研究生係列教材：應用泛函分析 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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鬍國恩 等 著

圖書標籤:

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• 函數分析
• 數學分析
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• 學科教材

齣版社： 西安電子科技大學齣版社

ISBN：9787560627847

版次：1

商品編碼：11030304

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2012-05-01

頁數：221

正文語種：中文

編輯推薦

《研究生係列教材：應用泛函分析》強調泛函分析的基礎知識與實際應用，對應用上重要的內容如Lebesgue控製收斂定理、Barlach壓縮映射原理、綫性算子的有界性定理、Hilbert空間的標準正交基、緊算子的譜理論Fourier變換的L2（Rn）理論都做瞭嚴格論證，對重要概念和定理都盡量用通俗的語言加以解釋，有利於初學者理解和領會泛函分析的思想。

內容簡介

《研究生係列教材：應用泛函分析》是為工科研究生學習“應用泛函分析”課程而編寫的，全書共七章，主要內容包括預備知識、度量空間、賦範綫性空間與綫性算子、Hilbert空間、譜理論簡介、廣義函數簡介以及Fourier變換，全書錶述通俗論證嚴謹，概念有解釋，定理有說明，主要結論後均有倒題，適閤初學者使用。
《研究生係列教材：應用泛函分析》可作為高等學校工科相關專業研究生或高年級本科生的教材或教學參考書，也可供數學物理和工程技術領域的科研人員參考。

目錄

第一章 預備知識
1.1 實數集的下確界與上確界
1.2 集閤的基數與可數集
1.3 Lebesgue測度與Lebesgue可測集
1.4 Lebesgue可測函數
1.5 Lebesgue積分
1. Holder不等式和Minkowski不等式

第二章 度量空間
2.1 度量空間的基本概念
2.2 度量空間中的點集
2.3 度量空間中的極限與連續映射
2.4 度量空間的完備性與完備化”
2.5 度量空間中的列緊集
2.6 壓縮映射原理

第三章 賦範綫性空間與綫性算子
3.1 賦範綫性空間
3. 2有界綫性算子
3.3 Hahn-Banach延拓定理
3.4 綫性算子的有界性定理
3.5 對偶空間與對偶算子

第四章 Hilbert空間
4.1 內積空間的定義與基本性質
4.2 內積空間中的正交與正交係
4.3 最佳逼近問題與投影定理
4.4 Rlesz錶現定理及其應用
4.5 Hilbert空間中的Rtesz基

第五章 譜理論簡介
5.1 有界綫性算子的譜
5. 2緊算子與全連續算子
5. 3 Hilbert空間上的對稱算子

第六章 廣義函數簡介
6. 1基本函數空間
6.2 廣義函數及其基本性質
6.3 廣義函數的運算

第七章 Fourier變換
7.1 L1（Rn）中的Fourier變換
7.2 L2（Rn）中的Fourier變換
7.3 Polsson求和公式與采樣定理
7.4 廣義函數的Founer變換
參考文獻

前言/序言

研究生係列教材：高等代數精要與結構洞察 作者： [此處可填寫作者姓名，例如：張偉, 李明] 齣版社： [此處可填寫齣版社名稱，例如：高等教育齣版社/科學齣版社] 開本與裝幀： 16開，平裝/精裝 建議用途： 適用於數學、物理、計算機科學、工程學等專業的研究生及高年級本科生，作為核心教材、參考書或自學資料。 --- 內容概述與編寫宗旨 本教材《研究生係列教材：高等代數精要與結構洞察》旨在為研究生階段的學習打下堅實、深入的代數基礎，並著重於揭示數學結構背後的深刻聯係與應用潛力。我們深刻認識到，高等代數不僅是計算和求解的工具，更是理解抽象數學世界的關鍵鑰匙。本書超越傳統初級代數課程的範疇，聚焦於綫性空間、綫性變換、矩陣理論、特徵值理論、內積空間以及多項式理論等核心概念的深度剖析。 本書的編寫宗旨在於實現“精要性”與“結構洞察力”的完美結閤。我們力求以清晰、嚴謹的邏輯組織材料，確保概念的引入自然且富有啓發性，同時，通過引入現代數學的視角，引導讀者從更宏觀的層麵理解代數結構（如群、環、域的初步概念在綫性代數中的體現）的普適性與重要性。 全書共分為十二章，結構安排如下： 第一部分：綫性代數的基礎重構與深化（第1章至第4章） 第1章：嚮量空間與綫性結構的嚴謹定義 本章從集閤論的視角齣發，對嚮量空間（綫性空間）的公理化定義進行深入探討，並引入子空間、綫性組閤、綫性無關性、基與維數的概念。重點在於建立對“空間”這一抽象概念的直觀感受，並利用維度定理揭示有限維空間的本質。討論瞭域的擴張對嚮量空間結構的影響。 第2章：綫性映射與同構的本質 本章聚焦於綫性映射（或稱綫性變換）的研究。詳細分析瞭核（Null Space）與像（Range Space）的性質，並嚴格證明瞭秩-零化度定理。通過引入綫性映射的矩陣錶示，建立瞭嚮量空間基選擇對矩陣形式的具體影響，從而揭示瞭矩陣的本質是綫性變換在特定基下的坐標錶示。 第3章：矩陣代數與初等變換的再認識 本章對矩陣的運算（乘法、轉置、逆）進行深入探討，特彆強調矩陣乘法的非交換性及其在復閤變換中的意義。引入初等矩陣和初等行/列變換，並展示它們如何係統地用於矩陣的化簡（如行最簡形），以及在求解綫性方程組和計算逆矩陣中的應用。強調矩陣的秩與其列空間、行空間的關聯。 第4章：綫性方程組的結構解法與應用 本章將理論應用於實際問題，係統闡述瞭綫性方程組的相容性判斷和通解的結構（特解與通解的分解）。對比瞭高斯消元法、LU分解、QR分解在數值穩定性和計算效率上的差異。通過對超定/欠定係統的討論，引齣瞭最小二乘解的初步概念。 第二部分：結構分析的核心——特徵值與相似性（第5章至第7章） 第5章：特徵值、特徵嚮量與特徵空間的理論基礎 本章是全書的核心之一。詳細討論特徵多項式、特徵值的代數重數與幾何重數，並證明瞭它們之間的不等關係。深入分析特徵空間的結構，這是理解係統穩定性與動力學行為的關鍵。 第6章：矩陣的對角化與相似理論 本章探討瞭綫性變換何時可以被“對角化”，即找到一組特殊的基使得矩陣形式最為簡單。詳細討論瞭可對角化的充要條件。引入相似矩陣的概念，並闡述瞭相似變換保持的性質（如特徵值、跡、行列式不變），為後續的規範型奠定基礎。 第7章：實數域與復數域上的規範形 本章將對角化的理論推廣到更一般的情形。對於不可對角化的矩陣，詳細介紹Jordan標準型（若適用）的構造過程及其理論意義。對於實數域上的對稱矩陣，著重介紹正交對角化，並引齣譜定理。這部分內容對微分方程和量子力學至關重要。 第三部分：內積空間與幾何結構（第8章至第10章） 第8章：內積空間與正交性 本章將嚮量空間提升到具有度量（內積）的結構上。定義內積、範數和角度，並引入歐幾裏得空間和酉空間的概念。重點介紹施密特正交化過程，並建立正交基的重要性。 第9章：正交補、正交投影與最小二乘法 本章深入應用內積結構。嚴格證明瞭嚮量空間可以直和分解為子空間及其正交補，並利用此結構推導齣函數空間中最佳逼近（即最小二乘解）的存在性和唯一性。本章內容是信號處理和數據擬閤的理論基石。 第10章：自伴隨算子與二次型 本章研究特殊的一類綫性算子——自伴隨（或自共軛）算子，強調其特徵值全為實數且具有完備的正交特徵基。對於二次型，通過配方法和正交變換，引齣主軸定理，並討論正定、半正定矩陣的判定及其在優化問題中的意義。 第四部分：多項式理論與結構分解（第11章至第12章） 第11章：多項式環與綫性算子的代數結構 本章將視角轉嚮多項式在綫性代數中的作用。詳細討論多項式的除法、最大公因式（利用歐幾裏得算法）以及根的性質。重點講解Cayley-Hamilton定理的嚴謹證明及其在矩陣多項式計算中的應用。 第12章：不變因子與有理規範形 本章為高等代數中最精深的理論之一。介紹將矩陣（或綫性算子）分解為更基本、不可約的結構單元的理論工具——不變因子。最終目標是構造齣有理規範形（Rational Canonical Form），該形式僅依賴於域本身，無需擴域或特徵值信息，是衡量矩陣結構本質的終極工具。本章內容為學習抽象代數中模論打下重要的代數基礎。 --- 本書的特色與創新點 1. 強調結構與動機： 本書在引入每一個新概念時，都試圖追溯其在具體例子（如 $mathbb{R}^n$）中的錶現，再抽象到一般嚮量空間。例如，在講解特徵值時，會首先引入微分方程或差分方程的穩定性分析作為背景動機。 2. 計算與理論的平衡： 提供瞭充足的、具有挑戰性的習題，涵蓋瞭從基礎計算到理論證明的各個層麵。每章末尾均設有“深入探討”部分，涉及數值計算（如迭代法基礎）、應用模型（如馬爾可夫鏈）、或與分析/拓撲學的交叉點。 3. 現代視角的引入： 盡管是經典教材，但始終保持現代數學的語言和視角。例如，將綫性變換視為態射（Morphism），將矩陣視為特定基下的錶示，為後續學習泛函分析、錶示論等課程做好瞭無縫銜接的準備。 4. 嚴謹性與清晰性並重： 所有關鍵定理均提供完整的、邏輯清晰的證明，但證明過程力求簡潔明瞭，避免冗餘的符號操作，突齣核心的數學思想。 本書旨在培養研究生紮實的代數功底、敏銳的結構洞察力以及將代數工具應用於復雜問題的能力。通過係統學習，讀者將能夠熟練駕馭高維空間、理解算子行為的本質，為深入的科學研究做好堅實的準備。

評分☆☆☆☆☆

讀這本書的過程，就像是在跟隨一位經驗豐富的嚮導，穿梭於抽象數學的迷宮。作者在介紹完基本概念後，並沒有急於深入復雜定理的推導，而是花瞭相當大的篇幅來闡述泛函分析在不同學科領域的應用。比如，在關於算子理論的部分，作者巧妙地將它與量子力學中的態矢量和算符聯係起來，雖然我目前對量子力學並非十分精通，但書中的圖示和類比，讓我對這種抽象理論與物理現實的結閤有瞭一個初步的認識。接著，書中又探討瞭泛函分析在信號處理中的作用，比如傅裏葉變換和拉普拉斯變換的泛函分析視角，以及它們如何用於分析和濾波信號。這一點對我這樣的工程背景的學生來說，是極具吸引力的。此外，作者還提及瞭它在優化問題、偏微分方程求解等方麵的應用，通過這些具體的案例，我能夠更直觀地理解為什麼我們需要學習這些看似高深的數學工具。書中對於定理的證明，也力求嚴謹而不失清晰，常常會預設一些常見的疑問，並在解答中引導讀者思考，這種“互動式”的講解風格，讓我在閱讀過程中不斷地進行思考和內化，而不是被動地接受知識。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計就有一種嚴謹而又不失親和力的感覺，深邃的藍色背景搭配簡潔的白色書名，瞬間就能吸引住對數學建模或理論研究感興趣的讀者。我拿到這本書的時候，首先被它的裝幀品質所打動，紙張的觸感很好，印刷也十分清晰，翻閱起來有一種紮實的厚重感，這在很多學術教材中是難能可貴的。序言部分非常鼓舞人心，作者用簡練的語言勾勒齣瞭應用泛函分析這門學科的宏大圖景，以及它在解決實際問題中的重要作用，讓我對即將展開的學習充滿瞭期待。書中對一些核心概念的引入，比如度量空間、賦範綫性空間、巴拿赫空間和希爾伯特空間，都力求從最基本的定義齣發，層層遞進，使得我這個初學者也能逐步理解其內在的邏輯和聯係。特彆值得一提的是，作者在講解概念時，並沒有簡單地羅列公式，而是穿插瞭大量貼近現實生活的例子，比如在介紹度量空間時，作者提到瞭歐幾裏得距離、曼哈頓距離，甚至還模擬瞭城市交通網絡中的最短路徑問題，這讓我一下子就感受到瞭數學的“溫度”，不再覺得它隻是冰冷的符號和抽象的理論。這種“引路人”式的講解方式，極大地降低瞭學習的門檻，也激發瞭我進一步探索的興趣。

評分☆☆☆☆☆

這本書在章節安排上，我認為非常具有匠心獨運的思考。它不是簡單地按照理論的先後順序來展開，而是更側重於實際的應用需求。比如，在初步介紹完巴拿赫空間和希爾伯特空間後，書中便緊接著探討瞭它們在求解積分方程和微分方程中的具體方法。這種“先解決問題，再深化理論”的模式，對於急需解決實際工程或科研問題的學生來說，是非常高效的學習路徑。我尤其喜歡作者在講解不動點定理時，所引入的迭代逼近思想，以及它與數值計算方法的聯係。這讓我看到瞭理論的強大之處，也看到瞭理論如何落地為可操作的計算方案。書中對於某些較難理解的證明，作者會提供多重角度的解釋，或者用圖形化的方式來輔助理解，這對於突破學習的瓶頸至關重要。此外，書中還包含瞭一些經典的習題，這些習題的難度設置閤理，既有鞏固基礎的，也有啓發思考的，完成這些習題的過程，本身就是一種極好的學習和檢驗。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我的最大感受是，它不僅僅是一本教材，更像是一位博學多纔的導師。作者在全書的敘述中，始終貫穿著一種“為什麼學”的思考。他在介紹每一個概念、每一個定理時，都會嘗試解釋它齣現的曆史背景、解決的問題，以及在現代科學技術中的重要地位。這種宏觀的視角，讓我不再將泛函分析視為一門孤立的學科，而是能夠將其置於更廣闊的數學和科學體係中去理解。書中對於一些重要定理，比如譜定理的介紹，就非常詳盡，不僅給齣瞭嚴謹的證明，還詳細分析瞭其在不同領域的應用，比如在主成分分析、貝葉斯推斷等方麵的作用。這讓我深刻體會到，掌握瞭這些工具，就相當於擁有瞭一把開啓許多科學大門的鑰匙。而且，書中還適時地補充瞭一些曆史典故和人物傳記，讓我在學習知識的同時，也能感受到數學發展的脈絡和魅力。這種人文關懷與嚴謹學術相結閤的風格，使得這本書在眾多教材中脫穎而齣，成為我書架上不可多得的珍品。

評分☆☆☆☆☆

我必須說，這本書的語言風格真的非常獨特，既有數學的嚴謹，又透露著一種智慧的幽默感。作者在描述一些抽象概念時，常常會用一些生動形象的比喻，讓我一下子就能抓住問題的核心。比如，在講解有界綫性算子的性質時，作者用“放大鏡”來類比算子對嚮量的作用，形象地說明瞭它如何在空間中對嚮量進行變換。這種不落俗套的講解方式，極大地緩解瞭學習的枯燥感，也讓我在輕鬆愉快的氛圍中掌握瞭知識。而且，作者在敘述邏輯上非常嚴密，每一步推理都清晰可見，不會讓人産生“跳躍”的感覺。我特彆欣賞作者在引入一些高級概念，比如弱收斂和緊算子時，所做的鋪墊工作。它不是突然拋齣這些概念，而是通過前麵的基礎知識，一步步引導讀者走嚮更深的理解。書中對於不同數學工具的比較和辨析，也做得非常到位，比如詳細闡述瞭巴拿赫空間和希爾伯特空間的異同，以及各自的優勢和適用場景，這有助於我們選擇最適閤解決問題的工具。