九年级上册数学书华师大版 初中课本教材教科书 初三上 9年级上 华东师范大学出版社 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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店铺： 浩博书城

出版社： 华东师范大学出版社

ISBN：9787567506404

商品编码：10288725258

                             

《数学漫游：初中代数精粹与几何探索》 目录 第一部分：代数世界的奇妙旅程 第一章：整式的运算——搭建数学的积木 1.1 神秘的数与字母：认识代数式 1.2 积木的堆叠：同类项的合并与化简 1.3 搬运与分配：单项式的乘除法 1.4 魔法的展开：多项式的乘法（分配律的延伸） 1.5 特殊的乘法公式：平方差与平方和的秘密 1.6 因式分解的艺术：将复杂化为简单 1.7 完全平方公式：对称的美感 1.8 提取公因式：最基本的分解技巧 1.9 分组分解：巧妙的组合策略 1.10 综合应用：解决生活中的代数问题 第二章：一元一次方程——寻找未知数的踪迹 2.1 方程的诞生：什么是方程？ 2.2 平衡的艺术：等式的性质与变形 2.3 搬家与变身：移项与合并同类项 2.4 系数的“魔术”：两边同除或同乘 2.5 实践的智慧：应用题的数学建模 2.6 分数与小数：方程的“调味剂” 2.7 解决实际问题：从购物到行程 第三章：平面直角坐标系——点亮几何的地图 3.1 宇宙的坐标：建立坐标系 3.2 点的位置：有序数对的意义 3.3 象限的划分：探索点的分布 3.4 坐标轴上的特殊点：x轴与y轴的秘密 3.5 点与坐标的关系：数形结合的初步 3.6 坐标变换：平移的魅力 3.7 实际应用：地图、定位与数据可视化 第四章：一次函数——直线上的情感曲线 4.1 函数的概念：输入与输出的关联 4.2 定义域与值域：函数存在的范围 4.3 图形的描绘：将函数“画”出来 4.4 一次函数的特征：斜率与截距 4.5 一次函数的图像：直线为何如此特别 4.6 函数的增减性：随着变化而变化 4.7 利用图像解方程：直观的解决之道 4.8 实际应用：速率、增长与比例 第二部分：几何世界的奥秘探索 第五章：三角形——构成世界的基本单元 5.1 三角形的定义与性质：三条边，三个角 5.2 三角形的分类：锐角、直角、钝角；不等边、等腰、等边 5.3 三角形的内角和：一个恒定的秘密（180度） 5.4 三角形的外角：延伸的精彩 5.5 三角形全等的判定：SSS、SAS、ASA、AAS——证明相等 5.6 全等三角形的应用：测量高度与距离 5.7 等腰三角形的性质：对称的优美 5.8 等边三角形的特殊性：三边三角皆相等 5.9 直角三角形的性质：勾股定理的预演 5.10 尺规作图：用尺子和圆规“画”三角形 第六章：勾股定理——直角三角形的黄金法则 6.1 勾股定理的陈述：a² + b² = c² 6.2 勾股定理的证明：多种角度的理解 6.3 勾股定理的应用：计算边长、判断直角 6.4 勾股数的探索：整数解的规律 6.5 实际应用：建筑、工程与测量 第七章：平行线的性质与判定——平行世界的规则 7.1 平行线的定义：永不相交的直线 7.2 同位角、内错角、同旁内角：角度之间的关系 7.3 平行线的判定：如何证明两条线平行 7.3.1 同位角相等，两直线平行 7.3.2 内错角相等，两直线平行 7.3.3 同旁内角互补，两直线平行 7.4 平行线的性质：证明角度相等或互补 7.4.1 两直线平行，同位角相等 7.4.2 两直线平行，内错角相等 7.4.3 两直线平行，同旁内角互补 7.5 综合应用：多条平行线与截线的几何推理 第八章：四边形——多样的几何形状 8.1 四边形的基本概念：四个顶点，四条边 8.2 特殊的四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形 8.3 平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分 8.4 平行四边形的判定：如何证明四边形是平行四边形 8.5 矩形的性质：特殊的平行四边形（角都为直角，对角线相等） 8.6 菱形的性质：特殊的平行四边形（四边相等，对角线互相垂直平分且平分对角） 8.7 正方形的性质：矩形与菱形的结合 8.8 梯形的定义与性质：只有一组对边平行的四边形 8.9 轴对称图形的初步认识：图形的镜像美 前言 数学，是人类认识世界、改造世界最强大的工具之一。它以其严谨的逻辑、精妙的结构和广泛的应用，渗透在我们生活的方方面面，从浩瀚的宇宙到微小的粒子，从古老的文明到现代科技，都离不开数学的身影。 本书《数学漫游：初中代数精粹与几何探索》正是为你打开通往数学殿堂的一扇门。我们摒弃了枯燥乏味的机械记忆，而是以一种探索、发现的视角，带领你在初中数学的世界里进行一次深入的漫游。在这里，你将不仅仅是知识的接受者，更是思维的实践者，逻辑的构建者。 本书分为两个主要部分：代数世界的奇妙旅程与几何世界的奥秘探索。 在代数世界，我们首先会从“整式的运算”开始，这就像搭建数学的积木。我们将学习如何将看似复杂的数学表达式变得简单明了，掌握同类项的合并、单项式与多项式的乘除法，以及一系列重要的乘法公式和因式分解技巧。这些工具将为我们解决更复杂的问题打下坚实的基础。接着，我们将进入“一元一次方程”的世界。方程是数学语言中用来描述未知量与已知量之间关系的强大工具。我们将学习如何运用等式的性质，像解开一个谜题一样，一步步找到未知数的踪迹。这不仅仅是简单的计算，更是逻辑推理能力的锻炼，尤其是在解决实际应用题时，数学建模的能力将得到极大的提升。最后，我们将在“平面直角坐标系”中点亮几何的地图，将抽象的数字与图形联系起来。我们将学会如何用有序数对定位点，理解坐标系如何帮助我们描述空间位置，并初步接触到“一次函数”，理解它如何描述事物之间的线性关系，以及如何通过函数图像直观地理解数学概念。 在几何世界，我们首先会深入了解“三角形”，这个构成世界的基本单元。我们将学习三角形的各种性质，包括内角和、外角，以及如何利用全等来证明图形的相等关系，这在测量和工程中有着广泛的应用。等腰三角形和等边三角形的特殊对称性也会让我们感受到几何的优雅。紧接着，我们将迎来几何世界中最辉煌的定理之一——“勾股定理”。这个简洁而深刻的公式，揭示了直角三角形三边之间永恒的奥秘。我们将学习它的证明方法，以及它在解决实际问题中的强大力量。然后，我们将目光投向“平行线的性质与判定”。平行线作为几何中最基本也是最重要的概念之一，通过对同位角、内错角、同旁内角关系的深入研究，我们将掌握证明直线平行与图形性质的有力工具。最后，我们将步入“四边形”的大家族，探索平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊图形的独特属性及其内在联系。这些形状不仅是我们生活中常见的，也是构成更复杂图形的基础。 本书的编写力求在概念的引入上清晰易懂，在方法的讲解上循序渐进，并通过丰富的例题和练习，帮助你巩固所学知识，提升解题能力。我们鼓励你在学习过程中多思考、多提问，将数学知识与生活实际联系起来，体会数学的魅力与价值。 愿这本书能成为你学习数学的良师益友，引领你在这段旅程中收获知识，启迪智慧，发现数学的美妙与无限可能。 第一部分：代数世界的奇妙旅程 第一章：整式的运算——搭建数学的积木 数学，不仅仅是冰冷的数字和符号，更是对世界规律的抽象和概括。在我们开始探索代数世界的奇妙之前，首先需要掌握一些最基本的“积木”——整式。整式，就好比是构成数学大厦的砖瓦，学会如何有效地处理它们，是我们进行更复杂数学活动的前提。 1.1 神秘的数与字母：认识代数式 你是否注意到，当我们要描述数量关系时，常常会用到字母？比如，用 $a$ 表示苹果的单价，用 $b$ 表示苹果的数量，那么总价就是 $a imes b$。这里的 $a$ 和 $b$ 就是字母，它们可以代表任意数。当数字与字母，或者字母与字母通过加、减、乘、除（除数不能为零）、乘方等运算组合在一起时，就形成了代数式。 代数式可以是单独的一个数，比如 $5$；也可以是单独的一个字母，比如 $x$；还可以是数字与字母的乘积，比如 $2y$；或者字母与字母的乘积，比如 $ab$；甚至可以是字母的乘方，比如 $m^2$；以及它们之间通过加减乘除运算组合而成的表达式，比如 $3x + 5$，$ frac{a+b}{2} $等。 代数式是描述数量关系的通用语言，它使得我们可以用简洁的方式表示和处理各种数学问题。 1.2 积木的堆叠：同类项的合并与化简 想象一下，你有一堆积木，有些是红色的，有些是蓝色的。如果你想知道一共有多少块红色的积木，你只需要把所有红色的积木数加起来。在代数式中，我们也有类似的“同类”。 同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。例如，$3x^2y$ 和 $5x^2y$ 就是同类项，因为它们都含有字母 $x$ 和 $y$，并且 $x$ 的指数都是 $2$， $y$ 的指数都是 $1$（当字母没有写指数时，默认为 $1$）。而 $3x^2y$ 和 $3xy^2$ 就不是同类项，因为字母 $y$ 的指数不同。 合并同类项就是把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。就好像把所有红色的积木数加起来一样，我们把同类项的系数加起来，而字母和指数部分就“保留”。 例如，合并 $3x^2y$ 和 $5x^2y$： $(3+5)x^2y = 8x^2y$ 如果一个代数式中有好几组同类项，我们可以先把同类项写在一起，然后逐项合并。这个过程叫做化简代数式。化简可以使代数式更加简洁，方便我们进行下一步的计算和分析。 1.3 搬运与分配：单项式的乘除法 单项式是指由数字与字母的乘积组成的代数式，例如 $3x^2y$。 当进行单项式与单项式的乘法时，我们就像搬运货物一样，把它们的系数和同字母的幂分别乘起来。 例如，计算 $(2x^3y) imes (4xy^2)$： 先计算系数的乘积：$2 imes 4 = 8$ 再计算同字母的幂的乘积：$x^3 imes x = x^{3+1} = x^4$ （根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，指数相加） 同理：$y imes y^2 = y^{1+2} = y^3$ 所以，$(2x^3y) imes (4xy^2) = 8x^4y^3$ 单项式除以单项式则更像是分配任务。 例如，计算 $(8x^4y^3) div (2x^3y)$： 计算系数的商：$8 div 2 = 4$ 计算同字母的幂的商：$x^4 div x^3 = x^{4-3} = x^1 = x$ （根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，指数相减） 同理：$y^3 div y = y^{3-1} = y^2$ 所以，$(8x^4y^3) div (2x^3y) = 4xy^2$ 需要注意的是，在除法中，被除式和除式中的字母的指数必须满足被除式的指数大于或等于除式的指数，并且除式不能为零。 1.4 魔法的展开：多项式的乘法（分配律的延伸） 多项式是由几个单项式相加或相减而成的代数式。例如，$3x + 5$ 是一个多项式，由 $3x$ 和 $5$ 两个单项式相加而成。 进行多项式与单项式的乘法，我们可以运用分配律，将单项式“分配”到多项式的每一项上去。 例如，计算 $2x(3x + 5)$： $2x$ 需要分别乘以 $3x$ 和 $5$： $2x imes 3x = 6x^2$ $2x imes 5 = 10x$ 所以，$2x(3x + 5) = 6x^2 + 10x$ 当进行多项式与多项式的乘法时，我们同样运用分配律的思想。可以理解为，将第一个多项式的每一项，分别与第二个多项式的每一项相乘，然后再将所有乘积相加。 例如，计算 $(x + 2)(x + 3)$： $x$ 乘以 $(x + 3)$：$x imes x = x^2$，$x imes 3 = 3x$ $2$ 乘以 $(x + 3)$：$2 imes x = 2x$，$2 imes 3 = 6$ 将所有结果相加：$x^2 + 3x + 2x + 6$ 最后，合并同类项：$x^2 + 5x + 6$ 这个过程就像一个“连环画”，每个部分都相互关联。通过这种方式，我们可以将两个多项式“展开”成一个更长的代数式，然后再进行化简。 1.5 特殊的乘法公式：平方差与平方和的秘密 在多项式的乘法中，有一些特别的公式，它们能够极大地简化计算，如同数学中的“捷径”。 平方差公式： $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ 这个公式告诉我们，一个和与一个差的乘积，等于它们各自平方的差。 例如，计算 $(x+3)(x-3)$： 根据公式，直接得到 $x^2 - 3^2 = x^2 - 9$。 比我们手动去展开要快得多。 平方和公式（也称为完全平方公式）： $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 这个公式告诉我们，一个和的平方，等于“第一个数的平方”，加上“两倍的第一个数乘以第二个数”，再加上“第二个数的平方”。 例如，计算 $(x+4)^2$： 根据公式，$(x+4)^2 = x^2 + 2(x)(4) + 4^2 = x^2 + 8x + 16$。 平方差公式的反向运用： $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ 平方和公式的反向运用： $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ 这两个公式的应用非常广泛，尤其在因式分解和化简计算时，能起到事半功倍的效果。 1.6 因式分解的艺术：将复杂化为简单 如果说多项式的乘法是“展开”，那么因式分解就是它的逆过程，也就是将一个多项式写成几个整式乘积的形式。就像将一个复杂的组合拆解成它的基本组成部分，这样可以让我们更清晰地看到其结构，并为进一步的求解提供便利。 因式分解是代数中一项重要的技能，它有着多种方法，我们将逐一学习。 1.7 完全平方公式：对称的美感 我们前面提到了平方和公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。这个公式不仅可以用于展开，更重要地，它是完全平方公式的一种形式，常用于因式分解。 当一个多项式具有 $a^2 + 2ab + b^2$ 的形式时，我们就可以将其分解为 $(a+b)^2$。 例如，我们看到 $x^2 + 6x + 9$，我们可以将其看作 $x^2 + 2(x)(3) + 3^2$，符合完全平方公式的形式，所以可以分解为 $(x+3)^2$。 同样，平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ 也是一种重要的因式分解方法。 例如，对于 $x^2 - 16$，我们可以看作 $x^2 - 4^2$，符合平方差公式，可以分解为 $(x+4)(x-4)$。 1.8 提取公因式：最基本的分解技巧 在进行因式分解时，我们首先要检查是否能提取公因式。公因式是指能够同时整除多项式中各项的代数式。 例如，对于多项式 $6x^2y + 9xy^2$： 首先观察系数 $6$ 和 $9$，它们的最大公约数是 $3$。 再观察字母 $x$，在第一项中是 $x^2$，在第二项中是 $x$，它们的最低次幂是 $x$。 再观察字母 $y$，在第一项中是 $y$，在第二项中是 $y^2$，它们的最低次幂是 $y$。 所以，公因式是 $3xy$。 将公因式提取出来后，我们需要看剩余的部分还能不能进一步分解。 $6x^2y + 9xy^2 = 3xy(2x + 3y)$ 提取公因式是最常用也是最基础的因式分解方法，很多时候，在运用其他因式分解方法之前，都可以先尝试提取公因式。 1.9 分组分解：巧妙的组合策略 有时候，多项式可能没有明显的公因式，也不是完全平方公式或平方差公式的形式。这时，我们可以尝试分组分解。分组分解的目的是将多项式重新组合，使其能够运用其他已知的因式分解方法。 例如，对于 $ax + ay + bx + by$： 我们可以将前两项和后两项分别分组：$(ax + ay) + (bx + by)$ 提取每组的公因式：$a(x+y) + b(x+y)$ 现在，我们发现 $(x+y)$ 是一个新的公因式，提取出来：$(a+b)(x+y)$。 分组分解的关键在于如何巧妙地分组，使得分组后能够出现新的公因式。这需要一定的观察和尝试。 1.10 综合应用：解决生活中的代数问题 整式的运算和因式分解，看似是纯粹的数学操作，但它们却是解决现实生活中各种数量关系的强大工具。 例如，一家公司生产商品，每件商品的成本是 $C$ 元，售价是 $P$ 元。如果每月销售 $n$ 件商品，那么： 总成本是 $C imes n$ 总销售额是 $P imes n$ 利润是 总销售额 - 总成本 = $Pn - Cn$ 如果我们知道 $P$ 和 $C$ 的具体数值，我们可以将它们代入代数式计算出利润。 更进一步，如果公司决定在某段时间内打折，售价变为 $P'$ 元，那么新的利润就是 $P'n - Cn$。通过代数式的运算，我们可以方便地比较不同定价策略下的利润。 再比如，在规划一个矩形花园时，如果我们知道花园的长比宽的 $2$ 倍多 $3$ 米，设宽为 $w$ 米，那么长就是 $2w+3$ 米。花园的面积就是 $w(2w+3) = 2w^2 + 3w$ 平方米。通过整式的运算，我们可以用一个代数式来表示面积，并根据宽的变化计算出不同的面积。 掌握了整式的运算和因式分解，你就拥有了理解和分析数量关系的一对“火眼金睛”，能够将生活中的问题转化为数学模型，并找到解决的方案。 --- 第二章：一元一次方程——寻找未知数的踪迹 在探索完代数积木的搭建与组合之后，我们现在要进入一个更具动态性的领域——方程。方程，是数学中用来描述未知量与已知量之间关系的强大语言，而“一元一次方程”则是我们接触到的最基础、最核心的方程类型。它像是一个待解的谜题，而我们将学习如何运用逻辑和规则，一步步地揭开未知数的面纱。 2.1 方程的诞生：什么是方程？ 简单来说，方程就是一个含有未知数的等式。它表示等号两边的代数式所代表的数值相等。 例如，$2x + 3 = 7$ 就是一个方程，其中 $x$ 是未知数，$2x+3$ 和 $7$ 是等号两边的代数式。 方程的目的是为了找到满足这个等式的未知数的值，这个值叫做方程的解。在我们上面的例子中，如果我们把 $x=2$ 代入，就会得到 $2(2)+3 = 4+3 = 7$，所以 $x=2$ 就是这个方程的解。 一元一次方程是指只含有一个未知数，并且这个未知数的最高次数是 $1$ 的方程。例如，$3y - 5 = 10$ 是一元一次方程，$z = 2z + 1$ 也是一元一次方程。但是，$x^2 + 1 = 5$ 就不是一元一次方程，因为未知数 $x$ 的次数是 $2$；而 $x + y = 3$ 也不是一元一次方程，因为含有两个未知数 $x$ 和 $y$。 2.2 平衡的艺术：等式的性质与变形 要解方程，我们需要依赖一些基本规则，这些规则都建立在等式的性质之上。你可以将等式想象成一个天平，只有两边重量相等（即数值相等），天平才能保持平衡。 等式的性质主要有以下几条： 1. 等式两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），等式仍然成立。 如果 $a = b$，那么 $a+c = b+c$，也 $a-c = b-c$。 这就像在天平两边同时增加或减少相同重量的砝码，天平依然平衡。 2. 等式两边同时乘以（或除以）同一个不为零的数，等式仍然成立。 如果 $a = b$，那么 $ac = bc$ （其中 $c$ 是任意数），也 $frac{a}{c} = frac{b}{c}$ （其中 $c eq 0$）。 这就像在天平两边同时乘以或除以相同的倍数（注意除数不能为零），天平仍然保持平衡。 正是利用这些性质，我们可以对方程进行变形，逐步将未知数分离出来。 2.3 搬家与变身：移项与合并同类项 当我们面对一个方程时，通常会遇到未知数和常数项（不含未知数的项）混合在一起的情况。我们的目标是将含有未知数的项集中到等式的一边，将常数项集中到另一边。 移项就是利用等式的性质，将方程中的某一项从一边“搬到”另一边，同时改变它的符号。 例如，在方程 $2x + 3 = 7$ 中，我想把 $3$ 移到等式的右边。根据等式的性质 1，我可以同时从等式两边减去 $3$： $2x + 3 - 3 = 7 - 3$ $2x = 4$ 这里的“减去 $3$”的过程，就相当于把 $3$ 从左边“搬”到了右边，并且符号变成了负号。 移项之后，我们经常会遇到合并同类项。在 $2x = 4$ 这个方程中，两边已经是各自最简的形式了。但在更复杂的方程中，比如 $3x + 5 = x + 9$，我们可能需要先移项： 将 $x$ 从右边移到左边（变成 $-x$），将 $5$ 从左边移到右边（变成 $-5$）： $3x - x = 9 - 5$ 然后合并同类项： $2x = 4$ 2.4 系数的“魔术”：两边同除或同乘 经过移项和合并同类项，我们得到了形如 $ax = b$ 的方程。这时，未知数 $x$ 的系数 $a$ 还在，我们需要把它“消掉”，才能得到 $x$ 的值。 这就需要用到等式的性质 2：等式两边同时除以（或乘以）同一个不为零的数。 在 $2x = 4$ 这个方程中，未知数 $x$ 的系数是 $2$。为了得到 $x$，我们可以将等式两边同时除以 $2$： $frac{2x}{2} = frac{4}{2}$ $x = 2$ 这样，我们就成功找到了方程的解。 2.5 实践的智慧：应用题的数学建模 方程的价值远不止于解一道道抽象的数学题，它更是我们解决现实生活中各种实际问题的强大工具。而将实际问题转化为数学方程的过程，叫做数学建模。 解决应用题的步骤通常是： 1. 审题，理解题意： 仔细阅读题目，弄清楚已知条件和所求问题，找出其中的数量关系。 2. 设未知数： 选用一个字母（如 $x$）来表示题目中要求解的量。 3. 列方程： 根据题意中的数量关系，运用代数式和等式的性质，列出一个含有未知数的方程。 4. 解方程： 运用我们学过的解一元一次方程的方法，求出未知数的值。 5. 检验，写出答案： 将求出的解代回原题意中检验是否符合实际情况，并用文字语言清晰地写出答案。 例如，一个超市以每件 $10$ 元的价格购进一批商品，售价是每件 $15$ 元。销售了若干件后，获利 $100$ 元。请问售出了多少件商品？ 设售出了 $x$ 件商品。 每件商品的利润是 $15 - 10 = 5$ 元。 总利润是 每件利润 $ imes$ 售出件数，所以 $5x$ 元。 根据题意，总利润是 $100$ 元，所以列出方程：$5x = 100$ 解方程：$x = frac{100}{5} = 20$ 检验：售出 $20$ 件，每件利润 $5$ 元，总利润 $5 imes 20 = 100$ 元，符合题意。 答案：售出了 $20$ 件商品。 2.6 分数与小数：方程的“调味剂” 有时候，方程中会出现分数或小数，这会让方程看起来稍微复杂一些。但不用担心，我们同样可以用等式的性质来处理它们。 处理带分数或小数的方程： 最常用的方法是方程两边同时乘以一个合适的数，使得方程中的所有分数或小数都变成整数。这个“合适的数”通常是所有分母的最小公倍数，或者使小数变为整数的 $10$ 的倍数（如 $10, 100, 1000$ 等）。 例如，解方程 $ frac{1}{2}x + 3 = frac{2}{3}x - 1 $： 方程两边的分母是 $2$ 和 $3$。它们的最小公倍数是 $6$。 将方程两边同时乘以 $6$： $6 imes (frac{1}{2}x + 3) = 6 imes (frac{2}{3}x - 1)$ $6 imes frac{1}{2}x + 6 imes 3 = 6 imes frac{2}{3}x - 6 imes 1$ $3x + 18 = 4x - 6$ 现在方程变成了不含分数的整式方程，可以按照之前的步骤进行求解。 $18 + 6 = 4x - 3x$ $24 = x$ 所以，$x = 24$。 2.7 解决实际问题：从购物到行程 一元一次方程的应用场景非常广泛，几乎渗透到生活中的各个方面。 购物问题： 例如，小明用 $50$ 元钱买了 $3$ 本笔记本和 $2$ 支钢笔，正好花完。如果每支钢笔的价格是 $8$ 元，那么每本笔记本多少钱？ 设每本笔记本 $x$ 元。 $3x + 2 imes 8 = 50$ $3x + 16 = 50$ $3x = 34$ $x = frac{34}{3}$ （约等于 $11.33$ 元） 行程问题： 甲、乙两人从相距 $300$ 千米的两地同时出发，相向而行。甲每小时走 $40$ 千米，乙每小时走 $50$ 千米。两人多少小时后相遇？ 设 $t$ 小时后相遇。 甲走的路程是 $40t$ 千米。 乙走的路程是 $50t$ 千米。 两人走过的总路程等于两地之间的距离，所以： $40t + 50t = 300$ $90t = 300$ $t = frac{300}{90} = frac{10}{3}$ （约等于 $3.33$ 小时） 工程问题： 一项工程，甲队单独施工需要 $10$ 天完成，乙队单独施工需要 $15$ 天完成。两队合作多少天可以完成工程的一半？ 甲队每天完成工程的 $frac{1}{10}$。 乙队每天完成工程的 $frac{1}{15}$。 两队合作，每天完成工程的 $frac{1}{10} + frac{1}{15}$。 计算 $frac{1}{10} + frac{1}{15} = frac{3}{30} + frac{2}{30} = frac{5}{30} = frac{1}{6}$。 设合作 $x$ 天完成工程的一半（即 $frac{1}{2}$）。 $(frac{1}{6})x = frac{1}{2}$ $x = frac{1}{2} div frac{1}{6} = frac{1}{2} imes 6 = 3$ 天。 通过这些例子，我们可以看到，一元一次方程是描述和解决数量关系的通用语言，它帮助我们系统地分析问题，并找到精确的答案。掌握了解方程的方法，你就掌握了解决许多现实世界挑战的金钥匙。 --- 第三章：平面直角坐标系——点亮几何的地图 在前面，我们探索了代数世界中数与式的运算，以及如何用方程来解决问题。现在，我们将目光转向更为直观的几何世界，并通过一个强大的工具——平面直角坐标系，将抽象的数字与具体的图形联系起来。它就像一张地图，能够清晰地描绘出点的位置，为我们探索几何规律打下基础。 3.1 宇宙的坐标：建立坐标系 想象一下，如果你想描述地球上一个点的具体位置，你需要什么信息？仅仅说“在亚洲”是远远不够的。我们需要经度和纬度，这两个数值的组合就能唯一地确定地球表面的一个点。 在数学中，我们也有类似的方法来描述平面上点的位置，这就是平面直角坐标系。它由两条相互垂直的直线组成，这两条直线被称为坐标轴。 横轴（x轴）： 通常是水平方向的直线，箭头指向右边，表示正方向。 纵轴（y轴）： 通常是垂直方向的直线，箭头指向上方，表示正方向。 两条坐标轴的交点被称为原点，通常用字母 $O$ 表示。原点是坐标系中的“中心”，它的坐标是 $(0, 0)$。 3.2 点的位置：有序数对的意义 一旦建立了坐标系，我们就可以用一对特殊的数字来表示平面上任意一点的位置。这对数字被称为有序数对，写作 $(x, y)$。 $x$ 称为该点的横坐标，它表示点到 $y$ 轴的距离，并且由点在 $x$ 轴上的投影确定。 $y$ 称为该点的纵坐标，它表示点到 $x$ 轴的距离，并且由点在 $y$ 轴上的投影确定。 这里的“有序”非常重要，意味着 $(2, 3)$ 和 $(3, 2)$ 表示的是两个不同的点。第一个数字（$x$）永远是横坐标，第二个数字（$y$）永远是纵坐标。 要确定一个点 $(x, y)$ 的位置： 1. 从原点出发，沿着 $x$ 轴向右（如果 $x>0$）或向左（如果 $x<0$）移动 $|x|$ 个单位。 2. 然后，从当前位置出发，平行于 $y$ 轴向上（如果 $y>0$）或向下（如果 $y<0$）移动 $|y|$ 个单位。 到达的那个点，就是 $(x, y)$。 3.3 象限的划分：探索点的分布 两条互相垂直的坐标轴将整个平面分成了四个区域，这四个区域被称为象限。它们按照逆时针的方向依次命名： 第一象限： $x>0$ 且 $y>0$ （横坐标和纵坐标都为正） 第二象限： $x<0$ 且 $y>0$ （横坐标为负，纵坐标为正） 第三象限： $x<0$ 且 $y<0$ （横坐标和纵坐标都为负） 第四象限： $x>0$ 且 $y<0$ （横坐标为正，纵坐标为负） 在每个象限内，点的横坐标和纵坐标的符号都是固定的。例如，在第一象限的点 $(2, 5)$，其横坐标 $2$ 为正，纵坐标 $5$ 为正。而在第三象限的点 $(-3, -1)$，其横坐标 $-3$ 为负，纵坐标 $-1$ 为负。 3.4 坐标轴上的特殊点：x轴与y轴的秘密 点不一定总是在象限内，它们也可能落在坐标轴上。 x轴上的点： 在 $x$ 轴上的任何点，无论它在 $x$ 轴的哪个位置，它的纵坐标（$y$ 坐标）永远是 $0$。 所以，x轴上的点可以表示为 $(x, 0)$ 的形式。例如，点 $(5, 0)$ 在 $x$ 轴上，距离原点 $5$ 个单位。点 $(-2, 0)$ 也在 $x$ 轴上，距离原点 $2$ 个单位。 y轴上的点： 同理，在 $y$ 轴上的任何点，它的横坐标（$x$ 坐标）永远是 $0$。 所以，y轴上的点可以表示为 $(0, y)$ 的形式。例如，点 $(0, 4)$ 在 $y$ 轴上，距离原点 $4$ 个单位。点 $(0, -3)$ 也在 $y$ 轴上，距离原点 $3$ 个单位。 原点： 原点 $(0, 0)$ 既是 $x$ 轴上的点，也是 $y$ 轴上的点，它是坐标系中的特殊参考点。 3.5 点与坐标的关系：数形结合的初步 平面直角坐标系最大的魅力在于它将数（坐标）与形（点的位置）完美地结合起来。 数可以用来描述形：每一个点都有一个唯一的有序数对来表示其位置。 形可以用来帮助我们理解数：通过在坐标系中描绘点，我们可以更直观地理解坐标的意义。 这种“数形结合”的思想是贯穿整个数学学习的重要方法。例如，如果我们知道点 $A$ 的坐标是 $(2, 3)$，点 $B$ 的坐标是 $(5, 7)$，我们可以在坐标系中画出这两个点。通过观察图形，我们可以初步感知它们之间的距离、方向等信息。 3.6 坐标变换：平移的魅力 在坐标系中，我们不仅可以描绘固定不动的点，还可以描述图形的运动。其中，平移是一种最基本也是最重要的变换。 平移是指将一个图形上的所有点按照相同的方向和相同的距离移动。在坐标系中，平移对点的坐标有什么影响呢？ 水平方向的平移： 如果将一个点 $(x, y)$ 向右平移 $a$ 个单位，那么它的新坐标是 $(x+a, y)$。 如果将一个点 $(x, y)$ 向左平移 $a$ 个单位，那么它的新坐标是 $(x-a, y)$。 也就是说，横坐标 $x$ 加上或减去平移的距离。 垂直方向的平移： 如果将一个点 $(x, y)$ 向上平移 $b$ 个单位，那么它的新坐标是 $(x, y+b)$。 如果将一个点 $(x, y)$ 向下平移 $b$ 个单位，那么它的新坐标是 $(x, y-b)$。 也就是说，纵坐标 $y$ 加上或减去平移的距离。 例如，将点 $P(3, 4)$ 向左平移 $2$ 个单位，再向上平移 $1$ 个单位。 向左平移 $2$ 个单位：$x$ 坐标变为 $3-2 = 1$，点变为 $(1, 4)$。 再向上平移 $1$ 个单位：$y$ 坐标变为 $4+1 = 5$，点变为 $(1, 5)$。 所以，平移后的点是 $(1, 5)$。 平移的规则也适用于整个图形。如果我们将一个图形上的所有点都进行相同的平移，那么整个图形就会发生相应的平移。 3.7 实际应用：地图、定位与数据可视化 平面直角坐标系的应用无处不在，它为我们提供了描述和分析空间信息的基本框架。 地图与导航： GPS定位系统、地图上的经纬度标记，本质上都是一种坐标系的应用，用来精确地指示地球表面的位置。 工程制图： 在建筑、机械设计等领域，平面直角坐标系被用来精确地绘制图纸，标注尺寸和位置。 数据可视化： 在科学研究、经济分析中，我们经常用图表来展示数据。例如，绘制折线图、散点图，就是利用坐标系将一组组数据点呈现在二维平面上，以便我们更容易地发现数据之间的趋势和规律。 游戏开发： 在计算机图形学和游戏开发中，坐标系是构建虚拟世界和控制物体运动的基础。 掌握平面直角坐标系，就是掌握了一种强大的空间描述和分析工具，它将抽象的数字与我们周围的物理世界紧密联系起来，让我们能够更清晰地认识和理解我们所处的空间。 --- 第四章：一次函数——直线上的情感曲线 在前面，我们学习了如何在平面直角坐标系中定位点，以及点的位置如何通过有序数对来表示。现在，我们将利用这个强大的坐标系统，来探索一种特殊而重要的数学关系——函数。特别是，我们将深入研究一次函数，它以其简洁的直线形态和广泛的应用，描绘了许多事物之间“线性的”变化规律。 4.1 函数的概念：输入与输出的关联 什么是函数？最简单的理解是，函数就像一个“机器”：你给它一个“输入”，它就会按照预设的规则“加工”，然后给你一个“输出”。 在一个函数关系中，我们通常有两个变量： 自变量： 相当于“输入”的值，它的取值是独立的。 因变量： 相当于“输出”的值，它的取值依赖于自变量。 函数就是一种关系，它指示对于自变量的每一个允许值，都有唯一确定的因变量值与之对应。 例如，我们前面看到的购物问题：设笔记本单价是 $x$ 元，购买 $3$ 本笔记本的总价是 $3x$ 元。这里，笔记本的单价 $x$ 是自变量，总价 $3x$ 是因变量。对于每一个确定的笔记本单价 $x$，总价 $3x$ 都有唯一确定的值。所以，总价 $3x$ 是笔记本单价 $x$ 的函数。 4.2 定义域与值域：函数存在的范围 并非所有的数都可以作为函数的自变量，也并非所有可能的输出值都能作为因变量。 定义域 (Domain)： 函数的自变量可以取值的范围，叫做函数的定义域。 值域 (Range)： 函数的因变量根据定义域的取值所能取到的值的集合，叫做函数的值域。 在函数 $y = 3x$ 中，如果 $x$ 可以代表任何实数，那么函数的定义域就是全体实数。此时，函数的值域也是全体实数。 但在实际问题中，定义域往往受到限制。例如，在笔记本购物的例子中，笔记本的单价 $x$ 不能是负数，所以它的定义域可能就是 $x ge 0$。 4.3 图形的描绘：将函数“画”出来 函数最直观的表示方式之一就是通过图像。在平面直角坐标系中，我们可以将函数关系可视化。 对于一个函数 $y = f(x)$，我们可以在坐标系中描绘出所有满足该函数的点 $(x, y)$ 的集合。这些点的全体就构成了函数的图像。 要描绘函数 $y = f(x)$ 的图像，通常可以遵循以下步骤： 1. 确定定义域： 明确自变量 $x$ 的取值范围。 2. 选取一些自变量的值： 在定义域内，选取几个具有代表性的 $x$ 值（通常包括正、负、零）。 3. 计算对应的因变量值： 将选取的 $x$ 值代入函数解析式，计算出对应的 $y$ 值。 4. 描点： 将计算出的 $(x, y)$ 数对在坐标系中描绘出来。 5. 连线： 根据函数的类型，用平滑的曲线或直线将描绘出的点连接起来。 4.4 一次函数的特征：斜率与截距 一次函数是形如 $y = kx + b$ 的函数（其中 $k$ 和 $b$ 是常数，且 $k eq 0$）。 $k$： 称为函数的斜率。斜率描述了函数图像的倾斜程度。 当 $k > 0$ 时，直线从左下方向右上方倾斜，表示 $y$ 随 $x$ 的增大而增大（函数单调递增）。 当 $k < 0$ 时，直线从左上方向右下方倾斜，表示 $y$ 随 $x$ 的增大而减小（函数单调递减）。 $|k|$ 的值越大，直线越陡峭。 $b$： 称为函数的截距（纵截距）。它表示一次函数图像与 $y$ 轴交点的纵坐标。 当 $b > 0$ 时，直线与 $y$ 轴交于正半轴。 当 $b < 0$ 时，直线与 $y$ 轴交于负半轴。 当 $b = 0$ 时，直线经过原点，此时函数称为正比例函数，形式为 $y = kx$。 4.5 一次函数的图像：直线为何如此特别 正如其名，一次函数 $y = kx + b$ 的图像总是一条直线。这是因为： 一次函数中的自变量 $x$ 的最高次数是 $1$，没有高次项（如 $x^2$, $x^3$ 等）或分母中的变量。 无论我们选取哪些 $x$ 值，计算出的 $y$ 值与 $x$ 值之间总是存在一个固定的线性关系。 要确定一条直线，我们只需要知道直线上的两个点。因此，对于一次函数，我们只需要选取两个不同的 $x$ 值，计算出对应的 $y$ 值，描绘出这两个点，然后用直线将它们连接起来，就得到了函数的图像。 4.6 函数的增减性：随着变化而变化 一次函数具有明确的单调性，即它的增减性。 当斜率 $k > 0$ 时，一次函数 $y = kx + b$ 是单调递增的。这意味着，如果 $x_1 < x_2$，那么 $y_1 < y_2$。随着 $x$ 的增大，$y$ 也随之增大。 当斜率 $k < 0$ 时，一次函数 $y = kx + b$ 是单调递减的。这意味着，如果 $x_1 < x_2$，那么 $y_1 > y_2$。随着 $x$ 的增大，$y$ 反而随之减小。 这种增减性对于分析事物随时间或其他变量变化的趋势非常有帮助。 4.7 利用图像解方程：直观的解决之道 一次函数和一元一次方程之间有着非常紧密的联系。我们可以利用函数图像来求解方程。 考虑方程 $kx + b = mx + n$。我们可以将其变形为 $kx + b - (mx + n) = 0$，或者 $(k-m)x + (b-n) = 0$。 另一种更直观的方法是，将方程看作是两个一次函数的交点问题。 例如，要解方程 $2x + 3 = 5$。 我们可以将其看作是两个一次函数：$y = 2x + 3$ 和 $y = 5$（这是一条水平直线）。 在坐标系中画出这两条直线，它们的交点的横坐标就是方程的解。 函数 $y = 2x + 3$ 的图像是一条斜率为 $2$，纵截距为 $3$ 的直线。 函数 $y = 5$ 的图像是一条平行于 $x$ 轴，且与 $y$ 轴交于点 $(0, 5)$ 的直线。 这两条直线的交点，就是方程 $2x+3 = 5$ 的解。通过计算，当 $2x+3=5$ 时，$2x=2$，$x=1$。所以交点是 $(1, 5)$，方程的解是 $x=1$。 这种图像法提供了一种直观理解方程解的途径，尤其是在处理方程组时，交点法的优势更加明显。 4.8 实际应用：速率、增长与比例 一次函数是描述许多现实世界中线性变化关系的强大工具。 匀速运动： 物体以恒定的速度运动时，行驶的距离与时间的关系就是一次函数。 例如，汽车以 $60$ 千米/小时的速度匀速行驶，行驶的距离 $s$（千米）与时间 $t$（小时）的关系就是 $s = 60t$。这是一个正比例函数（一次函数的特例）。 如果汽车开始时已经行驶了 $50$ 千米，那么行驶的距离 $s$ 与时间 $t$ 的关系就是 $s = 60t + 50$。 成本与销售额： 如前所述，如果商品单价固定，销售量与总销售额之间就是一次函数关系。 例如，手机的生产成本是 $500$ 元，销售价格是 $800$ 元。每销售一台手机的利润是 $300$ 元。如果销售 $x$ 台手机，总利润 $P$ 是 $P = 300x$。 温度转换： 摄氏度（$C$）与华氏度（$F$）之间的转换关系也是一次函数。 $F = frac{9}{5}C + 32$。这里，$C$ 是自变量，$F$ 是因变量，斜率是 $frac{9}{5}$，截距是 $32$。 比例关系： 许多问题涉及成正比或成反比的关系，这些都可以通过一次函数（或正比例函数）来表示。 通过对一次函数的学习，我们不仅掌握了一种基本的数学工具，更重要的是学会了如何用数学的语言去描述和分析那些“直线式”增长或减小的现象，为理解更复杂的数学模型奠定了基础。 --- 第五章：三角形——构成世界的基本单元 在浩瀚的几何世界中，三角形扮演着至关重要的角色。它是最简单的多边形，由三条线段首尾顺次连接组成。然而，正是这种“简单”，使得三角形拥有了极其丰富而重要的性质，并且在建筑、工程、设计等各个领域都发挥着不可替代的作用。掌握三角形的性质，就如同掌握了构建几何大厦的基石。 5.1 三角形的定义与性质：三条边，三个角 一个三角形有三条边和三个顶点，边与边相交于顶点。在三角形内部，有三个内角。 三角形的三边关系定理是理解三角形结构的关键： 三角形任意两边之和大于第三边。 即，如果一个三角形的三条边长分别为 $a, b, c$，那么必须满足 $a+b > c$，$a+c > b$，$b+c > a$。 反过来，如果三条线段满足这个条件，那么它们就能组成一个三角形。 三角形任意两边之差小于第三边。 这也是由三边关系定理推导出来的。例如，由 $a+b > c$，移项得 $a > c-b$，即 $c-b < a$。 5.2 三角形的分类：锐角、直角、钝角；不等边、等腰、等边 我们可以从不同的角度对三角形进行分类： 按角分类： 锐角三角形： 三个内角都小于 $90^circ$。 直角三角形： 有一个内角等于 $90^circ$。 钝角三角形： 有一个内角大于 $90^circ$。 按边分类： 不等边三角形： 三条边长度都不相等。 等腰三角形： 有两条边长度相等。相等的两条边称为腰，另一条边称为底边。两条腰所对的角称为顶角，底边所对的角称为底角。等腰三角形有两个底角相等。 等边三角形： 三条边长度都相等。等边三角形也是特殊的等腰三角形，它的三个内角也都相等，都等于 $60^circ$。 5.3 三角形的内角和：一个恒定的秘密（180度） 这是三角形最基本也最重要的性质之一：三角形的三个内角的和等于 $180^circ$。 无论三角形是什么形状，大小如何，只要它是一个三角形，它的三个内角的度数加起来，永远是 $180^circ$。 这个性质在解决很多几何问题时非常有用。例如，如果知道三角形的两个内角，就可以很容易地求出第三个内角。 5.4 三角形的外角：延伸的精彩 三角形除了内角，还有外角。三角形的一个外角是三角形的一条边与另一条边（或其延长线）的夹角。 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 例如，在一个三角形中，如果一个外角等于内角 $A$ 和内角 $B$ 的和，那么它与内角 $C$ 互补（即外角 + $C = 180^circ$）。 这个性质也很有用，它揭示了三角形外角与内角之间的关联。 5.5 三角形全等的判定：SSS、SAS、ASA、AAS——证明相等 在几何中，我们经常需要证明两个图形是完全相同的，即它们是全等的。对于三角形来说，如果两个三角形全等，那么它们的形状和大小都完全相同，它们的对应边相等，对应角也相等。 我们不需要一一比较所有的边和角来判断两个三角形是否全等，只需要满足以下几种判定定理中的一种即可： SSS（边边边）： 三条边分别相等的两个三角形全等。 （对应边：$a_1=a_2, b_1=b_2, c_1=c_2$） SAS（边角边）： 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 （对应边：$a_1=a_2, b_1=b_2$；对应角：$angle C_1=angle C_2$，其中 $C$ 是 $a$ 和 $b$ 的夹角） ASA（角边角）： 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 （对应角：$angle A_1=angle A_2, angle B_1=angle B_2$；对应边：$c_1=c_2$，其中 $c$ 是 $A$ 和 $B$ 的夹边） AAS（角角边）： 两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。 （对应角：$angle A_1=angle A_2, angle B_1=angle B_2$；对应边：$a_1=a_2$，其中 $a$ 是角 $B$ 的对边） 5.6 全等三角形的应用：测量高度与距离 全等三角形的判定定理在实际测量中有着非常重要的应用。 例如，我们想测量一座建筑物的高度，但无法直接测量。我们可以利用全等三角形来间接测量： 1. 在建筑物底部地面上立一根已知高度的标杆（如 $1$ 米）。 2. 找到一个观察点，使观察点、标杆的顶端和建筑物顶端大致在一条直线上。 3. 通过测量标杆的影长和建筑物底部的影长，或者通过测量观察点到标杆的距离和观察点到建筑物底部的距离，并利用相似三角形（这也是基于全等三角形概念的延伸）或者构造全等三角形，就可以计算出建筑物的高度。 5.7 等腰三角形的性质：对称的优美 等腰三角形因为有两条相等的腰，所以具有很好的对称性。它的主要性质包括： 等腰三角形的两个底角相等。 (简称“等边对等角”) 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 这意味着，如果你从顶角画一条线，将顶角平分，这条线也会是底边上的中线（平分底边）和底边上的高（垂直于底边）。 5.8 等边三角形的特殊性：三边三角皆相等 等边三角形是等腰三角形的特殊情况，它拥有最完美的对称性： 三条边都相等。 三个内角都相等，都等于 $60^circ$。 5.9 直角三角形的性质：勾股定理的预演 直角三角形是几何学中一个非常特殊的三角形。它有一个角是 $90^circ$。 直角三角形的两个锐角互为余角，即它们的和等于 $90^circ$。 在直角三角形中，直角所对的边叫做斜边，另外两条边叫做直角边。斜边是三条边中最长的一条。 直角三角形最重要的性质就是勾股定理，我们将在下一章详细探讨。 5.10 尺规作图：用尺子和圆规“画”三角形 在几何学中，我们常常需要根据给定的条件精确地画出图形。尺规作图是只允许使用没有刻度的直尺和圆规进行的图形绘制。 利用尺规，我们可以进行三角形的多种基本作图，例如： 作已知线段的垂直平分线。 作已知角的平分线。 作已知角的等角。 根据 SSS、SAS、ASA 的条件，我们可以精确地画出特定的三角形。 通过尺规作图，我们不仅能得到精确的图形，更能加深对三角形性质的理解，体会几何的严谨与精确。 三角形，作为最基础的几何图形，蕴含着丰富的数学知识和应用价值。掌握了三角形的性质与判定，你就为进一步深入探索更复杂的几何图形打下了坚实的基础。 --- 第六章：勾股定理——直角三角形的黄金法则 在几何的王国里，勾股定理无疑是最璀璨的明星之一。它揭示了直角三角形三条边之间一种简洁而深刻的数学关系，以其精确性和广泛的应用，成为数学史上最重要的定理之一。理解勾股定理，就像掌握了打开直角三角形世界的一把金钥匙。 6.1 勾股定理的陈述：a² + b² = c² 勾股定理，也称为毕达哥拉斯定理，它的内容是： 在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 如果我们用字母来表示直角三角形的边长： 设两条直角边分别为 $a$ 和 $b$。 设斜边为 $c$。 那么，勾股定理可以用一个简洁的公式表示： $a^2 + b^2 = c^2$ 这个公式是直角三角形的“黄金法则”，它建立了直角三角形三边长度之间一种永恒不变的联系。 6.2 勾股定理的证明：多种角度的理解 勾股定理流传至今已有数千年历史，在此期间，数学家们提出了无数种证明方法，这些证明本身也体现了数学思维的智慧和多样性。常见的证明方法包括： 拼图法（面积法）： 将四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，通过计算正方形的面积，可以推导出勾股定理。 代数法： 利用多项式展开等代数工具，进行严谨的逻辑推导。 相似三角形法： 在直角三角形中做斜边上的高，可以得到三个相似的三角形，利用相似三角形的性质推导出勾股定理。 理解勾股定理的证明过程，不仅能加深对定理本身的认识，更能培养严谨的数学逻辑思维。 6.3 勾股定理的应用：计算边长、判断直角 勾股定理最直接的应用就是计算直角三角形的边长。 已知两条直角边，求斜边： 如果已知直角三角形的两条直角边 $a$ 和 $b$ 的长度，我们可以直接用勾股定理计算斜边 $c$ 的长度： $c = sqrt{a^2 + b^2}$ 已知一条直角边和斜边，求另一条直角边： 如果已知其中一条直角边（例如 $a$）和斜边 $c$ 的长度，我们可以推导出求另一条直角边 $b$ 的公式： $b^2 = c^2 - a^2$ $b = sqrt{c^2 - a^2}$ 判断三角形是否为直角三角形（勾股定理的逆定理）： 勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的三条边长 $a, b, c$ 满足 $a^2 + b^2 = c^2$，那么这个三角形是直角三角形，并且 $c$ 是斜边。 这个逆定理非常有用。如果我们在不知道一个三角形是不是直角三角形的情况下，测量出它的三条边长，只要验证它们是否满足 $a^2 + b^2 = c^2$ 的关系，就可以判断出它是否为直角三角形。 6.4 勾股数的探索：整数解的规律 当直角三角形的三条边长都是整数时，我们称这组整数为勾股数。 例如： $(3, 4, 5)$ 是一组勾股数，因为 $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$。 $(5, 12, 13)$ 也是一组勾股数，因为 $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$。 $(8, 15, 17)$ 也是一组勾股数，因为 $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$。 存在一些生成勾股数的方法，例如，可以通过以下公式生成一组勾股数： 设 $m, n$ 是任意正整数，且 $m > n$。 那么，$(m^2 - n^2, 2mn, m^2 + n^2)$ 构成一组勾股数。 例如，取 $m=2, n=1$，则得到 $(2^2-1^2, 2 imes 2 imes 1, 2^2+1^2) = (3, 4, 5)$。 取 $m=3, n=1$，则得到 $(3^2-1^2, 2 imes 3 imes 1, 3^2+1^2) = (8, 6, 10)$。注意 $6^2+8^2=36+64=100=10^2$，也是一组勾股数。 6.5 实际应用：建筑、工程与测量 勾股定理在现实世界中的应用极其广泛，可以说是工程和测量学的基石之一。 建筑施工： 在建造房屋、桥梁时，建筑师和工程师需要确保墙壁、柱子等结构是垂直的（成 $90^circ$ 角）。他们会利用 $3-4-5$ 的比例（或者其他勾股数比例）来测量和校准直角。例如，用 $3$ 米的长度在地面上量一个点，在垂直方向量 $4$ 米，如果这两点之间的距离是 $5$ 米，那么这个垂直方向就是准确的 $90^circ$。 测量土地： 在测量土地面积、绘制地图时，勾股定理被用来计算距离和确定角度。例如，测量一个矩形地块的对角线长度。 屏幕尺寸： 电视、电脑屏幕的尺寸通常用对角线长度来表示，而屏幕的宽高比（例如 $16:9$）和对角线长度，就可以通过勾股定理计算出屏幕的实际宽度和高度。 导航与定位： 虽然现代导航系统更复杂，但其底层原理也离不开距离的计算，而距离计算在很多情况下会用到勾股定理。 勾股定理以其简洁的数学形式，解决了现实世界中大量关于直角和距离的问题，是数学力量的绝佳体现。 --- 第七章：平行线的性质与判定——平行世界的规则 在几何的世界里，平行线是一种非常基本却又极为重要的概念。两条平行线就像两条永不相交的轨道，它们在平面上以恒定的距离延伸，并遵循着一套独特的“规则”。理解这些规则，对于我们分析图形、进行几何推理至关重要。 7.1 平行线的定义：永不相交的直线 在同一个平面内，两条不相交的直线叫做平行线。 我们用符号“$||$”来表示平行关系。例如，如果直线 $l$ 平行于直线 $m$，则记作 $l || m$。 7.2 同位角、内错角、同旁内角：角度之间的关系 当一条直线（称为截线）与另外两条直线相交时，会产生许多角度。其中有三种特殊的角对关系，它们是理解平行线性质的关键： 同位角： 两个角的都在截线的同一侧，并且都在被截的两条直线的同一位置（一个在上面，一个在下面）。 （想象一下，截线把两条被截线“分成了上下两部分”，同位角就分别在“上面”或者分别在“下面”，并且都在截线的“左边”或“右边”。） 内错角： 两个角的都在截线的两侧，并且都在被截的两条直线之间。 （“内”表示在中间，“错”表示相对。） 同旁内角： 两个角的都在截线的同一侧，并且都在被截的两条直线之间。 （“同旁”表示在同一侧，“内”表示在中间。） 7.3 平行线的判定：如何证明两条线平行 我们如何才能确定两条直线是平行的呢？判定定理告诉我们，只需要检查由截线产生的某些角度之间的关系。 7.3.1 同位角相等，两直线平行： 如果两条直线被第三条直线截时，同位角相等，那么这两条直线就平行。 （反之亦然，如果两条直线平行，那么同位角相等。） 7.3.2 内错角相等，两直线平行： 如果两条直线被第三条直线截时，内错角相等，那么这两条直线就平行。 （反之亦然，如果两条直线平行，那么内错角相等。） 7.3.3 同旁内角互补，两直线平行： 如果两条直线被第三条直线截时，同旁内角互补（即它们的和等于 $180^circ$），那么这两条直线就平行。 （反之亦然，如果两条直线平行，那么同旁内角互补。） 这三个判定定理是我们在几何证明中经常使用的工具，它们帮助我们证明直线之间的平行关系。 7.4 平行线的性质：证明角度相等或互补 一旦我们确定了两条直线是平行的，那么它们在被截时产生的同位角、内错角和同旁内角就会呈现出特定的关系。这便是平行线的性质。 7.4.1 两直线平行，同位角相等： 如果两条直线平行，那么它们被任意一条截线所截，同位角相等。 7.4.2 两直线平行，内错角相等： 如果两条直线平行，那么它们被任意一条截线所截，内错角相等。 7.4.3 两直线平行，同旁内角互补： 如果两条直线平行，那么它们被任意一条截线所截，同旁内角互补（和为 $180^circ$）。 7.5 综合应用：多条平行线与截线的几何推理 在实际的几何问题中，我们经常会遇到多条直线相互平行，并且有多条截线的情况。这时，就需要综合运用平行线的判定和性质来解决问题。 例如，如果有多条直线 $l_1 || l_2 || l_3 || dots$，并且它们被截线 $m$ 和 $n$ 所截。 根据平行线的性质，我们可以得出 $l_1$ 与 $m$ 截出的同位角、内错角、同旁内角关系。 由于 $l_1 || l_2$，我们还可以推断出 $l_2$ 与 $m$ 截出的角度关系。 再结合 $l_2 || l_3$ 等，我们可以通过“传递性”来建立不同直线之间的角度关系。 几何证明题常常是这样的一个过程：从已知的条件出发，运用定义、公理、定理（包括平行线的判定与性质），一步步地推出所要证明的结论。对于平行线相关的题目，准确识别同位角、内错角、同旁内角，并正确运用判定定理或性质，是解题的关键。 理解并熟练运用平行线的性质与判定，不仅能帮助我们解决抽象的几何问题，也能在实际生活中帮助我们理解一些关于“平行”的现象，例如道路规划、建筑设计中的对齐关系等。 --- 第八章：四边形——多样的几何形状 在三角形的基础上，我们继续向更复杂的图形探索，来到了四边形的世界。四边形是由四条线段首尾顺次连接组成的封闭图形，它们是我们日常生活中最常见的几何形状之一，从一张扑克牌到房间的窗户，都离不开四边形的身影。四边形家族中，有一些特别的成员，它们拥有独特的性质，值得我们深入了解。 8.1 四边形的基本概念：四个顶点，四条边 一个四边形有四个顶点和四条边。连接不相邻的两个顶点的线段称为对角线。在一个普通的四边形中，它的四个内角的和等于 $360^circ$。 8.2 特殊的四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形 在众多的四边形中，有几个“明星成员”，它们拥有特殊的边和角的关系，因此被称为特殊四边形。 平行四边形： 两组对边分别平行的四边形。 矩形： 四个角都是直角的四边形。 菱形： 四条边都相等的四边形。 正方形： 四个角都是直角，且四条边都相等的四边形。 这些特殊的四边形之间存在着包含与被包含的关系，例如，正方形既是矩形，也是菱形；矩形和菱形都是特殊的平行四边形。 8.3 平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分 平行四边形是特殊四边形的基础，它的性质非常丰富： 对边平行且相等： 平行四边形的两组对边分别平行，并且长度相等。 对角相等： 平行四边形的两个对角相等。 对角线互相平分： 平行四边形的两条对角线交于一点，并且互相平分（即分成相等的两条线段）。 8.4 平行四边形的判定：如何证明四边形是平行四边形 与平行线类似，也有判定四边形是否为平行四边形的方法： 定义： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 性质判定： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 其他判定： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 8.5 矩形的性质：特殊的平行四边形（角都为直角，对角线相等） 矩形是在平行四边形的基础上，将四个角都变成了直角。因此，它继承了平行四边形的所有性质，并在此基础上增加了新的性质： 四个角都是直角（$90^circ$）。 对角线相等。 （这是矩形相对于普通平行四边形最突出的新性质） 8.6 菱形的性质：特殊的平行四边形（四边相等，对角线互相垂直平分且平分对角） 菱形是在平行四边形的基础上，将四条边都变成相等的。它也继承了平行四边形的性质，并增加了独特的新性质： 四条边都相等。 对角线互相垂直。 对角线互相平分（这是平行四边形的性质）。 对角线平分对角。 （这是菱形最独特的性质之一，它将四个角都分成了两个相等的角） 8.7 正方形的性质：矩形与菱形的结合 正方形是四边形中最特殊的成员，它同时具备了矩形和菱形的全部优良性质。 四条边都相等。 四个角都相等，且都为直角。 对角线相等。 对角线互相垂直。 对角线互相平分。 对角线平分对角。 可以说，正方形是兼具“直角”的规整和“等边”的对称的完美图形。 8.8 梯形的定义与性质：只有一组对边平行的四边形 除了以上几种特殊的四边形，我们还有梯形。 梯形是指只有一组对边平行的四边形。 底： 梯形中互相平行的一组对边称为底。通常较短的称为上底，较长的称为下底。 腰： 梯形中不平行的一组对边称为腰。 梯形也有一些性质，例如： 同旁内角互补： 梯形同一侧的两个腰与其中一个底的夹角之和为 $180^circ$。 等腰梯形： 两腰相等的梯形称为等腰梯形。等腰梯形有以下性质： 两底角相等。 两腰相等。 对角线相等。 8.9 轴对称图形的初步认识：图形的镜像美 在研究这些特殊四边形时，我们还可以初步认识到轴对称图形的概念。 轴对称图形： 如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 很多四边形都是轴对称图形： 矩形： 有两条对称轴（分别垂直平分两条长边和两条短边）。 菱形： 有两条对称轴（分别是两条对角线）。 正方形： 有四条对称轴（两条对角线和分别平分两条对边的直线）。 等腰梯形： 有一条对称轴（是底边的垂直平分线）。 四边形家族的多样性，以及它们之间相互转化的关系，构成了几何学中一个丰富而有趣的研究领域。理解它们的性质，不仅能帮助我们解开各种几何谜题，更能让我们在设计、建筑等领域获得灵感。

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这本书的学习体验，怎么说呢，就像是在一个经验丰富的老师的指导下进行系统性的学习。它不仅仅是一本简单的知识搬运工，更像是一个循循善诱的引导者。我尤其喜欢它对那些容易混淆的概念的辨析，它会通过对比、举例等多种方式，帮助我们区分开来，避免了以后学习中不必要的误解。比如，在涉及图形的相似与全等的时候，这本书就用了大量的图例和对比分析，让我对这两个概念的差异有了非常深刻的认识。而且，书中的练习题设计也非常巧妙，很多题目都不是简单的套公式，而是需要我们运用所学的知识去分析问题、解决问题，这极大地锻炼了我的逻辑思维和解题能力。虽然有时候会觉得有些题目比较有挑战性，但每次攻克一个难题之后，那种成就感是无与伦比的，也让我对数学产生了更浓厚的兴趣。

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这本书给我的整体感觉是“厚实”和“扎实”。它不像有些书那样追求花哨的排版或者新颖的栏目，而是把重心放在了内容的深度和准确性上。数学这种学科，归根结底还是要靠内容本身说话，而这本书恰恰在这方面做得非常出色。它对每个数学概念的定义都非常严谨，每一个公式的推导都清晰可见，这一点对于我这种喜欢刨根问底的学生来说，简直是太重要了。有时候，我会在网上找一些解释，发现很多都语焉不详，或者直接跳过关键步骤，但在这本书里，基本上找不到这样的问题。它在讲解过程中，还会时不时地穿插一些“数学史话”或者“数学家的故事”，这些小小的亮点，让原本可能略显枯燥的数学学习增添了一抹人文色彩，也让我意识到，数学并非只是冷冰冰的数字和符号，背后蕴含着人类的智慧和探索精神。

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这本书的封面设计相当简洁，甚至可以说是朴素，没有太多花哨的装饰。封面的颜色以一种比较沉稳的蓝色为主调，搭配白色的书名和出版社的名称，给人的第一印象就是这是一本非常“正统”的教材。翻开书页，纸张的质感比我之前用过的很多教辅书都要好，摸起来有一种略微的厚重感，印刷的清晰度也很不错，字迹工整，线条流畅，即使长时间阅读也不会觉得眼睛疲劳。内容方面，章节的划分逻辑清晰，从基础概念的引入，到例题的讲解，再到习题的设置，都循序渐进，非常有条理。我特别喜欢它对一些复杂概念的解释方式，不仅仅是给出公式和定义，还穿插了一些生活中的实际例子，这让原本枯燥的数学变得生动起来，也更容易理解。比如，在讲解函数的时候，它会用“水龙头的水量随时间变化”这样的例子来类比，一下子就抓住了核心。每章最后的习题也很有代表性，包含了从基础巩固到能力提升的各种类型，而且难度梯度也做得很好，不会一开始就让人望而却步。

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说实话，一开始拿到这本书，我并没有抱太大的期望，毕竟“华师大版”这个牌子虽然听过，但教材毕竟是教材，总觉得会有些死板。但翻开之后，我真的被它的一些细节打动了。比如说，它在每个章节的开头都会设置一个小小的“知识导图”，用可视化的方式把本章的核心知识点串联起来，这样在开始学习之前，你就能对整个章节的脉络有一个大概的了解，心里也有数了。而且，它的例题解析非常详细，不仅仅是给出答案，还会一步一步地展示解题思路，甚至会分析一些常见的错误解法，这对于我这种容易卡壳的学生来说，简直是救星。我尤其欣赏它在一些难点知识点上的处理，比如二次函数图像的平移和伸缩，它用了非常直观的图示和动画（虽然书本上是静态图，但能想象出动态效果），让我一下子就明白了其中的原理。它的语言风格也比较平实，没有太多专业术语的堆砌，读起来很舒服，不会让人产生畏难情绪。

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刚开始拿到这本教材，我还有些担心，因为我知道初三数学的难度会明显提升。但让我意外的是，这本书的编排非常合理，它在讲解新知识点的时候，会巧妙地回顾和衔接之前的内容，确保我们能够顺利过渡。我尤其看重它在习题设计上的“层次感”。每章的练习题，从基础的“填空题”、“选择题”，到稍微深入的“解答题”，再到最后的“压轴题”，梯度设计得非常合理，能够满足不同层次学生的学习需求。我印象深刻的是，它在引入一些新的几何证明方法时，会先给出一些简单的例子，让我们熟悉基本步骤，然后再逐渐增加难度，这避免了初学者一开始就面对过于复杂的证明过程而产生挫败感。总的来说，这本书给我一种“稳扎稳打”的学习感受，让我觉得初三的数学学习，虽然充满挑战，但并非不可逾越。

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差评啊，运费死贵，书还好多地方皱了，很差的一次购物！

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京东

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很好，物流很快，3天就到了。满意。

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非常不错，比实体店便宜，且还是是正版。很愉快的一次购物

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真是太气愤了 买了四本书 一本比一本旧 用的我都伤心 运费还这么贵 ???

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书有一点破。

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书的质量有一点差。

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书本很好，是正品

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正版书，质量不错，发货速度也快，满意。