《数学中的小问题大定理》丛书（第1辑）：格点和面积 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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闵嗣鹤 著

图书标签:

• 数学
• 格点
• 面积
• 初等数学
• 几何
• 思维训练
• 问题解决
• 定理
• 趣味数学
• 科普

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560336312

版次：1

商品编码：11145861

包装：平装

开本：16开

出版时间：2012-07-01

用纸：胶版纸

页数：83

编辑推荐

　　《<数学中的小问题大定理>丛书（第1辑）：格点和面积》主要讲述了面积的近似计算、格点多边形的面积公式、重叠原则、用有理数逼近无理数、数的几何中的基本定理等内容。本书共分十二章介绍了什么是格点以及面积的主要内容。本书适合初、高中师生及数学爱好者参考阅读。

内容简介

　　一张方格纸，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点，怎样用格点的个数去计算平面上 有限区域的面积，或者反过来，在平面上已知面积的一个有限区域内至少有 多少格点，这就是本书所要讨论的问题，《<数学中的小问题大定理>丛书（第1辑）：格点和面积》就是 这样围绕着格点和面积这个主题，讲述了数学上一些有用的问题，本书适合初、高中师生及数学爱好者参考阅读。

目录

第1章 什么是格点
第2章 我们的中心问题
第3章 面积的近似计算
第4章 格点多边形的面积公式
第5章 格点多边形面积公式的证明
第6章 另外一个问题的提出
第7章 重叠原则
第8章 有理数和无理数
第9章 用有理数逼近无理数
第10章 小数部分{ka}的分布
第11章 另一种重叠原则
第12章 数的几何中的基本定理
习题解法与提示
附录 作者小传
编辑手记

前言/序言

《数学中的小问题大定理》丛书（第1辑）：格点和面积 图书简介 本辑丛书，《数学中的小问题大定理》丛书（第1辑）：格点和面积，旨在为热衷于数学探索的读者，特别是中学生、数学爱好者以及需要温故基础知识的大学生，构建一座从具体、直观的几何问题出发，深入探究其背后深刻数学原理的桥梁。本书聚焦于平面上的格点几何和面积计算这两个既基础又充满趣味的领域，通过一系列精心设计的“小问题”，引导读者逐步领悟支撑这些现象的“大定理”。 本书的编写哲学在于“由浅入深，注重思想，兼顾应用”。我们深信，最复杂的数学概念往往可以分解为一系列易于理解的、引人入胜的几何拼图。本辑内容严格围绕格点（整数坐标点）在平面上的分布特性及其与几何图形面积的内在联系展开，不包含任何关于高等微积分、拓扑学、数论高级分支（如代数数论）、微分方程、概率统计学、实分析或复变函数等内容的介绍。所有讨论均维持在欧几里得几何和基础代数（初等数论中的基础概念）的范畴内。 --- 第一部分：格点与坐标系基础 本部分作为全书的基石，详细介绍了研究格点问题的必要工具和基本概念。 1. 笛卡尔坐标系的复习与格点的定义： 我们从最基础的二维笛卡尔坐标系入手，清晰界定“格点”——即坐标均为整数的点集 $mathbb{Z}^2$。重点讲解了如何利用坐标表示平面上的点、线段和多边形。 2. 向量与位移： 引入基本的向量概念，用以描述格点之间的相对位置和移动。讨论了两个格点之间的位移向量的性质，这对于后续理解“路径”和“边界”至关重要。 3. 基本的格点计数： 介绍如何快速计算特定边界内的格点数量，例如矩形区域内的格点数。此处侧重于直接的计数技巧和容斥原理的初级应用，不涉及复杂函数。 --- 第二部分：皮克定理的深度探索 本部分是本辑的核心，集中攻克连接格点与多边形面积的著名定理——皮克定理（Pick's Theorem）。 1. 欧拉公式与连通性（铺垫）： 在介绍皮克定理之前，简要回顾了欧拉公式 $V - E + F = 2$ 在平面图中的应用，将其作为理解皮克定理中边界和内部点的概念的几何直觉铺垫。我们仅在简单的、无自交的多边形上讨论这个概念，不涉及图论的复杂结构。 2. 皮克定理的阐述与证明： 详细介绍皮克定理的公式：$A = I + frac{B}{2} - 1$，其中 $A$ 是面积，$I$ 是内部格点数，$B$ 是边界格点数。本书提供了一个基于剖分和基础几何图形面积加减法的几何直观证明。这个证明过程完全依赖于对基本三角形和矩形面积的计算，不涉及高等代数或积分工具。 3. 应用与推广（初级）： 展示如何利用皮克定理高效计算各种简单多边形的面积，如凹多边形、凸多边形，甚至是某些非标准形状（如L形、阶梯形）的面积。讨论的推广仅限于将皮克定理应用于由基本格点多边形组合而成的图形。 4. 皮克定理的局限性讨论： 明确指出皮克定理的适用范围，即图形的顶点必须是格点，且边不能穿过非顶点格点。讨论当顶点不是格点时，面积如何变化（引出更一般的格林公式的几何直观，但不展开格林公式本身）。 --- 第三部分：面积计算的几何方法与边界格点 本部分将视角从皮克定理的内部结构转移到边界和整体面积的计算技巧，重点强化对 $B$（边界格点数）的精确计算。 1. 边界格点数的精确计算： 深入研究如何确定连接两个格点 $P_1(x_1, y_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2)$ 的线段上包含的格点数量。这完全依赖于最大公约数（GCD）的概念：线段上的格点数为 $ ext{gcd}(|x_2-x_1|, |y_2-y_1|) + 1$。本书对 GCD 的使用仅停留在其作为计数工具的层面，不涉及数论中的素因子分解、欧几里得算法的高级理论证明，仅展示其计算过程。 2. 基础多边形面积的行列式算法（鞋带公式）： 介绍计算任意顶点坐标已知多边形面积的“鞋带公式”（Shoelace Formula）。该公式可以看作是多次使用梯形面积公式的简洁表达。本书将公式的推导与“投影到坐标轴上的梯形面积”联系起来，确保读者理解其几何意义，而非简单记忆公式。 3. 面积与GCD的关系深化： 通过对比鞋带公式（基于坐标）和皮克定理（基于格点），探讨面积的精确值与格点分布之间的微妙关系。例如，讨论为什么在格点多边形中，面积总是半整数（或整数）。 --- 第四部分：格点路径与最小覆盖问题（几何拓扑的初级体现） 本部分利用格点问题引出一些与路径、覆盖和连通性相关的基础几何问题。 1. 汉密尔顿路径的格点迷宫： 讨论在特定形状（如 $m imes n$ 的格点矩形）中，是否存在一条经过所有格点且不重复的路径。这部分主要通过构造性证明和反证法来探讨棋盘格的染色问题（二分图的初步概念），以解释某些路径的不可能性。不涉及图论中的严格术语和复杂算法，仅停留在直观的奇偶性分析。 2. 最小点覆盖问题（欧拉路径的初级思考）： 考虑用最少的直线（可以穿过格点）覆盖所有预设的格点。这部分着重于寻找最优策略，例如如何利用对角线来最大化覆盖数量。 3. 格点凸包： 定义格点凸包，并探讨其边界格点数 $B$ 与原集合格点数的关系。 --- 总结与展望 本辑旨在让读者体会到，看似简单的“格点”概念，一旦与“面积”这一基本度量联系起来，便能衍生出如皮克定理这样优美而强大的数学工具。全书保持严谨的几何论证风格，所有证明均力求清晰、直观，避免引入超出中学几何和初等代数范畴的复杂工具，确保读者能够扎实地掌握格点几何的核心思想。读者在完成本辑学习后，将能以全新的视角审视平面几何图形的本质结构。

评分☆☆☆☆☆

这本《数学中的小问题大定理》丛书（第1辑）：格点和面积，实在是太引人入胜了！我作为一个数学爱好者，一直对那些看似简单却蕴含深刻数学原理的问题情有独钟。读完第一辑，我感觉自己仿佛经历了一场思维的探险。作者没有堆砌复杂的公式，而是通过一系列巧妙设计的“小问题”，一步步引导我们触摸到那些宏伟的“大定理”的本质。比如，关于格点计数的那些章节，初看只是在坐标纸上画点、数点，但随着深入，你会发现，那些简单的操作背后，隐藏着欧拉公式、皮克定理等令人惊叹的数学结构。特别是关于如何用简单的几何方法来证明一些看似高深的代数结论，那种豁然开朗的感觉，简直是阅读数学书籍的至高享受。这本书的魅力在于它的可达性，即便是对高等数学不甚精通的读者，也能在作者的引导下领略到数学之美。它让我重新审视了许多基础概念，比如“面积”这个看似朴素的概念，在不同的情境下可以展现出多么丰富的内涵和多样的计算技巧。强烈推荐给所有对数学逻辑和美感有追求的朋友们，它绝对是一本能点亮你数学思维的佳作。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我买这本书是抱着试试看的心态，因为市面上很多数学普及读物要么过于浅显，要么就是故弄玄虚。但这一辑《格点和面积》完全超出了我的预期。它最大的亮点在于其对“启发式思维”的培养。例如，当面对一个涉及大量格点计数的复杂区域时，书里展示的解题策略不是蛮力计算，而是如何将复杂问题分解成若干个可以被单位格点覆盖的简单子问题。这种结构化的思维方式对于任何需要进行系统性分析的工作都极具借鉴意义。我尤其欣赏作者在论证过程中所展现的那种耐心和细致，每一个步骤的过渡都处理得非常平滑，没有出现让人“掉队”的情况。读完后，我感觉我对“测度”和“离散化”有了更直观的理解，这对于我后续学习更高级的组合数学和算法设计非常有帮助。这是一本真正意义上的“思想工具书”，而非仅仅是知识的搬运工。

评分☆☆☆☆☆

我最近沉迷于这套丛书，尤其是第一辑关于“格点和面积”的部分，简直让人爱不释手。这本书的叙事方式非常独特，它不是那种教科书式的干巴巴的罗列知识点，更像是一位经验丰富的老师，带着你走过一条精心铺设的数学小径。我特别喜欢它处理“面积”问题时的那种灵活性。我们通常习惯于用微积分或者标准的几何公式来计算面积，但这套书展示了许多更具洞察力的方法。比如，通过对矩形划分和重新组合，或者巧妙地利用对称性来估算或精确计算不规则图形的面积，这比死记硬背公式有效得多。它教会我的不是“算术”，而是“思考”。每当解决一个小小的格点问题，心中都会涌起一种“原来如此”的满足感。这种通过亲手实践和逻辑推理得出的结论，比直接背诵定理要牢固得多。这本书的排版和插图也做得非常用心，清晰的图形辅助理解，使得那些抽象的几何概念变得触手可及。对于希望提升自身数学直觉和解决问题能力的读者来说，这本书提供了绝佳的训练场。

评分☆☆☆☆☆

作为一名理工科背景的读者，我通常对数学读物抱有一种挑剔的态度，但《数学中的小问题大定理》丛书（第1辑）成功地抓住了我的注意力。我必须承认，一开始我对“格点和面积”这个主题有些保留，觉得可能过于基础。然而，这本书成功地将这些基础概念“玩”出了新高度。它深入探讨了离散数学和连续几何的交汇点，尤其是在处理边界问题时，那种严谨性令人印象深刻。书中对“取整函数”和“周期性”在面积计算中的应用分析得极为透彻，这些都是我过去学习中容易忽略的细节。作者没有回避数学证明的严密性，但呈现方式非常温和，更注重逻辑链条的完整而非术语的堆砌。它鼓励读者去质疑、去尝试不同的角度来审视同一个问题。这本书的价值不仅在于传授知识，更在于培养一种对数学结构保持好奇心的态度。它让我意识到，最伟大的定理往往根植于最朴素的观察之中，这是一种返璞归真的美学体验。

评分☆☆☆☆☆

我向来对那种需要大量背景知识才能入门的书籍感到畏惧，但《数学中的小问题大定理》丛书（第1辑）的开篇就展现了极强的包容性。它就像是为初学者精心准备的一份“数学大餐”，味道丰富却不油腻。关于“面积”的探讨，它巧妙地避开了微积分的陷阱，转而通过一系列精心设计的几何模型，让我们直观地理解了“极限”和“无穷分割”的内在逻辑。特别是书中对于“布朗运动路径与所覆盖面积”的趣味性探讨（尽管是简化的模型），极大地激发了我对随机过程的好奇心。这本书的语言风格是那种温文尔雅的，但其蕴含的数学能量却非常强大。它不像一本枯燥的教材，反而更像是一本可以反复品读的数学散文集，每一次重读都能从中发掘出新的层次和理解。对于想要重新建立扎实数学基础，并享受探索过程的读者来说，这套丛书的第一辑无疑是一个绝佳的起点。

评分☆☆☆☆☆

书中有篇这个作者的附

评分☆☆☆☆☆

Boris Delone，解析几何。（这本书的好处是非常讲得细，缺点是篇幅太庞杂，不过作为一本可以随时参考的参考书，那绝对是很好的。50年代的时候，是国内解析几何的首选教材，当时的综合性大学数学专业，这门课要讲两学期。Boris Delone是搞数论的，不过他的学术成果在国际数学界名气不算大，他的名气很大程度上是因为他有个大名鼎鼎的学生IgorShafarevich的缘故。）

评分☆☆☆☆☆

Bogorelov，解析几何。（很简洁，但是内容不少，中文版一共200页出头，但是涵盖了从欧氏几何到射影几何，总之大学的解析几何课应该有的东西都有了，科大的解析几何不讲射影几何，我觉得这种做法很不好。作者也是著名的微分几何学家，二十世纪下半叶俄罗斯微分几何学派的领袖人物之一，对几何分析有很大的贡献。）

评分☆☆☆☆☆

M.M.Postnilov，几何讲义第一学期：解析几何。（这本书是Postnikov的一套五卷本几何讲义的第一卷，国内只翻译了第一二卷，202.38.70.51上倒是有全套俄文电子版，英文版是MIR出的，不知道图书馆里有没有。Postnikov是俄罗斯科学院院士，著名的拓扑学家，他在俄罗斯数学界的地位很特殊，是俄罗斯拓扑学派的一个关键人物。50年代莫斯科大学数力系一度出现了拓扑荒，当时莫大拓扑教研室虽然有Alexandroff、Pontryagin这样的世界上数一数而的拓扑专家坐镇。前一位无论是在点集拓扑和代数拓扑上都有巨大的贡献，和Hopf合著的拓扑学一书，系统的讲述了到二十世纪三十年代为止拓扑学发展的成果，整整影响了全世界一代的拓扑学家，很多人都是读这本书开始的，包括我国著名数学家吴文俊。至于后一位，在拓扑学上的贡献也是很大的，比如说Pontryagin示性类。不过到了五十年代，第一个当时热衷于点集拓扑学，和世界拓扑学发展的主流完全脱离。第二位觉得搞拓扑不能对国家发展做贡献，所以跑去搞控制论，当然了控制论也是很重要的学科，而且他在控制论上的成就也确实非常大，Pontryagin最大值原理被称为是现代控制论的三大里程碑之一。年轻的数学家看见这两为大牛都改行了，于是也纷纷改行，结果莫大的拓扑学研究一落千丈。当时在莫斯科大学，一批本科生在法国学派Thom、Serre等人成果的影响下，却开始对代数拓扑学和微分拓扑学感兴趣，于是开始自己组织讨论班，学习代数拓扑，这批人包括Vladimir Arnold、Sergey Novikov、Dimitri Anosov、Yuri Manin等后来在数学界大名鼎鼎的人物，刚开始没有人指导，后来Postnikov作为仅有的坚守阵地的年轻教师，开始主持这个讨论班。其中的Sergey Novikov后来跟他读研究生，因为拓扑学方面的贡献得到了Fields和Wolf奖，Vladimir Arnold虽然是以动力系统著称，但是在辛拓扑方面也有很大的成就。可以说，他是俄罗斯拓扑学承前启后的一代人物，当然他本人的学术贡献也不小，否则也当不上院士，比如说代数拓扑里的Postnikov系统。这本书的特点把解析几何作为三维空间的线性代数，所以讲了很多一般解析几何书不讲的东西，对于学习线性代数，这本书提供的直观背景是相当有用的。事实上，线性代数本身也可以看成是N维空间的解析几何。）

评分☆☆☆☆☆

Boris Delone，解析几何。（这本书的好处是非常讲得细，缺点是篇幅太庞杂，不过作为一本可以随时参考的参考书，那绝对是很好的。50年代的时候，是国内解析几何的首选教材，当时的综合性大学数学专业，这门课要讲两学期。Boris Delone是搞数论的，不过他的学术成果在国际数学界名气不算大，他的名气很大程度上是因为他有个大名鼎鼎的学生IgorShafarevich的缘故。）

评分☆☆☆☆☆

Bogorelov，解析几何。（很简洁，但是内容不少，中文版一共200页出头，但是涵盖了从欧氏几何到射影几何，总之大学的解析几何课应该有的东西都有了，科大的解析几何不讲射影几何，我觉得这种做法很不好。作者也是著名的微分几何学家，二十世纪下半叶俄罗斯微分几何学派的领袖人物之一，对几何分析有很大的贡献。）

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书中有篇这个作者的附

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Boris Delone，解析几何。（这本书的好处是非常讲得细，缺点是篇幅太庞杂，不过作为一本可以随时参考的参考书，那绝对是很好的。50年代的时候，是国内解析几何的首选教材，当时的综合性大学数学专业，这门课要讲两学期。Boris Delone是搞数论的，不过他的学术成果在国际数学界名气不算大，他的名气很大程度上是因为他有个大名鼎鼎的学生IgorShafarevich的缘故。）

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