高等代數中的典型問題與方法（第二版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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李誌慧，李永明 編

圖書標籤:

• 高等代數
• 代數
• 數學
• 教材
• 大學教材
• 問題解決
• 方法技巧
• 第二版
• 數學分析
• 綫性代數

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030481016

版次：2

商品編碼：11932787

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2016-05-01

用紙：膠版紙

頁數：373

字數：492000

正文語種：中文

編輯推薦

　　本書與北京大學數學係前代數小組編寫的《高等代數（第四版）》配套，選取大量國內知名高校碩士研究生高等代數入學試題，對高等代數中各種類型的闖題進行瞭全麵、係統的總結和歸納，全方位解除學生的解題睏惑。

內容簡介

　　《高等代數中的典型問題與方法（第二版）》是為正在學習高等代數的讀者、正在復習高等代數準備報考研究生的讀者，以及從事這方麵教學工作的年輕教師編寫的，《高等代數中的典型問題與方法（第二版）》與北京大學數學係幾何與代數教研組編寫的《高等代數（第三版）》相配套，在編寫上也遵循此教材的順序，全麵、係統地總結和歸納瞭高等代數中問題的基本類型、每種類型的基本方法，對每種方法先概括要點，再選取典型而有一定難度的例題，逐層剖析.對一些較難理解的問題，在適當的章節做瞭專題研究，進行瞭較深入的探討和總結，如：綫性變換的對角化、矩陣分解等問題，以消除讀者長期以來對其抽象問題在理解上含糊不清的疑慮，從而更深入地領會問題，
　　《高等代數中的典型問題與方法（第二版）》大量采用全國部分高校曆屆碩士研究生高等代數入學試題，並參閱瞭50餘種教材、文獻及參考書，經過反復推敲、修改和篩選，在長期教學實踐的基礎上編寫而成，《高等代數中的典型問題與方法（第二版）》共分9章，45節，126個條目，約320個典型問題，涉及多項式、行列式、綫性方程組、矩陣、二次型、綫性空間、綫性變換、λ-矩陣、歐氏空間，

內頁插圖

目錄

第二版前言
第一版前言
常用符號

第1章 多項式
1．1 多項式的概念與運算
一、多項式的基本概念
二、多項式的運算2
練習1．1
1．2 多項式的整除
一、帶餘除法和綜閤除法
二、整除
三、昀大公因式及其求法
四、多項式的互素
練習1．2
1．3 多項式的因式分解
一、不可約多項式
二、k重因式
三、多項式函數
四、一般數域上的因式分解及根的性質
五、復數域上多項式的因式分解及根的性質
六、實數域上多項式的因式分解及根的性質
七、有理數域上多項式的因式分解及根的性質
練習1．3
1．4 注記

第2章 行列式
2．1 用定義計算行列式
練習2．1
2．2 求行列式的若乾方法
一、三角化法
二、用行列式的性質化為已知行列式
三、滾動相消法
四、拆分法
五、加邊法
六、歸納法
七、利用遞推降級法
八、利用重要公式與結論
九、用冪級數變換計算行列式
練習2．2
2．3 利用降級公式計算行列式
練習2．3
2．4 有關行列式的證明題
練習2．4
2．5 一個行列式的計算和推廣
一、Dn的計算
二、問題的推廣

第3章 綫性方程組
3．1 綫性相關性（Ⅰ）
一、綫性相關
二、綫性無關
三、綜閤性問題
練習3．1
3．2 矩陣的秩
練習3．2
3．3 綫性方程組的解
一、綫性方程組的幾種錶示形式
二、綫性方程組有解的判定及解的個數
三、綫性方程組解的結構
練習3．3

第4章 矩陣
4．1 矩陣的基本運算
一、矩陣的加法和數乘
二、矩陣的乘法
三、矩陣的轉置
四、矩陣的伴隨
……
第5章 二次型
第6章 綫性空間
第7章 綫性變換
第8章 λ-矩陣
第9章 歐幾裏得空間
練習答案

前言/序言

　　本書自2008年9月齣版以來，得到各地讀者的廣泛肯定，一些讀者嚮我們提齣瞭寶貴的意見，在此深錶感謝.這次再版，對第1章的內容做瞭較大的調整；增加瞭1.4節和5.6節，以及若乾典型例子，並增加瞭一些知識點及例子的評析，本書具有以下特色.（1）內容清晰，結構上逐條有序地安排知識點，然後加以準確描述，並運用典型例子加以分析。
　　（2）論證嚴謹，在例子的求解及證明方麵推理嚴謹。
　　（3）評析新穎，對知識點、例子等進行評析，以剔除疑惑，或在理解層次方麵給予拔高；評析的語言易於理解，站在讀者思維的角度論述。
　　（4）覆蓋麵廣，知識點的涉及麵廣，共探討高等代數中約320個典型問題。
　　（5）習題豐富.精心配套的習題量大，且各有代錶性.通過演練可以熟練掌握高等代數的基本方法與技巧。
　　一些讀者還問及如何更好地理解本書的書名，下麵談談我們的理解和編寫本書的初衷。全書共分9章，45節，126個條目，約320個知識要點（簡稱要點），實質上，這些要點就是本書中的典型問題.而“方法”一詞指的是以性質、定理等作為原理提煉齣來的解決問題的辦法，如本書中式（4.15）即是一個原理，由此演變齣求矩陣逆的方法，即將這個矩陣與單位陣並列寫到一起，然後對該陣施行能將其變為單位陣的一係列初等變換，而對單位陣同時也施行這樣的變換，這時單位陣就化為該陣的逆矩陣，因此，這種方法是有原理可循的，實質上，在高等代數中，依據原理産生的求解問題的方法很多，例如，求解一般綫性方程組的高斯消元法；計算行列式的方法；求綫性變換的特徵值與特徵嚮量的方法；二次型化標準形的閤同變換方法、配方法及正交變換法等，讀者在學習時要仔細體會這些方法的由來.當然，如果從課程特色的角度談及高等代數研究問題的基本方法，則屬於另一個層麵上的問題，它錶現在：嚴格的邏輯推理方法；公理化方法；矩陣方法；結構化方法（如綫性空間及子空間）；等價分類方法等，這些方法較前麵提到的方法更抽象，可以說代錶瞭這門課程的思想方法。有些方法是需要通過讀書和多做練習加以理解，以便在今後的研究中能熟練應用。高等代數中這兩種不同層麵的方法都是需要理解和掌握的。

數學思想的火花：代數理論的精妙解析與應用拓展 書名： 數論前沿：從基礎原理到高級應用的探索 書籍簡介 本書旨在為數學專業的學生、研究人員以及對數論領域有濃厚興趣的讀者，提供一個全麵、深入且富有洞察力的視角，探討數論學科的核心理論、前沿進展及其在不同數學分支中的應用。內容聚焦於數論的基石，並逐步拓展到更復雜、更現代的主題，力求在理論的嚴謹性與應用的直觀性之間取得完美的平衡。 第一部分：數論的基石與初探 本部分首先迴顧瞭數論的經典基礎，為後續的高級內容奠定堅實的基礎。 第一章：整數環的結構與模運算的精妙 本章深入剖析瞭整數環 $mathbb{Z}$ 的基本代數結構，強調瞭整除性、素數的定義及其唯一分解定理的嚴格證明。我們將詳細討論模運算的性質，從最基礎的同餘關係齣發，係統介紹中國剩餘定理（CRT）的構造性證明及其在編碼理論中的潛在意義。特彆地，本章引入瞭高斯整數環 $mathbb{Z}[i]$ 和愛森斯坦整數環 $mathbb{Z}[omega]$，通過分析這些唯一分解整環（UFD）的性質，幫助讀者理解整數環的特殊性，並為二次互反律的學習做好鋪墊。我們將探討歐幾裏得整環（Euclidean Domain）的概念，並論證 $mathbb{Z}$、$mathbb{Z}[i]$ 和 $mathbb{Z}[omega]$ 均屬於此類，這為計算最大公約數（GCD）提供瞭算法基礎。 第二章：初等解析數論：函數與漸近行為 本章將解析數論的工具引入視野。我們著重研究數論函數，如狄利剋雷函數（$sigma_k(n), phi(n)$）、加性函數和完全積性函數。重點分析瞭狄利剋雷捲積的性質，並利用其構建瞭莫比烏斯反演公式及其在函數關係轉換中的應用。隨後，我們將詳細介紹著名的黎曼 $zeta$ 函數。在初等層麵，本章展示瞭歐拉積公式的推導過程，並初步探討瞭黎曼 $zeta$ 函數在描述素數分布中的核心作用。我們還會分析素數計數函數 $pi(x)$ 的性質，並討論切比雪夫函數 $psi(x)$ 和 $ heta(x)$，為後續梅滕斯定理和更精確的素數定理奠定基礎。 第二部分：代數數論的深化 第二部分是本書的核心，它將數論的視角提升到代數結構的高度，探討代數數域中的整數性質。 第三章：代數數域基礎 本章係統介紹瞭代數數、有理數域 $mathbb{Q}$ 上的有限擴張域 $K/mathbb{Q}$ 的概念。我們詳細定義瞭域擴張的次數、極小多項式和代數整數。關鍵在於對域 $K$ 中“整數”——即代數整數環 $mathcal{O}_K$——的精確刻畫。通過引入跡（Trace）和範數（Norm）的概念，本章探討瞭 $mathcal{O}_K$ 的結構，並證明瞭它是 $mathbb{Z}$ 上的自由模，從而引齣瞭環的判彆式（Discriminant）的概念及其在判斷域擴張性質中的重要性。 第四章：理想論與唯一分解的瓦解 這是本書最富挑戰性也最富美感的部分之一。我們揭示瞭在一般的代數整數環 $mathcal{O}_K$ 中，素理想的分解性質與 $mathbb{Z}$ 中素數的唯一分解不一定保持一緻。本章嚴格定義瞭理想（Ideal）的概念，並證明瞭 $mathcal{O}_K$ 是一個 Dedekind 環，這意味著其中的非零理想具有唯一因子分解性。我們將詳細分析素數 $p in mathbb{Z}$ 在擴張域中如何分解為素理想：惰性（Inert）、分裂（Splitting）和分支（Ramification）。通過二次域 $mathbb{Q}(sqrt{d})$ 的具體實例，讀者將清晰地理解判彆式與素數分解行為之間的深刻聯係。 第五章：類群與類數 在 $mathcal{O}_K$ 中，由於因子分解的缺失，我們引入瞭等價類——理想類（Ideal Class）的概念，從而定義瞭代數數論中最重要的不變量之一：類群（Class Group）$Cl_K$。本章的重點在於證明類群是有限生成的阿貝爾群，並引入瞭類數 $h_K$。我們將詳細討論米尼奧特定理（Minkowski Bound）的構造性證明，該定理為計算類群的生成元集閤提供瞭至關重要的工具，使得計算小域的類數成為可能。 第三部分：核心理論與應用拓展 本部分聚焦於數論中的核心工具——環論與類域論的先導，並探索瞭高次方程的丟番圖性質。 第六章：二次互反律的代數路徑 本章從更高深的視角重新審視二次互反律。我們不依賴於歐拉判彆式或高斯和，而是利用二次域 $mathbb{Q}(sqrt{p})$ 中的理想分解，展示如何通過 $mathcal{O}_{mathbb{Q}(sqrt{p})}$ 的結構自然地導齣二次互反律。本章詳細討論瞭勒讓德符號和雅可比符號的性質，並首次引入瞭符號函數（Hilbert Symbol）的概念，作為連接局部場與全局場的重要橋梁。 第七章：費馬大定理的代數數論背景 雖然本書不全麵深入費馬大定理的全部證明，但本章旨在提供其代數數論的起源和背景。我們將探討費馬大定理的庫默爾（Kummer）嘗試，重點分析在包含原 $n$ 次單位根的域 $mathbb{Q}(zeta_n)$ 中，理想分解的“良好”性質（即域的類數是否為一）。通過考察這些環的判彆式和類數，讀者將領略到代數數論在解決經典丟番圖方程中所展現的強大威力。 第八章：局部與整體——Hasse 原理的啓示 本章介紹瞭數論中“局部化”的思想，這對於理解丟番圖方程的可解性至關重要。我們首先介紹瞭 $p$ 進數域 $mathbb{Q}_p$ 的構造和基本拓撲結構。隨後，我們將重點闡述 Hasse 原理在二次型上的應用——即一個二次型在 $mathbb{Q}$ 上的解的存在性等價於其在所有 $mathbb{R}$ 和所有 $mathbb{Q}_p$ 上的解的存在性。本章通過實例展示瞭局部信息如何決定全局性質，這是現代數論的核心方法論之一。 結論 本書的結構旨在引導讀者從基礎的整數性質齣發，逐步攀登代數數論的宏偉殿堂。通過對代數結構、理想理論和類群理論的深入剖析，讀者不僅能掌握數論的核心工具，更能體會到數學思想跨越不同分支時的統一與和諧。本書的最終目標是培養讀者用代數的眼光去審視數論問題，為進一步探索更高級的領域，如類域論、代數幾何與數論的交叉點，打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我當初買這本書的時候，主要是被它的書名所吸引，覺得“典型問題與方法”聽起來就很實用，能夠解決我學習高等代數時遇到的實際睏難。事實證明，我的直覺是對的！這本書的確在很多方麵都給瞭我巨大的幫助。我印象最深刻的是關於綫性代數部分的講解，尤其是特徵值和特徵嚮量的處理。很多教材隻是簡單給齣定義和計算方法，但這本書通過大量的實例，展示瞭特徵值和特徵嚮量在不同場景下的實際應用，比如在量子力學中的一些初步概念，或者在圖像處理中的降維技術。雖然這些應用在書中並沒有進行深入的探討，但它為我打開瞭新的視野，讓我看到瞭抽象數學理論背後蘊含的強大生命力。此外，它在處理多項式環和理想時，也提供瞭一些非常巧妙的算法和思路，這對於我做一些計算性的研究非常有幫助。有時候，一道題可能看起來很復雜，但一旦掌握瞭書中介紹的方法，就能迎刃而解。這本書的優點在於，它不會讓你感覺像是在啃一本晦澀的聖經，而是更像是在和一位循循善誘的導師交流，他知道你可能在哪裏會遇到障礙，並提前為你準備好瞭解決方案。

評分☆☆☆☆☆

在我的高等代數學習生涯中，遇到過不少書籍，但《高等代數中的典型問題與方法（第二版）》給我留下的印象尤為深刻。它並非一本包羅萬象的百科全書，但其精煉的風格和對核心問題的聚焦，卻使其獨樹一幟。我特彆欣賞它在介紹環論時，那種“由淺入深”的處理方式。不像有些教材上來就拋齣各種抽象定義，這本書從一些易於理解的例子入手，比如整數環、多項式環，然後逐步引入更復雜的概念，如主理想整環、唯一因子分解整環等。作者在講解這些概念時，並沒有迴避理論的嚴謹性，但同時又巧妙地利用瞭“典型問題”來幫助讀者建立直觀的理解。例如，在討論不可約元素和素元素時，作者給齣瞭一些具體的例子，並引導讀者去思考它們之間的關係，這種主動探索的過程，讓我對這些概念的理解更加深刻。雖然這本書沒有涉及代數數論的太多內容，但它為我理解代數數論中的一些基礎概念打下瞭堅實的基礎，這對我後續的學習起到瞭至關重要的作用。

評分☆☆☆☆☆

這本書對我來說，簡直是一場智力上的冒險！我一直對抽象代數充滿好奇，但又常常被那些看似晦澀難懂的定義和證明搞得暈頭轉嚮。《高等代數中的典型問題與方法（第二版）》就像一位經驗豐富的老嚮導，在我探索高等代數這片迷宮般的世界時，為我指明瞭方嚮。它不是那種枯燥乏味的教科書，而是通過精心挑選的“典型問題”，一步步引導讀者深入理解那些抽象概念。我特彆喜歡它處理群論部分的方式，那些關於群的同態和同構的例子，一開始讓我覺得有點抽象，但作者通過一係列精心設計的練習題，讓我從動手計算和構造中體會到瞭這些概念的精髓。特彆是關於有限單群的分類，雖然原書沒有深入探討，但作者通過對一些重要子類群的介紹，讓我對整個領域有瞭初步的認識，甚至激起瞭我進一步研究的興趣。還有那些關於域擴張和伽羅瓦理論的章節，作者的講解非常清晰，即使是復雜的定理，也能被拆解成易於理解的邏輯步驟。我感覺這本書不僅僅是在教我知識，更是在培養我的數學思維方式，讓我學會如何分析問題、拆解問題，並找到解決問題的優雅途徑。

評分☆☆☆☆☆

這本書在我看來，更像是一本“問題導嚮”的學習指南。很多時候，我們學習高等代數，感覺像是大海撈針，不知道從何下手。而《高等代數中的典型問題與方法（第二版）》恰恰解決瞭這個問題。它通過精選那些能夠代錶高等代數核心思想的“典型問題”，引導讀者逐步深入。我印象最深刻的是關於嚮量空間和綫性變換的部分，作者沒有僅僅停留在形式上的定義，而是通過大量的例子，展示瞭嚮量空間在幾何上的直觀意義，以及綫性變換如何作用於這些空間。特彆是關於綫性算子的一些性質，比如可逆性、零空間、像空間等，通過書中精心設計的練習題，我能夠更好地理解這些抽象概念的內涵。雖然它沒有涉及概率論和數理統計中的很多具體應用，但其對綫性代數中基礎概念的深刻講解，為我理解那些更高級的應用打下瞭堅實的基礎。這本書的優點在於，它能夠激發讀者的探索欲，讓你在解決一個又一個“典型問題”的過程中，不知不覺地掌握瞭高等代數的精髓。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數學充滿熱情但又常感力不從心的學生，《高等代數中的典型問題與方法（第二版）》為我帶來瞭極大的啓發。這本書最吸引我的地方在於，它並不是簡單地羅列定理和證明，而是緻力於幫助讀者掌握解決問題的“方法”和“思路”。我尤其喜歡它在討論矩陣理論時，引入的那些“特殊矩陣”的分析。比如，對稱矩陣、厄米特矩陣、正交矩陣等，作者通過分析它們的性質以及與特徵值、特徵嚮量之間的關係，讓我對矩陣有瞭更深層次的理解。這些“典型問題”的選取，恰恰點齣瞭高等代數中一些最核心、最常用的工具。我記得在學習二次型的時候，書中提供的化簡方法，比我之前接觸過的任何教材都要清晰和直觀，讓我能夠輕鬆地處理各種復雜的二次型問題。雖然這本書在某些非常深入的領域，比如李群、李代數等，沒有進行詳細的闡述，但它所提供的紮實基礎，無疑為我將來深入探索這些領域鋪平瞭道路，讓我充滿瞭信心。

評分☆☆☆☆☆

很不錯

評分☆☆☆☆☆

書還可以，挺好的

評分☆☆☆☆☆

包裝 速度 服務非常棒！

評分☆☆☆☆☆

啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊

評分☆☆☆☆☆

包裝 速度 服務非常棒！

評分☆☆☆☆☆

書非常非常的好

評分☆☆☆☆☆

選題很好，還有大量練習，不愧是科學齣版社的書，質量很高

評分☆☆☆☆☆

很不錯

評分☆☆☆☆☆

包裝 速度 服務非常棒！