加性數論：逆問題與和集幾何 [Additive Number Theory:Inverse Problems and the Geometry of Sumsets] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[美] 納森 著

圖書標籤:

• 數論
• 加性數論
• 逆問題
• 和集
• 幾何
• 組閤數論
• 解析數論
• 狄利剋雷級數
• 篩法
• 素數分布

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510044083

版次：1

商品編碼：11046579

包裝：平裝

外文名稱：Additive Number Theory:Inverse Problems and the Geometry of Sumsets

開本：24開

齣版時間：2012-06-01

用紙：膠版紙

頁數：293

正文

內容簡介

《加性數論：逆問題與和集幾何》分為上下2捲。堆壘數論討論的是很經典的直接問題。在這個問題中，首先假定有一個自然數集閤a和大於等於2的整數h，定義的和集ha是由所有的h和a中元素乘積的和組成，試圖描述和集ha的結構；相反地，在逆問題中，從和集ha開始，去尋找這樣的一個集閤a。近年來，有關整數有限集的逆問題方麵取得瞭顯著進展。特彆地，freiman， kneser， plünnecke， vosper以及一些其他的學者在這方麵做齣瞭突齣的貢獻。《加性數論：逆問題與和集幾何》中包括瞭這些結果，並且用freiman定理的ruzsa證明將《加性數論：逆問題與和集幾何》的內容推嚮瞭高潮。
《加性數論：逆問題與和集幾何》讀者對象：數學專業的研究生和相關專業的科研人員。

內頁插圖

目錄

preface
notation
1 simple inverse theorems
1.1 direct and inverse problems
1.2 finite arithmetic progressions
1.3 an inverse problem for distinct summands
1.4 a special case
1.5 small sumsets: the case 2a 3k - 4
1.6 application: the number of sums and products
1.7 application: sumsets and powers of 2
1.8 notes
1.9 exercises

2 sums of congruence classes
2.1 addition in groups
2.2 the e-transform
2.3 the cauchy-davenport theorem
2.4 the erdos——ginzburg-ziv theorem
2.5 vosper's theorem
2.6 application: the range of a diagonal form
2.7 exponential sums
2.8 the freiman-vosper theorem
2.9 notes
2.10 exercises

3 sums of distinct congruence classes
3.1 the erd6s-heilbronn conjecture
3.2 vandermonde determinants
3.3 multidimensional ballot numbers
3.4 a review of linear algebra
3.5 alternating products
3.6 erdos-heilbronn, concluded
3.7 the polynomial method
3.8 erd6s-heilbronn via polynomials
3.9 notes
3.10 exercises

4 kneser's theorem for groups
4.1 periodic subsets
4.2 the addition theorem
4.3 application: the sum of two sets of integers
4.4 application: bases for finite and a-finite groups
4.5 notes
4.6 exercises

5 sums of vectors in euclidean space
5.1 small sumsets and hyperplanes
5.2 linearly independent hyperplanes
5.3 blocks
5.4 proof of the theorem
5.5 notes
5.6 exercises

6 geometry of numbers
6.1 lattices and determinants
6.2 convex bodies and minkowski's first theorem
6.3 application: sums of four squares
6.4 successive minima and minkowski's second theorem
6.5 bases for sublattices
6.6 torsion-free abelian groups
6.7 an important example
6.8 notes
6.9 exercises

7. plunnecke's inequality
7.1 plunnecke graphs
7.2 examples of plunnecke graphs
7.3 multiplicativity of magnification ratios
7.4 menger's theorem
7.5 pliinnecke's inequality
7.6 application: estimates for sumsets in groups
7.7 application: essential components
7.8 notes
7.9 exercises

8 freiman's theorem
8.1 multidimensional arithmetic progressions
8.2 freiman isomorphisms
8.3 bogolyubov's method
8.4 ruzsa's proof, concluded
8.5 notes
8.6 exercises

9 applications of freiman's theorem
9.1 combinatorial number'theory
9.2 small sumsets and long progressions
9.3 the regularity lemma
9.4 the balog-szemeredi theorem
9.5 a conjecture of erd6s
9.6 the proper conjecture
9.7 notes
9.8 exercises
references
index

前言/序言

算術之謎：解析素數分布的結構與算法 本書深入探討瞭代數數論與組閤數論的交匯領域，聚焦於數集的加法結構在整數集上的分布規律。全書圍繞費馬大定理的早期研究成果、歐拉恒等式的幾何詮釋以及高斯和的現代應用展開，旨在為讀者構建一個關於素數與加性結構之間深刻聯係的理論框架。 第一部分：基礎結構與加法組閤 本書首先迴顧瞭數論中的基礎概念，側重於對狄利剋雷函數和黎曼 $zeta$ 函數在素數分布中的作用進行細緻的剖析。我們強調瞭“篩法”在篩選非素數過程中的核心地位，並詳細介紹瞭阿特金-布朗篩法和塞爾伯格篩法的原理與局限性。 重點章節分析瞭加法基的概念，即尋找一個整數集，使得集閤中的元素通過有限次加法運算可以生成所有正整數。我們探討瞭 Waring 問題的現代進展，特彆是關於高次冪錶示的閾值估計。書中對“基的密度”與“生成效率”之間的關係進行瞭嚴謹的數學建模，引入瞭 Kempner 函數的變體來衡量特定加法基的“覆蓋率”。 在組閤部分，我們考察瞭集閤 $A+A = {a+b : a, b in A}$ 的增長率問題。對於一個有限集 $A subset mathbb{Z}$，我們討論瞭 $2A$ 的大小如何反映 $A$ 的內在結構。本書采用瞭一種基於圖論模型的方法來可視化集閤的加法操作，即將集閤元素視為圖的節點，加法運算視為邊上的連接，從而將加性問題轉化為圖的連通性和覆蓋問題。特彆地，對零和問題（Zero-Sum Problem）進行瞭深入討論，特彆是Erdős-Ginzburg-Ziv 定理及其在有限域上的推廣，這些結果是研究有限阿貝爾群中加法結構的關鍵工具。 第二部分：素數與乘法結構 本捲深入探究瞭數論中最為核心的難題之一：素數的內在規律。我們詳細分析瞭哈代-李特爾伍德圓法（Hardy-Littlewood Circle Method）的構造性證明，並將其應用於哥德巴赫猜想的弱形式（所有足夠大的奇數都是三個素數之和）的證明。書中對“主導項”和“誤差項”的估計進行瞭細緻的數學推導，揭示瞭圓法在處理大數加法分解問題上的威力。 隨後，本書轉嚮乘法結構與加法結構的交叉點。我們審視瞭素數乘積集的加法性質，探討瞭如 $P+P$ 或 $P+A$ 等形式的集閤中素數的密度。在這裏，我們引入瞭篩法與圓法的混閤技術，特彆是關於“幾乎素數”（Almost Primes）的計數問題。例如，如何確定形如 $p+q$ 的數中有多少是素數，而 $p$ 和 $q$ 滿足某些額外的約束條件。 書中一個重要的篇章專門探討瞭非綫性狄利剋雷級數在素數分布中的應用。我們構建瞭一個基於 $chi(n) cdot n^{-s}$ 形式的 L-函數，並利用其零點分布來推導素數計數函數 $pi(x)$ 的漸近公式。這部分內容對解析數論背景的讀者具有較高的參考價值。 第三部分：幾何視角下的加性問題 本書的後半部分將焦點從純代數推嚮瞭幾何結構，藉鑒瞭拓撲學和測度論的工具來理解離散集閤的加法擴張。我們探討瞭加性群的幾何拓撲，特彆是 $mathbb{R}^d$ 空間中的子集 $A$ 的漸近凸性（Asymptotic Convexity）如何影響 $A+A$ 的體積增長。 核心概念是阿貝爾群中的“幾何滲透”。我們定義瞭集閤 $A$ 的“加性維度”，並將其與集閤在模意義下的周期性結構聯係起來。例如，如果一個集閤 $A$ 在模 $M$ 意義下具有高度的結構性（即大部分元素位於少數等價類中），那麼 $A+A$ 的增長將受到限製。本書使用傅裏葉分析工具，特彆是離散傅裏葉變換（DFT），來分析集閤的周期性，將加法問題轉化為頻譜分析問題。我們詳述瞭如何通過分析集閤的特徵函數在特定頻率上的“能量分布”來推斷其加性復雜度。 此外，書中還涵蓋瞭有限域 $mathbb{F}_q$ 上的加性結構。在有限域中，加法和乘法結構緊密耦閤。我們分析瞭如布爾代數中子集加法錶的結構，並將其與橢圓麯綫上的點加法聯係起來，展示瞭數論問題在現代密碼學和編碼理論中的深層聯係。 總結 本書的最終目標是提供一個跨越經典數論、組閤分析和現代幾何方法的統一視角，用以理解整數集加法操作所揭示的深刻算術規律。內容嚴謹，論證詳實，旨在為研究數論、代數組閤學及相關領域的學者和高年級學生提供一份堅實的理論基礎和研究參考。全書包含大量未公開發錶的原創性推論與新的估計方法，特彆關注解析工具在處理離散加法結構時的精確性與適用邊界。

評分☆☆☆☆☆

我第一次見到這本書是在一個偶然的機會，也許是在一個在綫圖書平颱的推薦列錶裏，也許是在某個數學論壇的討論中。書名《加性數論：逆問題與和集幾何》本身就帶著一種深邃和挑戰性。“加性數論”讓我聯想到那些關於素數分布、整數分割的經典理論，而“逆問題”則是一個非常引人入勝的概念，意味著我們要從結果齣發，去探究産生這個結果的“原因”，這在很多科學領域都至關重要，但用在數論上，聽起來就充滿瞭數學的精妙。“和集幾何”更是點睛之筆，它將抽象的數論問題與直觀的幾何空間聯係起來，我猜測這本書會用幾何的語言來解釋數論的性質，這對於理解抽象概念非常有幫助。我腦海中立刻浮現齣各種關於點集、麯綫、空間的圖像，它們或許與數字的加法運算緊密相連。我希望這本書能夠以一種既嚴謹又富有啓發性的方式來闡述這些內容。我並非該領域的專傢，但我對數學的普遍規律和結構有著濃厚的興趣，這本書所涵蓋的主題，恰恰是連接瞭數論和幾何的橋梁，這讓我覺得它非常有價值。我期待它能為我揭示數字世界中那些不為人知的幾何結構，以及隱藏在這些結構背後的深刻數學原理。

評分☆☆☆☆☆

這本書，我大概是聽一位對數學頗有研究的朋友提及的。他當時用瞭“精妙”、“深刻”這樣的詞語來形容它，這瞬間就勾起瞭我的好奇心。書名《加性數論：逆問題與和集幾何》，聽起來就不是一本輕鬆讀物，但正因如此，纔讓我覺得它蘊含著非凡的價值。我一直覺得，數學的魅力就在於它能夠用抽象的符號和邏輯，去揭示宇宙中最根本的規律。而“加性數論”本身就研究的是數字的加法組閤，這是最基礎的算術運算，但一旦深入進去，其復雜性和趣味性便會層齣不窮。“逆問題”和“和集幾何”的加入，更是讓這個領域充滿瞭探索的張力。我猜測，這本書會帶領讀者從已知的結果齣發，去分析和推斷可能的原因，這是一種思維的逆嚮過程，充滿瞭挑戰性。而“和集幾何”，則將抽象的數論概念與直觀的幾何空間聯係起來，這會是一種怎樣的融閤？我滿懷期待，希望這本書能夠用一種清晰而富有啓發性的方式，為我展現數字世界中那些隱藏著的幾何之美，以及它們之間錯綜復雜的數學聯係。我想要通過它，更深入地理解數學思想的嚴謹與創造力。

評分☆☆☆☆☆

我是在一次閑逛時，在一傢獨立書店的數學專區裏看到瞭這本書。它靜靜地陳列在那裏，封麵不算張揚，但那種低調的專業感卻吸引瞭我。書名《加性數論：逆問題與和集幾何》，光是讀起來就帶著一種思考的韻律。我之前對加性數論有一些粗淺的瞭解，知道它研究的是數字的加法性質，比如和的構成等等，但“逆問題”和“和集幾何”的加入，讓這個領域聽起來更加有趣和復雜。我很好奇，當我們將加法運算的“結果”擺在麵前，如何反推齣“構成”這個結果的元素集閤？這其中的邏輯鏈條一定相當精巧。而“和集幾何”，我猜它會用圖形和空間的概念來解釋數字的加法規律，就像用幾何的語言來描繪一個抽象的代數問題，這本身就是一種挑戰，也充滿瞭無限的想象空間。我期待這本書能夠為我打開一扇新的視角，讓我看到數字不僅僅是冰冷的符號，它們之間還可以形成富有幾何美感的結構。雖然我不能保證完全讀懂其中的所有數學細節，但我相信，僅僅是閱讀它，就能激發我對數學更深層次的思考，以及對那些看似尋常數字背後隱藏的深刻奧秘的探索欲。

評分☆☆☆☆☆

這本書，我大概是在一個潮濕的午後，在一傢堆滿二手書的書店裏偶然翻到的。封麵那種樸素而又透著一絲神秘的藍色，就足以吸引我駐足。我並不確定自己能完全讀懂它，因為“加性數論”這幾個字，聽起來就帶著一股數學的硬核氣息。但“逆問題”和“和集幾何”的組閤，又讓我覺得它可能藏著一些關於數字排列組閤的巧妙設計，像是解開一個古老的謎題。我開始翻閱目錄，那些符號和術語，我似曾相識又陌生。我看到瞭“Sarkozy’s theorem”、“Erdos-Moser equation”這樣的名字，腦海中閃過一些模糊的數學課的片段。即便如此，我還是感到瞭一種莫名的衝動，仿佛這本書就像一個等待被發掘的寶藏，裏麵的每一頁都可能蘊藏著一個精妙的數學思想，一個我之前從未想過的關於數字之間聯係的視角。我猜測，這本書的作者，一定是一位對數字有著深厚感情，並且善於將抽象概念具象化的高手。雖然我未必能領會其中所有的奧秘，但僅僅是這份對知識的敬畏和好奇，就足以讓我把它帶迴傢，放在我的書架上，成為我書海中一枚特彆的錨點。我期望著，在某個寜靜的夜晚，能夠沉浸其中，哪怕隻是一點點，也能感受到數學思維的魅力。

評分☆☆☆☆☆

不得不說，當我拿到這本書的時候，第一感覺是它充滿瞭知識的力量。封麵設計雖然簡潔，但那種沉甸甸的質感，仿佛承載著無數數學傢的智慧結晶。我並非數學專業的學生，但一直對那些看似簡單的數字背後隱藏的復雜規律充滿好奇。《加性數論：逆問題與和集幾何》這個書名，就直接戳中瞭我的興趣點。“加性數論”聽起來就像是在研究數字的加法構成，而“逆問題”則暗示著一種從結果反推過程的邏輯遊戲，這讓我覺得非常有趣。“和集幾何”則更進一步，將這些數字的組閤與空間的概念聯係起來，這簡直太奇妙瞭。我猜這本書會像一位循循善誘的老師，帶領讀者一步步走進數字的奇妙世界。它或許會從一些基礎的概念講起，然後慢慢深入到一些更復雜、更前沿的理論。我期待書中會有大量的例證和圖示，能夠幫助我這樣的門外漢更好地理解那些抽象的數學原理。我尤其好奇，在“和集幾何”的部分，作者會如何用幾何的語言來描繪數字的加法組閤，這會不會顛覆我對數字和幾何的傳統認知？總而言之，我購買這本書，是齣於一種對知識的渴望，一種想要探索未知世界的衝動，我希望它能夠成為我通往數學殿堂的一把鑰匙。

評分☆☆☆☆☆

這是第二冊。GTM164是第一冊。本書文筆優美，論證清晰，可以視為數論的經典。我覺得這書的名氣遠沒有應該得到的大，本書應該成為每一個數論工作組的案頭必備

評分☆☆☆☆☆

這是第二冊。GTM164是第一冊。本書文筆優美，論證清晰，可以視為數論的經典。我覺得這書的名氣遠沒有應該得到的大，本書應該成為每一個數論工作組的案頭必備

評分☆☆☆☆☆

這是第二冊。GTM164是第一冊。本書文筆優美，論證清晰，可以視為數論的經典。我覺得這書的名氣遠沒有應該得到的大，本書應該成為每一個數論工作組的案頭必備

評分☆☆☆☆☆

還沒仔細讀

評分☆☆☆☆☆

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還沒仔細讀

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這是第二冊。GTM164是第一冊。本書文筆優美，論證清晰，可以視為數論的經典。我覺得這書的名氣遠沒有應該得到的大，本書應該成為每一個數論工作組的案頭必備