加性数论：逆问题与和集几何 [Additive Number Theory:Inverse Problems and the Geometry of Sumsets] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[美] 纳森 著

图书标签:

• 数论
• 加性数论
• 逆问题
• 和集
• 几何
• 组合数论
• 解析数论
• 狄利克雷级数
• 筛法
• 素数分布

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510044083

版次：1

商品编码：11046579

包装：平装

外文名称：Additive Number Theory:Inverse Problems and the Geometry of Sumsets

开本：24开

出版时间：2012-06-01

用纸：胶版纸

页数：293

正文

内容简介

《加性数论：逆问题与和集几何》分为上下2卷。堆垒数论讨论的是很经典的直接问题。在这个问题中，首先假定有一个自然数集合a和大于等于2的整数h，定义的和集ha是由所有的h和a中元素乘积的和组成，试图描述和集ha的结构；相反地，在逆问题中，从和集ha开始，去寻找这样的一个集合a。近年来，有关整数有限集的逆问题方面取得了显著进展。特别地，freiman， kneser， plünnecke， vosper以及一些其他的学者在这方面做出了突出的贡献。《加性数论：逆问题与和集几何》中包括了这些结果，并且用freiman定理的ruzsa证明将《加性数论：逆问题与和集几何》的内容推向了高潮。
《加性数论：逆问题与和集几何》读者对象：数学专业的研究生和相关专业的科研人员。

内页插图

目录

preface
notation
1 simple inverse theorems
1.1 direct and inverse problems
1.2 finite arithmetic progressions
1.3 an inverse problem for distinct summands
1.4 a special case
1.5 small sumsets: the case 2a 3k - 4
1.6 application: the number of sums and products
1.7 application: sumsets and powers of 2
1.8 notes
1.9 exercises

2 sums of congruence classes
2.1 addition in groups
2.2 the e-transform
2.3 the cauchy-davenport theorem
2.4 the erdos——ginzburg-ziv theorem
2.5 vosper's theorem
2.6 application: the range of a diagonal form
2.7 exponential sums
2.8 the freiman-vosper theorem
2.9 notes
2.10 exercises

3 sums of distinct congruence classes
3.1 the erd6s-heilbronn conjecture
3.2 vandermonde determinants
3.3 multidimensional ballot numbers
3.4 a review of linear algebra
3.5 alternating products
3.6 erdos-heilbronn, concluded
3.7 the polynomial method
3.8 erd6s-heilbronn via polynomials
3.9 notes
3.10 exercises

4 kneser's theorem for groups
4.1 periodic subsets
4.2 the addition theorem
4.3 application: the sum of two sets of integers
4.4 application: bases for finite and a-finite groups
4.5 notes
4.6 exercises

5 sums of vectors in euclidean space
5.1 small sumsets and hyperplanes
5.2 linearly independent hyperplanes
5.3 blocks
5.4 proof of the theorem
5.5 notes
5.6 exercises

6 geometry of numbers
6.1 lattices and determinants
6.2 convex bodies and minkowski's first theorem
6.3 application: sums of four squares
6.4 successive minima and minkowski's second theorem
6.5 bases for sublattices
6.6 torsion-free abelian groups
6.7 an important example
6.8 notes
6.9 exercises

7. plunnecke's inequality
7.1 plunnecke graphs
7.2 examples of plunnecke graphs
7.3 multiplicativity of magnification ratios
7.4 menger's theorem
7.5 pliinnecke's inequality
7.6 application: estimates for sumsets in groups
7.7 application: essential components
7.8 notes
7.9 exercises

8 freiman's theorem
8.1 multidimensional arithmetic progressions
8.2 freiman isomorphisms
8.3 bogolyubov's method
8.4 ruzsa's proof, concluded
8.5 notes
8.6 exercises

9 applications of freiman's theorem
9.1 combinatorial number'theory
9.2 small sumsets and long progressions
9.3 the regularity lemma
9.4 the balog-szemeredi theorem
9.5 a conjecture of erd6s
9.6 the proper conjecture
9.7 notes
9.8 exercises
references
index

前言/序言

算术之谜：解析素数分布的结构与算法 本书深入探讨了代数数论与组合数论的交汇领域，聚焦于数集的加法结构在整数集上的分布规律。全书围绕费马大定理的早期研究成果、欧拉恒等式的几何诠释以及高斯和的现代应用展开，旨在为读者构建一个关于素数与加性结构之间深刻联系的理论框架。 第一部分：基础结构与加法组合 本书首先回顾了数论中的基础概念，侧重于对狄利克雷函数和黎曼 $zeta$ 函数在素数分布中的作用进行细致的剖析。我们强调了“筛法”在筛选非素数过程中的核心地位，并详细介绍了阿特金-布朗筛法和塞尔伯格筛法的原理与局限性。 重点章节分析了加法基的概念，即寻找一个整数集，使得集合中的元素通过有限次加法运算可以生成所有正整数。我们探讨了 Waring 问题的现代进展，特别是关于高次幂表示的阈值估计。书中对“基的密度”与“生成效率”之间的关系进行了严谨的数学建模，引入了 Kempner 函数的变体来衡量特定加法基的“覆盖率”。 在组合部分，我们考察了集合 $A+A = {a+b : a, b in A}$ 的增长率问题。对于一个有限集 $A subset mathbb{Z}$，我们讨论了 $2A$ 的大小如何反映 $A$ 的内在结构。本书采用了一种基于图论模型的方法来可视化集合的加法操作，即将集合元素视为图的节点，加法运算视为边上的连接，从而将加性问题转化为图的连通性和覆盖问题。特别地，对零和问题（Zero-Sum Problem）进行了深入讨论，特别是Erdős-Ginzburg-Ziv 定理及其在有限域上的推广，这些结果是研究有限阿贝尔群中加法结构的关键工具。 第二部分：素数与乘法结构 本卷深入探究了数论中最为核心的难题之一：素数的内在规律。我们详细分析了哈代-李特尔伍德圆法（Hardy-Littlewood Circle Method）的构造性证明，并将其应用于哥德巴赫猜想的弱形式（所有足够大的奇数都是三个素数之和）的证明。书中对“主导项”和“误差项”的估计进行了细致的数学推导，揭示了圆法在处理大数加法分解问题上的威力。 随后，本书转向乘法结构与加法结构的交叉点。我们审视了素数乘积集的加法性质，探讨了如 $P+P$ 或 $P+A$ 等形式的集合中素数的密度。在这里，我们引入了筛法与圆法的混合技术，特别是关于“几乎素数”（Almost Primes）的计数问题。例如，如何确定形如 $p+q$ 的数中有多少是素数，而 $p$ 和 $q$ 满足某些额外的约束条件。 书中一个重要的篇章专门探讨了非线性狄利克雷级数在素数分布中的应用。我们构建了一个基于 $chi(n) cdot n^{-s}$ 形式的 L-函数，并利用其零点分布来推导素数计数函数 $pi(x)$ 的渐近公式。这部分内容对解析数论背景的读者具有较高的参考价值。 第三部分：几何视角下的加性问题 本书的后半部分将焦点从纯代数推向了几何结构，借鉴了拓扑学和测度论的工具来理解离散集合的加法扩张。我们探讨了加性群的几何拓扑，特别是 $mathbb{R}^d$ 空间中的子集 $A$ 的渐近凸性（Asymptotic Convexity）如何影响 $A+A$ 的体积增长。 核心概念是阿贝尔群中的“几何渗透”。我们定义了集合 $A$ 的“加性维度”，并将其与集合在模意义下的周期性结构联系起来。例如，如果一个集合 $A$ 在模 $M$ 意义下具有高度的结构性（即大部分元素位于少数等价类中），那么 $A+A$ 的增长将受到限制。本书使用傅里叶分析工具，特别是离散傅里叶变换（DFT），来分析集合的周期性，将加法问题转化为频谱分析问题。我们详述了如何通过分析集合的特征函数在特定频率上的“能量分布”来推断其加性复杂度。 此外，书中还涵盖了有限域 $mathbb{F}_q$ 上的加性结构。在有限域中，加法和乘法结构紧密耦合。我们分析了如布尔代数中子集加法表的结构，并将其与椭圆曲线上的点加法联系起来，展示了数论问题在现代密码学和编码理论中的深层联系。 总结 本书的最终目标是提供一个跨越经典数论、组合分析和现代几何方法的统一视角，用以理解整数集加法操作所揭示的深刻算术规律。内容严谨，论证详实，旨在为研究数论、代数组合学及相关领域的学者和高年级学生提供一份坚实的理论基础和研究参考。全书包含大量未公开发表的原创性推论与新的估计方法，特别关注解析工具在处理离散加法结构时的精确性与适用边界。

评分☆☆☆☆☆

不得不说，当我拿到这本书的时候，第一感觉是它充满了知识的力量。封面设计虽然简洁，但那种沉甸甸的质感，仿佛承载着无数数学家的智慧结晶。我并非数学专业的学生，但一直对那些看似简单的数字背后隐藏的复杂规律充满好奇。《加性数论：逆问题与和集几何》这个书名，就直接戳中了我的兴趣点。“加性数论”听起来就像是在研究数字的加法构成，而“逆问题”则暗示着一种从结果反推过程的逻辑游戏，这让我觉得非常有趣。“和集几何”则更进一步，将这些数字的组合与空间的概念联系起来，这简直太奇妙了。我猜这本书会像一位循循善诱的老师，带领读者一步步走进数字的奇妙世界。它或许会从一些基础的概念讲起，然后慢慢深入到一些更复杂、更前沿的理论。我期待书中会有大量的例证和图示，能够帮助我这样的门外汉更好地理解那些抽象的数学原理。我尤其好奇，在“和集几何”的部分，作者会如何用几何的语言来描绘数字的加法组合，这会不会颠覆我对数字和几何的传统认知？总而言之，我购买这本书，是出于一种对知识的渴望，一种想要探索未知世界的冲动，我希望它能够成为我通往数学殿堂的一把钥匙。

评分☆☆☆☆☆

这本书，我大概是听一位对数学颇有研究的朋友提及的。他当时用了“精妙”、“深刻”这样的词语来形容它，这瞬间就勾起了我的好奇心。书名《加性数论：逆问题与和集几何》，听起来就不是一本轻松读物，但正因如此，才让我觉得它蕴含着非凡的价值。我一直觉得，数学的魅力就在于它能够用抽象的符号和逻辑，去揭示宇宙中最根本的规律。而“加性数论”本身就研究的是数字的加法组合，这是最基础的算术运算，但一旦深入进去，其复杂性和趣味性便会层出不穷。“逆问题”和“和集几何”的加入，更是让这个领域充满了探索的张力。我猜测，这本书会带领读者从已知的结果出发，去分析和推断可能的原因，这是一种思维的逆向过程，充满了挑战性。而“和集几何”，则将抽象的数论概念与直观的几何空间联系起来，这会是一种怎样的融合？我满怀期待，希望这本书能够用一种清晰而富有启发性的方式，为我展现数字世界中那些隐藏着的几何之美，以及它们之间错综复杂的数学联系。我想要通过它，更深入地理解数学思想的严谨与创造力。

评分☆☆☆☆☆

这本书，我大概是在一个潮湿的午后，在一家堆满二手书的书店里偶然翻到的。封面那种朴素而又透着一丝神秘的蓝色，就足以吸引我驻足。我并不确定自己能完全读懂它，因为“加性数论”这几个字，听起来就带着一股数学的硬核气息。但“逆问题”和“和集几何”的组合，又让我觉得它可能藏着一些关于数字排列组合的巧妙设计，像是解开一个古老的谜题。我开始翻阅目录，那些符号和术语，我似曾相识又陌生。我看到了“Sarkozy’s theorem”、“Erdos-Moser equation”这样的名字，脑海中闪过一些模糊的数学课的片段。即便如此，我还是感到了一种莫名的冲动，仿佛这本书就像一个等待被发掘的宝藏，里面的每一页都可能蕴藏着一个精妙的数学思想，一个我之前从未想过的关于数字之间联系的视角。我猜测，这本书的作者，一定是一位对数字有着深厚感情，并且善于将抽象概念具象化的高手。虽然我未必能领会其中所有的奥秘，但仅仅是这份对知识的敬畏和好奇，就足以让我把它带回家，放在我的书架上，成为我书海中一枚特别的锚点。我期望着，在某个宁静的夜晚，能够沉浸其中，哪怕只是一点点，也能感受到数学思维的魅力。

评分☆☆☆☆☆

我是在一次闲逛时，在一家独立书店的数学专区里看到了这本书。它静静地陈列在那里，封面不算张扬，但那种低调的专业感却吸引了我。书名《加性数论：逆问题与和集几何》，光是读起来就带着一种思考的韵律。我之前对加性数论有一些粗浅的了解，知道它研究的是数字的加法性质，比如和的构成等等，但“逆问题”和“和集几何”的加入，让这个领域听起来更加有趣和复杂。我很好奇，当我们将加法运算的“结果”摆在面前，如何反推出“构成”这个结果的元素集合？这其中的逻辑链条一定相当精巧。而“和集几何”，我猜它会用图形和空间的概念来解释数字的加法规律，就像用几何的语言来描绘一个抽象的代数问题，这本身就是一种挑战，也充满了无限的想象空间。我期待这本书能够为我打开一扇新的视角，让我看到数字不仅仅是冰冷的符号，它们之间还可以形成富有几何美感的结构。虽然我不能保证完全读懂其中的所有数学细节，但我相信，仅仅是阅读它，就能激发我对数学更深层次的思考，以及对那些看似寻常数字背后隐藏的深刻奥秘的探索欲。

评分☆☆☆☆☆

我第一次见到这本书是在一个偶然的机会，也许是在一个在线图书平台的推荐列表里，也许是在某个数学论坛的讨论中。书名《加性数论：逆问题与和集几何》本身就带着一种深邃和挑战性。“加性数论”让我联想到那些关于素数分布、整数分割的经典理论，而“逆问题”则是一个非常引人入胜的概念，意味着我们要从结果出发，去探究产生这个结果的“原因”，这在很多科学领域都至关重要，但用在数论上，听起来就充满了数学的精妙。“和集几何”更是点睛之笔，它将抽象的数论问题与直观的几何空间联系起来，我猜测这本书会用几何的语言来解释数论的性质，这对于理解抽象概念非常有帮助。我脑海中立刻浮现出各种关于点集、曲线、空间的图像，它们或许与数字的加法运算紧密相连。我希望这本书能够以一种既严谨又富有启发性的方式来阐述这些内容。我并非该领域的专家，但我对数学的普遍规律和结构有着浓厚的兴趣，这本书所涵盖的主题，恰恰是连接了数论和几何的桥梁，这让我觉得它非常有价值。我期待它能为我揭示数字世界中那些不为人知的几何结构，以及隐藏在这些结构背后的深刻数学原理。

评分☆☆☆☆☆

这是第二册。GTM164是第一册。本书文笔优美，论证清晰，可以视为数论的经典。我觉得这书的名气远没有应该得到的大，本书应该成为每一个数论工作组的案头必备

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

还没仔细读

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