界更深层次的理解，让我在面对复杂问题时，能有更强大的分析和解决问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

作为一个资深的书虫，我对各种题材的书籍都有涉猎，但总有一些领域让我觉得望而却步，组合数学便是其中之一。它的名字本身就带有一种挑战性，让人联想到那些需要严谨逻辑和细致思考的证明过程。然而，最近我发现，许多看似与数学无关的领域，比如设计、艺术甚至音乐，都蕴含着深刻的组合学原理。举个例子，一件精心设计的服装，其剪裁、搭配和色彩的运用，无不涉及一种“选择”和“组合”的过程。同样，一首动人的乐曲，音符的排列和组合，旋律的起伏和节奏的变化，也充满了数学的韵律。因此，我抱着一种好奇心，想要了解《组合数学及其算法》这本书是否能够帮助我以一种全新的视角来审视这些问题。我期待书中能够提供一些跨学科的视角，将组合数学的原理与我们日常生活中那些看似平凡的现象联系起来。或许，通过学习这本书，我能发现隐藏在生活中的数学之美，并且学会如何运用这些数学工具来解决一些实际问题，比如如何更有效地组织信息，或者如何更具创意地进行设计。我希望这本书能成为我理解世界的一个新维度，让我看到那些被隐藏在表象之下的秩序和规律。

评分☆☆☆☆☆

最近一直在寻找能够提升我编程效率和解决算法难题的书籍，而《组合数学及其算法》这个名字立刻吸引了我的注意。在软件开发过程中，我们经常会遇到各种需要进行计数、排序、搜索或优化的问题，而这些都与组合数学有着千丝万缕的联系。我尤其关注书中关于“算法”的部分，希望能从中学习到如何将组合数学的理论巧妙地转化为高效的计算方法。比如，如何运用生成函数来解决一些计数问题，或者如何利用图论算法来优化路径规划。我期待书中能够提供一些详细的算法实现示例，最好能结合一些常用的编程语言，比如Python或Java，这样我就可以在学习理论的同时，立即上手实践。当然，如果书中还能包含一些关于算法复杂度的分析，以及如何权衡时间和空间效率的讨论，那就更具参考价值了。我相信，通过深入学习这本书，我能够显著提升我在算法设计和优化方面的能力，从而在未来的开发项目中更加得心应手，解决那些曾经让我头疼不已的复杂问题。

评分☆☆☆☆☆

我是一个对解决问题充满热情的人，喜欢钻研那些需要深度思考和创造性思维的挑战。《组合数学及其算法》这本书的出现，无疑给我带来了一次新的学习机会。我深信，很多看似棘手的难题，其核心往往隐藏在事物的排列、组合和选择之中。这本书能够帮助我建立起一种系统性的思维框架，让我能够更清晰地识别问题的本质，并找到最优的解决方案。我尤其看重它所提及的“算法”部分，因为我坚信，理论的价值最终体现在实践中。我希望能在这本书中学习到如何将抽象的组合学原理转化为具体的、可执行的算法，并且理解这些算法背后的设计思想和优化策略。我期待能够通过阅读这本书，提升我在解决复杂问题时的逻辑能力和创新思维，让我能够更自信地面对各种挑战，并且在解决问题的过程中，感受到数学所带来的乐趣和成就感。

评分☆☆☆☆☆

挺好的，还没看多少。感觉不错，价格也给力，不管哪儿出的，好书。

评分☆☆☆☆☆

2.5

评分☆☆☆☆☆

PAolya定理

评分☆☆☆☆☆

感觉书有点小，印刷也不是很好。

评分☆☆☆☆☆

第五章

评分☆☆☆☆☆

11.4

评分☆☆☆☆☆

质量不错

评分☆☆☆☆☆

幂级数型母函数

评分☆☆☆☆☆

质量不错