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Hugh Neill & Douglas Q... 著

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出版社： Cambridge University P...

ISBN：9780521530125

商品编码：1105287245

包装：平装

外文名称：Pure Mathematics 2 & 3...

出版时间：2002-12-01

页数：334

正文语种：英语

图书基本信息

Pure Mathematics 2 & 3 A Level
作者： Hugh Neill;Douglas Quadling;
ISBN13： 9780521530125
类型： 平装(简装书)
语种： 英语（English）
出版日期： 2002-12-01
出版社： Cambridge University Press
页数： 334
重量（克）： 762
尺寸： 189 x 18 x 246 mm

商品简介

Written to match the contents of the Cambridge syllabus. Pure Mathematics 2 corresponds to units P2 and P3. It covers algebra, logarithmic and exponential functions, trigonometry, differentiation, integration, numerical solution of equations, vectors, differential equations and complex numbers.

纯粹数学（Pure Mathematics）精要：深入探索高等数学的核心概念 本书旨在为寻求在数学领域打下坚实基础的读者提供一份详尽的指南。我们将聚焦于纯粹数学的核心领域，这些领域构成了现代高等数学乃至许多科学和工程学科的基石。本书的编写目的并非涵盖某一特定考试大纲下的所有内容，而是提供一个全面、深入且富有启发性的学习体验，带领读者领略数学之美与力量。 第一部分：函数与极限——数学分析的起点 本部分将从函数的基本概念入手，逐步深入到微积分的前置知识——极限理论。 1. 函数的本质与性质 我们将详细探讨函数的定义、定义域与值域。重点关注几种关键函数类型： 多项式函数： 研究其根的性质、图象的特点以及因式分解的技巧。我们将深入分析三次及以上多项式函数的行为，包括局部极值点的确定。 有理函数： 侧重于分析渐近线（垂直、水平和斜渐近线）的确定方法，以及如何通过这些特征来精确描绘函数图象。 超越函数（指数与对数）： 深入理解自然对数 $e$ 的定义及其重要性。探讨指数增长与衰减的数学模型，并熟练运用对数运算规则解决复杂方程。 三角函数： 不仅复习基础的三角恒等式，还将探索周期性、奇偶性及反三角函数（如 $arcsin, arccos$ 等）的定义域和值域，理解它们在周期现象建模中的作用。 2. 序列与级数 我们探讨无限序列的收敛性与发散性。学习等差数列和等比数列的求和公式，并将其推广到更一般的级数求和问题。对无穷级数的收敛判别法（如比较检验法、比值检验法等）进行详尽的论述，为后续的泰勒展开做好理论铺垫。 3. 极限的概念与运算 极限是微积分的基石。我们将严格定义极限，并利用 $epsilon-delta$ 语言来精确描述函数的趋近行为。重点讨论： 单侧极限与无穷极限： 理解函数在特定点左侧和右侧的行为，以及函数值趋向于无穷大或无穷小时的极限概念。 连续性： 基于极限定义函数在某点连续的条件，并分类讨论函数不连续的类型（可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点）。 极限计算技巧： 熟练掌握使用洛必达法则（在必要时引入）、因子分解法和共轭表达式法来处理不定型极限。 第二部分：微分学——变化率的精确度量 本部分聚焦于导数，它是描述瞬时变化率的核心工具。 1. 导数的定义与基本法则 从平均变化率过渡到瞬时变化率，并给出导数的定义。系统性地推导和应用微分的基本法则：幂法则、乘积法则、商法则和链式法则。特别关注三角函数、指数函数和对数函数的导数公式的推导过程。 2. 高阶导数与隐函数求导 探讨二阶导数及其在分析函数凹凸性和拐点上的应用。引入隐函数求导法，解决那些难以或无法明确表达为 $y=f(x)$ 形式的方程的求导问题。 3. 微分中值定理 深入理解并掌握微积分的几个核心定理： 罗尔定理（Rolle's Theorem）： 阐述了导数为零的点与函数极值点之间的关系。 拉格朗日中值定理（Mean Value Theorem, MVT）： 它是微积分理论中连接平均变化率与瞬时变化率的关键桥梁，我们将通过几何解释来强化理解。 柯西中值定理： 作为洛必达法则的理论基础。 4. 微分的应用 导数在实际问题中的广泛应用： 曲线分析： 利用一阶导数判断函数的增减性，利用二阶导数判断函数的凹凸性，精确确定局部最大值和最小值，并绘制函数图象。 优化问题： 解决涉及最大化收益、最小化成本或最大化体积的实际应用题。 相关变化率问题： 分析相互关联的变量（如气球膨胀、水箱注水等）的变化速度之间的关系。 第三部分：积分学——累积效应的度量 本部分将从定积分的几何意义出发，发展出不定积分和微积分基本定理。 1. 黎曼和与定积分 从求面积问题的几何直观出发，定义黎曼和，并引出定积分的概念。探讨定积分的线性性质和估值不等式。 2. 微积分基本定理 这是连接微分学和积分学的核心。我们将详细解析微积分第一基本定理和第二基本定理，理解导数和积分的互逆关系。 3. 不定积分与积分技巧 系统学习不定积分的求解方法： 基本积分公式： 熟练掌握反导数的查找。 换元积分法（Substitution Rule）： 涵盖第一类和第二类换元法，并强调如何处理定积分中的上下限替换。 分部积分法（Integration by Parts）： 推导公式 $int u , dv = uv - int v , du$，并演示其在处理对数、反三角函数与多项式乘积时的应用。 有理函数积分： 详细讲解如何使用部分分式分解（Partial Fractions）将复杂有理函数拆解为易于积分的形式。 4. 定积分的应用 几何应用： 计算由曲线围成的平面区域的面积，以及绕坐标轴旋转所形成的旋转体的体积（圆盘法、圆环法）。 物理应用： 计算功、质心和平均值等物理量。 第四部分：参数方程与极坐标 本部分将扩展我们对曲线的描述能力，超越传统的笛卡尔坐标系。 1. 参数方程的微分与积分 学习如何处理以参数 $t$ 表示的曲线 $(x(t), y(t))$ 的导数（包括斜率和水平/垂直切线）。计算参数方程下曲线的弧长和所围面积。 2. 极坐标系统 介绍极坐标 $(r, heta)$ 的基本概念，以及在极坐标系下的坐标转换公式。重点学习如何在极坐标系下求导（确定切线斜率）以及计算由极坐标方程所围成的区域面积。 第五部分：向量代数与几何初步 本部分引入向量这一强大的数学工具，为后续的线性代数和物理学打下基础。 1. 向量的基本概念 理解向量的几何意义（大小和方向），及其在二维和三维空间中的表示。学习向量的加法、减法和标量乘法，并理解平行四边形法则。 2. 向量的乘法 点积（内积）： 学习其代数定义和几何定义，重点应用点积来计算向量间的夹角以及投影，并理解其在判断垂直性中的作用。 叉积（外积）： 仅在三维空间中讨论，理解其结果是一个新的向量，方向垂直于原两个向量所构成的平面，其大小代表平行四边形的面积。 3. 空间直线与平面的向量表示 使用向量方程（点向量式和对称式）来精确描述三维空间中的直线。引入平面的法向量概念，并推导出平面的向量方程，解决两直线、直线与平面之间的夹角和交点问题。 本书结构紧凑，内容严谨，力求在提供详尽推导和例题的同时，保持数学思想的清晰流畅，帮助读者建立起一个完整而坚实的纯粹数学知识体系。

评分☆☆☆☆☆

这本书在现代数学分支的引入上显得过于保守和过时。尽管它涵盖了一些必要的分析和代数核心，但在与当代数学发展保持同步方面做得远远不够。例如，在处理空间和几何问题时，它仍然固守于欧几里得几何的框架，对现代微分几何和拓扑学的前沿概念——哪怕是最基础的介绍——也完全回避了。对于那些真正对数学怀有深厚热情，希望在大学阶段继续深造的学生来说，这本书提供的知识体系显得有些“陈旧”和“封闭”。它满足了应试的最低要求，但未能激发任何对数学之美和无限可能性的向往。它像是一扇厚重的、上了锁的门，将学习者局限在了既定的、相对安全的范围内，却迟迟不肯透露门后更广阔、更令人兴奋的数学世界。一本优秀的教材应当是通往未来的钥匙，而这本，更像是被尘封在历史角落里的一本旧范本，缺乏必要的视野和前瞻性。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和印刷质量简直是一场灾难，装帧松散得让人怀疑它能不能撑过一个学期。内页的纸张有一种廉价的粗糙感，墨水渗透得厉害，很多本来清晰的图表和公式在背光下都显得模糊不清。更要命的是，章节之间的逻辑跳跃性极大，似乎编辑在校对时完全处于“心不在焉”的状态。比如，当我们还在努力消化前一章关于拓扑空间的基本定义时，下一秒就突然被抛入一个高维向量场的复杂推导中，中间缺乏任何必要的过渡性练习或详尽的注解来帮助读者平稳过渡。我花了大量时间试图去理解那些本该是辅助理解的图示，结果发现很多箭头和标注都画在了错误的位置，完全误导了对关键概念的把握。对于这种需要严谨性支撑的纯数学领域来说，这种粗枝大叶的制作态度是完全不可接受的。我感觉自己不是在学习一门严肃的学科，而是在尝试破解一本印刷错误百出的谜题书。如果出版商在这些基础的物理呈现上都如此敷衍，我实在很难对其中蕴含的数学内容的深度和准确性抱有信心。它更像是仓促赶工的产物，而不是一本经过深思熟虑的教学工具。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙述风格让人感到一种知识上的“冷漠感”。作者仿佛站在一个极高、极远的视角俯瞰着学习者，每一个定理的陈述都直截了当，不带一丝烟火气。我可以理解纯数学追求简洁和普适性的美感，但对于A-Level阶段的学生来说，这种极简主义的表述方式无疑是一种巨大的障碍。它省略了大量“为什么”和“如何发现”的过程，直接跳到了“是什么”。举例来说，在介绍勒贝格积分的收敛性定理时，书中只给出了结论和冗长而艰深的证明，完全没有提供任何直观的几何解释，也没有联系到黎曼积分的局限性，使得整个章节读起来像是在背诵一本古老的、无人能懂的羊皮卷。学生们需要的是一座桥梁，而不是一道高耸的知识悬崖。我期待的是一种引导性的、富有耐心的对话，而不是这种“你该懂，不懂是你的问题”的冰冷宣告。这种缺乏教学温度的写作，极大地削弱了学习的动力，让人觉得数学的魅力被这些僵硬的符号完全掩盖了。

评分☆☆☆☆☆

这本书的习题设计简直是折磨，它们似乎更像是为那些已经完全掌握了所有概念的博士生准备的挑战，而不是为A-Level考生量身定制的练习。许多题目要么是直接引用了某个高深理论的推论，要求读者自行联想证明步骤，要么就是计算量大到令人发指的数值求解，完全偏离了检验对概念理解的核心目标。更糟糕的是，书后提供的答案区域极其吝啬，很多复杂的证明题甚至没有给出任何提示性的步骤，只有最终结果，这使得我们在做错题后几乎无法自我纠正。学习数学，重要的不是知道答案本身，而是理解得出答案的过程，但这本书在这方面做得极为失败。它没有提供足够的“脚手架”式的练习来帮助巩固刚刚学到的新概念，而是直接设置了难以逾越的鸿沟。这让学习过程充满了挫败感，而不是成就感，最终会让人怀疑是不是自己根本没有学习数学的天赋，而不是教材本身的设计有问题。

评分☆☆☆☆☆

我在寻找一本能够扎实巩固微积分基础并逐步迈向更抽象代数和实分析概念的教材，但这本书的章节安排显得非常混乱和不平衡。前半部分对基础微积分的复习显得蜻蜓点水，很多关键的极限与连续性的证明被一带而过，缺乏足够的辨析，这对于那些在IGCSE阶段基础不够扎实的同学来说，无疑会埋下隐患。然而，一旦进入到集合论和抽象代数的部分，内容突然变得异常密集和深入，仿佛瞬间从高中数学跳跃到了大学入门课的难度。这种陡峭的难度曲线意味着，学习者必须在极短的时间内吸收两个不同层次的知识体系。如果一个学生在某个基础概念上稍有迟疑，那么在后续处理更复杂的结构时，他就会立刻迷失方向，找不到任何参照点。这种不连续的教学设计，使得整本书的知识点像是被随意堆砌在一起的积木，缺乏一个清晰、平滑的上升路径来引导读者的认知发展，极大地影响了学习的连贯性和效率。