數論概論（英文版·第4版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[美] Joseph H. Silverman 著

圖書標籤:

• 數論
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• 高等數學
• 數論概論
• 英文教材
• 第四版
• 數學分析
• 離散數學
• 算法
• 密碼學

齣版社： 機械工業齣版社

ISBN：9787111385813

版次：4

商品編碼：11025285

品牌：機工齣版

包裝：平裝

叢書名： 華章數學原版精品係列

開本：其他

齣版時間：2012-06-01

用紙：膠版紙

頁數：409

正文語種：英文

內容簡介

　　《數論概論（英文版·第4版）》英文影印版由PearsonEducationAsiaLtd.授權機械工業齣版社獨門齣版。未經齣版者書麵許可，不得以任何方式復製或抄襲本書內容。

內頁插圖

目錄

Preface
Flowchart ofChapter Dependencies
Introduction
1 What Is Number Theory·
2 Pythagorean Triples
3 Pythagorean Triples and the Unit Circle
4 Sums ofHigher Powe and Fermat’S Last Theorem
5 Divisibility and the Greatest Common Divisor
6 Linear Equatio and the Greatest Common Divisor
7 Factorization and the Fundamental Theorem ofArithmetic
8 Congruences
9 Congruences，Powe ，andFermat’S LittleTheorem
10 Congruences，Powe ，and Euler’S Formula
11 Euler’S Phi Function and the Chinese Remainder Theorem
12 Prime Numbe
13 Counting Primes
14 Me enne Primes
15 Me enne Primes and Perfect Numbe
16 Powe Modulo m and Successive Squaring
17 Computing kth Roots Modulo m
18 Powe ，Roots，and“Unbreakable Codes
l9 Primality Testing and Carmichael Numbe
20 Squares Modulo р
21 Is-l a Square Modulo р·Is 2·
22 Quadratic Reciprocity
23 Proofof Quadratic Reciprocity
24 Which Primes Are Sums ofTwo Squares
25 Which Numbe Are Sums ofTwo Squares
26 As Easy as One，TwO，Three
27 Euler’S Phi Function and Sums of Diviso
28 Powe Modulo р and Primitive Roots
29 Primitive Roots and Indices
30 The Equation X4+Y4=Z
3l Square-Triangular Numbe Revisited
32 Pell’S Equation
33 Diophantine Approximation
34 Diophantine Approximation and Pell’S Equation
35 Number Theory and Imaginary Numbe
36 The Gaussian Intege and Unique Factorization
37 Irrational Numbe and Tra cendental Numbe
38 Binomial Coefficients and Pascal’S Triangle
39 Fibonacci’S Rabbits and Linear Recurrence Sequences
40 Oh，What a Beautiful Function
41 Cubic Curves and Elliptic Curves
42 Elliptic Curves with Few Rational Points
43 Points on Elliptic Curves Modulo р
44 To ion Collectio Modulo р and Bad Primes
45 Defect Bounds and Modularity Patter
46 Elliptic Curves and Fermat’S Last Theorem
Further Reading
Index
47 The Topsy-Turvy World of Continued Fractio [online]
48 Continued Fractio and Pell’s Equation[online]
49 Generating Functio [9nline]
50 Sums of Powe [online]
A Factorization of Small Composite Intege [online]
B A List of Primes [online]

前言/序言

數論漫談：從古老智慧到現代前沿 圖書簡介 書名： 數論漫談：從古老智慧到現代前沿 作者： [此處留空，或填寫虛構作者名] 齣版社： [此處留空，或填寫虛構齣版社名] 齣版年份： [此處留空，或填寫虛構年份] --- 引言：數字世界的深層結構 自古以來，人類對數字的好奇心從未停歇。從巴比倫泥闆上的乘法錶到畢達哥拉斯學派的神秘主義，數字不僅僅是計算的工具，更是理解宇宙秩序的鑰匙。本書旨在帶領讀者進行一次深度而愉快的旅程，探索數論這一數學分支的迷人世界。我們不會聚焦於任何特定版本的教科書的既有框架，而是力求以一種更具敘事性和啓發性的方式，勾勒齣數論從其發軔之初，到當代研究熱點的全貌。 本書的結構遵循著知識演進的自然脈絡，從最基礎的數係概念齣發，逐步深入到結構更復雜的領域，最終觸及當今數學界麵臨的尖端問題。我們相信，即便是對於初次接觸數論的讀者，也能通過清晰的邏輯和生動的實例，體會到這門學科的深刻美感與強大力量。 第一部分：基礎的奠基——整數的王國 數論的基石是整數的性質。本部分將細緻剖析整數的內在結構及其基本運算規律。 1.1 整數的構造與公理體係 我們將從自然數（$mathbb{N}$）的構造齣發，通過皮亞諾公理（Peano Axioms）的簡要迴顧，建立起一個嚴謹的數學基礎。隨後，我們將自然數的集閤擴展至整數集（$mathbb{Z}$），討論加法和乘法的封閉性、結閤律、分配律等核心代數性質。理解整數集的完整結構是後續一切討論的前提。 1.2 整除性與歐幾裏得的遺産 整除關係是數論的第一個核心概念。我們將詳細闡述帶餘除法定理（Division Algorithm），它是理解素數分布和模運算的基礎。隨後，篇幅將重點放在歐幾裏得對最大公約數（GCD）和最小公倍數（LCM）的係統性研究上。我們將重現歐幾裏得算法（Euclidean Algorithm）的精妙之處，並探討其在簡化分數、求解丟番圖方程中的應用。 1.3 質數的奧秘：素數的生命綫 素數（Prime Numbers）被譽為“數的原子”，其研究貫穿瞭數論的整個曆史。本章將首先呈現歐幾裏得關於素數無窮性的經典證明，並討論更有效的素數篩選方法，如埃拉托斯特尼篩法（Sieve of Eratosthenes）。我們還將探索素數的局部分布，引入素數計函數（$pi(x)$）的概念，並展望其漸近行為。 1.4 綫性不定方程的解法 綫性丟番圖方程（Linear Diophantine Equations），特彆是形如 $ax + by = c$ 的方程，是數論早期應用的典範。我們將利用擴展歐幾裏得算法（Extended Euclidean Algorithm）來係統地求齣這類方程的通解，揭示整數解集的幾何結構。 第二部分：模與同餘——代數結構的顯現 隨著問題的深入，我們需要一種工具來處理整數的周期性結構。同餘理論（Congruence Theory）應運而生，它將整數的研究提升到瞭抽象代數的高度。 2.1 同餘關係的建立與性質 本章詳細介紹瞭模運算（Modular Arithmetic）的概念，定義瞭 $a equiv b pmod{n}$ 的含義，並係統論述瞭同餘關係的等價性、傳遞性以及它如何作用於加法和乘法。同餘係統是密碼學和編碼理論的基石。 2.2 費馬與歐拉的貢獻 費馬小定理（Fermat's Little Theorem）以其簡潔性聞名，它揭示瞭素數模下的冪運算規律。在此基礎上，我們將深入探討歐拉函數（Euler's Totient Function, $phi(n)$）的定義、計算方法及其在數論中的核心地位。歐拉定理（Euler's Theorem）作為費馬小定理的推廣，展示瞭模運算的普遍規律。 2.3 中國剩餘定理：高效求解係統 中國剩餘定理（Chinese Remainder Theorem, CRT）是處理模同餘方程組的強大工具。我們將闡述該定理的構造性證明，並展示其在算法設計和周期性問題求解中的實用價值。 2.4 原始根與二次剩餘 更進一步，我們考察在模 $n$ 意義下的乘法群結構。本章介紹原根（Primitive Roots）的概念，及其在離散對數問題中的重要性。同時，我們將轉嚮二次剩餘（Quadratic Residues）的研究，引入勒讓德符號（Legendre Symbol）和雅可比符號（Jacobi Symbol），為更高級的二次互反律做準備。 第三部分：數論的應用與進階主題 數論並非孤立的理論體係，它深深植根於應用之中，並與其他數學分支緊密交織。 3.1 連分數：逼近與周期性 連分數（Continued Fractions）提供瞭一種獨特的視角來逼近實數，特彆是無理數。我們將解析有理數的有限連分數錶示，並深入探討無理數（如 $sqrt{2}$ 和 $e$）的無限周期連分數展開。連分數在解決佩爾方程（Pell's Equation）中扮演著關鍵角色。 3.2 丟番圖方程的深度探索 除瞭綫性的方程，我們將關注更難處理的非綫性丟番圖方程。我們將迴顧費馬大定理（Fermat's Last Theorem）的曆史背景和最終證明的宏偉結構（不深入證明細節，但側重其對代數幾何的影響）。隨後，我們將討論橢圓麯綫（Elliptic Curves）上的有理點結構，這是現代數論研究的前沿領域。 3.3 解析數論的曙光 解析數論（Analytic Number Theory）是利用復變函數（Complex Analysis）的方法來研究整數性質的分支。本章將簡要介紹黎曼 $zeta$ 函數（Riemann Zeta Function）的定義，闡述其與素數分布的深刻聯係，並概述素數定理（Prime Number Theorem）的意義——它量化瞭素數的稀疏性。 3.4 幾何與數論的交匯 我們將觸及幾何數論（Geometry of Numbers）的初步概念，例如明可夫斯基定理（Minkowski's Theorem）。這種方法將整數點集視為幾何對象，為處理某些涉及格點（Lattice Points）的問題提供瞭強大的直觀工具。 結語：永恒的探索 數論是一門擁有古老根源卻又不斷煥發新生的學科。從計算的需要到純粹的智力挑戰，它塑造瞭人類對邏輯和結構的理解。本書的旅程旨在激發讀者繼續探索的興趣，無論是深入研究模形式（Modular Forms），還是探究黎曼猜想（Riemann Hypothesis）的深遠影響，數字的深處永遠蘊藏著未解的奧秘，等待著下一代探索者的光臨。

評分☆☆☆☆☆

我對這本書的興趣，很大程度上源於我對基礎數學原理的探索欲。數論，在我看來，就像是數學王國裏最古老、最堅實的地基，承載著許多其他數學分支的重量。我一直覺得，要真正理解一個領域，必須迴到它的本源，而數論恰恰就是數學的源頭之一。我期待這本書能夠以一種嚴謹而又不失趣味的方式，帶領我深入理解素數、同餘、二次剩餘等核心概念。重要的是，我希望它不僅僅是羅列定義和定理，更要深入剖析這些概念的由來，以及它們之間錯綜復雜的關係。我一直堅信，理解“為什麼”比記住“是什麼”更重要。一本好的數學書籍，應該能夠教會讀者如何思考，如何證明，如何在邏輯的海洋中航行。我非常看重書中在證明方麵的嚴謹性，以及是否能提供不同的證明思路，這有助於培養讀者的邏輯思維能力。我還在思考，數論在現代數學中的地位，它如何與其他分支相互滲透，比如與代數、分析的結閤。如果書中能適當地提及這些方麵，我會覺得這本書的視野更加開闊。我希望通過閱讀這本書，能夠對數論有一個更加深刻、更加全麵的認識，不僅僅是停留在錶麵，而是能觸及到它內在的邏輯之美。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本書的時候，我首先被它的排版和紙質所吸引。那種沉甸甸的質感，以及清晰易讀的字體，都預示著這是一本值得認真對待的書。雖然我不是數學專業齣身，但在工作和學習中，我對數論的某些概念一直心存好奇。特彆是那些看似簡單卻有著深遠影響的定理，比如費馬小定理，它的簡潔和普適性讓我驚嘆。我希望這本書能夠在我理解這些基本概念的同時，還能引導我看到它們是如何在更復雜的理論體係中發揮作用的。很多時候，一本好的教科書，不隻是知識的傳遞者，更是思想的啓迪者。它應該能夠激發讀者的求知欲，讓讀者在解決問題的過程中，逐漸培養齣獨立思考和解決數學問題的能力。我特彆關注書中是否包含瞭足夠的例子和練習題。理論的學習固然重要，但沒有適量的練習，很容易流於空談。我希望這些練習題能夠難度適中，既能鞏固所學知識，又能幫助我發現理解上的盲點。另外，我一直在尋找一本能夠幫助我建立起數論全局觀的書。因為很多時候，我們學習某個知識點，可能會把它孤立開來，但實際上，它們之間是相互聯係、相互印證的。我希望這本書能夠幫助我看到這些聯係，理解數論的整體結構。

評分☆☆☆☆☆

我對這本書的期待，更多地來自於對數學本身魅力的追尋。數論，在我看來，是數學中最純粹、最具有哲學意味的領域之一。它研究的數，雖然簡單，卻蘊含著無窮的奧秘。我希望這本書能夠以一種非常直觀和易於理解的方式，將我帶入數論的世界。我非常欣賞那些能夠將復雜的數學概念，用清晰的語言和生動的例子解釋清楚的書籍。我期待這本書能夠讓我不僅僅是“知道”數論，更能“理解”它。我希望它能引導我領略到素數的分布規律，理解同餘的奇妙性質，並感受到這些看似古老的理論是如何在現代科技中煥發新生的。我還在思考，一本優秀的數學教材，除瞭嚴謹的邏輯和清晰的闡述，還需要具備什麼樣的特質？或許是能夠激發讀者的好奇心，鼓勵讀者去探索，去提問。我希望這本書能夠做到這一點，讓我能夠帶著問題去閱讀，帶著思考去學習。我特彆看重書中是否能夠提供一些曆史的視角，講述數論發展過程中那些引人入勝的故事，這有助於我更好地理解那些定理和概念的産生背景。我希望通過這本書，能夠真正地體會到數論的優雅與力量。

評分☆☆☆☆☆

這本書我早就想入手瞭，尤其是在聽到同行對它贊譽有加之後。我一直覺得，數學這個學科，其核心的優雅與力量，很多時候就蘊藏在那些最基礎、最純粹的理論之中。數論，作為數學的一個分支，更是承載瞭無數智慧的結晶，從古代的數術猜想，到如今的密碼學應用，無不體現著它的深刻與迷人。我希望通過閱讀這本書，能夠係統地梳理一下數論的脈絡，不僅僅是記住那些公式和定理，更重要的是理解它們背後的邏輯和思想。我特彆期待書中對數論概念的引入是否循序漸進，是否能夠讓沒有深厚數論背景的讀者也能逐步領悟其精髓。一本好的教材，應該像一位經驗豐富的嚮導，帶領讀者穿越知識的迷宮，既能指齣方嚮，又能講解沿途的風景。我希望這本書能夠做到這一點，讓我在學習過程中，既能感到挑戰，又能獲得成就感。而且，作為一本“概論”，我更希望它能夠觸及到數論的各個重要分支，例如代數數論、解析數論等等，雖然可能不會深入探討每一個細節，但至少能夠勾勒齣一個清晰的圖景，讓我知道數論的邊界有多廣闊，還有哪些值得進一步探索的方嚮。我一直在思考，如何將數論的抽象概念與實際應用聯係起來，尤其是在信息安全和算法設計領域。如果書中能夠提供一些這方麵的啓發，那將是錦上添花瞭。

評分☆☆☆☆☆

這次購書，主要是為瞭拓展我在某個特定研究領域的知識邊界。數論，特彆是其在計算數學和算法理論中的應用，一直是我關注的焦點。我希望這本書能夠為我提供一個堅實的理論基礎，讓我能夠更好地理解和設計相關的算法。我特彆期待書中能夠對一些經典的數論算法，例如歐幾裏得算法，進行詳細的講解，並探討其效率和優化。此外，我也對數論中的一些抽象概念，例如模形式和代數數域，抱有濃厚的興趣，雖然我知道這些可能屬於更進階的內容，但我希望概論性的介紹能夠讓我對它們有一個初步的瞭解，並激發我進一步深入學習的動力。一本好的參考書，應該能夠滿足不同層次讀者的需求。對於我這樣有一定基礎的讀者，我希望它能提供足夠的深度和廣度，讓我能夠發現新的研究思路。我還在思考，這本書的編排是否閤理，章節之間的過渡是否自然，以及是否有清晰的索引和參考文獻，這些對於高效地查閱和學習都至關重要。我希望這本書能夠成為我在該領域學習和研究過程中一本不可或缺的工具書。

評分☆☆☆☆☆

黃筱茵◎兒童文學工作者

評分☆☆☆☆☆

吟誦愛與希望的安德烈?德昂

評分☆☆☆☆☆

挺不錯的，還會繼續光顧，希望盡快更新書單。

評分☆☆☆☆☆

很滿意

評分☆☆☆☆☆

黃筱茵◎兒童文學工作者

評分☆☆☆☆☆

安德魯· 德翰（André Dahan）於1935年齣生於阿爾及利亞，日後到巴黎留學，從國立巴黎藝大學畢業後，在巴黎裝飾美術學校教書，目前與妻子與女兒居住於巴黎。德翰很晚纔開始他的繪本創作生涯，於五十二歲纔推齣第一部繪本作品《月亮你好嗎？》，他已發錶的二十多冊作品在全世界廣受歡迎，已於十幾國推齣譯本。

評分☆☆☆☆☆

黃筱茵◎兒童文學工作者

評分☆☆☆☆☆

這是原版的影印版，推薦購買

評分☆☆☆☆☆

啦啦啦啦啦啦啦啦啦啦啦