研究生系列教材：应用泛函分析 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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胡国恩 等 著

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• 应用泛函分析
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• 理论基础
• 学科教材

出版社： 西安电子科技大学出版社

ISBN：9787560627847

版次：1

商品编码：11030304

包装：平装

开本：16开

出版时间：2012-05-01

页数：221

正文语种：中文

编辑推荐

《研究生系列教材：应用泛函分析》强调泛函分析的基础知识与实际应用，对应用上重要的内容如Lebesgue控制收敛定理、Barlach压缩映射原理、线性算子的有界性定理、Hilbert空间的标准正交基、紧算子的谱理论Fourier变换的L2（Rn）理论都做了严格论证，对重要概念和定理都尽量用通俗的语言加以解释，有利于初学者理解和领会泛函分析的思想。

内容简介

《研究生系列教材：应用泛函分析》是为工科研究生学习“应用泛函分析”课程而编写的，全书共七章，主要内容包括预备知识、度量空间、赋范线性空间与线性算子、Hilbert空间、谱理论简介、广义函数简介以及Fourier变换，全书表述通俗论证严谨，概念有解释，定理有说明，主要结论后均有倒题，适合初学者使用。
《研究生系列教材：应用泛函分析》可作为高等学校工科相关专业研究生或高年级本科生的教材或教学参考书，也可供数学物理和工程技术领域的科研人员参考。

目录

第一章 预备知识
1.1 实数集的下确界与上确界
1.2 集合的基数与可数集
1.3 Lebesgue测度与Lebesgue可测集
1.4 Lebesgue可测函数
1.5 Lebesgue积分
1. Holder不等式和Minkowski不等式

第二章 度量空间
2.1 度量空间的基本概念
2.2 度量空间中的点集
2.3 度量空间中的极限与连续映射
2.4 度量空间的完备性与完备化”
2.5 度量空间中的列紧集
2.6 压缩映射原理

第三章 赋范线性空间与线性算子
3.1 赋范线性空间
3. 2有界线性算子
3.3 Hahn-Banach延拓定理
3.4 线性算子的有界性定理
3.5 对偶空间与对偶算子

第四章 Hilbert空间
4.1 内积空间的定义与基本性质
4.2 内积空间中的正交与正交系
4.3 最佳逼近问题与投影定理
4.4 Rlesz表现定理及其应用
4.5 Hilbert空间中的Rtesz基

第五章 谱理论简介
5.1 有界线性算子的谱
5. 2紧算子与全连续算子
5. 3 Hilbert空间上的对称算子

第六章 广义函数简介
6. 1基本函数空间
6.2 广义函数及其基本性质
6.3 广义函数的运算

第七章 Fourier变换
7.1 L1（Rn）中的Fourier变换
7.2 L2（Rn）中的Fourier变换
7.3 Polsson求和公式与采样定理
7.4 广义函数的Founer变换
参考文献

前言/序言

研究生系列教材：高等代数精要与结构洞察 作者： [此处可填写作者姓名，例如：张伟, 李明] 出版社： [此处可填写出版社名称，例如：高等教育出版社/科学出版社] 开本与装帧： 16开，平装/精装 建议用途： 适用于数学、物理、计算机科学、工程学等专业的研究生及高年级本科生，作为核心教材、参考书或自学资料。 --- 内容概述与编写宗旨 本教材《研究生系列教材：高等代数精要与结构洞察》旨在为研究生阶段的学习打下坚实、深入的代数基础，并着重于揭示数学结构背后的深刻联系与应用潜力。我们深刻认识到，高等代数不仅是计算和求解的工具，更是理解抽象数学世界的关键钥匙。本书超越传统初级代数课程的范畴，聚焦于线性空间、线性变换、矩阵理论、特征值理论、内积空间以及多项式理论等核心概念的深度剖析。 本书的编写宗旨在于实现“精要性”与“结构洞察力”的完美结合。我们力求以清晰、严谨的逻辑组织材料，确保概念的引入自然且富有启发性，同时，通过引入现代数学的视角，引导读者从更宏观的层面理解代数结构（如群、环、域的初步概念在线性代数中的体现）的普适性与重要性。 全书共分为十二章，结构安排如下： 第一部分：线性代数的基础重构与深化（第1章至第4章） 第1章：向量空间与线性结构的严谨定义 本章从集合论的视角出发，对向量空间（线性空间）的公理化定义进行深入探讨，并引入子空间、线性组合、线性无关性、基与维数的概念。重点在于建立对“空间”这一抽象概念的直观感受，并利用维度定理揭示有限维空间的本质。讨论了域的扩张对向量空间结构的影响。 第2章：线性映射与同构的本质 本章聚焦于线性映射（或称线性变换）的研究。详细分析了核（Null Space）与像（Range Space）的性质，并严格证明了秩-零化度定理。通过引入线性映射的矩阵表示，建立了向量空间基选择对矩阵形式的具体影响，从而揭示了矩阵的本质是线性变换在特定基下的坐标表示。 第3章：矩阵代数与初等变换的再认识 本章对矩阵的运算（乘法、转置、逆）进行深入探讨，特别强调矩阵乘法的非交换性及其在复合变换中的意义。引入初等矩阵和初等行/列变换，并展示它们如何系统地用于矩阵的化简（如行最简形），以及在求解线性方程组和计算逆矩阵中的应用。强调矩阵的秩与其列空间、行空间的关联。 第4章：线性方程组的结构解法与应用 本章将理论应用于实际问题，系统阐述了线性方程组的相容性判断和通解的结构（特解与通解的分解）。对比了高斯消元法、LU分解、QR分解在数值稳定性和计算效率上的差异。通过对超定/欠定系统的讨论，引出了最小二乘解的初步概念。 第二部分：结构分析的核心——特征值与相似性（第5章至第7章） 第5章：特征值、特征向量与特征空间的理论基础 本章是全书的核心之一。详细讨论特征多项式、特征值的代数重数与几何重数，并证明了它们之间的不等关系。深入分析特征空间的结构，这是理解系统稳定性与动力学行为的关键。 第6章：矩阵的对角化与相似理论 本章探讨了线性变换何时可以被“对角化”，即找到一组特殊的基使得矩阵形式最为简单。详细讨论了可对角化的充要条件。引入相似矩阵的概念，并阐述了相似变换保持的性质（如特征值、迹、行列式不变），为后续的规范型奠定基础。 第7章：实数域与复数域上的规范形 本章将对角化的理论推广到更一般的情形。对于不可对角化的矩阵，详细介绍Jordan标准型（若适用）的构造过程及其理论意义。对于实数域上的对称矩阵，着重介绍正交对角化，并引出谱定理。这部分内容对微分方程和量子力学至关重要。 第三部分：内积空间与几何结构（第8章至第10章） 第8章：内积空间与正交性 本章将向量空间提升到具有度量（内积）的结构上。定义内积、范数和角度，并引入欧几里得空间和酉空间的概念。重点介绍施密特正交化过程，并建立正交基的重要性。 第9章：正交补、正交投影与最小二乘法 本章深入应用内积结构。严格证明了向量空间可以直和分解为子空间及其正交补，并利用此结构推导出函数空间中最佳逼近（即最小二乘解）的存在性和唯一性。本章内容是信号处理和数据拟合的理论基石。 第10章：自伴随算子与二次型 本章研究特殊的一类线性算子——自伴随（或自共轭）算子，强调其特征值全为实数且具有完备的正交特征基。对于二次型，通过配方法和正交变换，引出主轴定理，并讨论正定、半正定矩阵的判定及其在优化问题中的意义。 第四部分：多项式理论与结构分解（第11章至第12章） 第11章：多项式环与线性算子的代数结构 本章将视角转向多项式在线性代数中的作用。详细讨论多项式的除法、最大公因式（利用欧几里得算法）以及根的性质。重点讲解Cayley-Hamilton定理的严谨证明及其在矩阵多项式计算中的应用。 第12章：不变因子与有理规范形 本章为高等代数中最精深的理论之一。介绍将矩阵（或线性算子）分解为更基本、不可约的结构单元的理论工具——不变因子。最终目标是构造出有理规范形（Rational Canonical Form），该形式仅依赖于域本身，无需扩域或特征值信息，是衡量矩阵结构本质的终极工具。本章内容为学习抽象代数中模论打下重要的代数基础。 --- 本书的特色与创新点 1. 强调结构与动机： 本书在引入每一个新概念时，都试图追溯其在具体例子（如 $mathbb{R}^n$）中的表现，再抽象到一般向量空间。例如，在讲解特征值时，会首先引入微分方程或差分方程的稳定性分析作为背景动机。 2. 计算与理论的平衡： 提供了充足的、具有挑战性的习题，涵盖了从基础计算到理论证明的各个层面。每章末尾均设有“深入探讨”部分，涉及数值计算（如迭代法基础）、应用模型（如马尔可夫链）、或与分析/拓扑学的交叉点。 3. 现代视角的引入： 尽管是经典教材，但始终保持现代数学的语言和视角。例如，将线性变换视为态射（Morphism），将矩阵视为特定基下的表示，为后续学习泛函分析、表示论等课程做好了无缝衔接的准备。 4. 严谨性与清晰性并重： 所有关键定理均提供完整的、逻辑清晰的证明，但证明过程力求简洁明了，避免冗余的符号操作，突出核心的数学思想。 本书旨在培养研究生扎实的代数功底、敏锐的结构洞察力以及将代数工具应用于复杂问题的能力。通过系统学习，读者将能够熟练驾驭高维空间、理解算子行为的本质，为深入的科学研究做好坚实的准备。

评分☆☆☆☆☆

我必须说，这本书的语言风格真的非常独特，既有数学的严谨，又透露着一种智慧的幽默感。作者在描述一些抽象概念时，常常会用一些生动形象的比喻，让我一下子就能抓住问题的核心。比如，在讲解有界线性算子的性质时，作者用“放大镜”来类比算子对向量的作用，形象地说明了它如何在空间中对向量进行变换。这种不落俗套的讲解方式，极大地缓解了学习的枯燥感，也让我在轻松愉快的氛围中掌握了知识。而且，作者在叙述逻辑上非常严密，每一步推理都清晰可见，不会让人产生“跳跃”的感觉。我特别欣赏作者在引入一些高级概念，比如弱收敛和紧算子时，所做的铺垫工作。它不是突然抛出这些概念，而是通过前面的基础知识，一步步引导读者走向更深的理解。书中对于不同数学工具的比较和辨析，也做得非常到位，比如详细阐述了巴拿赫空间和希尔伯特空间的异同，以及各自的优势和适用场景，这有助于我们选择最适合解决问题的工具。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的最大感受是，它不仅仅是一本教材，更像是一位博学多才的导师。作者在全书的叙述中，始终贯穿着一种“为什么学”的思考。他在介绍每一个概念、每一个定理时，都会尝试解释它出现的历史背景、解决的问题，以及在现代科学技术中的重要地位。这种宏观的视角，让我不再将泛函分析视为一门孤立的学科，而是能够将其置于更广阔的数学和科学体系中去理解。书中对于一些重要定理，比如谱定理的介绍，就非常详尽，不仅给出了严谨的证明，还详细分析了其在不同领域的应用，比如在主成分分析、贝叶斯推断等方面的作用。这让我深刻体会到，掌握了这些工具，就相当于拥有了一把开启许多科学大门的钥匙。而且，书中还适时地补充了一些历史典故和人物传记，让我在学习知识的同时，也能感受到数学发展的脉络和魅力。这种人文关怀与严谨学术相结合的风格，使得这本书在众多教材中脱颖而出，成为我书架上不可多得的珍品。

评分☆☆☆☆☆

这本书在章节安排上，我认为非常具有匠心独运的思考。它不是简单地按照理论的先后顺序来展开，而是更侧重于实际的应用需求。比如，在初步介绍完巴拿赫空间和希尔伯特空间后，书中便紧接着探讨了它们在求解积分方程和微分方程中的具体方法。这种“先解决问题，再深化理论”的模式，对于急需解决实际工程或科研问题的学生来说，是非常高效的学习路径。我尤其喜欢作者在讲解不动点定理时，所引入的迭代逼近思想，以及它与数值计算方法的联系。这让我看到了理论的强大之处，也看到了理论如何落地为可操作的计算方案。书中对于某些较难理解的证明，作者会提供多重角度的解释，或者用图形化的方式来辅助理解，这对于突破学习的瓶颈至关重要。此外，书中还包含了一些经典的习题，这些习题的难度设置合理，既有巩固基础的，也有启发思考的，完成这些习题的过程，本身就是一种极好的学习和检验。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就有一种严谨而又不失亲和力的感觉，深邃的蓝色背景搭配简洁的白色书名，瞬间就能吸引住对数学建模或理论研究感兴趣的读者。我拿到这本书的时候，首先被它的装帧品质所打动，纸张的触感很好，印刷也十分清晰，翻阅起来有一种扎实的厚重感，这在很多学术教材中是难能可贵的。序言部分非常鼓舞人心，作者用简练的语言勾勒出了应用泛函分析这门学科的宏大图景，以及它在解决实际问题中的重要作用，让我对即将展开的学习充满了期待。书中对一些核心概念的引入，比如度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间和希尔伯特空间，都力求从最基本的定义出发，层层递进，使得我这个初学者也能逐步理解其内在的逻辑和联系。特别值得一提的是，作者在讲解概念时，并没有简单地罗列公式，而是穿插了大量贴近现实生活的例子，比如在介绍度量空间时，作者提到了欧几里得距离、曼哈顿距离，甚至还模拟了城市交通网络中的最短路径问题，这让我一下子就感受到了数学的“温度”，不再觉得它只是冰冷的符号和抽象的理论。这种“引路人”式的讲解方式，极大地降低了学习的门槛，也激发了我进一步探索的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

读这本书的过程，就像是在跟随一位经验丰富的向导，穿梭于抽象数学的迷宫。作者在介绍完基本概念后，并没有急于深入复杂定理的推导，而是花了相当大的篇幅来阐述泛函分析在不同学科领域的应用。比如，在关于算子理论的部分，作者巧妙地将它与量子力学中的态矢量和算符联系起来，虽然我目前对量子力学并非十分精通，但书中的图示和类比，让我对这种抽象理论与物理现实的结合有了一个初步的认识。接着，书中又探讨了泛函分析在信号处理中的作用，比如傅里叶变换和拉普拉斯变换的泛函分析视角，以及它们如何用于分析和滤波信号。这一点对我这样的工程背景的学生来说，是极具吸引力的。此外，作者还提及了它在优化问题、偏微分方程求解等方面的应用，通过这些具体的案例，我能够更直观地理解为什么我们需要学习这些看似高深的数学工具。书中对于定理的证明，也力求严谨而不失清晰，常常会预设一些常见的疑问，并在解答中引导读者思考，这种“互动式”的讲解风格，让我在阅读过程中不断地进行思考和内化，而不是被动地接受知识。