數學奧賽輔導叢書：不定方程（第2版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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單墫，餘紅兵 著

圖書標籤:

• 數學奧賽
• 不定方程
• 數論
• 競賽數學
• 高中數學
• 奧數輔導
• 第二版
• 數學競賽
• 解題技巧
• 進階學習

齣版社： 中國科學技術大學齣版社

ISBN：9787312029134

版次：2

商品編碼：10968673

包裝：平裝

開本：32開

齣版時間：2012-02-01

用紙：膠版紙

頁數：177

字數：132000

正文語種：中文

內容簡介

隨著數學的不斷發展，不定方程的重要性日益顯著，現代數學的重要分支，如代數數論，代數幾何，錶示理論……都在這裏交匯，不定方程幾乎成為一塊試金石，用以檢驗新的數學理論和新的數學方法。

內頁插圖

目錄

再版前言
前言
1 一次不定方程
2 一次不定方程組
3 分解
4 估計
5 同餘
6 恒等式
7 佩爾方程
8 勾股數
9 無窮遞降法
10 雜例
11 習題
12 習題解答概要
附錄整數的基本知識

前言/序言

數學奧賽輔導叢書：代數基礎與初等數論（第3版） 專為渴望在數學競賽中取得突破的學子量身打造 本書特色與定位 本捲是“數學奧賽輔導叢書”係列中的核心力作，專注於為中學生（尤其是有誌於參加全國初中數學聯賽、全國高中數學聯賽、以及各類國際數學奧林匹剋選拔賽的選手）構建堅實的代數基礎，並深入剖析初等數論的精髓。我們深知，在現代數學競賽中，對基礎概念的深刻理解和靈活運用是取得成功的關鍵。本書並非對某一特定難度或某一特定章節的簡單重復，而是緻力於提供一個係統化、多層次的知識體係，引導讀者從基礎概念齣發，逐步邁嚮高難度的解題技巧。 內容結構概覽 本書結構設計力求邏輯清晰、循序漸進，共分為五個主要部分，涵蓋瞭代數與數論領域內奧賽選手必須掌握的核心知識點： 第一部分：代數基礎與恒等變形的藝術 本部分旨在鞏固和深化學生對基礎代數工具的掌握。我們著重於超越課本範圍的、在競賽中頻繁齣現的代數技巧： 1. 多項式理論的深化： 討論高次多項式的根的性質、有理根定理的推廣應用、因式分解的高級技巧（如利用對稱性、周期性進行構造性分解）。特彆強化瞭多項式與數論的結閤，例如利用多項式的取值特性證明數論性質。 2. 不等式的精煉運用： 詳細剖析瞭 均值不等式（AM-GM） 的變形式、柯西-施瓦茨不等式 的幾何意義與代數應用、Jensen不等式 在凸函數上的應用。不僅講解瞭基本形式，更側重於如何通過變量代換、構造函數來巧妙地引入這些不等式，並給齣大量利用“等號成立條件”來確定最優解的實例。 3. 函數方程與函數性質的綜閤考察： 探討瞭綫性函數、二次函數之外的函數方程求解（如柯西方程的有限域或特定結構下的解法）。深入分析瞭函數的單調性、奇偶性、周期性在解題中的價值，特彆是與數列、極限概念的初步接軌。 4. 代數結構與變換： 引入基本的群論思想的萌芽，如置換群的初步概念，理解對稱性在代數錶達式簡化中的重要作用。 第二部分：初等數論核心概念的全麵突破 數論曆來是奧賽的“兵傢必爭之地”。本部分構建瞭堅實的數論地基，並逐步引入競賽難度： 1. 整數的性質與整除理論： 從素數、閤數的定義齣發，係統迴顧瞭最大公約數和最小公倍數的性質。重點講解瞭擴展歐幾裏得算法的原理與應用，以及中國剩餘定理（CRT）的原理推導、多模運算的求解策略，並給齣其在密碼學基礎中的體現。 2. 同餘理論的深度挖掘： 詳細闡述瞭同餘的基本運算規則、模的性質。深入講解 費馬小定理、歐拉定理、卡邁剋爾函數 的推導過程及其在簡化大數次冪計算中的威力。對比分析瞭勒讓德符號、雅可比符號的定義與計算，為進階的二次剩餘問題做好鋪墊。 3. 算術函數與積性函數： 首次係統介紹 莫比烏斯函數 ($mu(n)$) 和 歐拉函數 ($phi(n)$) 的定義、性質及其互相聯係。通過大量實例展示瞭如何利用它們的積性來分解復雜函數的計算，是解決涉及因子和、因子個數等問題的利器。 4. 丟番圖方程導論： 側重於綫性丟番圖方程的求解。引入簡單的二次丟番圖方程，例如佩爾方程（Pell's Equation）的求解思路，強調如何通過構造無窮遞降法或同餘約束來排除無解情況。 第三部分：數論中的組閤思想應用 本部分是連接數論與組閤學的橋梁，是高難度賽題的常見考點： 1. 抽屜原理（鴿巢原理）的數論錶達： 講解如何將抽屜原理應用於證明數列中元素間的關係，例如證明存在特定餘數的子序列或子集。 2. 構造性證明與反證法的應用： 通過數論問題（如關於素數分布的斷言）展示如何運用嚴謹的數學歸納法、反證法進行論證。 3. 模運算在計數問題中的作用： 探討如何利用模運算來簡化排列組閤中的重復計算或周期性問題。 第四部分：典型題型解析與解題模闆 本部分提供瞭一個實用的“工具箱”，針對奧賽中反復齣現的經典題型，提煉齣高效的解題模式： 1. 代數恒等式的構造性證明（如Schur不等式在特定情境下的變體應用）。 2. 涉及周期性和循環性的數論問題（如數位問題、周期小數）。 3. 涉及同餘關係的區間整數計數問題。 4. 利用生成函數思想對代數錶達式進行初步分析的案例（非嚴格意義上的生成函數，而是其在多項式係數分析中的雛形應用）。 第五部分：曆年精選賽題分析與拓展閱讀 本書精選瞭近十年來國內外重要數學競賽中，不涉及高等微積分、不涉及抽象代數，但對代數和初等數論知識點有高強度要求的真題。每道例題均提供兩至三種不同的解題思路，特彆是突齣“最簡潔的思路”與“最穩妥的思路”的對比分析。最後，附有推薦的進階閱讀材料清單，為有誌於衝擊更高級彆競賽（如IMO初選）的學員指明方嚮。 本書目標讀者 正在備戰初、高中數學聯賽的在校學生。 希望係統性梳理和提升代數與數論知識的數學愛好者。 需要權威參考資料的數學競賽教練及輔導教師。 學習成果預期 完成本書的學習後，讀者將能熟練掌握競賽中常用的代數工具，對數論的四大基本分支（整除性、同餘、算術函數、丟番圖方程基礎）建立起深刻而靈活的理解，並能獨立解決大部分難度相當於全國聯賽一試中代數與數論闆塊的難題。本書旨在培養的，不僅是解題的技巧，更是數學思維的嚴謹性與創造性。

評分☆☆☆☆☆

這本《數論導引》簡直是為那些渴望深入理解數論世界的朋友們量身打造的寶典！我特彆喜歡它那種層層遞進的講解方式，從最基礎的同餘理論講起，逐步過渡到更復雜的丟番圖方程和二次型理論。書中的例題設計得非常巧妙，不僅能幫助我們鞏固剛剛學到的知識點，還能啓發我們去思考更深層次的數學問題。尤其是在介紹費馬大定理的某些簡化版本時，作者的筆觸細膩而精確，讓人在閱讀過程中有一種茅塞頓開的快感。對於我這種自學數論的愛好者來說，這本書的結構清晰、邏輯嚴密，簡直是不可多得的良師益友。它不像一些教科書那樣枯燥乏味，而是充滿瞭探索的樂趣，讓人忍不住一頁接一頁地讀下去，去追尋數論那迷人的光輝。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，初次接觸微分幾何時，我感到非常吃力，那些流形、切空間的概念總讓我感覺抓不住重點。直到我拿到瞭這本《微分幾何基礎導論》，情況纔有瞭根本性的改變。這本書的敘述風格非常“講故事”，它從歐幾裏得空間中的麯綫和麯麵入手，非常自然地引導讀者進入更高維度的抽象空間。作者花瞭大量的篇幅來解釋為什麼需要“局部坐標係”和“張量”的概念，使得這些工具不再是憑空齣現的數學怪獸，而是解決微分幾何問題的必要“拐杖”。書中對麯率的探討尤其精彩，通過具體的例子展示瞭如何從不同的角度（如第一、第二基本形式）來刻畫空間的彎麯程度。這本書的閱讀體驗是漸入佳境的，讓人感到數學的嚴謹性與幾何的美妙可以如此和諧地共存。

評分☆☆☆☆☆

我最近在準備一些高等代數相關的競賽，偶然翻到瞭這本關於抽象代數基礎的書。它的精彩之處在於，它沒有急於展示那些華麗的定理，而是花瞭大量篇幅來構建群、環、域這些核心概念的直觀理解。作者似乎很清楚初學者的思維定勢，所以在解釋同態、同構這些抽象概念時，總是能找到最貼切的比喻，比如用“結構保持的映射”來描繪它們之間的關係，讓人一下子就抓住瞭問題的本質。書中的習題部分也是一大亮點，它們被精心編排，從基礎的驗證性練習到需要綜閤運用多個定理的難題都有涉獵，極大地鍛煉瞭我的抽象思維能力。讀完這本書，我感覺自己對整個代數體係有瞭一個更加堅實和立體的認識，不再是零散知識點的堆砌。

評分☆☆☆☆☆

我一直對應用數學中的優化理論深感興趣，而這本《綫性規劃與對偶理論》簡直就是我一直在尋找的那把鑰匙。作者在闡述單純形法時，沒有僅僅停留在算法步驟的描述上，而是深入挖掘瞭其背後的幾何意義——即在多麵體的頂點之間進行移動。這種幾何視角的引入，極大地降低瞭理解復雜迭代過程的難度。更讓我贊嘆的是，對偶問題的講解部分，它不僅展示瞭如何從原問題構造對偶問題，還深刻闡釋瞭對偶變量的經濟學意義，讓原本冰冷的數學模型立刻鮮活瞭起來，充滿瞭現實指導價值。讀罷此書，我對如何用數學工具去解決資源分配、生産計劃等實際問題，有瞭一種前所未有的清晰認知和信心。

評分☆☆☆☆☆

這本關於組閤數學的教材，可以說是將“藝術”與“邏輯”完美結閤的典範。我最欣賞的是它對生成函數和組閤恒等式處理的獨到見解。很多教材在講生成函數時，往往直接給齣結論，讓讀者感到有些“黑箱操作”的感覺，但這本書卻詳盡地展示瞭如何通過構造特定的函數模型來解決實際的計數問題，每一步推導都清晰可見，充滿瞭數學美感。此外，書中對圖論基礎知識的介紹也非常到位，特彆是關於歐拉路徑和哈密頓迴路的討論，配圖清晰直觀，幫助我立刻區分瞭它們的異同。對於任何想要在組閤數學領域深耕的讀者而言，這本書提供的不僅是知識，更是一種解決復雜計數難題的“內功心法”。

評分☆☆☆☆☆

這部分知識在高中競賽中涉及不是很多，所以總結一下這方麵的知識還是很不錯的。

評分☆☆☆☆☆

最要命的是，我們的司機看上去很睏。一個小時過去

評分☆☆☆☆☆

不錯

評分☆☆☆☆☆

在2004年年初的時候，我接到一個電話，電話是劉小姐打來的，說是在馬來西亞的賽車場有一個亞洲寶馬方程式的奬學金資格賽。這名字很長，導緻除瞭我以外幾乎沒有人能記住。

評分☆☆☆☆☆

好

評分☆☆☆☆☆

劉小姐說她是代錶一個叫馬特汽車谘詢公司的，公司在上海，專門負責賽車和車手經濟的事務。並且讓我馬上郵寄我的護照給她。我一般自認為很有辨彆能力，而且因為我的手機號碼是比較早的那批，所以一直接到不少莫名電話。電話那頭基本全是激動得告訴我我中瞭一輛帕薩特，讓我馬上郵寄自己的身份證和匯2000元手續費。我一般的迴答全是去你媽的。

評分☆☆☆☆☆

Very good very good

評分☆☆☆☆☆

兩天以後，到瞭馬來西亞。下飛機是在吉隆坡。周圍完全陌生，空氣潮濕萬分。半夜時候在異國機場總是淒慘的事情，還好一行五人，另外有兩個中國年輕的卡丁車選手，加上最年輕的孩子的父親和老馬特先生的兒子小馬特。在機場叫瞭一輛車，直接去往賽車場。

評分☆☆☆☆☆

到瞭那傢公司纔弄明白，寶馬每年在亞洲都有一個培養方程式車手的贊助計劃，贊助的錢是五萬美金，但是要拿到這錢就需要參加一個資格賽的選拔。今年的資格賽在馬來西亞。我當時就問，那有瞭這五萬是不是就可以參加比賽瞭。來自德國的老人馬特先生說，是的，你拿瞭寶馬的五萬美金就必須參加一個賽季的亞洲寶馬方程式。不過你還得自己掏200萬人民幣。