微分几何（第4版）学习指导与习题选解 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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梅向明 编

图书标签:

• 微分几何
• 学习指导
• 习题选解
• 高等数学
• 数学教材
• 第四版
• 理工科
• 大学教材
• 数学分析
• 几何学

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040280784

版次：1

商品编码：10739383

包装：平装

丛书名： 数学类专业学习辅导丛书

开本：大32开

出版时间：2009-12-01

用纸：胶版纸

页数：230

字数：190000

内容简介

　　 《微分几何（第4版）学习指导与习题选解》是学习《微分几何（第四版）》（梅向明、黄敬之编）的配套参考书。书中第一部分是学习指导及习题，指出各章节的理论要点，并通过例题提高读者对概念、定理的认知水平。第二部分是解题指导与答案，对各类习题给出了详尽的分析和规范的解题过程，以期提高读者的解题能力。
　　 《微分几何（第4版）学习指导与习题选解》可供研读《微分几何（第四版）》的学生、教师，以及自学本课程的读者参考。

目录

第一部分 学习指导及习题
第一章 曲线论
§1 向量函数
1.1 向量函数的极限
1.2 向量函数的连续性
1.3 向量函数的微商及泰勒展开式
1.4 向量函数的积分
习题 1.1
§2 曲线的概念
习题 1.2
§3 空间曲线
3.1 空间曲线的密切平面
3.2 空间曲线的基本三棱形
3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式
3.4 空间曲线在一点邻近的结构
3.5 空间曲线论的基本定理
3.6 一般螺线
习题 1.3
§4 全章小结
第二章 曲面论
§1 曲面的概念
1.1 简单曲面及其参数表示
1.2 光滑曲面
1.3 曲面上的曲线族和曲线网
习题 2.1
§2 曲面的 第一基本形式
2.1 曲面的 第一基本形式 曲面上曲线的弧长
2.2 曲面上两方向的交角
2.3 正交曲线族和正交轨线
2.4 曲面域的面积
2.5 等距变换
2.6 保角变换
习题 2.2
§3 曲面的 第二基本形式
3.1 曲面的 第二基本形式
3.2 曲面上曲线的曲率
3.3 迪潘指标线
3.4 曲面的渐近方向和共轭方向
3.5 曲面的主方向和曲率线
3.6 曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率
3.7 曲面在一点邻近的结构
3.8 高斯曲率的几何意义
习题 2.3
§4 直纹面和可展曲面
4.1 直纹面
4.2 可展曲面
习题 2.4
§5 曲面论的基本定理
5.1 曲面的基本方程和克里斯托费尔符号
5.2 曲面的黎曼曲率张量和高斯-科达齐-迈因纳尔迪公式
5.3 曲面论的基本定理
习题 2.5
§6 曲面上的测地线
6.1 曲面上曲线的测地曲率
6.2 曲面上的测地线
6.3 曲面上的半测地坐标网
6.4 曲面上测地线的短程性
6.5 高斯-波涅公式
6.6 曲面上向量的平行移动
习题 2.6
§7 常高斯曲率的曲面
7.1 常高斯曲率的曲面
7.2 伪球面
7.3 罗氏几何
习题 2.7
§8 全章小结
第三章 外微分形式和活动标架
§1 外微分形式
1.1 格拉斯曼代数
习题 3.1.1
1.2 外微分形式
习题 3.1.2
1.3 弗罗贝尼乌斯定理
习题 3.1.3
§2 活动标架
2.1 合同变换群
2.2 活动标架
2.3 活动标架法
§3 用活动标架法研究曲面
习题 3.3
第四章 整体微分几何初步
§1 平面曲线的整体性质
1.1 旋转数
习题 4.1.1
1.2 曲线
习题 4.1.2
1.3 等周不等式
习题 4.1.3
1.4 四顶点定理
习题 4.1.4
1.5 等宽曲线
习题 4.1.5
1.6 平面曲线上的Crofton公式
习题 4.1.6
§2 空间曲线的整体性质
2.1 芬切尔定理
习题 4.2.1
2.2 球面上的Crofton公式
习题 4.2.2
2.3 Fary-Milnor定理
2.4 闭曲线的全挠率
习题 4.2.4
§3 曲面的整体性质
3.1 曲面的整体定义
3.2 曲面的一般性质
3.3 卵形面
习题 4.3.3
3.4 完备曲面
3.5 负常高斯曲率的曲面
习题 4.3.5
§4 完备曲面的比较定理
4.1 完备曲面的极坐标系
4.2 比较定理
4.3 完备曲面的比较定理
习题 4.4

第二部分 解题指导与答案
第一章 曲线论
习题 1.1
习题 1.2
习题 1.3
第二章 曲面论
习题 2.1
习题 2.2
习题 2.3
习题 2.4
习题 2.5
习题 2.6
习题 2.7
第三章 外微分形式和活动标架
习题 3.1.1
习题 3.1.2
习题 3.1.3
习题 3.3
第四章 整体微分几何初步
习题 4.1.1
习题 4.1.2
习题 4.1.3
习题 4.1.4
习题 4.1.5
习题 4.1.6
习题 4.2.1
习题 4.2.2
习题 4.2.4
习题 4.3.3
习题 4.3.5
习题 4.4

《微分几何（第4版）学习指导与习题选解》 本书旨在为学习微分几何的读者提供一套全面、深入的学习辅助材料。本书并非枯燥的理论堆砌，而是以启发式、引导式的方式，帮助读者逐步掌握微分几何的核心概念、关键定理以及典型方法。 核心内容概述： 基础概念梳理与强化： 书中将详细梳理和讲解微分几何中最基础、最核心的概念，包括曲线论和曲面论中的基本要素。这包括但不限于： 曲线论部分： 曲线的参数化表示，切向量、法向量、法平面、法线；曲线的曲率和挠率，Frenet标架，Frenet公式；曲线的分类（如平面曲线、空间曲线），以及与参数化选择无关的不变量（如弧长参数化）。我们将深入探讨这些概念的几何意义，并通过清晰的图示和直观的解释，帮助读者建立空间想象能力，理解曲线的弯曲和扭转程度。 曲面论部分： 曲面的参数化表示，切平面，法向量，单位法向量；第一基本形式及其几何意义（度量、面积、角度）；第二基本形式及其几何意义（曲率）；曲率的分类（高斯曲率、平均曲率、主曲率）；曲面的等温线、测地线；曲面上的曲率张量。我们将重点阐释曲面局部几何性质的描述，以及如何通过基本形式和曲率来刻画曲面的形状。 关键定理的解析与推演： 微分几何中存在许多重要的定理，它们是理解理论体系的关键。本书将对这些定理进行详细的解析，不仅给出定理的陈述，更重要的是深入剖析定理的证明思路和方法。例如： Frenet公式的推导与应用： 详细展示Frenet公式的推导过程，并说明其在描述曲线局部几何性质中的不可替代的作用。 Gauss曲率与第二基本形式的关系： 深入解析Gauss绝妙定理（Theorema Egregium）的核心思想，阐述内在几何与外在几何之间的深刻联系。 测地线的概念与性质： 详细介绍测地线的定义、存在性以及在曲面上的重要性，并探讨其与最短路径的关系。 典型解题方法的指导： 学习微分几何离不开大量的习题练习。本书精选了大量具有代表性的习题，并提供详尽的解题思路和步骤。这些习题涵盖了从基本概念的应用到复杂问题的解决，旨在帮助读者： 熟练运用参数化技巧： 掌握如何对各种曲线和曲面进行恰当的参数化。 计算和分析基本形式： 准确计算第一、第二基本形式，并能从中提取几何信息。 理解和应用曲率概念： 能够计算不同类型的曲率，并分析其对曲面形状的影响。 求解测地线方程： 掌握求解测地线方程的方法和技巧。 解决与曲面形变、弯曲相关的问题。 辅助理解的补充材料： 为了进一步加深读者的理解，本书还将提供一些辅助材料，例如： 概念辨析： 对容易混淆或理解困难的概念进行辨析，例如曲率与挠率的区别，第一基本形式与第二基本形式的联系与区别。 几何直观的构建： 通过大量的几何图示和直观的类比，帮助读者建立对抽象概念的感性认识。 知识点梳理与总结： 在每个章节结束后，对本章的重点内容进行梳理和总结，帮助读者巩固和回顾。 学习建议： 提供针对性的学习方法和策略，指导读者如何更有效地学习微分几何。 本书的特点： 循序渐进： 学习内容由浅入深，从最基础的曲线概念逐步过渡到复杂的曲面性质，确保读者能够扎实地掌握每一个知识点。 注重理解： 强调概念的几何意义和物理背景，避免死记硬背公式，力求让读者“知其然，更知其所以然”。 习题驱动： 大量精心挑选的习题，配以详细的解题过程，使读者在练习中巩固理论，提升解题能力。 系统性强： 贯穿微分几何的逻辑主线，使读者能够构建起完整的知识体系。 针对性强： 紧密结合微分几何的学习难点，为读者提供有力的支持。 无论您是初次接触微分几何的在校学生，还是希望深入研究该领域的专业人士，本书都将是您宝贵的学习伙伴，帮助您在微分几何的学习道路上取得显著的进步。

评分☆☆☆☆☆

在我看来，一本优秀的数学学习指导书，其核心在于能够帮助学习者建立起“清晰的知识体系”，并且能够“有效地进行知识迁移”。这本《微分几何（第4版）学习指导与习题选解》在这两方面都做得非常出色。首先，它在章节的安排上，逻辑性非常强，每个章节都是在前一章节的基础上层层递进，不会出现知识断层。例如，在学习曲率之前，它会先详细讲解曲线和曲面的基本概念，以及相关的微分运算，这样在学习曲率时，就不会觉得突兀。其次，它的习题设计，非常注重“知识迁移”能力的培养。书中不仅有巩固基础的题目，更有一些需要将不同章节的知识融会贯通才能解决的问题。而且，书中的解答，并不只是给出最终答案，更重要的是，它会分析问题背后的数学思想，以及解决问题的通用方法。我发现，通过学习这些解答，我能够掌握一些“通用的解题套路”，并将这些套路应用到解决其他类似的问题中去。我甚至会把书中的一些解题思路，整理成笔记，以便日后查阅。这本书，就像一本“数学学习的说明书”，它不仅告诉你“是什么”，更告诉你“怎么做”，以及“为什么这么做”。

评分☆☆☆☆☆

作为一个已经步入职场，但仍希望在学术上有所精进的在职人士，时间是我最宝贵的资源。我需要在短时间内掌握关键知识，并且能够有效应用。这本书恰好满足了我的需求。它的结构非常清晰，每一章都围绕着一个明确的主题展开，并且将理论知识与习题紧密结合。我尤其喜欢书中提供的大量“课后练习”和“思考题”。这些题目不仅仅是简单的重复，而是能够引导我深入思考，并且将书中的概念运用到解决实际问题中。例如，在学习关于测地线的章节时，书中提供了一些计算在特定曲面上测地线的题目，这让我能够直观地理解测地线在几何中的意义，并且能够将其与物理学中的最短路径问题联系起来。另外，我发现这本书在语言表达上也非常地道，没有那些晦涩难懂的术语堆砌，而是用相对平实的语言来解释复杂的概念，这对于我这种需要快速吸收信息的人来说，极大地降低了学习门槛。我甚至可以利用通勤的时间，阅读书中的一些章节，并尝试在脑海中进行一些简单的推导。这种“碎片化”的学习方式，在这本书的帮助下，变得更加高效和可行。我期待着，通过这本书的学习，能够将微分几何的知识转化为解决实际问题的能力，为我的职业发展带来新的机遇。

评分☆☆☆☆☆

从我个人的角度来看，这本《微分几何（第4版）学习指导与习题选解》最大的价值在于它提供了一种“完整的学习体验”。市面上很多书籍，可能在理论讲解方面很扎实，但习题部分比较薄弱，或者反之。而这本书，将两者有机地结合在一起，形成了一个相互促进的闭环。我认为，对于学习者而言，最重要的不仅仅是理解书本上的知识，更重要的是能够将这些知识应用到解决实际问题中去。而这本书的习题，恰好提供了这样一个平台。我尤其喜欢书中提供的那些“变式题”，它们在基础题的基础上，进行了一些微小的改动，但却能考验出学习者对知识的掌握程度是否足够牢固。例如，一道关于曲面面积计算的题目，可能基础上是一般的圆柱面，而变式题则可能是一个扭曲的曲面，这需要学习者更深刻地理解曲面积分的原理。而且，我发现书中的解答，不仅仅给出了最终答案，还会分析不同的解题思路，并对每种思路的优劣进行评价。这让我能够从更高的维度去理解问题，并学会如何选择最优的解题策略。我甚至会把书中的一些解答，当作范文来学习，学习它的逻辑结构和表达方式。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我之前对微分几何这个领域一直抱有一种敬畏之心，觉得它过于抽象和理论化，离我的实际需求比较遥远。然而，当我拿到这本《微分几何（第4版）学习指导与习题选解》后，我的看法得到了很大的改观。这本书的语言风格非常亲切，仿佛一位学长在耐心解答你的疑惑。它并没有一开始就用一堆复杂的数学符号把你吓倒，而是从一些基本的几何直观入手，慢慢引导你进入数学的殿堂。我尤其喜欢书中对于一些“反例”的讲解。例如，在讨论某些性质时，书中会举出一些反例，说明这些性质并非普遍成立，这让我对概念的理解更加深刻，也避免了一些常见的误区。而习题部分，也设计得非常“接地气”。它涵盖了从基础的概念应用到一些稍微复杂的问题解决，每一个题目都设计得恰到好处，能够检验我是否真正掌握了前面章节的知识。而且，书中的解答，详细到每一个步骤，并且会给出一些“提示”，让我在遇到困难时，能够找到突破口。我甚至会把书中的一些习题，当作自己日后复习的重点，因为它们能够最直接地反映出我的知识掌握情况。

评分☆☆☆☆☆

当我拿到这本书时，我脑海中浮现的是那些在深夜图书馆里，一个人对着复杂的公式和定理苦苦思索的场景。我一直认为，学习数学，尤其是像微分几何这样抽象的学科，最重要的就是“顿悟”的时刻，而这种顿悟，往往离不开一本好的“引路书”。这本书，无疑就是这样一本引路书。它并没有直接把我推向高深的理论海洋，而是先在我脚下铺设了坚实的基石。从最基本的向量场，到微分形式，再到张量分析，每一个概念的引入，都伴随着清晰的定义、直观的几何解释，以及必要的代数推导。我印象最深刻的是，书中在讲解“联络”这个概念时，并没有一开始就抛出那些复杂的数学符号，而是从“平行移动”这个直观的几何直觉出发，然后逐步引入数学化的描述。这种由“感性”到“理性”的过渡，让我觉得学习过程非常自然和流畅。书中的习题，也起到了非常好的“二次消化”作用。很多时候，一个公式在书本上看起来很容易，但当它出现在题目中，需要我主动去运用时，我才发现自己理解得并不够透彻。而这本书的习题，恰好能暴露我这些不足，并且通过详细的解答，帮助我弥补。我喜欢那种“抽丝剥茧”式的解题过程，书中的解答，就像一位经验丰富的老师，一步步地引导我找到问题的症结，并最终给出解决方案。

评分☆☆☆☆☆

这本书的版式设计让我感到非常舒适。它采用了比较宽松的排版，留白适度，文字大小也恰到好处，长时间阅读并不会感到疲劳。在内容上，我个人觉得它最大的亮点在于其“精选”的习题。很多数学书籍虽然提供了大量的习题，但质量参差不齐，有些题目过于简单，不足以检验学习效果，有些题目又过于偏僻，不符合主流的教学和研究方向。而这本书的习题，似乎都经过了精心的筛选，它们紧密围绕着章节的核心内容，并且具有一定的区分度。我尤其喜欢书中对于一些“进阶”题目的设计，这些题目往往需要将不同章节的知识融会贯通，才能得以解决。通过解决这些题目，我能够清晰地看到自己知识体系的薄弱环节，并及时进行补充。同时，书中对这些进阶题目的解答，也展示了非常巧妙的解题技巧，让我学到了很多在课堂上可能无法接触到的“套路”。我是一个比较喜欢通过做题来巩固和加深理解的学习者，而这本书的习题质量，无疑极大地提升了我的学习效率。我还注意到，书中对于一些公式的推导，都有非常清晰的标注，并且会给出一些符号的解释，这避免了由于符号混淆而导致的理解偏差。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计本身就传递出一种沉稳而学术的气息，淡淡的米白色底色，配上深邃的蓝色文字，在书架上显得尤为别致。我一直对数学的抽象美有着莫名的情愫，尤其是那些能将复杂概念清晰化的工具。当我第一次翻开这本书的时候，一种熟悉的，又略带新奇的感觉涌上心头。我之前接触过一些基础的微积分和线性代数，但面对“微分几何”这个词，总觉得它像是一个遥远而神秘的国度，充满了未知的挑战。然而，这本书的编排方式，从目录的设置到章节的划分，都让我觉得它并非高不可攀。它似乎在邀请我，一步步地探索这个领域。我尤其欣赏那种循序渐进的讲解方式，从最基础的概念入手，比如曲线的参数化，到曲面的基本性质，再到更深层次的联络和曲率，整个逻辑链条清晰明了，仿佛一位经验丰富的向导，在我迷茫时给予指引，在我困惑时提供启示。书中的图示也给我留下了深刻的印象，它们并非简单的装饰，而是作为理解抽象概念的桥梁，将那些在纸面上难以想象的几何对象，用直观的方式呈现在我眼前。有时，一个巧妙的插图就能让我茅塞顿开，瞬间理解那些原本晦涩难懂的公式和定理。我甚至会花时间去临摹一些图，试图通过动手的方式加深理解，这是一种非常有效的学习方法，也是这本书带给我的一个意外的惊喜。我期待着，通过这本书的学习，能够真正领略到微分几何的魅力，以及它在现代数学和物理学中所扮演的重要角色。

评分☆☆☆☆☆

我一直在寻找一本能够真正“帮助”我理解微分几何的书，而不是简单地罗列公式和定理。很多时候，数学书籍往往过于理论化，缺少与实际应用的联系，或者讲解方式过于枯燥，让人难以坚持下去。然而，这本书给我带来了截然不同的体验。它不仅仅是一本教材，更像是一个良师益友。在学习过程中，我发现书中对于一些核心概念的阐释，比如“切空间”和“法向量”，不仅仅是给出定义，还通过大量的例子来解释它们的几何意义和代数表示。这种“多维度”的讲解方式，让我在理解抽象概念时，能够从不同的角度去审视，从而建立起更全面、更深刻的认识。我尤其喜欢书中对于一些“为什么”的解答。例如，当我们学习曲率时，书不仅仅告诉我们如何计算，还会解释为什么曲率的概念是重要的，它在描述曲线弯曲程度方面有何优势，以及它与一些物理现象的联系。这种深入的“溯源”精神，让我觉得我在学习的不仅仅是数学知识，更是在学习一种思维方式，一种探索事物本质的逻辑。书中的习题也是我非常看重的一部分，它们的设计非常精巧，既有基础的计算题，帮助我巩固所学知识，也有一些具有挑战性的证明题，能够激发我的思考，锻炼我的逻辑推理能力。而且，很多习题的解答都非常详细，不仅仅给出最终答案，还会展示详细的推导过程，这对于我这种喜欢刨根问底的学习者来说，无疑是巨大的帮助。我能够从中学习到不同的解题思路和技巧，这对于我提高解题能力非常有益。

评分☆☆☆☆☆

我是一个有多年学习数学经验的人，接触过不少领域的书籍，包括代数、分析、拓扑等等。当我拿到这本《微分几何（第4版）学习指导与习题选解》时，我首先被它扎实的理论功底所吸引。这本书在概念的引入和定理的证明上，都显得非常严谨和系统。我特别欣赏书中对于“流形”这个核心概念的阐述，从最简单的二维球面，到更一般的n维流形，作者都给予了详尽的讲解，并且将拓扑学中的一些基本思想巧妙地融入其中，使得读者在理解几何结构的同时，也能感受到其拓扑上的本质。对于那些对数学史有一定兴趣的读者来说，这本书的价值也体现在它对一些重要概念的起源和发展的简要介绍上。例如，在介绍高斯曲率时，书中会提及高斯的工作，以及曲率在物理学中的应用，这使得学习过程更加生动有趣。我发现，这本书不仅仅是提供知识，更是在培养一种对数学研究的“感觉”。书中的一些讨论，比如关于黎曼几何的初步介绍，虽然篇幅不长，但却能点燃读者对更深层领域的探索欲望。我个人非常喜欢书中对于一些“对偶性”的强调，例如切空间和余切空间之间的关系，以及辛几何的初步概念，这些都展现了数学内部深刻而精妙的联系，让我对数学的美感有了更深的体会。

评分☆☆☆☆☆

我是一名研究生，目前正在攻读几何方向的硕士学位。在接触了多家出版社的同类书籍后，我认为这本《微分几何（第4版）学习指导与习题选解》在同类书籍中表现尤为突出。它最大的优点在于，它并没有把“学习指导”和“习题选解”割裂开来，而是将两者有机地结合在一起。很多时候，我们在学习过程中遇到的困惑，往往是在做题时才显现出来的。这本书的“学习指导”部分，不仅仅是对概念的阐述，还包含了一些对于常见误区的提醒，以及一些解题思路的引导。例如，在讲解曲率张量时，书中会特别指出学生容易混淆的几个关键点，并且给出相应的比喻和图示来帮助理解。而“习题选解”部分，也并非仅仅是答案的罗列，而是提供了详细的推导过程，并且对于一些关键步骤的选取，会给出合理的解释。我发现，即使是那些我一开始觉得很难的题目，通过仔细研读书中的解题思路，我也能够逐渐掌握解决问题的技巧。这种“因材施教”的设计，让我在学习过程中少走了很多弯路。我尤其欣赏书中对于那些“思考题”的解答，这些题目往往没有标准答案，但书中的解答却能够提供多种可能的思考方向，让我看到了数学问题的多样性和创造性。

评分☆☆☆☆☆

习题

评分☆☆☆☆☆

4.4

评分☆☆☆☆☆

目录

评分☆☆☆☆☆

要是能更便宜点就好了……

评分☆☆☆☆☆

习题

评分☆☆☆☆☆

这本辅导书还是挺好用的

评分☆☆☆☆☆

用活动标架法研究曲面

评分☆☆☆☆☆

5，内积空间上的线性算子、化二次型为主轴形式、把两个二次型同时化为规范型、保距算子的规范形式、极分解、奇异值分解、Schur定理、Witt扩张定理、复结构、复化线性空间、实化线性空间、实化线性算子、复化算子、最小二乘法、球面多项式、加权正交。

评分☆☆☆☆☆

活动标T架