离散与组合几何引论（第2版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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朱玉扬 著

图书标签:

• 离散几何
• 组合几何
• 计算几何
• 几何学
• 数学
• 算法
• 图论
• 高等教育
• 教材
• 第二版

出版社： 中国科学技术大学出版社

ISBN：9787312034015

版次：2

商品编码：11525085

包装：平装

开本：16开

出版时间：2014-07-01

用纸：胶版纸

内容简介

　　离散与组合几何学是一门新兴学科，主要研究离散几何对象的计数与设计问题、组合与极值问题，其特点是研究方法灵活、内容多样且有趣、应用十分广泛。它所研究的问题看似简单，实际却较为困难而又引人入胜．全书共9章，主要介绍离散几何中的组合计数和组合极值等问题的研究方法及其理论。本书可作为数学、计算机科学、建筑工程技术等专业本科生和研究生的教材或参考书，也可供相关教学、科研和技术人员参考。

前言/序言

《离散与组合几何引论（第2版）》是一本深入探索数学分支——离散几何与组合几何的权威著作。本书旨在为读者提供对这两个相互关联的领域系统而全面的理解，从基础概念出发，逐步深入到前沿的研究课题。全书内容严谨，论证清晰，例证丰富，力求在抽象的数学理论与具体的几何构造之间架起一座坚实的桥梁。 第一部分：离散几何的基础 本部分是全书的基石，详细介绍了离散几何的核心概念和基本工具。 点、线、面的基本性质与关系： 从欧几里得几何的公理体系出发，本书首先回顾了点、线、面在二维和三维空间中的基本性质，例如点的位置关系、直线与直线、直线与平面、平面与平面的相对位置等。在此基础上，引入了更具离散性的视角，例如点集、线段集、多边形等基本离散结构，以及它们之间的相交、包含、分离等关系。对于多边形的定义，本书会详细阐述其拓扑性质和几何特性，并引出凸多边形和非凸多边形的概念，以及多边形的边、顶点、对角线等关键组成部分。 凸集与凸多面体： 凸集是离散几何中的一个至关重要的概念，本书将对此进行深入的探讨。我们将详细阐述凸集的定义，以及各种等价刻画方式，如任意两点之间的连线段仍在集合内。在此基础上，重点介绍凸多面体，这是离散几何中最基本也最重要的一类对象。我们将从多面体的顶点、边、面等基本元素出发，定义凸多面体，并探讨其欧拉特征数、顶点度、面度等关键拓扑不变量。例如，我们会详细介绍柏拉图立体（正多面体）的性质，以及它们在组合学和拓扑学中的重要地位。此外，书中还将介绍凸包的概念，即给定点集的最小凸集，并阐述其计算方法和在几何问题中的应用。 直线段相交与平面划分： 探讨直线段的相交问题是离散几何中的一个经典问题，本书将对其进行详尽的分析。我们会介绍判断两条直线段是否相交的几何算法，以及如何处理多条直线段的相交情况，例如计算交点的数量或寻找所有交点。这部分内容会涉及到计算几何中的一些基本技术，如交叉乘积、点积等。 随后，本书将视角转向二维平面，探讨直线如何划分平面。我们将分析 $n$ 条直线最多可以将平面划分成多少个区域，以及如何通过组合数学的方法来推导这个公式。这涉及到划分子问题（Arrangement of Lines）的思想，即分析直线的相交情况所产生的区域划分。同样，书中也会探讨平面上的圆、多边形等几何对象如何划分平面，以及由此产生的区域数量的计算。 点集的度量性质： 离散几何也离不开对点集度量性质的研究。本书将介绍距离的概念，包括欧几里得距离和其他常用的距离度量（如曼哈顿距离）。在此基础上，探讨点集直径、宽度、重心等基本度量参数。例如，点集直径是点集中任意两点间最大距离，而宽度则是点集在某个方向上的投影长度的最小值。这些度量性质在形状分析、数据挖掘等领域有着广泛的应用。 Voronoi图与Delaunay三角剖分： Voronoi图和Delaunay三角剖分是离散几何中最具代表性和应用最广泛的两个概念。本书将投入大量篇幅来介绍它们的定义、性质和构造算法。 Voronoi图： 对于一个给定的点集，Voronoi图将平面划分为若干个区域，每个区域包含离某个特定点最近的所有点。本书将详细介绍Voronoi图的构造过程，例如Fortune算法，以及其顶点、边、面等构成元素的性质。我们将探讨Voronoi图的对偶性，即它与Delaunay三角剖分的紧密联系。 Delaunay三角剖分： Delaunay三角剖分是将点集连接成一个三角形网格，使得任意一个三角形的外接圆不包含点集中的任何其他点。本书将介绍Delaunay三角剖分的定义、重要性质（如最大化最小角），以及其构造算法，例如增量法和分治法。我们将重点阐述Voronoi图与Delaunay三角剖分的对偶关系，并分析这种对偶性在解决各种几何问题中的优势。 Voronoi图和Delaunay三角剖分在计算机图形学、计算几何、地理信息系统、模式识别等领域有着极其广泛的应用，本书将通过具体实例加以说明。 第二部分：组合几何的深入探索 在掌握了离散几何的基础后，本部分将进入组合几何的核心领域，将几何问题与组合计数、拓扑结构相结合。 多面体的组合结构： 组合几何将几何对象视为由顶点、边、面等组合而成的结构，并研究这些结构的组合性质。本书将从多面体的组合结构出发，研究其顶点、边、面之间的连接关系。我们将介绍多面体的嵌入、图论表示等概念，并探讨各种类型的多面体，如简单多面体、单纯复形等。 欧拉公式及其推广： 欧拉公式 $V-E+F=2$ 是描述多面体拓扑性质的最著名公式，本书将对此进行详细的证明和讨论，并探讨其在不同维度上的推广，例如对二维多边形、三维多面体以及更高维多胞体（Polytopes）的欧拉公式。我们将分析公式的适用范围和局限性。 多面体的染色问题： 颜色理论在组合几何中扮演着重要角色。本书将介绍图的染色问题，如顶点染色、边染色，并将其与多面体的面染色、顶点染色等问题联系起来。我们将探讨四色定理的背景和证明思想，以及其他相关的染色问题。 点集构型与排列： 组合几何经常研究给定点集在空间中的各种构型和排列方式。 Candy几何与Happy Ending问题： 本节将介绍Candy几何的一些经典问题，例如Happy Ending问题（或称为Erdos-Szekeres问题），即证明任意 $n$ 个点，只要满足一定条件，就一定能找到一个包含其中 $k$ 个点的凸 $k$-边形。本书将详细阐述问题的背景、一些特殊情况的证明，以及更一般的结论。 Halving Line问题： 探讨在二维平面上，给定 $n$ 个点，是否存在一条直线可以平分点集。本书将介绍Halving Line问题的定义，并给出存在性的证明，以及与此相关的k-Halving Line问题。 区域划分与覆盖问题： 组合几何在研究几何对象如何划分空间以及如何覆盖空间方面也有丰富的成果。 平面划分的组合性质： 除了前面讨论的直线划分平面，本书还将探讨更一般的平面划分，例如由曲线、多边形组成的划分。我们将分析划分产生的区域数量、边的数量、顶点的数量之间的组合关系。 几何覆盖问题： 研究如何用一组小的几何对象（如圆、正方形）来覆盖一个大的几何对象。例如，将一个大的正方形用若干个小的正方形来覆盖，并研究最少的覆盖数量。这涉及到 Packing 和 Covering 理论。 几何不等式与优化： 组合几何与几何不等式和优化问题紧密相连。 等周不等式： 介绍等周不等式的基本形式，即在周长固定的情况下，圆的面积最大。本书将讨论等周不等式在二维平面以及更高维度上的推广，以及其在分析形状和优化问题中的应用。 最优分割问题： 研究如何将一个几何区域分割成若干个子区域，以优化某种目标函数，例如最小化子区域的周长之和，或使子区域的面积尽可能相等。 点、线、面之间的组合关系： 本部分将深入研究点、线、面在组合层面的各种关系。 Incidence Geometry： 介绍Incidence Geometry（关联几何），研究点、线、平面之间的基本关联关系，例如点是否在直线上，直线是否在平面上。本书将探讨有限几何（Finite Geometry）中的一些基本概念，以及它们在组合几何中的体现。 Erdos Distinct Distances Problem： 讨论Erdos Distinct Distances Problem，即给定平面上的 $n$ 个点，最少能有多少种不同的距离？本书将介绍该问题的背景、相关的研究进展和结论。 图论在几何中的应用： 图论是解决许多几何问题的强大工具。本书将展示如何将几何对象转化为图，以及如何利用图论的性质来分析几何问题。 几何图： 介绍一些特殊的几何图，例如Gabriel图、Nearest Neighbor图等，并分析它们的性质以及与Voronoi图、Delaunay三角剖分的联系。 图的嵌入与平面图： 探讨几何图的嵌入问题，例如如何将一个图嵌入到平面中，使其顶点对应于平面上的点，边对应于直线段，并且边之间不相交（平面图）。 第三部分：前沿课题与应用 本部分将引导读者了解离散与组合几何领域的一些前沿课题和实际应用。 计算几何算法与数据结构： 结合前两部分的理论，本书将介绍一些高效的计算几何算法和数据结构，例如线段树、K-d树、四叉树等，以及它们在解决几何问题中的应用。 离散几何在计算机图形学中的应用： 探讨离散几何在计算机图形学领域的应用，例如三维模型的表示、网格生成、碰撞检测、渲染等。 组合几何在优化与算法设计中的应用： 展示组合几何如何为算法设计提供新的思路和方法，例如在网络流、匹配、调度等问题中的应用。 离散几何在数据挖掘与机器学习中的应用： 探讨离散几何在分析高维数据、聚类、分类、降维等方面的应用，例如利用Voronoi图进行聚类，利用Delaunay三角剖分进行数据可视化。 其他相关领域简介： 简要介绍一些与离散与组合几何相关的其他数学分支，如计算拓扑学、代数几何、信息论等，并说明它们与本书内容的联系。 本书不仅包含了丰富的理论知识，还穿插了大量的练习题和思考题，旨在帮助读者巩固理解，并激发进一步的研究兴趣。通过对本书的学习，读者将能够掌握离散与组合几何的基本理论和方法，理解该领域的核心概念和前沿动态，并为进一步深入研究或将其应用于实际问题打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的外观给我一种非常专业的印象，简约而不失格调的封面设计，搭配清晰醒目的字体，都显示出出版方的用心。书本的装订牢固，翻阅起来非常顺畅，书页纸张的质量也很高，不仅厚实，而且光洁度适中，印刷的文字边缘清晰锐利，长时间阅读眼睛也不会感到疲劳。我一直认为，一本好的教材，其物理呈现的品质是构成良好阅读体验的重要一环。从初步的触感和视觉感受来看，这本《离散与组合几何引论》无疑达到了很高的标准。更重要的是，它所涵盖的主题——离散与组合几何，正是我近年来非常感兴趣且希望深入了解的领域。我渴望通过这本书，能够系统地学习其中的核心概念和理论，并了解它们在不同学科领域中的应用价值，从而拓展我的学术视野。

评分☆☆☆☆☆

收到这本《离散与组合几何引论》的第二版，真是让我眼前一亮。封面设计简洁大气，用色也十分考究，传递出一种严谨而又富有思想的学术气息。书本的整体做工非常精细，无论是封面材质的触感，还是书页纸张的质量，都让人感到赏心悦目。拿到手里沉甸甸的，很有分量，这通常意味着内容会比较充实。我之所以选择这本书，是因为我一直对数学的“结构美”有着浓厚的兴趣。离散与组合几何，在我看来，就是探索这种结构之美的关键领域。我希望这本书能够帮助我系统地梳理和理解相关理论，发现其中蕴含的深刻思想和巧妙的构造。对于一本引论性质的著作，我更看重它能否为我打下坚实的基础，让我能够有信心去进一步深入学习更高级的课题。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的期待，更多是源于它所代表的那个抽象而迷人的数学分支。离散与组合几何，听起来就充满了挑战与智慧。我一直在思考，如何在有限的元素和结构中发现无限的可能性，如何在纷繁复杂的问题中提炼出简洁优雅的数学模型。这本书的出现，仿佛为我点亮了一盏指引方向的灯。我希望它能提供清晰易懂的讲解，哪怕是一些基础的概念，也能通过生动的例子或者巧妙的比喻来呈现，让我能够真正理解背后的逻辑，而不是死记硬背公式。我尤其关注的是它在实际问题中的应用，比如在计算机科学、运筹学、甚至某些物理领域，离散与组合几何扮演着怎样的角色。如果这本书能在这方面有所涉及，那将是我这次购买的最惊喜之处。

评分☆☆☆☆☆

这次购书的体验简直是太棒了！物流速度快得惊人，我下单后不到两天就收到了包裹，包装完好无损。拿到书的那一刻，我就迫不及待地拆开了。书本的厚度适中，拿在手里感觉很扎实，不是那种轻飘飘的薄书。书页的白度也恰到好处，不会过于刺眼，而且字迹非常清晰，即使长时间阅读也不会感到疲劳。我特别喜欢这种带有一定弹性的封面，摸起来手感很舒服，而且应该比较耐磨损。虽然我购买这本书主要是出于对特定研究方向的兴趣，但这本书的物理品质也大大提升了我的阅读体验。我之前接触过一些电子书，虽然方便，但总觉得缺少了实体书的那种仪式感和沉浸感。这本《离散与组合几何引论》恰恰弥补了这一点，它让我感觉自己正在开启一段真正的学术旅程，充满了探索的乐趣。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计非常精美，封面采用了一种沉稳的深蓝色，搭配烫金的书名和作者姓名，散发出一种知识的厚重感。纸张的质感也非常好，触感温润，翻页时几乎没有沙沙声，印刷清晰，排版合理，阅读起来非常舒适。我一直很喜欢那种拿在手里能感受到分量的书，这本书无疑就是。内容方面，虽然我还没有深入阅读，但初步翻阅了一下目录和前言，就能感受到作者在选材上的用心。它似乎不是那种只追求理论严谨而忽略直观性的教材，而是力求在严谨的数学框架下，展现离散与组合几何的魅力。我尤其对其中关于图论和组合优化应用的章节很感兴趣，希望这本书能为我打开一个全新的视角，帮助我理解那些看似杂乱无章的离散结构中蕴含的美妙规律。即使作为一本引论性质的书籍，它也透露出一种深入探索的可能，让我对接下来的学习充满了期待。