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魏毅强 等 编

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• 21世纪教材

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030134882

版次：1

商品编码：11050986

包装：平装

开本：16开

出版时间：2004-08-01

用纸：胶版纸

页数：287

字数：352000

正文语种：中文

内容简介

《21世纪高等院校教材：数值计算方法》介绍数值计算方法的研究对象、内容和特点，主要内容为误差理论、方程求根、线性方程组的数值方法、矩阵的特征值与特征向量问题、代数插值、数据拟合与函数逼近、数值积分与数值微分、常微分方程数值解法、偏微分方程的数值解法和数值试验，每章都配有一定量的习题，书末附有答案。
《21世纪高等院校教材：数值计算方法》可作为高等院校计算机和计算专业本科生教材，也可供相关专业的教师和科技工作者参考。

内页插图

目录

第1章 绪论
1.1 数值计算方法的研究对象和特点
1.2 浮点数
1.3 误差的基本概念
1.4 误差传播
1.5 设计算法的注意事项
习题1

第2章 方程求根
2.1 增值寻根法与二分法
2.2 迭代法
2.3 迭代收敛的加速
2.4 牛顿法
2.5 割线法
习题2

第3章 线性方程组的数值方法
3.1 高斯消元法
3.2 高斯主元素消元法
3.3 高斯一若尔当消元法
3.4 矩阵分解
3.5 向量和矩阵的范数
3.6 误差分析
3.7 迭代法及其收敛性
3.8 雅可比迭代法与高斯—赛德尔迭代法
3.9 超松弛迭代法
习题3

第4章 矩阵的特征值与特征向量问题
4.1 幂法与反幂法
4.2 雅可比方法
4.3 多项式方法求特征值问题
4.4 QR算法
习题4

第5章 代数插值
5.1 插值多项式的存在唯一性
5.2 拉格朗日插值多项式
5.3 牛顿插值多项式
5.4 埃尔米特插值
5.5 分段低次插值
5.6 三次样条插值函数
5.7 反插值
习题5

第6章 数据拟合与函数逼近
6.1 最小二乘法的基本原理和多项式拟合
6.2 超定方程组的最小二乘解
6.3一般最小二乘拟合
6.4 最佳平方逼近多项式
习题6
第7章 数值积分与数值微分
7.1 数值积分的基本概念
7.2 牛顿—科茨公式
7.3 复合求积公式
7.4 龙贝格公式
7.5 高斯公式
7.6 数值微分
习题7

第8章 常微分方程数值解法
8.1 欧拉法
8.2 龙格—库塔法
8.3 亚当斯方法
8.4 线性多步法
8.5 方程组与高阶方程的数值解法
8.6 边值问题的数值解法
习题8

第9章 偏微分方程的数值解法
9.1 椭圆型方程的差分解法
9.2 抛物型方程的差分解法
……

第10章 数值实验
答案

前言/序言

《数值分析基础与应用：面向工程实践的算法详解》 内容简介 本书聚焦于现代工程科学与信息技术领域中至关重要的数值计算方法，旨在为读者提供一套严谨而实用的理论框架和详尽的算法实现指南。本书的编写遵循“理论深度与工程应用并重”的原则，力求将抽象的数学概念转化为可操作的计算模型，特别强调算法的稳定性和效率分析，以适应当前大规模数据处理和复杂系统建模的需求。 第一部分：误差分析与线性方程组求解 本部分从数值计算的基石——误差理论出发，系统阐述了浮点运算的内在限制、截断误差与收敛性分析。我们详细讨论了各种误差的传播机制，并引入了条件数概念来衡量问题的敏感性，为后续算法的选择提供了理论依据。 随后，我们深入探讨了线性方程组 $mathbf{Ax} = mathbf{b}$ 的数值解法。首先，对直接法进行了全面剖析，包括高斯消元法及其主元选择策略（部分选主元与完全选主元），详尽分析了这些策略对计算稳定性的影响，并推导了 LU 分解、Cholesky 分解以及矩阵的 LUP 分解在求解中的应用。针对大规模稀疏线性系统，本书重点介绍了迭代法，包括雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代及其最优加速方法——逐点超松弛法（SOR）。更进一步，本书引入了 Krylov 子空间方法，如共轭梯度法（CG）和广义最小残量法（GMRES），并结合预处理技术（如代数多重网格法的前身思想）来提高收敛速度，以应对工程中常见的百万级自由度问题。 第二部分：非线性方程与优化问题 本部分处理的是工程和科学研究中普遍存在的非线性问题。对于单变量非线性方程 $f(x)=0$，本书比较了牛顿法、割线法和不动点迭代的优缺点，特别是牛顿法中的步长控制和全局收敛性保证。对于多变量非线性方程组，本书详细介绍了牛顿法的矩阵形式——牛顿-拉夫逊法，以及拟牛顿法（如 BFGS 和 DFP），重点阐述了这些方法如何通过近似 Hessian 矩阵来避免高昂的矩阵求逆计算，并讨论了其在物理系统参数识别中的应用。 在最优化理论方面，本书将非线性规划问题分解为无约束优化和约束优化两类进行讨论。无约束优化部分，除了基础的梯度下降法，还着重介绍了二阶方法（如牛顿法和拟牛顿法）的原理，并引入了信赖域法，阐述了其在保证收敛性和计算效率间的平衡机制。约束优化部分，核心内容集中在线性规划的单纯形法（Simplex Method）的详细步骤和退化处理，以及对非线性约束优化中拉格朗日乘子法和 KKT 条件的深入解读。最后，本书简要介绍了内点法（Interior-Point Methods）在求解大规模优化问题中的现代优势。 第三部分：插值、函数逼近与数值积分 本部分关注如何用有限信息来精确或近似地描述一个函数。在插值理论中，本书系统梳理了牛顿插值、拉格朗日插值，并重点分析了它们在等距节点上的不稳定现象（Runge现象）。基于此，本书引入了样条插值，特别是自然三次样条，详细推导了其构造条件和求解方法，强调了其在光滑函数逼近中的优越性。 在函数逼近方面，本书区别于点插值，引入了最小二乘法（Least Squares Approximation），分别讨论了在等距节点和非等距节点下的最佳函数逼近，并结合傅里叶级数讨论了周期函数的逼近问题。 数值积分部分，本书从牛顿-科茨公式族出发，系统推导了梯形法则、辛普森法则的精度和误差项。随后，本书转向高精度方法——高斯求积法（Gaussian Quadrature），详细解释了正交多项式的选择（如勒让德多项式）及其在确定高斯点和权重上的优势。对于二维和多维积分，本书则介绍了一种基于张量积的复合数值积分方法。 第四部分：常微分方程的数值解法 常微分方程（ODE）是描述动态系统的核心工具。本部分首先对 ODE 问题的适定性进行了初步分析。随后，本书详细介绍了显式和隐式方法。在单步法中，除了欧拉法，本书重点讲解了龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法，特别是四阶经典RK方法的推导和应用，并引入了 RK 方法的局部截断误差分析。 针对提高计算效率和稳定性，本书深入研究了多步法，包括欧拉前向-后向公式、中点法以及 Adams 系列方法（如 Adams-Bashforth 显式法和 Adams-Moulton 隐式法），并对这些方法的稳定性和区域进行了对比分析。对于处理刚性（Stiff）系统的挑战，本书专门开辟章节详细讨论了后向欧拉法（Backward Euler）和隐式中点法等 A-稳定方法的原理和应用，强调了在工程仿真中选择恰当方法的重要性。 全书贯穿了大量的算法伪代码和 MATLAB/Python 示例，旨在引导读者不仅理解数值方法的理论，更能将其有效地转化为高效的计算机程序，是高等理工科专业学生、研究人员及工程技术人员不可或缺的参考手册。

评分☆☆☆☆☆

终于有时间静下心来翻阅这本《数值计算方法/21世纪高等院校教材》，第一感觉就是厚重，不仅仅是书页的物理厚度，更是内容上的扎实。作为一名对数学和计算机科学都颇感兴趣的普通读者，我一直觉得数值计算是连接两者之间的一座桥梁，而这本书恰好扮演了这样的角色。它从最基础的概念讲起，比如误差的来源与传播，这部分内容看似简单，实则贯穿整个数值计算的始终，理解了它，才能更好地理解后续的算法。书中对各种数值方法，如插值、逼近、求积、线性方程组求解、特征值计算、常微分方程初值问题等等，都进行了详尽的介绍。我尤其喜欢它在讲解每个方法时，不仅给出了理论推导，还辅以大量的例子，并且清晰地阐述了方法的适用范围、优缺点以及稳定性等关键特性。这种严谨又不失生动的讲解方式，让我在学习过程中少走了很多弯路，也对数值计算这门学科产生了更深的敬畏之情。我曾尝试过一些网络上的零散资料，但总是感觉不够系统，缺乏一种由浅入深、循序渐进的逻辑性，而这本教材恰好弥补了这一点。它不仅仅是知识的罗列，更是一种思想的传承，一种严谨的治学态度的展现。

评分☆☆☆☆☆

我是一名正在攻读硕士研究生的学生，对于数值计算方面的知识有着迫切的需求。选择这本《数值计算方法/21世纪高等院校教材》，纯粹是听取了师兄师姐的推荐，事实证明，这确实是一本非常出色的教材。与我之前接触过的几本国外经典教材相比，这本书在内容上更加贴合国内的教学体系和学生的学习习惯。它在介绍基本概念和理论的同时，非常注重算法的实现和分析。例如，在讲解矩阵特征值与特征向量的计算时，书中详细阐述了幂法、反幂法、QR算法等常用方法的原理，并且给出了伪代码，方便我们将其转化为实际的程序代码。更重要的是，书中还对这些算法的数值稳定性和计算复杂度进行了深入的讨论，这对于我们进行科学计算和算法优化至关重要。我特别欣赏的是，教材中对于一些复杂算法，例如多步法求解常微分方程，都进行了非常细致的剖析，并且给出了不同方法的优缺点对比，这对于我们在实际科研中选择合适的求解器非常有帮助。虽然有些章节的数学推导比较深入，需要花费一些时间和精力去理解，但每一次的理解都让我感到豁然开朗，收获满满。

评分☆☆☆☆☆

我是一个喜欢刨根问底的读者，对知识的理解总是希望能够达到“知其然，更知其所以然”的境界。这本《数值计算方法/21世纪高等院校教材》恰好满足了我这种学习需求。它不像一些教材那样，只是简单地给出结论，而是通过详尽的推导和逻辑清晰的论证，让我理解了每个数值方法背后的数学原理。例如，在讲解最小二乘法时，书中不仅给出了求解方程组的方法，还从统计学的角度解释了最小二乘法的最优性，以及它在数据拟合中的意义。这种深度的讲解，让我对这些方法有了更深刻的认识，也能够更好地将其应用到实际问题中。书中对数值积分的介绍也让我印象深刻，从梯形法则、辛普森法则到高斯积分，每一种方法的原理和适用范围都讲解得非常透彻。我甚至尝试着根据书中的方法，用编程语言实现了一些简单的数值积分，并与解析解进行比较，这种实践过程让我更加直观地体会到了数值计算的强大和局限性。总而言之，这是一本值得反复阅读和深入研究的优秀教材。

评分☆☆☆☆☆

翻开这本《数值计算方法/21世纪高等院校教材》，我立刻被其清晰的逻辑结构所吸引。它仿佛是一位经验丰富的老师，循循善诱地引导我一步步深入数值计算的殿堂。对于我这样的初学者来说，最头疼的莫过于理论的抽象和公式的繁杂，但这本书在这方面做得相当出色。它将抽象的数学概念转化为可以理解的语言，并通过精心设计的图示和表格，将算法的流程和特点直观地展现出来。例如，在讲解迭代法求解非线性方程组时，书中不仅给出了各种方法的迭代公式，还对比了它们的收敛速度和精度，并分析了在不同初始值下的表现。这种对比分析非常有助于我建立起对不同算法的感性认识，从而能够根据具体问题选择最合适的求解策略。此外，教材中还穿插了一些实际应用场景的案例，比如在工程测量、数据拟合等领域，这让我看到了数值计算的实际价值，也激起了我对进一步学习的兴趣。读完一部分内容，我常常会尝试自己动手去推导一些公式，或者用简单的例子去验证书中的结论，这种主动的学习方式让知识更加牢固，也培养了我解决问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

作为一名在读博士生，我对数值计算的掌握程度要求非常高，需要能够灵活运用各种算法解决复杂的科研问题。这本书《数值计算方法/21世纪高等院校教材》为我提供了一个坚实的理论基础和丰富的实践指导。它不仅仅是列举公式和算法，更重要的是，它教会了我如何去思考数值计算问题，如何去分析算法的优劣，以及如何去评估计算结果的可靠性。书中关于误差分析的章节，我反复阅读了几遍，这对我理解数值计算的局限性和提高计算精度起到了关键作用。例如，在讨论插值问题时，书中不仅介绍了多项式插值，还深入讲解了样条插值，并分析了它们在处理高次多项式时可能出现的龙格现象，这让我意识到在实际应用中，选择合适的插值方法比单纯追求高次多项式更为重要。此外，教材中对非线性方程组求解、非线性最小二乘法等内容也有深入的探讨，这些都是我在进行数据拟合和参数估计时经常会用到的工具。这本书的深度和广度都让我感到非常满意，为我的科研工作提供了强有力的支持。

评分☆☆☆☆☆

挺好的

评分☆☆☆☆☆

指定教材，内容不错

评分☆☆☆☆☆

老师要求用到的教材，也就京东上能找到了，没什么特别的，书还算可以。

评分☆☆☆☆☆

指定教材，内容不错

评分☆☆☆☆☆

很好

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嗯

评分☆☆☆☆☆

好呢，物流也快

评分☆☆☆☆☆

好

评分☆☆☆☆☆

书写的不错，值得购买！